PARTE TERZA: L EQUILIBRIO PARAMETRICO

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1 Aldo Motesao PRINCIPI DI ANALISI ECONOMICA PARTE TERZA: L EUILIBRIO PARAMETRICO Ca. 10 L ANALISI DELL EUILIBRIO PARZIALE Doo aver aalzzato le due otes fodametal della teora ecoomca, secodo cu le azo degl aget soo tezoal (soo, coè, scelte) e realzzabl (vee, coè, cosderata la comatbltà delle scelte), questa Parte vee trodotta l aals dello stato dell ecooma comosto dall seme delle scelte comatbl, che è l equlbro. S ot che l equlbro ecoomco ha er oggetto a d scambo e d roduzoe, o ecessaramete la loro esecuzoe (che otrebbe essere revsta er u temo successvo e che otrebbe essere evetualmete regozata). L equlbro è arametrco se s assume che, el rocesso d scelta, og agete o tega coto d come scegle cascu altro agete. S ha, vece, u equlbro strategco se cò accade. I questo caso, v soo aget che comoo la loro scelta teedo coto delle ossbl azo degl avversar. Gl equlbr strategc soo aalzzat co la teora de goch ella Parte uarta. L equlbro arametrco è caratterzzato dalla reseza d gradezze (arametr) che soo date er alcu o tutt gl aget, ma varabl (qud, oggetto d determazoe) er l ecooma. S ha equlbro se quest arametr (che soo, geere, rezz) hao valor oortu. La determazoe dell equlbro arametrco rchede soltato la determazoe d quest arametr. Ivece, l equlbro strategco (che uò comuque cludere la reseza d arametr er talu aget) è caratterzzato dalla comatbltà delle stratege, coè dal fatto che v soo aget che scelgoo teedo coto della terdedeza tra la loro scelta e quella d altr aget. L equlbro arametrco vee aalzzato descrvedo darma le scelte dvdual ed moedo, successvamete, la loro comatbltà. uesta rchede due codzo. La rma codzoe è la realzzabltà o esegubltà delle scelte: a d scambo e d roduzoe scelt dagl aget ossoo essere esegut se le comravedte o escludoo alcua scelta d scambo degl aget dell ecooma esame e se a d roduzoe o soo mossbl. La secoda codzoe è ù sottle: 1

2 occorre che le scelte o s modfcho durate la fase d raggugmeto dell equlbro e l erfezoameto de cotratt d comravedta. Gra arte dell aals svolta el seguto o s occua d questa fase, coè, del rocesso d cotrattazoe che determa le codzo dello scambo (uò essere ua cotrattazoe dretta tra gl aget, o medata da termedar, o orgazzata da sttuzo secfche co l terveto d aget, badtor, sstem telematc, o altro). S suoe che v sa u qualche sstema d cotrattazoe seza cost, u mercato deale, grado d determare, se esste, u equlbro, che è u seme d scelte esegubl. Ossa, la comatbltà delle scelte s rduce all esegubltà, altre arole alla rma delle due codzo sudcate. Co queste remesse, asseza d secfcazo cotrare, la comatbltà delle scelte è el seguto soddsfatta se er og bee esame la quattà totale acqusto è uguale a quella vedta (assumedo che roduttor cooscao loro sem d roduzoe, er cu le loro scelte o soo essu caso mossbl). L seme delle azo esegubl (o realzzabl) è, ercò, l seme delle azo cu corrsodoo, er og bee esame, quattà total acqusto ugual a quelle vedta. ud, l equlbro è defto dall aarteeza delle scelte degl aget all seme delle azo esegubl. La defzoe recedete d equlbro clude ache cas cu rezz soo argometo d scelta d u agete, o soltato cas, esamat e catol recedet, cu gl aget soo rce-taker. Tuttava, el seguto d questa Parte, trae che egl ultm aragraf d questo catolo, vee esamato l mercato cocorrezale, cu rezz o soo argometo d scelta degl aget che desderao esegure gl scamb, ma emergoo dalla codzoe d equlbro. (Ess vegoo determat el rocesso d cotrattazoe, che o vee geeralmete aalzzato). I questo catolo vee trattato l equlbro arzale. S qualfca arzale u equlbro cu vegoo aalzzat gl scamb d u bee (co la moeta altro terme dello scambo 1 ), rescdedo dagl altr be dell ecooma. Perché cò sa ossble, occorre che sa esclusa, o sa trascurable, l terdedeza co gl altr be: s ha terdedeza se le varabl rferte al bee esame (rezzo e quattà scambate) fluscoo su gradezze (rezz degl altr be, caactà d sesa de cosumator, ut ed outut delle mrese) da cu dede l equlbro esame. L terdedeza uò essere esclusa troducedo delle otes. S uò assumere, ad esemo, che rezz degl altr be ed altre gradezze (come la caactà d sesa de cosumator) o fluscao (er ulla o arossmatvamete er ulla) sulla scelta degl aget (come accade, er 1 S è così mlctamete otzzata la reseza d u bee, la moeta, che svolge la fuzoe d mezzo d scambo (è, coè, l bee accettato da tutt gl aget egl scamb) e d utà d coto (ossa, l rezzo d og bee è esresso utà moetare er utà d bee). La moeta è, a meo che o s otzz dversamete, u bee come gl altr: fa arte de aer d be ed etra el sstema d refereza degl aget e e loro vcol (seme d blaco er u cosumatore, seme d roduzoe er u roduttore). 2

3 cosumator, se le refereze soo searabl addtvamete rsetto al bee esame e quas-lear rsetto al bee moeta) 2, oure che rezz degl altr be sao dat e tal da asscurare l equlbro geerale corrsodeza all equlbro del bee esame ( questo caso, erò, l terdedeza s rreseterebbe ell aals d statca comarata). 3 Nella rma arte d questo catolo, fo al Paragrafo 10.7, vee esamato l equlbro arzale cocorrezale. S qualfca cocorrezale u mercato cu og agete è rce-taker, o ha, coè, alcu otere su rezz esame. Ne aragraf successv vegoo esamat equlbr arzal o cocorrezal. Ossa, v è u agete o v soo aget che hao otere d mercato, soo rce-maker. Solo alcue d queste forme d mercato ammettoo u equlbro arametrco. uelle che rchedoo u aals d equlbro strategco sarao resetate ella Parte uarta L equlbro arzale cocorrezale S redao cosderazoe tutte le scelte, sao esse oera d cosumator o d roduttor, che cludoo u certo bee. Defzoe 10.1 U equlbro è cocorrezale se rguarda la comatbltà delle scelte d aget tutt rce-taker. S è gà dcato che u agete è rce-taker se rtee d o avere otere d mercato, coè rtee d o otere sceglere l rezzo del bee esame, é d otere flure su d esso. La defzoe d equlbro mlca che la sua ooe o vega modfcata dalle formazo che gl ervegoo dall equlbro (e eure dalle cotrattazo che coducoo ad esso). E aturale (ma o è ecessaro) assumere che l agete rtega d o avere otere d mercato erché o ha effettvamete otere d mercato, coè, che l ooe corrsoda alla realtà. Perché l agete o abba otere d mercato occorre che og modfcazoe della sua azoe, tra quelle er lu ossbl, o flusca sul rezzo. E evdete come cò o sa vero se o arossmatvamete. S cosder, ad esemo, er u cosumatore, l alteratva tra o comrare l bee esame o utlzzare tutta la caactà d sesa ell acqusto del bee. uesta alteratva flusce sulla domada aggregata del bee e, qud, geerale, sul rezzo. Se, erò, egl ha ua 2 Ifatt, se è u(x) = x 1 + f(x 2 ) + g(x 3, x 4,, x k ), ove x 1 dca la quattà d moeta e x 2 quella del bee esame, allora la domada del bee è del to x 2 = d( 2 ), ove 2 è l rezzo moetaro del bee (ercò, co 1 = 1 ), er og 2 tale che 2 x 2 m. 3 Ifatt, se le fuzo d domada e offerta del bee esame dedoo da rezz degl altr be e quest o soo rezz d equlbro, l equlbro arzale (che rescda dall terdedeza) è rrlevate, oché o resste alle modfcazo de rezz degl altr be. I altr term, esso o rareseta uo stato cu gl aget ossoo esegure le loro scelte (che hao er oggetto sa l bee esame sa altr be). 3

