TEOREMA DEL TRASPORTO O DI REYNOLDS

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1 ERIATA SOSTANZIAE g g g x u g g v w Pù geerale: g g g TEOREMA E TRASPORTO O I REYNOS G g g o o Teorema ella vergea G o ρ g o ρ g EQUAZIONE I CONSERAZIONE EA MASSA 0 a maa u ema lagragao o vara rcorao che per la maa g 1 e G g g oo 0 Blaco globale 0 0 ualuue 0 Blaco ffereale

2 EQUAZIONE I CONSERAZIONE E'ENERGIA PER UN SISTEMA CHIUSO I u ema chuo (mpermeable a flu maa) 0 G ΦG 0 vuole blacare la omma ue le eerge E G Il fluo eerga oale rula olo ffuvo E E Icao co e ; E E E arà egavo per E perché l ema è chuo erae el ema flu eerga el moo calore e el moo lavoro: E E EQUAZIONE I CONSERAZIONE E'ENERGIA PER UN SISTEMA CHIUSO E Rcooceo e ue egral uperfcal molplca per le uaà Q e rpevamee e coervao le coveo ego raoalmee uae ella ermoamca Q > 0 e foro al ema > 0 e compuo al ema S rrova l prmo prcpo ella ermoamca E Q

3 EQUAZIONE I CONSERAZIONE E'ENERGIA PER UN SISTEMA CHIUSO Iegrao l euaoe coervaoe eerga ra ue a e 1 rpevamee ale e fale ella raformaoe : E E 1 1 1) efcoo moo operavo Q e, eeo calcolabl come egral uperfce molplca per ; ) è poble calcolare le varao fe E per egraoe el empo; 3) le relao rfercoo o all'eerga era, come vee peo affermao, ma all'eerga oale, uao olo per ue'ulma è leco parlare aea prouoe (l'eerga era, uao o rappreea l'eerga oale, può creare o ruggere); 4) le relao rfercoo a u ema chuo uao oo uppo ull flu covev ulla uperfce corollo el ema eo. EQUAZIONE I CONSERAZIONE E'ENERGIA E E e u g Sema chuo Rappreeaoe lagragaa Sema apero Rappreeaoe euleraa le forme eerga che rulao maggore eree fluoamca, e coè le forme eerga el ema che pooo varare eà (che pooo ra loro coverr) urae l moo, oo eealmee: l'eerga era u l'eerga ceca / co l'eerga poeale gravaoale g ] ue per uà maa ( g è l moulo ell'acceleraoe gravà uppoa coae el campo moo e è la cooraa avee la reoe g e vero a ea oppoo).

4 EQUAZIONE I CONSERAZIONE E'ENERGIA Rcorao l eorema el raporo G g o o g aumeo g e u g E oueo : oee: u g u g 0 EQ. E BIANCIO EA QUANTITÀ I MOTO Secoa legge ella amca (legge Newo) F M maa parcella, velocà Rappreeaoe euleraa F ao u ema couo a parcelle, per cacua parcella -ema, è vala la legge Newo: a omma elle relao rula par a: 1 F 1 1

5 EQ. E BIANCIO EA QUANTITÀ I MOTO 1 F 1 I bae alla era legge ella amca, le fore ovue a ao muue ra le parcelle (ao e reao) oo ugual e corare ra loro e perao hao rulae ulla; Ne coegue che la uaà F rula uguale alla ola ollecaoe eera 1 e coè alla omma elle ole fore che agcoo ul ema a pare ell'ambee (fore eere). Nell poe ema couo F e 1 Sollecaoe eera Fore maa Fore uperfcal g - f F e g f - f S è l aoe ell ambee ul ema EQ. E BIANCIO EA QUANTITÀ I MOTO Rcorao l eorema el raporo G g g o o Aumeo g Soueo g f ha: f g

6 Euaoe Coervaoe Maa ρ Euaoe Coervaoe Eerga ρ 0 u g u g Euaoe Blaco Quaà Moo 0 f g Occorre eplcare erm: f e TENSORE EGI SFORZI aluaoe - f S x x x x x S coer ora u eermao puo l'oro pao la cu gacura è vuaa al verore ( x,, ) ella ormale al pao. S rcora che la fora per uà uperfce f agee u eo oro è aa a: x x x x x x x x f x x x x x x

