Modelli Clamfim Equazioni differenziali esatte, cambio di variabili, equazioni del secondo ordine 28 settembre 2015
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- Livia Mari
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1 CLAMFIM Bologna Modell Clamfm Equazon dfferenzal esatte, cambo d varabl, equazon del secondo ordne 28 settembre 2015 professor Danele Rtell danele.rtell@unbo.t 1/21?
2 Exact dfferental equatons If Q = {(x, y) R 3 a < x < b, c < x < d} and M, N : Q R are C 1 on Q such that N(x, y) 0 for any (x, y) Q and they verfy the closure condton for any (x, y) Q M(x, y) y = N(x, y) x ( ) 2/21?
3 Exact dfferental equatons If Q = {(x, y) R 3 a < x < b, c < x < d} and M, N : Q R are C 1 on Q such that N(x, y) 0 for any (x, y) Q and they verfy the closure condton for any (x, y) Q M(x, y) y = N(x, y) x Then there exsts a unque soluton to the ntal value problem y M(x, y) = N(x, y) y(x 0 ) = y 0, (x 0, y 0 ) Q ( ) ( ) 2/21?
4 Such soluton s mplctly defned by x y M(t, y 0 )dt + N(x, s)ds = 0 (S) x 0 y 0 3/21?
5 Such soluton s mplctly defned by x y M(t, y 0 )dt + N(x, s)ds = 0 (S) x 0 y 0 Example y 6x + y2 = 2xy + 1 y(1) = 1 3/21?
6 Such soluton s mplctly defned by x y M(t, y 0 )dt + N(x, s)ds = 0 (S) x 0 y 0 Example y 6x + y2 = 2xy + 1 y(1) = 1 M(x, y) = 6x + y 2 = M(x, y) y = 2y 3/21?
7 Such soluton s mplctly defned by x y M(t, y 0 )dt + N(x, s)ds = 0 (S) x 0 y 0 Example y 6x + y2 = 2xy + 1 y(1) = 1 M(x, y) = 6x + y 2 = N(x, y) = 2xy + 1 = M(x, y) y N(x, y) x = 2y = 2y 3/21?
8 x 1 M(t, 1)dt = x 1 (6t + 1)dt = 4 + x + 3x 2 4/21?
9 y 1 x 1 M(t, 1)dt = N(x, s)ds = y 1 x 1 (6t + 1)dt = 4 + x + 3x 2 (2xs + 1)ds = 1 x + y + xy 2 4/21?
10 y 1 x 1 M(t, 1)dt = N(x, s)ds = y 1 x 1 (6t + 1)dt = 4 + x + 3x 2 (2xs + 1)ds = 1 x + y + xy 2 Hence soluton to the gven IV s mplctly defned by xy 2 + y + 3x 2 5 = 0 Solvng for y 4/21?
11 y 1 x 1 M(t, 1)dt = N(x, s)ds = y 1 x 1 (6t + 1)dt = 4 + x + 3x 2 (2xs + 1)ds = 1 x + y + xy 2 Hence soluton to the gven IV s mplctly defned by xy 2 + y + 3x 2 5 = 0 Solvng for y y = 1 ± x 12x 3 2x 4/21?
12 y 1 x 1 M(t, 1)dt = N(x, s)ds = y 1 x 1 (6t + 1)dt = 4 + x + 3x 2 (2xs + 1)ds = 1 x + y + xy 2 Hence soluton to the gven IV s mplctly defned by Solvng for y xy 2 + y + 3x 2 5 = 0 y = 1 ± x 12x 3 2x Recallng y(1) = 1 we choose y = x 12x 3 2x 4/21?
13 Example y = 3ye3x 2x e 3x y(1) = 1 5/21?
14 Example y = 3ye3x 2x e 3x y(1) = 1 M(x, y) = 3ye 3x 2x = M(x, y) y = 3e 3x 5/21?
15 Example y = 3ye3x 2x e 3x y(1) = 1 M(x, y) = 3ye 3x 2x = N(x, y) = e 3x = M(x, y) y N(x, y) x = 3e 3x = 3e 3x 5/21?
16 Example x 1 y = 3ye3x 2x e 3x y(1) = 1 M(x, y) = 3ye 3x 2x = N(x, y) = e 3x = M(t, 1)dt = x 1 M(x, y) y N(x, y) x = 3e 3x = 3e 3x (3e 3t 2t)dt = x 2 + e 3x e /21?