4 caactà d sesa molto ccola rsetto al valore comlessvo degl scamb sul mercato esame, l flueza dell alteratva è trascurable. La scelta d ua delle due azo al osto dell altra codurrebbe ad ua modfcazoe del rezzo rrlevate (ad esemo, ad ua varazoe del rezzo ferore al ù ccolo decmale cu è esresso l rezzo). Allora, l agete, se valuta correttamete l suo (ullo) otere d mercato, 4 rtee dato l rezzo, è, coè, u rce-taker. Peraltro, l otes che u agete sa rce-taker, ache se rareseta, logcamete, ua stuazoe lmte (vale, coè, ell esemo sudcato, se l raorto tra la sua caactà d sesa e l valore comlessvo degl scamb tede a zero), è, tuttava ella realtà, la stuazoe ù comue. Soo molt gl aget che su molt mercat soo rce-taker. ud, u agete è rcetaker o ecessaramete se o ha otere d mercato (cosa che uò essere vera solo arossmatvamete), ma se rtee l suo otere così ccolo che refersce o teere coto e se essua formazoe (che gl ervega ella fase cu s stablsce l rezzo del bee sul mercato) lo duce a cambare dea. S ot che l equlbro cocorrezale è defto dalla codzoe che tutt gl aget sao rce-taker. La scelta d u agete rce-taker rguarda la quattà del bee esame. Se è comratore (vedtore), allora la scelta revede l acqusto (vedta) d ua certa quattà d bee cambo d ua somma d dearo d ar valore, determata dal rezzo d mercato del bee. ud, l equlbro arzale rguarda due be, uo de qual, la moeta, vee scambato tutt mercat, metre l altro, quello che deoma l mercato, vee scambato solo sul mercato esame. L aals d equlbro arzale cosdera soltato la domada e l offerta del bee esame L aals dell equlbro arzale cocorrezale L aals dell equlbro arzale uò essere fatta dfferetemete rededo cosderazoe la domada e l offerta lorda del bee o quella etta (eccesso d domada). E cosuetude, ell equlbro arzale, segure la rma va, ache erché l suo caso tco è quello cu comrator (cosumator e roduttor) o ossedoo l bee esame rma dello scambo e vedtor soo suo roduttor. I tal caso la domada aggregata è raresetata dalla fuzoe d = D() e l offerta aggregata dalla fuzoe s = S() (queste fuzo ossoo essere corrsodeze, ache se el seguto questa ossbltà verrà resa 4 No camba la stuazoe se le refereze degl aget dedoo dal rezzo, come dcato el Paragrafo 4.4 a roosto dell effetto Veble. Ivece, l effetto mtazoe (resetato el medesmo aragrafo) uò determare u otere d mercato del leader (coè, dell agete la cu scelta flusce sulle scelte d altr aget). I questo caso, l leader otrebbe o essere rce-taker. 4

5 cosderazoe solo alcu cas). Le fuzo aggregate d domada e d offerta rsultao dall aals comuta all zo de Paragraf 4.6 e 5.7, 5 evdezado soltato la dedeza della quattà domadata e offerta del bee esame dal suo rezzo. Esse soo corretemete deomate fuzo marshallae d domada e d offerta. Defzoe 10.2 La codzoe d equlbro cocorrezale, che esrme la realzzabltà delle scelte, ossa, d = s, è raresetata dal sstema * = D(*) = S(*) la cu soluzoe dvdua l rezzo * e la quattà scambata * d equlbro. Rsulta, qud, che la quattà acqustata e veduta da sgol aget d è q * = d ( *), er = 1,, (ove è l umero degl acquret l d bee), e q * = s( * ), er = 1,, (ove è l umero de vedtor). L equlbro dcato determa, qud, scelte realzzabl, coè, azo razoal e comatbl. U esemo è raresetato ella Fgura D() S() * * Fgura 10.1 L equlbro esste (coè, le curve d domada e d offerta s tersecao) se l domo delle fuzo D() e S() cotee u tervallo [, ] + su cu etrambe le fuzo soo cotue ed è (D( ) S( ))(D( ) S( )) 0. L equlbro o è ecessaramete 5 Se v soo roduttor che acqustao l bee esame (che è, er loro, u ut) e l acqurete -esmo è u roduttore, allora la sua fuzoe d domada rsulta oedo, er l bee esame, d ( ) = s ( ), ove s ( ) è la fuzoe d offerta del roduttore trodotta el Catolo 5. 5

6 uco. E uco (come ella Fgura 10.1) se la fuzoe D() S() è decrescete (s ot come questa codzoe sa suffcete ma o ecessara). Co le otes utlzzate corretemete e Catol 3, 4 e 5, questa roretà è soddsfatta se la fuzoe aggregata d domada è decrescete, se, coè, l bee è ordaro e l offerta è eserctata da roduttor del bee, la cu fuzoe aggregata d offerta sa o decrescete La stabltà dell equlbro arzale cocorrezale Come gà dcato, le codzo dell equlbro cocorrezale determao l rezzo * d equlbro, ma o descrvoo l rocesso attraverso cu l seme degl aget rce-taker v guge. L aals del rocesso d aggustameto all equlbro ha caratterstche secfche, rguardat sorattutto la dffusoe d formazo sulle tezo d scambo degl aget, caratterstche o semre rcoducbl alla logca della teora della scelta. Il rocesso d aggustameto all equlbro tradzoalmete otzzato troduce l cosddetto badtore walrasao. 6 uesto rocesso resuoe u mercato orgazzato, co la reseza d u agete, l badtore, che o arteca agl scamb del mercato esame. L agete ha l comto d grdare ua successoe d rezz, corrsodeza a cascuo de qual gl aget (comrator e vedtor) comucao al badtore le loro tezo d comravedta. Gl aget soo megat ad esegure le tezo comucate al badtore solo se l rezzo corrsodete è u rezzo d equlbro. Il badtore cotrolla se v è o o equlbro, coè, se la somma delle quattà acqusto è uguale o o a quella delle quattà vedta. Se D() S() > 0, o sorgoo meg d scambo e l badtore grda u rezzo ù alto; se D() S() < 0, o sorgoo meg d scambo e l badtore grda u rezzo ù basso; se D() S() = 0, l badtore dchara chuso l rocesso e gl aget soo megat ad esegure gl scamb da loro comucat al badtore. Il roblema aaltco cosste ell esame delle codzo che determao la covergeza della successoe de rezz grdat dal badtore ad u rezzo d equlbro. La stabltà dell equlbro è strettamete coessa a questa aals: u equlbro è defto stable se ua erturbazoe d esso (esressa dall dcazoe da arte del badtore d u rezzo o d equlbro) mette moto forze (esresse dal comortameto del badtore) che rcoducoo l sstema all equlbro. 6 uesta aals matee l otes che gl aget d scambo sao rce-taker. V soo altre aals (ad esemo, Gale, 2000) che trattao ecoome co aget dotat d otere d mercato che tedoo all equlbro cocorrezale al crescere del loro umero. Il rototo d queste aals è l ololo d Courot (cu s acceerà ella Parte uarta). 6