7 TENSORE EGI SFORZI Ne flu, l eore egl for è geeralmee mmerco e può eere uvo ue par: ua reverble e oropa, aocaa alla preoe ermoamca p, e l'alra rreverble (pava) caa co : p U ove co U è cao l eore uaro: U rcorao che U f τ pu τ p EQ. E BIANCIO EA QUANTITÀ I MOTO f g oueo f p rcrveo ρ oee: p g Faceo uo el eorema ella vergea ( ) ( ) p g

8 TENSORE EGI SFORZI Il lavoro, per uà uperfce e per uà empo, compuo alla fora uperfcale f vale ovvamee: Mere l lavoro era ao epreo come f Per cofroo ha : aluaoe EQUAZIONE I CONSERAZIONE E'ENERGIA 0 g u g u Soueo e U p g u g u 0 p

9 EQUAZIONE I CONSERAZIONE E'ENERGIA a uaa: p è ea: lavoro puloe (poché effe è u lavoro per uà empo, pù propramee ovrebbe eere chamaa poea puloe). a uaa: - 0 rappreea l lavoro elle fore uperfcal o preoe. Queo lavoro, olre a uello elle fore uperfcal pave, (coè le vcoe) clue ache uello coeo elca (per uà empo, coè poea elca). Ifa, e la uperfce corollo el ema è a eempo araveraa a u albero roae, è facle verfcare che ove coer come eore egl for ella eoe ell'albero eo, rappreea la poea (lavoro per uà empo) che l'ambee camba co l ema aravero la eoe ell'albero che apparee alla uperfce corollo. EQUAZIONE I CONSERAZIONE E'ENERGIA Rcorao la efoe ealpa h u p/ può rcrvere la ella forma: u g u g p 0 ( ) u g ρ h g τ 0

10 AIMENSIONAIZZAZIONE Il proceo ameoalaoe ua geerca graea G vee effeuao poeo la graea ella forma: GG r G* ove G r èuvalore rfermeo, ovvero rappreea l'uà mura ella graea (meoale), e G* rappreea la mura ella graea ea (ameoale). Nel eguo, upporrà ceglere opporuamee la uaà maera ale che a G* O(1)e coè maera ale che la mura rul ore graea uaro. A e., l'euaoe coervaoe ella maa è la eguee: Irouceo le graee: A eo permeabl poché le uà mura oo coa e le ole mure varabl, ha: Il raggruppameo ameoale: AIMENSIONAIZZAZIONE che molplca l erme aoaro è chamao umero Srouhal. Eo rappreea l'mporaa relava el erme aoaro rpeo al erme covevo ell'euaoe coervaoe ella maa. Se l'egrale uperfce è eeo a u omo emplcemee coeo a cu era o ece maa (ua ola uperfce permeable), poché eramb erm che coegoo le graee aercae oo O(1), ache l umero Srouhal è ore graea uaro e o può eere alrme perché l'euaoe coa ue erm ugual e ego oppoo. I al cao, bogerà eere coo u e ue erm e, e la cela elle graee rfermeo è aa correa, l fao che Sr O(1) permee, a eempo, la ma el empo caraerco el feomeo eame. Se vece l'egrale uperfce è eeo a ue ver om permeabl, e ual uo era maa e all'alro e ece, e e l umero Srouhal è uffceemee bao, l erme aoaro porà eere racurao rpeo agl alr ue erm.

11 p o > p a MOTI QUASI STAZIONARI valore ale p o porerà progrevamee alla p a. S coer ora l ema rappreeao fgura couo a u erbaoo, cu è coeuo u ga almee alla preoe p o, collegao a u ugello...covergee. I eguo all'aperura ua valvola, l'ugello carcherà ell'ambee a p a. Nel proceo vuoameo el erbaoo, la preoe al uo ero al S uppoga ora per emplcà che, pur eeo p o e'alro maggore p a, abba: (p o -p a )/p a 1. Come verà, uea poe, uamee a uella aabacà, coee reere che l moo el fluo ell'ugello rul compreble, per cu la velocà ale el fluo all'uca ell'ugello, co l'ulerore poe racurablà egl effe vco, può eere poa par a: Quea velocà può eere aua come velocà rfermeo el proceo ameoalaoe, Se vece p o /p a >> 1, verà che, empre elle poe aabacà e reverblà, la velocà el fluo all'uca ell'ugello (coè la velocà rfermeo) è uella oca che rula par a: Scegleo, opporuamee, ache le alre graee rfermeo per l proceo ameoalaoe, oee: ove l uca graea rfermeo o oa a pror è l empo rfermeo r. euaoe coervaoe ella maa applcaa a uo l erbaoo vea allora:

