INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI MOMENTI ANGOLARI IN MECCANICA QUANTISTICA. Giampaolo Co

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1 INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI MOMENTI ANGOLARI IN MECCANICA QUANTISTICA Giapaolo Co Dipartiento di Fisica Università di Lecce Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sez. di Lecce

2 Introduzione Questa introduzione alla teoria dei oenti angolari angolari in Meccanica Quantistica vuole essere una breve guida all utilizzazione di tecniche di calcolo di oenti angolari utili quando si tratta di descrivere sistei quantistici doinati da sietrie di tipo sferico. Questo avviene sopratutto in fisica nucleare e atoica a anche in fisica olecolare ed in chiica quantistica. Il livello della trattazione è quello della collezione di forule per la loro facile utilizzazione nei calcoli di eleenti di atrice. Il lettore che desideri una trattazione più esaustiva dell argoento deve quindi rivolgersi ai anuali di eccanica quantistica e ai testi specialistici riportati nella bibliografia. Per seplificare la notazione ho utilizzato h = e il sibolo ĵ j +. Definizioni e proprietà dei oenti angolari in Meccanica Quantistica In Meccanica Quantistica un operatore vettoriale è coposto da tre operatori scalari linearente indipendenti. Ad esepio, riferendosi a coordinate cartesiane: B B x,b y,b z Le tre coponenti perettono di definire l operatore lungo una direzione arbitraria u: B u u B = u x B x +u y B y +u z B z L operatore oento angolare è un operatore vettoriale le cui tre coponenti soddisfano la regola di coutazione: [l i,l j ] = i h l k ǫ ijk 3 k In questa equazione ho scritto esplicitaente h per ettere in evidenza che in Meccanica Classica questo coutatore è nullo. Gli indici i,j,k possono assuere i valori,,3 che corrispondono a x,y,z cartesiane. Ho indicato con ǫ ijk il pseudotensore totalente antisietrico di Levi Civita, nullo se due indici sono uguali, uguale ad se la sequenza degli indici è ordinata secondo la progressione,,3 oppure uguale a -. La pria i a destra dell uguaglianza 3 indica l unità iaginaria e non l indice i del vettore. L analogo quantistico del oento angolare della eccanica classica, definito coe l = r p, è un oento angolare secondo la definizione data dall equazione 3, coe si può diostrare calcolando esplicitaente i coutatori e utilizzando [r i,p j ] = i hδi,j dove ho indicato con δi, j il sibolo di Kroenecker. Dato che le tre coponenti dell operatore oento angolare non coutano, non possono avere autostati e autovalori couni. D altra parte l operatore couta con ognuna delle coponenti: J = J x +J y +J z 4 [J,J x ] = [J,J y ] = [J,J z ] = 0 5

3 Si possono quindi forare autostati couni tra J e una delle tre coponenti operatoriali. Noralente si sceglie la coponente J z. La scelta è ovviaente arbitraria perché è possibile definire coe z una qualsiasi delle tre coponenti. Indicando con j > l autostato coune a J e J z si ha che: J j > = jj + j > 6 J z j > = j > 7 Ho indicato con jj + l autovalore di J, in unità h, e con quello di J z, in unità h. Si puo diostrare che nel caso J sia un oento angolare orbitale, ovvero del tipo r p, j può assuere solo valori interi positivi valore nullo incluso. Una volta fissato il valore di j, può assuere tutti i valori interi, zero incluso, copresi tra j e j. Gli autostati couni di l = r p e l z sono le aroniche sferiche Y l, θ,φ dove θ e φ sono gli angoli definiti dal vettore posizione r nella solita definizione di coordinate polari sferiche. Qui sotto elenco alcune proprietà delle aroniche sferiche. Definizione in terini di polinoi associati di Legendre P l cosθ: Y l, θ,φ = [ l+ 4π l! l+! ] P l cosθe iφ 8 Ortogonalità: dove r θ,φ. Copletezza: d ry l, ry l, r = δl,l δ, 9 l l=0 = l Coplesso conuigato e parità: Yl,θ,φ Y l, θ,φ = δθ θ δφ φ = δ r r 0 sinθ Yl, r = Y l, r Y l, r = Y l, θ ±π,φ+π = l Y l, r Relazione con i polinoi associati di Legendre: l = l Y l,θ,φ Y l, θ,φ = l+ 4π P lcosα 3 Evidenze sperientali ostrano che in Meccanica Quantistica esiste anche un oento angolare intrinseco delle particelle detto spin. Questo è un osservabile che non ha analogo classico. Per una categoria di particelle, dette ferioni, j assue solo valori positivi seinteri. Il valore inio in questo caso è /. Analogaente può assuere tutti i valori seinteri copresi tra j e j. Il caso più seplice di spin ferionico è quello dell elettone. In questo caso si ha che: s χ = + χ 4 s z χ = ± χ 5 3