7 Defzoe 10.3 Ua codzoe d stabltà locale, ossa, rossmtà del rezzo d equlbro, ota come codzoe statca walrasaa d stabltà, è esressa dalla dsuguaglaza D E( *) 0, ove E() = D() S() è la fuzoe d eccesso d domada. Essa rsulta dall otes che l badtore alz l rezzo se l eccesso d domada è ostvo (se, coè, E() = D() S() > 0 ) e lo abbass se è egatvo (se, coè, E() = D() S() < 0 ), comortameto questo dcato talvolta come legge del mercato. Allora, erché v sa stabltà, occorre che l badtore, se sta grdado u rezzo u o ù alto (basso) d quello d equlbro, sa dotto a grdare uo ù basso (alto) e cò accade solo se v è u eccesso egatvo (ostvo) d domada, coè, se è E() < 0 er > * (e E() > 0 er < * ). Tuttava, la codzoe statca d stabltà è ecessara, ma o è semre suffcete erché la successoe de rezz grdat dal badtore coverga ad u rezzo d equlbro. Per dvduare le codzo d covergeza all equlbro occorre secfcare, ù dettaglatamete d quato o sa stato fatto fora, l comortameto del badtore, comedo u aals damca. A questo rguardo, ossoo essere rooste due aals: la rma tratta l temo (della successoe de rezz grdat dal badtore) el dscreto, la secoda el cotuo, ossa, ella rma aals la successoe de rezz grdat dal badtore (t) è ua fuzoe che ha come domo l seme de umer ter, coè, : {1, 2, } + metre ella secoda aals l domo è l asse de umer real, coè, : + +. Sa l equlbro determato dalle codzo * = D(*) = S(*), ovvero, trodotta la fuzoe d eccesso d domada E() = D() S(), dalla codzoe E(*) = 0. Le due aals aea dcate s resetao, allora, el modo seguete. a) Aals damca della stabltà walrasaa el temo dscreto. S dch co t, ove t = 1, 2,, la successoe de rezz grdat dal badtore e co la fuzoe t+1 = t + f(e( t )) l comortameto del badtore, ove f(.) è ua fuzoe che coserva l sego del suo argometo (coè, se E( t ) > 0, allora t+1 > t, e, se E( t ) < 0, allora t+1 < t ). L equlbro è stable se l = *. Pù recsamete, è globalmete m t t stable se questa codzoe è soddsfatta er og rezzo zale 1 + ; è localmete stable se esste u toro d * er cu la codzoe è soddsfatta er og 1 aarteete a questo toro. (S ot come la stabltà globale mlch quella locale). Ora, la codzoe statca walrasaa d stabltà sutrodotta D E( *) 0 è codzoe ecessara erché l equlbro sa stable (localmete e globalmete), ma o è suffcete. La codzoe statca walrasaa d stabltà è soddsfatta e tre cas raresetat elle Fgure 10.2, 10.3 e V è stabltà locale (e globale) ella Fgura Nella Fgura 10.3 rezz grdat dal badtore s 7

8 allotaao deftamete dal rezzo d equlbro. Nella Fgura 10.4 v è u cclo lmte: l badtore, qualuque sa l rezzo 1 d arteza, s focalzza su due rezz e er qual s ha = + f(e( ) e = + f(e( ) (s ossoo resetare ache cas co ccl lmte comost da tre o ù d tre rezz, cas co ù d u cclo lmte, e ache l caso cu la successoe de rezz o coverge verso essu cclo lmte seza, eraltro, covergere al rezzo d equlbro o allotaars deftamete da esso). t+1 t+1 t+1 * t +f(e( t )) * t +f(e( t )) * t +f(e( t )) 1 3 * 2 t 3 1 * 2 t ' * " t Fgura 10.2 Fgura 10.3 Fgura 10.4 Prooszoe 10.1 La codzoe d stabltà walrasaa locale el temo dscreto rchede (come uò desumers dalle Fgure 10.2, 10.3 e 10.4) che la dervata della fuzoe t + f(e( t ) abba, el uto d equlbro, valore assoluto o suerore ad uo. Pù recsamete, v è stabltà locale d f( E( ) d f( E( ) se 1+ < 1 e solo se 1+ 1, ossa, se d = * d = * D f E (0) D E ( *) ( 2, 0) e solo se [ 2, 0]. Poché la fuzoe f(.) reserva l sego, è ecessaramete D E f (0) > 0 er cu rsultao le codzo d stabltà locale D E( *) 0, che cocde co la codzoe 2 statca walrasaa d stabltà, e D E( *) D E f (0), che è ua codzoe ulterore che rchede che l badtore reagsca co moderazoe agl eccess (ostv o egatv) d domada. S uò otare come l badtore grd l rezzo t+1 usado soltato l formazoe erveutagl al temo t, coè, l eccesso d domada E( t ), ma o le formazo erveutegl e tem recedet. Assumedo che la fuzoe d eccesso d domada sa cotua e che v sa almeo u equlbro, egl otrebbe ervere semre all equlbro usado gl eccess d domada erveutgl e tem recedet. S tratterebbe d rcercare ua soluzoe dell equazoe E() = 0. Il badtore otrebbe covergere alla soluzoe usado, ad esemo, l metodo delle secat. 8

9 b) Aals damca della stabltà walrasaa el temo cotuo. S dch co (t), ove t +, la successoe de rezz grdat dal badtore e co l equazoe dfferezale d ( t ) = f(e((t)) l comortameto del dt badtore, ove f(.) è ua fuzoe che coserva l sego. L equlbro è stable se lm ( t) = *, er cu s ha la seguete codzoe d stabltà. t Prooszoe 10.2 La codzoe d stabltà walrasaa locale el temo cotuo rchede che la dervata della fuzoe f(e((t)) abba, el uto d equlbro, valore o ostvo. Pù recsamete, v è stabltà locale se D E( *) < 0 e solo se D E( *) 0. (La codzoe della Prooszoe 10.2 cocde co la codzoe statca walrasaa d stabltà.) La Fgura 10.5 rareseta quato dcato. I essa 1 * e 3 * soo rezz d due equlbr localmete stabl, metre 2 * è l rezzo d u equlbro stable. Le freccette sull asse delle ascsse dcao la drezoe della successoe de rezz che rsulta dalla equazoe d ( t ) = f(e((t)), dt che mlca d ( t ) d ( t) > 0 se E((t)) > 0 e < 0 se E((t)) < 0. (S ot dt dt come la stabltà globale, secodo cu l equlbro esame vee ragguto qualuque sa l rezzo zale, rcheda che l equlbro sa uco e che la fuzoe d eccesso d domada sa decrescete corrsodeza al rezzo d equlbro). 7 E() 1 * 2 * 3 * Fgura 10.5 L aals della stabltà eseguta fora, sebbee revalete ella letteratura ecoomca, o è l uca roosta er l equlbro cocorrezale. 7 U aals ù dettaglata dalla stabltà dell equlbro verrà comuta, seguedo l mostazoe damca el temo cotuo, el Catolo 12, esamado l equlbro geerale cocorrezale. 9