17 Example x 1 y = 3ye3x 2x e 3x y(1) = 1 M(x, y) = 3ye 3x 2x = N(x, y) = e 3x = M(t, 1)dt = y 1 x 1 N(x, s)ds = M(x, y) y N(x, y) x = 3e 3x = 3e 3x (3e 3t 2t)dt = x 2 + e 3x e y 1 (e 3x )ds = (y 1)e 3x 5/21?
18 therefore soluton to IV s x 2 + e 3x e (y 1)e 3x = 0 = y = e 3x ( x 2 + e 3 1 ) 6/21?
19 therefore soluton to IV s x 2 + e 3x e (y 1)e 3x = 0 = y = e 3x ( x 2 + e 3 1 ) Exercse y = 2x3 + 3y 3x + y 1 y(1) = 2 6/21?
20 Change of varable n ordnary dfferental equatons Gven y x = f(x, y(x)) (E) 7/21?
21 Change of varable n ordnary dfferental equatons Gven y x = f(x, y(x)) (E) Consder the map (x, y) (ξ, η) where ξ = ξ(x, y) and η = η(x, y) are C 1 and det ξ x(x, y) ξ y (x, y) 0 η x (x, y) η y (x, y) 7/21?
22 Change of varable n ordnary dfferental equatons Gven y x = f(x, y(x)) (E) Consder the map (x, y) (ξ, η) where ξ = ξ(x, y) and η = η(x, y) are C 1 and det ξ x(x, y) ξ y (x, y) 0 η x (x, y) η y (x, y) Thus (E) s changed to D x η(x, y) D x ξ(x, y) = η ξ = η x + η y y ξ x + ξ y y = η x + f(x, y)η y ξ x + f(x, y)ξ y (T) 7/21?
23 the last expresson n (T) contans (x, y) to complete the coordnate change we have to revert the map solvng the system ξ(x, y) = ξ x = ˆx(ξ, η) = η(x, y) = η y = ŷ(ξ, η) and substtung n (T) the founded expressons for x and y 8/21?
24 Example Consder the Rccat equaton y x = xy 2 2y x 1 x 3 wth the change of varables (ξ, η) = (x 2 y, ln x) we fnd 1 (xy η ξ x + 2 2yx 1x ) 0 1 = 3 2xy + (xy 2 2yx 1x ) = x 1 x 2 x 3 y 2 1 = x 3 x 4 y 2 1 (R) (C) 9/21?
25 solve wth respect to (x, y) ξ = x 2 y η = ln x = x = e η y = ξe 2η 10/21?
26 solve wth respect to (x, y) ξ = x 2 y η = ln x = x = e η y = ξe 2η and then substtute n (C) η ξ = 1 x 4 y 2 1 = 1 e 4η ξ 2 e 4η 1 = 1 ξ 2 1 = 1 2 ( 1 ξ 1 1 ) ξ + 1 (C1) 10/21?
27 solve wth respect to (x, y) ξ = x 2 y η = ln x = x = e η y = ξe 2η and then substtute n (C) η ξ = 1 x 4 y 2 1 = 1 e 4η ξ 2 e 4η 1 = 1 ξ 2 1 = 1 2 ( 1 ξ 1 1 ) ξ + 1 Thus f ln c s an ntegraton constant ntegratng (C1) η = ln c ln ξ + 1 ξ 1 (C1) 10/21?
28 eventually gong back to the orgnal varables ( ) ln x = ln c ln x2 y + 1 x 2 y 1 = ln x c 2 y + 1 x 2 y 1 11/21?
29 eventually gong back to the orgnal varables ( ) ln x = ln c ln x2 y + 1 x 2 y 1 = ln x c 2 y + 1 x 2 y 1 therefore x = c x 2 y + 1 x 2 y 1 = y = c2 + x 2 x 2 (c 2 x 2 ) 11/21?