4 dove χ = 0 e χ 0 = 6 Si utilizzano noralente le atrici heritiane di Pauli per rappresentare le tre coponenti dell operatore di spin s = σ dove: 0 0 i 0 σ x, σ 0 y =, σ i 0 z = 7 0 con le seguenti proprietà: σ i =, σ i σ j = iǫ ijk σ k, σ x σ y σ z = 8 Trσ i = 0, detσ i =, σ Aσ B = A B+iσ A B 9 3 Soa di oenti angolari La soa vettoriale di oenti angolari produce un altro operatore vettoriale che ha le caratteristiche del oento angolare. Dato che gli autovalori del oento agolare sono quantizzati, anche gli autovalori del nuovo operatore lo saranno. Lo studio della soa dei oenti angolari consiste quindi nell identificare la relazione tra gli autovalori e gli autostati degli operatori originari con quelli del nuovo operatore. 3. Soa di due oenti angolari Supponiao che j a a j b b > sia un autostato coune a j a, j b, j a,z e j b,z : j a j a a j b b >= j a j a + j a a j b b > ; j a,z j a a j b b >= a j a a j b b > 0 j b j a a j b b >= j b j b + j a a j b b > ; j b,z j a a j b b >= b j a a j b b > Il vettore J è soa di j a e j b e l autostato coune di J, J z, j a, j b è j aj b J,M >: J j a j b JM >= JJ + j a j b JM > ; J z j a j b JM >= M j a j b JM > I valori che J può assuere sono: j a +j b,j a +j b,..., j a j b, 3 e M = a + b. Indichiao l insiee dei valori che J può assuere con la relazione triangolare: j a j b J j a +j b 4 Gli stati j a a j b b > e JM > forano basi coplete nello spazio di Hilbert. E possibile passare da una base all altra con una trasforazione unitaria: j a j b JM >= a b j a a j b b >< j a a j b b JM > 5 I coefficienti di questa trasforazione, < j a a j b b JM >, detti coefficienti di Clebsch-Gordan, dipendono solo dai oenti angolari, sono reali, sono diversi da zero solo se la relazione triangolare 4 e M = a + b sono soddisfatte, e godono delle seguenti proprietà di ortogonalità: a b < j a a j b b JM >< j a a j b b J M >= δj,j δm,m 6 4

5 < j a a j b b JM >< j a aj b b JM >= δ a, aδ b, b 7 JM I valori dei coefficienti di Clebsch Gordan sono per l accoppiaento con spin sono: < lµ l+ µ+ > = l+µ+ l+ < lµ l+ µ l µ+ > = l+ < lµ l µ+ l µ > = l+ < lµ l+ µ > = l+µ l Per lo sviluppo dei calcoli è utile l uso dei siboli 3j di Wigner che sono collegati ai coefficienti di Clebsch Gordan dalla relazione: < j a a j b b JM >= ja jb+m ja j Ĵ b J 3 b M da notare la fase e il segno in M. Ovviaente: ja j b J 0 se j b M a j b J j a +j b e a + b +M = 0 33 a a L uso dei siboli 3j è preferito rispetto a quelo dei coefficienti di Clebsch Gordan per le loro propietà di sietria: ja j b J = 34 a b M J ja j = b jb J j = a 35 M a b b M a = ja+j b+j ja J j b 36 a M b = ja+j b+j ja j b J 37 a b M e Le proprietà di ortogonalità dei Clebsch Gordan si riproducono sui 3j secondo le espressioni: Ĵ ja j b J ja j b J a b M = δ b M a, aδ b, b 38 JM a b ja j b J a b M Un valore speciale dei 3j è: ja j b 0 a b 0 a ja j b J a b M = δm,m 39 Ĵ δj,j = ja a ĵ a δj a,j b δ a, b 40 5

6 l b l b l a l c j a l a j c j a j b j b 3. Soa di tre oenti angolari I coefficienti di Clebsch Gordan, ed i 3j, stanno alla base di ogni tipo di soa di oenti angolari. Se si vogliono soare 3 oenti angolari j a, j b e j c, si può pria soare j a e j b e poi si può soare j c. D altra parte si può ottenere lo stesso risultato cabiando l ordine degli addendi. Date queste proprietà e le proprietà di sietria dei 3j si possono definire i coefficienti 6j di Wigner che in analogia ai 3j descrivono la soa di tre oenti angolari. Utilizzando la figura si può identificare ognuno dei siboli del 6j: { } la l b l c 0 4 j a j b j c solo se sono soddisfatte le seguenti relazioni triangolari l a,l b,l c ;l a,j b,j c ;j a,l b,j c ;j a,j b,l c 4 La relazione che lega i 6j ai siboli 3j è: la l b l c { la l b } l c n a n b n c j a j b j c a b c ja+jb+jc+a+b+c = ja j b l c a b n c jb j c l a jc j a l b b c n a c a n b 43 Bisogna notare che i siboli 6j sono indipendenti dagli autovalori delle coponenti z dei oenti angolari coinvolti nella soa. Le propietà di sietria dei 3j inducono proprietà di sietria anche nei 6j che sono invarianti per ogni perutazione delle colonne e per lo scabio di due eleenti della pria linea con i loro corrispondenti della seconda linea: { } { } la l b l c la j = b j c 44 j a j b j c j a l b l c Anche i siboli 6j godono di una proprietà di ortogonalità: j c ĵ c { ja j b j c l a l b l c }{ ja j b j c l a l b l c } = δl c,l c l c 45 Un valore interessante è: { ja j b j c j b j a 0 } { ja j = a 0 j b j b j c } = ja+j b+jc ĵ a ĵ b 46 6