10 Vee, ora, dcata l aals al rguardo roosta da Marshall, che rede cosderazoe le fuzo verse d domada d = d () e d offerta s = s () (co rfermeto alle fuzo drette d = D() e s = S(), la fuzoe d () cocde co la fuzoe D 1 ( d ) e s () co D 1 ( s ) ). La fuzoe d () dca l rezzo che comrator soo dsost a agare er comrare, comlessvamete, la quattà d bee e la fuzoe s () l rezzo rchesto da vedtor er vedere la quattà d bee). L equlbro rchede le codzo * = d (*) = s (*), che cocdoo co le codzo * = D(*) = S(*) gà dcate (come raresetato ella Fgura 10.1). I questa aals, l mercato reagsce ad ua dffereza ostva tra d e s alzado l volume comlessvo degl scamb e ad ua dffereza egatva abbassadolo. S ottee la codzoe statca d s d( ( ) ( )) marshallaa d stabltà 0 e u aals d = * (marshallaa) della stabltà del tutto smmetrca a quella recedete. S ot come l equlbro cocorrezale soddsf sa la codzoe statca walrasaa sa quella marshallaa d stabltà se, el uto d equlbro, la curva d domada è decrescete e quella d offerta è crescete. No è così se ua delle due curve ha adameto cotraro a quello aea dcato La statca comarata dell equlbro arzale Uo de roblem ù atural che s ogoo ecooma cosste el domadars da che cosa dedoo le gradezze ecoomche: el caso esame, da che cosa dedoo l rezzo * e la quattà scambata * del bee esame. La statca comarata è l aals secfca che rsode a queste domade. Ua volta che s eslctao le relazo che collegao le gradezze ecoomche esame co dat (coè, co altre gradezze suoste dedet da quelle esame), la statca comarata determa quale drezoe (se l aals è qualtatva) o d quato (se è quattatva) s sarebbe alterato l loro valore se uo o ù dat fossero stat dvers. La comarazoe è statca se le varabl esame o soo fuzo del temo, ma rferte a u state (o erodo) d temo o del tutto atemoral. Se soo fuzo del temo (come el caso che sarà resetato el Paragrafo 10.7), l aals corrsodete uò essere deomata damca comarata. Dedao le fuzo aggregate d domada e offerta da arametr α = (α 1,, α m ) che raresetao dat, sao coè, d = D(; α) e s = S(; α). Le codzo d equlbro * = D(*; α) = S(*; α) determao, allora, le fuzo ( geerale, le corrsodeze) *(α) e *(α), che llustrao la dedeza d * e * da dat. Il cofroto uò rguardare modfcazo dscrete de arametr, er cu s cosderao modfcazo b * a * e b * a * coseguet alla modfcazoe α b α a (come ell esemo della successva Fgura 8.6), oure modfcazo 10

11 ftesme, er cu la statca comarata determa le dervate *, eseguedo ercò u aals locale. α * α e b * a * D(;α a ) D(;α b ) S() a * b * Fgura 10.6 Nella Fgura 10.6 è raffgurato u esemo d statca comarata dell equlbro arzale cu s suoe che la fuzoe d domada aggregata deda da u arametro α (che uò raresetare, se la domada è eserctata da cosumator, la loro caactà d sesa, oure l rezzo d u altro bee, oure ua caratterstca delle refereze, oure ua combazoe d due o ù d quest elemet). 8 Ad esemo, se la domada è eserctata da cosumator, l bee è ormale, l arametro α dca la caactà d sesa de cosumator (el seso che questa è, er og cosumatore = 1,,, ar a α m ) ed è α b > α a, allora, l aals d statca comarata mostra come u accrescmeto della caactà d sesa determ (co curva d domada decrescete e curva d offerta crescete) u accrescmeto sa della quattà scambata sa del rezzo. Lo stesso accade se l arametro α dca l rezzo d u bee sosttuto. Prooszoe 10.3 Cosderado l aals locale d statca comarata ed esrmedo l equlbro medate l aullameto dell eccesso d domada, coè, E(;α) = 0 (ove E(;α) = D(;α) S(;α)), rsulta (dfferezado la codzoe d equlbro) la relazoe D *( α) = α D α E( *; α) D E( *; α) 8 Perché o v sa terdedeza, l arametro α o deve dedere dal rezzo e dagl scamb del bee esame. S ot come l otes dcata ella ota 2 d questo catolo escluda la ossbltà che l arametro α rareset l rezzo d u altro bee o la caactà d sesa d uo o ù cosumator. 11

12 ove la varazoe del arametro α determa lo sostameto dell equlbro. uesta relazoe ha u teressate legame, deomato da Samuelso rco d corrsodeza, co la codzoe statca walrasaa d stabltà D E( *) < 0 trodotta el aragrafo recedete. S ha che l sego della dervata D α *( α ) è uguale a quello della dervata D α E( *; α ) se l equlbro soddsfa la codzoe sudcata d stabltà (eraltro, ha seso esamare soltato la statca comarata d equlbr stabl, essedo quell stabl rraggugbl). S uò, allora, affermare che u cremeto della caactà d sesa de cosumator (se l bee è ormale) o del rezzo d u bee sosttuto determa u aumeto del rezzo d equlbro oché accresce l eccesso d domada del bee, coè, oché D α E( *; α ) > L equlbro arzale co razoameto Vegoo talvolta dcat come equlbr co razoameto le stuazo caratterzzate dalla quattà scambata * = m{d(), S()} e da ua regola d razoameto che rartsce tra comrator, se D() > S(), o tra vedtor, se D() < S(), la quattà dsoble sul lato corto del mercato. 9 I queste aals s assume che la ossbltà d razoameto o flusca sulle scelte degl aget, er cu le loro fuzo d domada e d offerta sul mercato co razoameto cocdoo, er otes, co le aaloghe fuzo omal, quelle, coè, rore del mercato seza razoameto (aalzzate e Catol 3, 4 e 5 e dcate recedeza). S assume, oltre, quado la regola d razoameto determa, er gl aget razoat, ua quattà dedete dalla loro scelta omale (come, ad esemo, ella ota 9), che gl aget razoat o modfcho la loro scelta ua volta che s accorgoo d essere razoat. Naturalmete, queste otes rducoo la lausbltà degl equlbr co razoameto. Nella Fgura 10.7 è dcato u equlbro co razoameto ( cu è razoata l offerta). 9 d Ad esemo, se D() > S(), l razoameto roorzoale determa * = S( ) d ( ) er og = 1,,. Molte regole d razoameto soo ossbl. D ( ) Normalmete s rchede che gl aget sul lato corto o sao razoat, coè, se D() > s d S(), allora q * = s ( ) er og = 1,,, metre è q * d ( ) er og = 1,, d, co q * = S( ). = 1 q 12

13 D() S() * Fgura 10.7 Le caratterstche rcal dell equlbro co razoameto soo: a) l rezzo è esogeo, coè, v è u equlbro co razoameto er og rezzo aarteete al domo delle fuzo aggregate d domada e d offerta; b) se la curva d domada è decrescete e quella d offerta è o decrescete, allora l rezzo * d equlbro cocorrezale (dcato el Paragrafo 10.2) determa la quattà massma scambata, coè, D( *) = S( *) = maxm{ D( ), S( )} 10.6 L equlbro d dustra: breve e lugo erodo Seguedo l aals della roduzoe ( artcolare, quato dcato el Paragrafo 5.9, che dstgue le fuzo d offerta secodo le ossbltà d scelta delle mrese) s dstgue tra equlbro d breve ed equlbro d lugo erodo e s uò trodurre ache u equlbro d brevssmo ed uo d lughssmo erodo. L seme delle mrese che roducoo uo stesso bee vee dcato co l terme dustra (al rguardo, Paragrafo 5.8). a) Nel brevssmo erodo essu ut è varable e o v è, qud, ua scelta. uesta stuazoe corrsode al caso cu le mrese hao gà comuto la scelta d roduzoe e devoo solo vedere l loro rodotto. La quattà del bee rodotto è, ercò, data er og mresa ed è, qud, data ache er l dustra. Nel brevssmo erodo, allora, la curva d offerta d og mresa e quella dell dustra soo rgde: la quattà offerta o dede dal rezzo del bee rodotto. L equlbro è determato dalla codzoe 13

14 = D( *) ove è l rezzo del bee esame, D( ) la sua fuzoe d domada, = = 1q = = 1s = S quella d offerta, l umero delle mrese, e q la quattà rodotta dall mresa -esma. Le Fgure 10.8 e 10.9 raresetao la stuazoe er ua geerca mresa dell dustra e er l dustra. s D() S * * q q Fgura 10.8 Fgura 10.9 b) Nel breve erodo l mresa scegle la quattà degl ut varabl e la sua curva d offerta d outut (trodotta el Paragrafo 5.11) cocde co arte della curva del costo margale (se la quattà d outut o è ulla). L equlbro è determato dalla codzoe * = D( *) = S( *) ove D( ) è la fuzoe d domada del bee esame, S( ) = = 1s ( ) è quella d offerta dell dustra, è l umero delle mrese e s ( ) è la curva d offerta dell mresa -esma. Le Fgure e raresetao la stuazoe er ua geerca mresa dell dustra e er l dustra. Nel dagramma ove è raresetata la stuazoe dell mresa è ossble ache msurare l roftto varable e quello totale d breve erodo (erò, ella Fgura è traccata solo la curva del costo medo varable e o è, qud, vsble l roftto totale). D() * s ( ) ACv( q) * S SR () MC SR (q ) q * Fgura q * Fgura