30 rove that the dfferental equaton y x = y3 + x 2 y y x xy 2 + x 3 + y x s transformed by the change of varables (x, y) (ξ, η) where ξ(x, y) = arctan y x and η(x, y) = x 2 + y 2 n ρ ξ = ρ(1 ρ 2 ) Then use ths fact to ntegrate the orgnal dfferental equaton. 12/21?
31 rove that the dfferental equaton y x = y 4xy2 16x 3 y 3 + 4x 2 y + x s transformed by the change of varables (x, y) (ξ, η) where ξ(x, y) = 4x2 + y 2 and η(x, y) = arctan y 2x n ρ ξ = 2ξ Then use ths fact to ntegrate the orgnal dfferental equaton. 13/21?
32 Equazon dfferenzal (lnear) d ordne 2 ay (x) + b y (x) + c y(x) = u(x) a, b e c sono costant real, a 0 e u(x) una funzone contnua. 14/21?
33 Equazon dfferenzal (lnear) d ordne 2 ay (x) + b y (x) + c y(x) = u(x) a, b e c sono costant real, a 0 e u(x) una funzone contnua. La soluzone è unvocamente determnata qualora s fssno valor y (x 0 ) e y (x 0 ) 14/21?
34 Equazon dfferenzal (lnear) d ordne 2 ay (x) + b y (x) + c y(x) = u(x) a, b e c sono costant real, a 0 e u(x) una funzone contnua. La soluzone è unvocamente determnata qualora s fssno valor y (x 0 ) e y (x 0 ) se tal valor non vengono specfcat abbamo nfnte soluzon dpendent da due parametr arbtrar 14/21?
35 Equazon dfferenzal (lnear) d ordne 2 ay (x) + b y (x) + c y(x) = u(x) a, b e c sono costant real, a 0 e u(x) una funzone contnua. La soluzone è unvocamente determnata qualora s fssno valor y (x 0 ) e y (x 0 ) se tal valor non vengono specfcat abbamo nfnte soluzon dpendent da due parametr arbtrar Se u(x) = 0 l equazone s dce omogenea 14/21?
36 Equazon dfferenzal (lnear) d ordne 2 ay (x) + b y (x) + c y(x) = u(x) a, b e c sono costant real, a 0 e u(x) una funzone contnua. La soluzone è unvocamente determnata qualora s fssno valor y (x 0 ) e y (x 0 ) se tal valor non vengono specfcat abbamo nfnte soluzon dpendent da due parametr arbtrar Se u(x) = 0 l equazone s dce omogenea ay (x) + by (x) + cy(x) = 0 (om) 14/21?
37 er trovare le soluzon d (om) s rcercano soluzon d tpo esponenzale: y(x) = e λ x 15/21?
38 er trovare le soluzon d (om) s rcercano soluzon d tpo esponenzale: y(x) = e λ x Dervando trovamo: y (x) = λy(x), y (x) = λ 2 y(x) 15/21?
39 er trovare le soluzon d (om) s rcercano soluzon d tpo esponenzale: y(x) = e λ x Dervando trovamo: y (x) = λy(x), y (x) = λ 2 y(x) In questo modo arrvamo all equazone algebrca: aλ 2 + bλ + c = 0 15/21?
40 = b 2 4ac > 0: due radc real e dstnte: λ 1,2 = b ± b 2 4ac 2a 16/21?
41 = b 2 4ac > 0: due radc real e dstnte: λ 1,2 = b ± b 2 4ac 2a Ogn soluzone d (om) è combnazone lneare d due funzon esponenzal: y(x) = c 1 e λ 1 x + c 2 e λ 2 x 16/21?
42 = b 2 4ac > 0: due radc real e dstnte: λ 1,2 = b ± b 2 4ac 2a Ogn soluzone d (om) è combnazone lneare d due funzon esponenzal: y(x) = c 1 e λ 1 x + c 2 e λ 2 x n cu c 1 e c 2 sono costant arbtrare 16/21?
