PEREQUAZIONE MEDIANTE MODELLI LINEARI GENERALIZZATI

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1 Perequazone eante oell lnear generalzzat Sano PEREQUAZIONE MEDIANTE MODELLI LINEARI GENERALIZZATI qˆ oppure ˆ = a, a +, K, ω le ste nzal una tavola sopravvvenza ottenute n un approcco tpo non paraetrco n l esposzone (es. l nuero nzale espost al rscho) nella classe età Defnao e GLM per perequare le ste nzal. Un GLM è efnto alle seguent potes: potes probablstche: strbuzon elle varabl rsposta appartenent alla fagla esponenzale lneare potes struttural: struttura regressone e funzone collegaento Illustrao alcun oell probablstc e le conseguent potes struttural aatte per la perequazone elle ste nzal. 96

2 Perequazone eante oell lnear generalzzat Moell con strbuzone bnoale scalata La strbuzone Bnoale scalata è una strbuzone ella fagla esponenzale lneare. Infatt, se n n X B( n, p) P( X = ) = p ( p) con = 0,, K, n X s ha che l n.a. Y B n, p / n n n y n ny P( Y = y) = p ( p) con y = 0,, K, n y n Poché Y = ha strbuzone Bnoale scalata: ( ) n n p n y p n n y n ( = y) = ( p) = ep n y log + log( p) P Y n y p p è una strbuzone ella fagla esponenzale lneare con paraetro canonco peso p = log p θ funzone coulante b ( θ ) = log ( + e ) ω = n paraetro spersone φ = 97

3 Perequazone eante oell lnear generalzzat onserao le osservazon e pes y = ˆ q ω = n at alle esposzon troncate con = a, a +, K, ω. Sano Y n.a. varabl rsposta, = a, a +, K, ω potes probablstche: pes Y stoc. np. con strbuzone Bnoale scalata con ω paraetro spersone φ = paraetro canonco S ha allora: e E = + e q = log q ( Y ) = b ( θ ) = q θ funzone coulante b ( θ ) = log ( + e ) Var ( Y ) = b ( θ ) = q ( q ) ω ω 98

4 Perequazone eante oell lnear generalzzat potes struttural Funzone collegaento ( ) Funzone collegaento canonca o logt o log-os g q q ( q ) = log g q Funzone log-log copleentare g Funzone Probt g Prevsore lneare ( ) = log ( log( )) q q ( ) Φ ( ) = η con g funzone onotona, ervable e η prevsore lneare q = q esseno Φ la funzone rpartzone ella strbuzone norale stanar η = z β con z vettore elle eternazon elle varabl esplcatve relatve alla classe età Se s tene conto soltanto ell età, s ha usualente: η = β + β + β + K + β 0 99

5 Perequazone eante oell lnear generalzzat Esepo: l oello Gopertz Abbao vsto che per l oello Gopertz s ha β ( p ) ( e α log log = log ) + α α S può stare tale oello con un GLM per le osservazon y = qˆ, = a, a +, K, ω Varabl rsposta: Y con strbuzone Bnoale scalata con E ( Y ) = q e pes ω = n at alle esposzon troncate Funzone collegaento: log-log copleentare g( ) = log ( log( )) Prevsore lneare: η = β 0 + β esseno β β = log α β = α α ( e ) 0 q q Il oello può essere esteso conserano η = β + β + β + K + β coè una forula perequazone el tpo: GM ( ) = 0 r,0 α r = α 00

6 Perequazone eante oell lnear generalzzat Esepo: l oello Wlke q q In tale oello s potzza = ep( pol( ) ) ove pol () è un polnoo n, spesso lneare o grao S può stare tale oello con un GLM per le osservazon y = qˆ, = a, a +, K, ω Varabl rsposta: Y con strbuzone Bnoale scalata con E ( Y ) = q e pes ω = n at alle esposzon troncate q g q = log q Funzone collegaento: logt ( ) Prevsore lneare: Poché g η = β + β + β + K + β 0 q ( ) q q = η log = β + β + + β = ( β + β + K + β ) q 0 K ep 0 q s 0, s GMα = ep α = S ha una forula perequazone el tpo: ( ) 0