15 c) Nel lugo erodo s ha ua stuazoe aaloga, co le oortue modfcazo. Ora, og mresa scegle le quattà d tutt gl ut e la fuzoe d offerta d outut rsulta determata (el Paragrafo 5.11) relazoe alle curve d costo medo e margale d lugo erodo. b * a * ssr, ( ; b) ssr, ( ; a) slr, ( ) ACLR, ( q) b * a * S SR (;a) S SR (;b) D b () S LR () D a () q a, * q b, * q a * b * Fgura Fgura Le Fgure e raresetao la stuazoe er ua geerca mresa dell dustra e er l dustra corrsodete a due dverse curve d domada Da ( ) e Db ( ), comedo così u aals d statca comarata. Soo ache raresetate le corrsodet curve d offerta d breve erodo SSR ( ; a ) e SSR ( ; b), determate dalla quattà degl ut fss ottmale er rodurre la quattà d outut dell equlbro d lugo erodo. d) Nel lughssmo erodo v è lbertà d etrata. uesta mlca che la tecologa è ota, coè, che og mresa uò esegure la stessa roduzoe scelta da u altra mresa, come se tutte le mrese fossero dotate dello stesso seme d roduzoe. Allora, l dustra è, smultaeamete, sa l seme delle mrese che roducoo lo stesso bee, sa l seme delle mrese dotate della stessa tecologa. S uò, allora, alcare quato trodotto el Paragrafo 5.11 er l offerta dell dustra el lughssmo erodo (esemlfcata elle Fgure 5.30 e 5.31), rcordado che l umero (reale, er arossmazoe, azché tero) d mrese attve è ar al raorto tra la quattà comlessva * rodotta del bee (determata dall equlbro d mercato) e la quattà d mmo costo medo d lugo erodo er la sgola mresa (mmo costo medo che determa l rezzo del bee sul mercato, * ). Percò, u mutameto della curva d domada modfca soltato l umero delle mrese attve. Allora, assumedo che la curva d costo medo d lugo erodo d mresa abba uo ed u solo mmo, l equlbro d lughssmo erodo è 15

16 * = m AC ( q ), q* = argm AC ( q ), * = D( *), q q * * = q * Le Fgure e raresetao la stuazoe er la geerca mresa dell dustra e er l dustra. Soo ache raresetate le corrsodet curve d offerta d lugo erodo (coè, co u umero dato d mrese attve, ar a quello ottmale el lughssmo erodo). D() s () S LR (;l*) * ACLR, ( q) * MC() =AC() S LLR MCLR, ( q) q * q * Fgura Fgura La dstzoe tra brevssmo, breve, lugo e lughssmo erodo mette evdeza alcue caratterstche della damca dustrale. I questa descrzoe, tutto cò che o vee mezoato è suosto varato durate l rocesso damco; vge, coè, la clausola ceters arbus. S cosder u cremeto mrevsto della curva d domada a artre da u equlbro d lughssmo erodo. Il uovo equlbro d brevssmo erodo che e cosegue alza l rezzo del bee e l roftto delle mrese. uesto cremeto duce u cremeto della roduzoe, co le mrese che accrescoo, el breve erodo, l mego degl ut varabl (che soo quell d cu è ù facle varare la quattà megata) e modfcao, el lugo erodo, l mego d tutt gl ut modo da cosegure l roftto massmo. uest cambamet modfcao la curva d offerta dell dustra (come raresetato ella Fgura 10.16): l rezzo d equlbro s rduce e la quattà rodotta cresce. La reseza d roftt ostv duce l gresso d altre mrese. Il rezzo tora, el uovo equlbro d lughssmo erodo, al valore zale e la quattà rodotta dall dustra cresce relazoe all accrescmeto della domada (metre la quattà rodotta da ua sgola mresa tora al valore zale, corrsodete alla oszoe d roftto ullo). 16

17 SSR * D a () D b () S SSR () S SR () SR * LR * * S LR () S LLR a * SR * LR * b * Fgura L aals d equlbro arzale resuoe che rezz d tutt be, trae quello del bee esame, sao dat. Cò mlca che la curva d offerta d lughssmo erodo dell dustra sa ftamete elastca (come elle Fgure e 10.16) e, qud, come gà dcato alla fe del Paragrafo 5.11, che rezz degl ut o dedao dalla quattà d bee rodotta dall dustra. Se questa dedeza fosse resete, la curva d offerta dell dustra rsulterebbe crescete (o ache decrescete), così come allora dcato. uesta dedeza deoterebbe u terdedeza tra mercat (l equlbro sul mercato del bee esame determa la quattà rodotta del bee, da cu dede la domada de be che soo suo ut d roduzoe, dal cu rezzo dede la curva d offerta del bee esame), che l equlbro arzale è strutturalmete caace d aalzzare. La descrzoe d terdedeze ell equlbro arzale uò essere comuta solo co fort lmtazo e rchede che s coosca come rezz de be dvers dal bee esame dedao dall equlbro (rezzo e quattà) del mercato d questo bee U aals damca d equlbro arzale U eslcta aals damca d equlbro arzale è forta dal cosddetto modello della ragatela (cobweb model). I questo modello la roduzoe rchede u erodo d temo, co l medesmo rtmo er tutte le mrese (come, ad esemo, agrcoltura er le roduzo stagoal). Le mrese scelgoo all zo d og erodo d roduzoe quato rodurre e comoo questa scelta relazoe al rezzo che s attedoo er l mometo cu l rodotto verrà osto vedta. Il modello esama la successoe degl equlbr cocorrezal d brevssmo erodo che s determao sul mercato del bee esame, 17

18 dverse ossbl stuazo. Sao t = 1, la successoe de tem d mercato, t d s e = D( ) la curva (decrescete) d domada, e S( ) t offerta dell dustra, ove e t t = t e e * = D( *) = S( ), = *, t = 1, 1 t la curva (crescete) d dca l rezzo atteso dalle mrese al temo t 1 er l temo t. La successoe degl equlbr dede dall otes che verrà trodotta sulla formazoe delle asettatve. Nelle verso orgare del modello (descrtte da Ezekel, e 1938) s assume che roduttor s attedao u rezzo varato, coè, =, ove * t 1 * t 1 è l rezzo d equlbro del temo t 1. Allora, le mrese rogrammao al temo t 1 la quattà d roduzoe base al rezzo del temo t 1 e vedoo al temo t la quattà d rodotto così decsa. L equlbro d brevssmo erodo d mercato al temo t è raresetato dalle codzo t Assegato u rezzo zale t 0 t t, queste codzo determao la successoe d equlbr ( *, *), t = 1, E teressate l aals d alcue caratterstche d questa t t successoe: artcolare, se v è covergeza verso u equlbro stazoaro e se s resetao oscllazo. Dalle codzo d equlbro rsulta che l adameto del rezzo è la soluzoe della equazoe alle dffereze fte D( *) = S( *). I rossmtà del t t 1 rezzo **, defto dalla codzoe D( **) = S( **), v è covergeza verso ** se β > γ e dvergeza se β < γ, ove β e γ soo le edeze delle due curve, coè, β = D D ( **) e γ = D S ( **), er cu l equazoe alle dffereze fte recedete dvee γ * ** = ( * ** ). Ioltre, base alle otes trodotte, er cu β t t 1 β > 0 e γ > 0, l adameto è oscllatoro. t D() S() 3 * E 3 1 * E 1 E3 1 * E 1 S() ** E 2 2 * 0 E2 2 * D() 0 1 * ** 2* Fgura * 1 * 2 * Fgura Nelle Fgure e soo raresetate le due stuazo. (Se s esama la damca globale, coè o s esama soltato l comortameto rossmtà dell equlbro stazoaro, e le fuzo D( ) e S( ) o soo lear, uò resetars ache la covergeza verso u cclo lmte, coè, verso u oscllazoe ersstete tra due equlbr (, e (, ) co D( ) = S( ) e D( ) = S( ) ). a a ) b b a b b a 18