12 Come gà eo, per la cela elle graee rfermeo, l umero Srouhal che molplca l prmo egrale eve rulare ore graea uaro. Cò permee calcolare l empo rfermeo, goo a pror: Il empo rfermeo r rappreea, ovvamee, ua ma el empo vuoameo el erbaoo. Co rfermeo allo eo cao, e va ora a coerare come volume corollo uello relavo al olo ugello, u cao co u,lacelaelle graee rfermeo arà la ea, ma per avere ua mura ore graea uaro per l volume ell'ugello ovrà eere u *. Applcao uovamee l euaoe coervaoe ella maa (che ora arà coua a re erm) e ulao, el calcolo el umero Srouhal, l empo rfermeo appea mao (l feomeo è empre lo eo), oee: Se l volume ell'ugello è molo pccolo rpeo a uello el erbaoo, arà: Sr << 1, per cu può racurare l erme aoaro. È u poble ueo ulmo cao (e o el preceee che clueva el volume corollo ache uello el erbaoo) racurare l erme aoaro, uao l coeffcee molplcavo el erme varable el empo (che è ore graea uaro) rula racurable rpeo all'uà. I ueo eempo, pur eeo lo vuoameo el erbaoo u feomeo pcamee aoaro (l fluo che ece è uguale a uello che maca el erbaoo), l moo el olo ugello può eere coerao, ae per ae, come aoaro. S parlerà uue moo ua aoaro all'ero ell'ugello. I ueo cao, occorrerà, beeo, eere coo ella varablà elle vere graee ermofluoamche el empo. I u moo aoaro propramee eo, vece, ue le graee ermofluoamche reerao aoluamee coa el empo.

13 AIMENSIONAIZZAZIONE E'EQ. E BIANCIO EA QUANTITÀ I MOTO Operao maera aaloga a uao fao preceeemee: è aua almee la ea A r per u gl egral uperfce, uao ueo o è vero ovrao eere apporae le ovue correo AIMENSIONAIZZAZIONE E'EQ. E BIANCIO EA QUANTITÀ I MOTO veo per l erme covevo rfermeo egue raggruppame ameoal hao Sr è acora l umero Srouhal, Eu è l umero Eulero, f è l coeffcee aro Fag e Fr è l umero Froue.

14 AIMENSIONAIZZAZIONE E'EQ. E BIANCIO EA QUANTITÀ I MOTO Il umero Eulero rappreea l'mporaa relava el fluo ffuvo uaà moo (ella ua pare reverble) rpeo al fluo covevo Il coeffcee aro rappreea l'mporaa relava elle fore vcoe rpeo a uelle era * Il umero Froue rappreea l'mporaa relava elle fore era rpeo a uelle maa * l coeffcee aro è ao uppoo che le ue aree rfermeo, ua (la permeable, a eempo la eoe paaggo u cooo) ulla uale è egraa la uaà e l'alra (geeralmee mpermeable a e. le pare el cooo) ulla uale è egraa la uaà ao ello eo ore graea AIMENSIONAIZZAZIONE E'EQ. E BIANCIO EA QUANTITÀ I MOTO I u cooo lughea r, permero Pr e area paaggo A r, l rapporo ra le fore vcoe (pree eealmee ulla uperfce laerale el cooo) e le fore 'era (pree olo ulla uperfce permeable el cooo) rula par a: amero raulco (o euvalee) rfermeo ella eoe Ne coegue che a eempo, per valor el coeffcee aro molo ba, è poble racurare gl for vco ell'euaoe el blaco ella uaà moo olo e l rapporo r / r o rula molo grae e coè e l prooo ra ue rea pccolo.

15 AIMENSIONAIZZAZIONE E'EQ. E BIANCIO EA QUANTITÀ I MOTO Rcorao la legge Newo, lo foro ageale rfermeo può peo eere cro come: ove Re rappreea l be oo umero Reol Ovvamee, e la uaà acora ua vola pooo racurare le fore vcoe.