43 Esempo Rsolvere l problema y (x) = 1 9 y(x) y(0) = 0 y (0) = /21?
44 Esempo Rsolvere l problema y (x) = 1 9 y(x) y(0) = 0 y (0) = 1 3 ( ) 1 y(x) = c 1 cosh 3 x + c 2 snh ( ) 1 3 x 17/21?
45 Esempo Rsolvere l problema y (x) = 1 9 y(x) y(0) = 0 y (0) = 1 3 ( ) 1 y(x) = c 1 cosh 3 x + c 2 snh rsolve l equazone dfferenzale ( ) 1 3 x 17/21?
46 Esempo Rsolvere l problema y (x) = 1 9 y(x) y(0) = 0 y (0) = 1 3 ( ) 1 y(x) = c 1 cosh 3 x + c 2 snh ( ) 1 3 x rsolve l equazone dfferenzale bsogna sceglere coeffcent n modo da soddsfare le condzon nzal 17/21?
47 = b 2 4ac < 0: 18/21?
48 = b 2 4ac < 0: y(x) = e α x (c 1 cos(β x) + c 2 sn(β x)) 18/21?
49 = b 2 4ac < 0: y(x) = e α x (c 1 cos(β x) + c 2 sn(β x)) dove α ± β sono le radc complesse conugate dell equazone caratterstca 18/21?
50 y 2y + 6y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1. 19/21?
51 y 2y + 6y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1. Equazone caratterstca λ 2 2λ + 6 = 0 19/21?
52 y 2y + 6y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1. Equazone caratterstca λ 2 2λ + 6 = 0 radc λ = 1 ± 5. 19/21?
53 y 2y + 6y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1. Equazone caratterstca λ 2 2λ + 6 = 0 radc λ = 1 ± 5. Le due soluzon sono: 19/21?
54 y 2y + 6y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1. Equazone caratterstca λ 2 2λ + 6 = 0 radc λ = 1 ± 5. Le due soluzon sono: ( ) y 1 (x) = e x sn 5 x, 19/21?
55 y 2y + 6y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1. Equazone caratterstca λ 2 2λ + 6 = 0 radc λ = 1 ± 5. Le due soluzon sono: ( ) ( ) y 1 (x) = e x sn 5 x, y 2 (x) = e x cos 5 x 19/21?
56 y 2y + 6y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1. Equazone caratterstca λ 2 2λ + 6 = 0 radc λ = 1 ± 5. Le due soluzon sono: ( ) ( ) y 1 (x) = e x sn 5 x, y 2 (x) = e x cos 5 x combnazone lneare y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) con c 1, c 2 R delle due soluzon trovate per soddsfare le condzon nzal: 19/21?
57 y(0) = c 1 y 1 (0) + c 2 y 2 (0) = c 2 y (0) = c 1 y 1(0) + c 2 y 2(0) = c c2 c 2 = 0 c c2 = 1 20/21?
58 y(0) = c 1 y 1 (0) + c 2 y 2 (0) = c 2 y (0) = c 1 y 1(0) + c 2 y 2(0) = c c2 c 2 = 0 c 2 = 0 = c c2 = 1 c 1 = /21?
59 Esempo Rsolvere l problema y (x) = 1 9 y(x) y(0) = 0 y (0) = /21?
60 Esempo Rsolvere l problema y (x) = 1 9 y(x) y(0) = 0 y (0) = 1 3 ( ) 1 y(x) = c 1 cos 3 x + c 2 sn ( ) 1 3 x 21/21?
61 Esempo Rsolvere l problema y (x) = 1 9 y(x) y(0) = 0 y (0) = 1 3 ( ) 1 y(x) = c 1 cos 3 x + c 2 sn rsolve l equazone dfferenzale ( ) 1 3 x 21/21?
62 Esempo Rsolvere l problema y (x) = 1 9 y(x) y(0) = 0 y (0) = 1 3 ( ) 1 y(x) = c 1 cos 3 x + c 2 sn ( ) 1 3 x rsolve l equazone dfferenzale bsogna sceglere coeffcent n modo da soddsfare le condzon nzal 21/21?
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