19 Come gà dcato, l aals recedete è fodata sull otes che roduttor s attedao er l erodo successvo u rezzo ar a quello del erodo recedete, coè, sulla fuzoe d asettatva e t = * t 1. Però, questa asettatva vee og volta falsfcata (a meo che o sa * = * * ). V è, coè, ua cogettura sstematcamete t 1 errata. Né sorte mglore hao asettatve che tegao evetualmete coto ache d altr e rezz recedet, coè, fuzo d asettatva del to = f( *, *,...), t t 1 t 2 deomate asettatve adattve. E mmagable che le mrese modfcho le loro asettatve o aea ercescao la reseza d u errore sstematco. Asettatve che o soffroo d questo dfetto soo quelle accordo co l modello dell ecooma esame, deomate asettatve razoal (trodotte da Muth, 1961, che s è rferto, el suo artcolo, roro al modello della ragatela). Nel caso esame le asettatve razoal e rchedoo, se le mrese cooscoo le fuzo D( ) e S( ), che sa = **. Se o le cooscoo, s deve trodurre u rocesso d aredmeto che covolge l osservazoe de rezz d mercato e che è soggetto a dsturb casual. Ne coseguoo rsultat otevolmete dvers da quell sudcat, che, co la loro forma, avevao dato l ome al modello della ragatela. (Il modello della ragatela è stato ache uo de rm modell ecoomc soggetto ad dage emrca, oltre che l rmo modello ad essere esamato co l otes delle asettatve razoal). S ot ache come l aals damca comuta questo aragrafo dffersca da quella comuta el Paragrafo 10.3 cu vee esamata la stabltà dell equlbro. Nel Paragrafo 10.3 la damca rguarda l rocesso d aggustameto all equlbro, che o vee modfcato. uesto rocesso s svolge, er così dre, a bocce ferme, coè, seza l effettuazoe d att d scambo o d roduzoe, u temo che, er questa ragoe, vee talvolta dcato come temo logco, cotraoszoe a quello storco delle azo ecoomche. I questo aragrafo, vece, la damca rguarda ua successoe d equlbr, cascuo de qual determa scamb e rezz (rezz effettv, o vrtual come quell grdat dal badtore). Ioltre, s ha ua successoe d equlbr stabl (el seso che è soddsfatta, er cascuo, la codzoe walrasaa d stabltà). L aals vuole determare l adameto (el temo storco) d quest equlbr, artcolare se ess covergoo verso u equlbro stazoaro, u equlbro, coè, che ermae mmutato el temo fché o tervegao modfcazo fodametal (el caso esame, varazo della tecologa, de rezz degl ut o della curva d domada). t 10.8 L equlbro d mooolo a rezzo uco Defzoe 10.4 U equlbro arzale è d mooolo uro se rguarda u mercato cu comrator soo rce-taker e v è soltato u vedtore, l quale coosce la curva aggregata d domada de comrator. E a rezzo uco se l rezzo è uguale er tutt comrator. I base a questa defzoe, comrator soo raresetat sul mercato dalla curva d domada d = D() metre l vedtore scegle l rezzo che è er lu ù coveete. Se l vedtore è l roduttore del bee esame, come s assume d cosueto (ache erché questo è l caso rlevate dal uto d vsta emrco), ed ha come obettvo la massmzzazoe del roftto, allora la sua scelta è raresetata dalla soluzoe del roblema 19

20 max C( ) sotto l vcolo = D(), ove C() è la fuzoe d costo mmo d lugo erodo (trodotta el Paragrafo 5.10). uesto roblema uò essere resetato, modo del tutto equvalete, come max R( ) C( ), ove R() = D 1 () è la fuzoe d rcavo (essedo = D 1 () la fuzoe versa d domada). Se le fuzo d rcavo e d costo soo cotue, co R(0) = 0 e C(0) = 0 e v è u > 0 tale che R( ) < C( ) er og >, allora l roblema sudcato ammette soluzoe. Se quelle fuzo soo, oltre, dervabl, s ha ua soluzoe * > 0, se rsultao soddsfatte le codzo D R( *) = D C( *), 2 D R ( *) 2 D ( *) e C R ( *) C ( *) Altrmet, s ha * = 0. La codzoe D R( *) = D C( *) moe, se è * > 0, l uguaglaza tra rcavo margale e costo margale el uto d 2 2 equlbro; la codzoe D R( *) D C( *) rchede che la curva del rcavo margale abba el uto d equlbro edeza o suerore a quella della curva del costo margale; e la codzoe R( *) C( *) rchede, se è * > 0, che l roftto sa o ferore al roftto coseguble co roduzoe ulla. Determata la quattà d roduzoe *, ottma er l mooolsta, l rezzo che quest ha coveeza ad morre rsulta determato dalla codzoe * = D 1 (*). * MC() AC() AC(*) MR() D() * Fgura

21 Nella Fgura è raresetato u equlbro d mooolo uro (v soo dcate, oltre alla curva d domada D( ), le curve d rcavo margale MR() = D R( ), d costo margale MC() = D C( ) e d costo medo C ( ) AC() =. L area ombreggata dca l roftto del mooolsta). Nel regme d mooolo a rezzo uco, l rezzo d equlbro è suerore al costo margale (metre, el regme d cocorreza, l rezzo d equlbro è ar al costo margale er tutte le mrese attve). Vale, fatt, la seguete rooszoe. Prooszoe 10.4 Se la curva d domada è decrescete el uto d equlbro, coè D D( *) < 0, e l mooolsta è attvo, coè * > 0, allora l rezzo d mooolo è maggore del costo margale, coè * > MC(*). Dmostrazoe. Essedo l mooolo esame a rezzo uco, la curva d domada cocde co la curva d rcavo medo. Se questa è decrescete, allora la curva margale corrsodete le è ferore, 10 coè * = D 1 (*) > MR(*). Se * > 0, s ha ache D R( *) = D C( *), coè MR(*) = MC(*), er cu * > MC(*). La codzoe c = MC( c ) = D 1 ( c ) defsce l equlbro che v sarebbe se l mooolsta fosse rce-taker, coè, l equlbro cocorrezale d rfermeto. uesto vee usato er qualfcare come aturale l mooolo l cu equlbro cocorrezale d rfermeto determa u roftto egatvo, come dcato dalla Defzoe I altr term, se l mooolsta fosse rce-taker, la sua roduzoe sarebbe ar a zero. Il mooolo aturale s reseta quado la domada è lmtata rsetto alle ossbltà della roduzoe, el seso che la domada lmta la roduzoe (dell equlbro cocorrezale d rfermeto) ad u lvello cu l costo medo è decrescete. Defzoe 10.5 U mooolo è aturale se, ur essedo * > 0 e 1 * = D ( *) > AC( *), s ha = D 1 ( ) = MC( ) < AC( ). c c c c Nella Fgura è raresetato l equlbro d u mooolo aturale. T ( ) 10 Per og fuzoe cotua e dervable T(), defte la fuzoe meda A() = dt ( ) da( ) 1 e quella margale M( ) =, rsulta = ( M ( ) A ( )), er cu d d er og > 0 ove la fuzoe meda è decrescete s ha M ( ) < A( ). (uesta relazoe è dcata ache dalla Prooszoe 5.24). 21