7 Perequazone eante oell lnear generalzzat Moell con strbuzone Posson Sa y µ µ Y Po( µ ) P( Y = y) = e y! con È una strbuzone ella fagla esponenzale lneare, nfatt y µ µ y! ( = y) = e = ep{ y log( µ ) µ } P Y y! y = 0,, K paraetro canonco θ = log( µ ) funzone coulante b ( θ ) = e peso ω = paraetro spersone φ = Abbao vsto che se strbuzone Posson paraetro P( D ( ) = ) = D è n.a. e ecess nella classe età ], +] µ ( ) E ( ( ) ) ( ) µ E ( ) ( E E ) µ µ E ( ) ( ) ( )! e =! e µ L, n potes esseno L la funzone verosglanza, con paraetro l ntenstà stantanea ortaltà e E l nuero centrale espost al rscho. 0

8 Perequazone eante oell lnear generalzzat on rferento alla classe età ], +] sano E = ( s r ) + ( t r ) + ( k r ) S D W l nuero centrale espost al rscho S ha D l n.a. e ecess con strbuzone Posson paraetro µ E P( D = ) = ( µ E ) µ E e = ep{ log( µ E ) µ E }!! ( ) { ( ) } ( ) E E = ep log µ µ E ep E log( µ ) =!! E µ coè una strbuzone ella fagla esponenzale lneare con paraetro canonco θ = log( ) funzone coulante b ( θ ) = e µ peso ω = E paraetro spersone φ = e con varabl rsposta E 03

9 Perequazone eante oell lnear generalzzat onserao le osservazon e pes y = ˆ = = E E ω nuer central espost al rscho con = a, a +, K, ω. Sano Y n.a. varabl rsposta, = a, a +, K, ω potes probablstche: pes = E Y stoc. np. con strbuzone Posson con ω paraetro spersone φ = paraetro canonco θ = log( ) funzone coulante b ( θ ) = e S ha allora: µ ( ) ( ) Y b θ = e = = ( Y ) = b ( θ ) = e = E µ µ Var E E E 04

10 Perequazone eante oell lnear generalzzat potes struttural Funzone collegaento ( ) Funzone collegaento canonca logarto Prevsore lneare ( µ ) = log( ) g µ g µ = η con g funzone onotona, ervable e η prevsore lneare η = z β con z vettore elle eternazon elle varabl esplcatve relatve alla classe età Se s tene conto soltanto ell età, s ha usualente: η = β + β + β + K + β 0 05

11 Perequazone eante oell lnear generalzzat Esepo: l oello Gopertz Abbao vsto che per l oello Gopertz s ha log µ ( ) = log β + α S può stare tale oello con un GLM per le osservazon Varabl rsposta: y = ˆ =, = a, a +, K, ω E Y con strbuzone Posson con ( Y ) E = µ e pes = E Funzone collegaento: logarto g ( µ ) = log( µ ) Prevsore lneare: η = β 0 + β esseno β0 = log β = α ( β ) Il oello può essere esteso conserano ω nuer central espost al rscho η = β + β + β + K + β coè una forula perequazone el tpo: GM ( ) = 0 r,0 α r = α 06

12 Rferent bblografc RIFERIMENTI BIBLIOGRAFII D. Lonon, Survval oels an ther estaton, Acte publcatons, 997 (ap. 5, 6, 7, 9) E. Ptacco, Mateatca e tecnca attuarale elle asscurazon sulla urata vta, Lnt, 00 (App. A) Forfar, D.O. et al. (988), On grauaton by atheatcal forula, JIA, 5, 4-97 Renshaw, A.E. (99), Actuaral grauaton practce an generalze lnear an nonlnear oels, JIA, 8,