Controllo di Robot Industriali
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- Fulvio Rota
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1 CONTROLLO DI ROBOT INDUSTRIALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica CONTROLLO DI ROBOT INDUSTRIALI SISTEMI LINEARI Ing. Tel. e-ail: Trasforazioni lineari Dati ue spazi vettoriali V e W, una trasforazione lineare T è una funzione T:V W che goe elle seguenti proprietà:. T(v v )T(v )T(v ) v,v V. T(α v)αt(v) v V e α R Una volta fissate una base in V e una base in W, è possibile rappresentare una funzione lineare con una atrice; sia A tale atrice, allora: La rappresentazione A ella trasforazione T non è unica. Cabiano le basi i V e W cabia la atrice che rappresenta la trasforazione lineare. Sistei Lineari -- Pag.
2 Trasforazioni Lineari L Iagine i una trasforazione lineare T è il sottospazio vettoriale efinito a: I(A) A Sistei Lineari -- Trasforazioni Lineari Il Kernel i una trasforazione lineare T è il sottospazio vettoriale efinito a: A Ker(A) Sistei Lineari -- Pag.
3 Sistei lineari tepo invarianti (LTI) Un sistea inaico si ice lineare tepo invariante (LTI) se:. E un sistea regolare e tepo invariante. La funzione i transizione ello stato φ è lineare rispetto allo stato e rispetto all ingresso. La funzione i uscita è lineare rispetto allo stato e all ingresso. Sistei Lineari -- Sistei lineari tepo invarianti (LTI) Il fatto che la funzione i transizione ello stato e la funzione i uscita sia lineare negli argoenti e u e che il sistea sia tepo invariante, significa che, una volta fissata una base in X e U, è possibile rappresentare il sistea coe: A( Bu( y( C( Du( E possibile eurre iportanti caratteristiche el sistea alle proprietà elle atrici A, B, C e D. Sistei Lineari -- 6 Pag.
4 Rappresentazione ei sistei lineari A, B, C e D sono atrici costanti. Nel caso i un sistea con n stati, ingressi e p uscite, tali atrici hanno i seguenti noi e la seguente struttura: Matrice i stato: t a A M an L L a a n M nn Matrice Quarata Matrice i ingresso: b B M bn L L b b M n Sistei Lineari -- 7 Rappresentazione ei sistei lineari Matrice i uscita: C c L c n M M c p L c pn Matrice i ingresso-uscita: D M p L L M p Sistei Lineari -- 8 Pag.
5 Soluzione ella funzione i stato Problea: Data l euazione che escrive l evoluzione ello stato i un sistea inaico, trovare il oviento ello stato ( associato a un certo stato iniziale () Occorre risolvere un euazione ifferenziale che può essere non lineare e che ipene esplicitaente al tepo. Non esiste una soluzione generale al problea. Sistei Lineari -- 9 Soluzione ella funzione i stato E possibile risolvere il problea per certe classi i sistei, coe per esepio uella ei sistei lineari tepo invarianti. L euazione Leuazione che consierereo sarà uini: Sistei Lineari -- Pag.
6 Soluzione ella funzione i stato per sistei LTI Consieriao pria il caso i un sistea LTI autonoo (cioè con funzione i ingresso nulla): Analogaente al caso scalare, la soluzione ell euazione è: At ( t ) e Ma cosa significa fare l esponenziale i una atrice? Sistei Lineari -- Soluzione ella funzione i stato per sistei LTI L esponenziale è efinibile eiante la sua espansione in serie: Analogaente, è possibile efinire l esponenziale i una atrice coe: Sistei Lineari -- Pag. 6
7 Soluzione ella funzione i stato per sistei LTI Consieriao ora il caso più generale: La soluzione ell euazione è ata alla cosietta forula i Lagrange : Sistei Lineari -- Moviento Libero e oviento forzato l f t At A( t τ ) l e f e Bu( τ ) τ Moviento Libero Dipeno SOLO allo stato iniziale Non ipene all ingresso Rappresenta l evoluzione el sistea ovuta alle proprie conizioni iniziali Moviento orzato Dipeno SOLO all ingresso Non ipene allo stato iniziale Rappresenta l evoluzione el sistea ovuta alle sollecitazioni esterne Sistei Lineari -- Pag. 7
8 Uscita Libera e Uscita forzata y C( Du( C C Du( y y l f l f yl Cl y f C f Du( Uscita Libera Dipeno SOLO allo stato iniziale Non ipene all ingresso Rappresenta l uscita el sistea ovuta alle proprie conizioni iniziali Uscita orzata Dipeno SOLO all ingresso Non ipene allo stato iniziale Rappresenta l evoluzione ell uscita ovuta alle sollecitazioni esterne Sistei Lineari -- Esepio Circuito Elettrico A R E u R y C B Sistei Lineari -- 6 Pag. 8
9 Esepio Circuito Elettrico Sia la funzione i stato che la funzione uscita sono lineari nello stato e nell ingresso, uini il sistea è lineare. In particolare il sistea ha stato, ingresso e uscita e, uini, le atrici A, B, C e D saranno tutte X, cioè scalari. Le euazioni che oellano il sistea sono: a( bu( y( c( u( ove a C( R b R ) C( R R ) c R R R R R R Sistei Lineari -- 7 Esepio Sistea Meccanico k b u y Sistei Lineari -- 8 Pag. 9
10 Esepio Sistea Meccanico Sia la funzione i stato che la funzione uscita sono lineari nello stato e nell ingresso, uini il sistea è lineare. In particolare il sistea ha stato, ingresso e uscita e, uini, la atrice A( sarà, B( sarà, C( sarà e D( sarà. Le euazioni che oellano il sistea lineare sono:. ( A ( B C D Sistei Lineari -- 9 Esepio Robot Cartesiano,,,,,, ( ) ( ) g Si consierino coe uscite el sistea sono le posizioni ei giunti e Sistei Lineari -- Pag.