22 MC() * AC(*) AC() c MR() * c D() Fgura Statca comarata del mooolo a rezzo uco. L aals d statca comarata è utle el mooolo sorattutto er esamare l effetto d ua varazoe del costo d roduzoe sul rezzo d vedta. S otzz ua varazoe del costo d roduzoe che mut la fuzoe C() ella fuzoe C() + t, coscché l costo margale e quello medo dvegoo MC() + t e AC() + t vece che MC() e AC(). (Il terme t uò essere, se ostvo, u mosta sulla quattà rodotta e veduta oure, se egatvo, l effetto del rogresso tecco). Assumedo che la curva d domada sa decrescete, é facle vedere come questa varazoe determ, se t è ostvo, ua dmuzoe (u cremeto, se t è egatvo) sa della quattà rodotta, sa del roftto del mooolsta e u cremeto (o dmuzoe, se t è egatvo) del rezzo. E teressate recsare quattatvamete la rercussoe sul rezzo d ua varazoe del costo d roduzoe. Per ua varazoe ftesma del costo d roduzoe, coè, oedo che t ass da 0 a dt, s trovao, dfferezado le codzo d equlbro del mooolo * = D(*), D R( *) = D C( *) le codzo d* = D D(*) d*, 2 2 D ( *)d * = D ( *)d * + d R C t e, qud, da esse, teedo coto della codzoe del secodo orde 2 D R ( *) < 2 D C ( *), 22

23 d * 1 1 = > dt D D( *) D R( *) D C( *) d * S uò otare come o sa ecessaramete 0< Ad esemo, se dt la curva d domada è del to ad elastctà 12 costate, coè = A ε (co ε > 1, altrmet l rcavo margale o è ostvo), e la fuzoe d costo del to co cost medo e margale costat, coè C = c (co c > 0 ), ε d * ε allora rsultao * = c e = > 1, ossa, ua varazoe del ε 1 dt ε 1 costo margale s rercuote sul rezzo msura ù che roorzoale e tato d ù quato ù vca a 1 è l elastctà della domada L equlbro d moosoo a rezzo uco Il moosoo è l regme d mercato duale del mooolo, el seso che è uguale al mooolo ua volta che s sosttuscao tra loro term comratore e vedtore. Defzoe 10.6 U equlbro arzale è d moosoo uro se vedtor soo rce-taker e v è soltato u comratore, l quale coosce la curva aggregata d offerta de vedtor. E a rezzo uco se l rezzo è uguale er tutt vedtor. Allora, vedtor soo raresetat sul mercato dalla curva d offerta X s = S( x ) metre l comratore scegle l rezzo che è er lu ù coveete. S cosder l caso cu l comratore è u roduttore er l quale l bee esame è u ut, come s assume d cosueto questa aals (ache erché questo è l caso rlevate dal uto d vsta emrco), ed abba l comratore come obettvo la massmzzazoe del roftto. Nel seguto, sarao aalzzat due cas cu l moososta è, rsettvamete, rce-taker sul mercato del suo rodotto (metre è rce-maker sul mercato del bee esame, cu è moososta) o mooolsta. a) Equlbro d moosoo co roduttore moososta sul mercato d u ut e rce-taker sul mercato del rodotto. Esamado, er semlctà, la stuazoe d breve erodo (co l bee esame uco ut varable), la scelta è raresetata dalla soluzoe del roblema max q X x C f x, X, sotto vcol = F(X, x f ) e X = S( x ) ove = F(X, x f ) è la fuzoe d roduzoe (o decrescete rsetto a X ), q è l rezzo del rodotto, x f è l vettore che dca le quattà degl ut fss e C f 0 è l costo fsso, ossa, max FX (, x ) X C sotto l vcolo X = S(x) x, X q f x f 11 Così accade ell equlbro cocorrezale, come è facle verfcare. 12 L elastctà della domada rsetto al rezzo msura, come dcato ella ota 16 del Catolo 3, u uto della curva d domada = D(), l raorto tra le varazo d ( ) relatve della quattà domadata e del rezzo, coè ε =. d 23

24 uesto roblema è del tutto equvalete al roblema max RX ( ) Cv( X) C f, ove R(X) = q F(X, x f ) è la fuzoe d rcavo del rodotto dell ut e C v (X) = X S 1 (X) è la corrsodete fuzoe d costo varable (essedo x = S 1 (X) la fuzoe versa d offerta). Se queste fuzo d rcavo e d costo varable soo cotue, co R(0) = 0 e C v (0) = 0 e v è u X > 0 tale che R( X ) < C( X) er og X > X, allora l roblema dcato ammette soluzoe. Se le fuzo soo, oltre, dervabl, la soluzoe X* soddsfa le codzo R( X*) C ( X*) v D RX ( *) = D C ( X * ) X X v e X 2 D RX ( *) 2 D C ( X *) se X* > 0 e X X v, altrmet s ha X* = 0. Determata la quattà d ut X*, ottma er l moososta, l rezzo che quest scegle rsulta determato dalla codzoe x* = S 1 (X*). Nella Fgura è raresetato u equlbro d moosoo (v soo dcate la f curva d rcavo margale del rodotto dell ut MR(X) = D R( X) = D F( X, x ), X q X f ove D F( X, x ) è la roduttvtà margale dell ut, la curva d costo margale MC(X) X = D C ( X) e quella d costo varable medo, che cocde co la curva d offerta). S ot X v come rsult la dsuguaglaza * < MR(X*) vece l uguaglaza, come sarebbe x accaduto se l roduttore fosse stato rce-taker sul mercato dell ut, e come rsult megata, rsetto a questo caso, ua quattà more d ut. x MC(X) S( x ) AC v (X) x * MR(X) = q D x F(X,x f ) X* Fgura X b) Equlbro d moosoo co roduttore moososta sul mercato d u ut e mooolsta sul mercato del rodotto. La scelta è raresetata, questo caso, dalla soluzoe del roblema max, x, q X, X C q x f sotto vcol = F(X, x f ), = D( q ) e X = S( x ) ove = D( q ) è la fuzoe d domada del rodotto. uesto roblema è del tutto equvalete al roblema max R( X) C ( X) C, ove R(X) = F(X, x f ) D 1 (F(X, x f )) è X v f 24

25 la fuzoe d rcavo del rodotto dell ut e C v (X) = X S 1 (X) è la fuzoe d costo varable (essedo q = D 1 () la fuzoe versa d domada del rodotto e x = S 1 (X) quella d offerta dell ut). Se queste fuzo d rcavo e d costo varable soo cotue, co R(0) = 0 e C v (0) = 0 e v è u X > 0 tale che RX ( ) < C( X) er og X > X, allora l roblema dcato ammette soluzoe. Se le fuzo soo, oltre, dervabl, la soluzoe X* soddsfa le codzo D RX ( *) = D C ( X * ) e X se X* > 0 e R( X*) C ( X*) v X v 2 D R ( X *) 2 D C ( X *) X X v, altrmet s ha X* = 0. Determata la quattà d ut X*, ottma er l moososta, l rezzo dell ut che quest scegle rsulta determato dalla codzoe x* = S 1 (X*), la quattà rodotta dalla codzoe * = F(X*, x f ) e l rezzo d vedta del rodotto dalla codzoe q * = D 1 (*). Nella Fgura è raresetato u equlbro d questo to d moosoo (v soo dcate la curva d rcavo margale del rodotto dell ut MR(X) = D ( ) X R X = ( ) D (, f f MR F X x ), ove MR() è l rcavo margale e D F( X, x ) è la roduttvtà X margale dell ut, la curva d costo margale MC(X) = X D C ( X) e quella d costo varable medo, che cocde co la curva d offerta). S ot come rsult * ( ) D ( *, f f < MR F X x ) < D F( X*, x ) e come la quattà megata d ut (e, x X q X qud, rodotta d outut) sa more d quella del moosoo co roduttore rce-taker sul mercato dell outut. X v x MC(X) S( x ) AC v (X) x * q D x F(X,x f ) MR(X) = MR() D x F(X,x f ) X* X Fgura L equlbro d mooolo co dscrmazoe del rezzo Metre el mooolo a rezzo uco (esamato el Paragrafo 10.8) l rezzo scelto dal mooolsta è uguale er tutt comrator e er tutte le utà del bee acqustate da 25

26 cascu comratore, el mooolo co dscrmazoe del rezzo l mooolsta è grado d alcare rezz dvers, a secoda della quattà del bee e/o del comratore. Possoo essere dstte dverse stuazo a secoda della ossbltà d morre rezz dvers, raggruate tre geer d dscrmazoe. La dscrmazoe del rezzo del rmo geere s reseta quado l mooolsta uò alcare u rezzo dverso ad og comratore e er og utà d bee che quest comra. S ha la dscrmazoe del rezzo del secodo geere se l mooolsta s reseta sul mercato co dvers cotratt d comravedta (cascuo raresetato da ua coa quattà-rezzo) tra cu og comratore uò sceglere, d modo che comrator o soo dscrmat ma comrao a rezz dvers a secoda del cotratto scelto. Co la dscrmazoe del terzo geere l mooolsta dstgue tra comrator e vede loro l bee a rezzo dverso (erò, allo stesso rezzo er cascu comratore qualuque sa la quattà che quest comra). a) Mooolo co dscrmazoe del rezzo del rmo geere. I questo caso l mooolsta è grado d morre ad og comratore l rezzo massmo che quest è dsosto a agare er acqustare l bee esame. (Ad esemo, u mresa ha l mooolo d u trattameto che cura u certo to d calvze er la quale o esstoo altre cure). uesto sgfca che l comratore è costretto dal mooolsta a rmaere sulla curva zale d dffereza, qualuque sa la quattà acqustata: altr term, l mooolsta scegle l uto che refersce sulla curva d dffereza del comratore. S assuma che og comratore osseda, rma dell acqusto, ua quattà ulla del bee esame e che l acqusto degl altr be o deda dalle codzo del mercato esame se o relazoe alla sesa er l bee esame, abba, coè, refereze searabl addtvamete rsetto al bee esame, ercò raresetate da ua fuzoe d utltà del to u(x) + g(m r), ove x è la quattà del bee esame, r la sesa er otteerla e m è la caactà d sesa. 13 S assuma, oltre, che le fuzo u(.) e g(.) sao dervabl, o decrescet e cocave, er cu le curve d dffereza soo o crescet e covesse. Allora, la curva d dffereza del comratore -esmo su cu l mooolsta uò sceglere l uto che refersce (e uò far cò er cascuo degl comrator) è raresetata dalla relazoe u (x ) + g (m r ) = g (m ), oedo er semlctà u (0) = 0, ove x è la quattà del bee esame veduta al comratore -esmo, m la caactà d sesa d quest (che è ua quattà data d moeta) e r la somma agata dal comratore er otteere la quattà x d bee. Il mooolsta uò sceglere la coa (x, r ) sotto l vcolo u (x ) + g (m r ) = g (m ). Il rcavo del mooolsta è ar a = 1, che l mooolsta massmzza er og data quattà X = x, ossa la scelta della rartzoe delle vedte del mooolsta è = 1 soluzoe del roblema max sotto vcol X = x e u (x ) + g (m r ) = g (m ) r = 1 = 1 ( x, r ) = 1 er = 1,,. Itroducedo la fuzoe lagragaa L(x 1,, x, r 1,, r, λ, µ 1,,µ ) = r r + λ(x x ) + 1 µ (u (x ) + g (m r ) g (m )) = 1 = 1 s trovao, er le soluzo tere, le codzo µ D x u ( x ) = λ, µ D m g ( m r ) = 1, = 1,, X = 1 x, u (x ) + g (m r ) = g (m ), = 1,, = = 13 Ifatt, se la fuzoe d utltà è del to u(x 1 ) + v(x 2,, x k ), ove l rmo bee è quello esame, e l agete è rce-taker er gl altr be, allora, er og coa (x 1, r 1 ), rsultao le domade x h = d h ( 2,, k, m r 1 ), ove m è la caactà comlessva d sesa, er cu la fuzoe d utltà dvee u(x 1 ) + g( 2,, k, m r 1 ), ove g(.) è la fuzoe dretta d utltà relatva agl altr be. Cosderado dat rezz degl altr be, rsulta la fuzoe d utltà sudcata. 26

27 che rchedoo D xu ( x ) = λ, u (x ) + g (m r ) = g (m ), = 1,, D g ( m r) m ueste codzo, coè, rchedoo che ut scelt dal mooolsta sulle curve d dffereza de comrator abbao tutt lo stesso saggo margale d sosttuzoe. Rsulta la fuzoe d rcavo R(X) = max = 1 r, co D XR(X) = λ (oché, dfferezado le ( x, r ) = 1 codzo recedet, s ha dr = r, dx = e = 1 d = 1 dx D xu ( x ) dr = dx D g ( m r) m er = 1,, ) e D 2 X R(X) 0 (er l otes d covesstà delle curve d dffereza de comrator). La determazoe della quattà X* messa vedta dal mooolsta s ottee, come al solto, dalla massmzzazoe del roftto del mooolsta e, qud, dalla codzoe d uguaglaza tra rcavo margale e costo margale. S hao, ercò, le codzo d equlbro MC(X*) = MR(X*) = D xu ( x*) = λ * D g ( m r*) m co X* = 1 x *, R(X*) = r, u(x *) + g (m r *) = g (m ), er = 1,,, = = 1 * che mlcao l uguaglaza delle rsettve gradezze margal tra tutt gl aget (costo margale e rcavo margale del mooolsta, sagg margal d sosttuzoe de comrator). uesto comue valore λ * dca l rezzo margale del bee esame. S uò otare come l rezzo margale λ *, la quattà rodotta X* e le quattà acqustate x * da comrator ell equlbro d mooolo co dscrmazoe del rezzo del rmo geere cocdao co l rezzo, la quattà rodotta e le quattà acqustate da comrator ell equlbro cocorrezale (ma o cocdoo, e due equlbr, le sese de comrator e, qud, l rcavo del roduttore). Ifatt, co rezzo uco e aget tutt rce-taker rsulta l equlbro cocorrezale determato dalle codzo X* = 1 x *, MC(X*) = D xu ( x*) = * D g ( m * x *) m er = 1,,. b) Mooolo co dscrmazoe del rezzo del secodo geere. I questo caso l mooolsta coosce la tologa de comrator, ma o è grado d rcooscere l to d og sgolo comratore. Ad esemo, sa che v soo due t d comrator e coosce le loro refereze, ma o sa quale to d cosumatore sa Tzo. (S mmag l gestore dell uco teatro lrco d ua cttà cu v soo due t d settator, gl aassoat e gl settator occasoal. Il gestore sa questo, ma o è grado d dstguere al bottegho se l clete è dell uo o dell altro to). Il mooolsta uò, allora, cert cas, sfruttare l mercato rooedo dvers ossbl cotratt, cascuo de qual è referto da u to d cosumator, ducedo questo modo la certa (o autoselezoe) de comrator. Og cotratto è ua coa che dca la quattà comrable del bee e la sesa corrsettva: ossa, l cotratto h-esmo è la coa (x h, r h ). 14 S cosder l caso co due sol t d comrator. S assuma, come el recedete geere d dscrmazoe, che og comratore osseda, rma dell acqusto, ua quattà ulla del bee esame e che l acqusto degl altr be o deda dalle codzo del = 14 I questo aragrafo vee esamato l caso cu l mooolsta roduce u bee omogeeo. Se roduce be dfferezat, come quell trodott el aragrafo successvo, allora u cotratto uò cludere ù be e be clus u cotratto ossoo essere dvers da quell clus altr cotratt. 27