11 Pag. Esepio Esepio Robot Cartesiano Robot Cartesiano Il oello generico i un robot è ato all euazione ifferenziale vettoriale Nel nostro caso: ) ( M ), ( C Sistei Lineari -- La struttura risulta olto seplificata g g ) ( ) ( D Esepio Esepio Robot Cartesiano Robot Cartesiano Un robot cartesiano è un sistea lineare. Poneno Le euazioni che escrivono il sistea possono essere riscritte coe: 6 6 Sistei Lineari g
12 Pag. Esepio Esepio Robot Cartesiano Robot Cartesiano A B y y y g C Sistei Lineari -- La struttura isaccoppiata el robot cartesiano fa sì che esso sia oellabile coe un sistea lineare. Ci sono ingressi: tre che possono essere controllati (,, ) entre l altro è un ingresso esterno su cui non possiao intervenire. Principio i sovrapposizione egli effetti Principio i sovrapposizione egli effetti Teorea: Dato un sistea lineare, siano e y il oviento ello stato e l uscita generati all ingresso u a partire allo stato () e, rispettivaente, e y il oviento ello stato e l uscita generati all ingresso u a partire allo stato (). Allora, per ogni coppia i scalari α e β, il oviento ello stato e l uscita y generati a a partire allo stato Sistei Lineari -- sono
13 Principio i sovrapposizione egli effetti Il principio i sovrapposizione egli effetti è i grane iportanza perché consente i calcolare il oviento (e l uscita) generato a più cause (cioè a coppie stato iniziale-ingresso) coe la soa pesata ei singoli effetti provocati a ciascuna causa. La iostrazione el teorea è una conseguenza ella linearità elle funzioni i transizione ello stato e ella funzione i uscita. Sistei Lineari -- Esepio: Principio i sovrapposizione egli effetti k b u Applicano una forza costante la assa si fera in una posizione in cui la forza elastica e generata alla olla euilibria la forza applicata u. Kg k N / b Ns / () Sistei Lineari -- 6 Pag.
14 Esepio: Principio i sovrapposizione egli effetti Caso : e (-k(: il sistea è lineare. () u N () u N... y (. y ( Sistei Lineari -- 7 Esepio: Principio i sovrapposizione egli effetti () u N.. y (... Sistei Lineari -- 8 Pag.
15 Esepio: Principio i sovrapposizione egli effetti Il sistea è lineare e, uini, vale il principio i sovrapposizione egli effetti. Infatti, l anaento ell uscita corrisponente a (t ) e u N è ato alla soa ell anaento elle uscite in corrisponenza a () () eu N e () eu N N. Infatti: ( ) () () u u () u () e, uini y y y Sistei Lineari -- 9 Esepio: Principio i sovrapposizione egli effetti Caso : e (-k (: il sistea NON è lineare. Le euazioni che escrivono il sistea sono: Non sono euazioni lineari Sistei Lineari -- Pag.
16 Esepio: Principio i sovrapposizione egli effetti () u N () u N... y (. y ( Sistei Lineari -- Esepio: Principio i sovrapposizione egli effetti () u N.. y (... Sistei Lineari -- Pag. 6
17 Esepio: Principio i sovrapposizione egli effetti Il sistea non è lineare e, uini, non vale il principio i sovrapposizione egli effetti. Infatti, nonostante: ( ) () () u u () u () si ha che y ( t ) y ( t ) y ( t ) Il principio i sovrapposizione egli effetti vale solo per i sistei lineari. Sistei Lineari -- CONTROLLO DI ROBOT INDUSTRIALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica CONTROLLO DI ROBOT INDUSTRIALI SISTEMI LINEARI Ing. Tel. e-ail: cristian.secchi@uniore.it Pag. 7
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