7 3.3 Soa di quattro oenti angolari In stretta analogia ai siboli 6j esistono anche i siboli 9j di Wigner che descrivono la soa di quattro oenti angolari: j j j 3 j j j 3 j 3 j 3 j 33 j j j 3 = j j j 3 j3 j 3 j 33 all 3 j j j j j j j3 j 3 j Nel caso dei 9j le relazioni triangolari deono verificarsi per ogni riga e per ogni colonna. I 9j sono invarianti per scabio di righe con colonne e per una perutazione ciclica delle righe o delle colonne. Nel caso di una perutazione non ciclica bisogna oltiplicare il 9j per una fase data dalla soa dei 9 valori del sibolo. Un valore perticolare j a j b J j c j d J L L 0 = δj,j δl,l jb+jc+l+j LĴ { ja j b J j d j c L } 48 4 Tensori sferici irriducibili 4. Definizioni Per collegare due sistei di riferiento ruotati uno rispetto all altro si fa uso delle atrici degli angoli di Eulero solitaente definiti coe α, β e γ. Rispetto questi angoli si definisce una atrice di rotazione Dα,β,γ che perette di collegare un punto r nel sistea originario con un punto r nel sistea ruotato: r = Dα,β,γ r = e iγjz e iβjy e iαjz r 49 dove J z e J y sono le coponenti z e y del oento angolare che origina la rotazione. La atrice Dα, β, γ descrive una trasforazione unitaria da un sistea di riferiento all altro. Se j > sono gli autostati di j, si definiscono le atrici di Wigner coe: < j Dα,β,γ j > D j α,β,γ 50 che risultano essere indipendenti dal sistea di riferiento. Il concetto di un operatore tensore sferico irriducibile generalizza quello di operatore oento angolare. Si definisce tensore sferico irriducibile T k, di rango k un insiee di k+ operatori che si trasforano sotto rotazione di coordinate coe: Dα,β,γT k q D + α,β,γ = k q = k T k q Dk q qα,β,γ 5 Questa definizione ostra coe la trasforazione delle coponenti di un tensore sia legata solo alle atrici di rotazione di Wigner, quindi scollegata dal sistea di riferiento in cui si opera. Le tre coponenti di un oento angolare si trasforano una nell altra secondo la 5. I oenti angolari sono tensori sferici irriducibili di rango. 7

8 Dal punto di vista operativo è iportante sapere coe costruire tensori sferici irriducibili, partendo da altri operatori. Per questo scopo si utilizza il prodotto tensoriale definito coe: [T p U q ] r r = p q < p p q q r r > T p p U q q 5 In questo odo partendo da due coponenti dei tensori T e U, di rango p e q rispettivaente, si è costruita la coponente r di un nuovo tensore di rango r, coe prodotto tensoriale dei due tensori. Gli operatori scalari sono tensori sferici irriducibili di rango 0, entre, coe già detto, i oenti angolari sono di rango. Per poter utilizzare il foraliso dei tensori sferici irriducibili è necessario utilizzare le coordinate sferiche, legate a quelle cartesiane dalle relazioni: r = x+iy ; r 0 = z ; r = x iy 53 dove r x,y,z. Si può generare un tensore di rango 0, scalare, utilizzando due tensori con lo stesso rango: [T p U p ] 0 0 = p < p p p p 00 > T p p U p p = p p p p T p p U p p 54 Da questa relazione si ha che il prodotto scalare tra due tensori sferici irriducibili è definito coe: T p U p = TU p p = p p[t p U p ] Il teorea di Wigner Eckart L utilizzazione dei tensori sferici irriducibili viene fatta per il calcolo di eleenti di atrice. Se il problea in oggetto possiede una sietria di tipo sferico, è conveniente lavorare in coordinate polari sferiche. La parte degli eleenti di atrice legate alle coordinate angolari può essere calcolata analiticaente utilizzando le tecnologie di soa di oenti angolari e i prodotti tensoriali. L eleento di atrice di un tensore sferico irriducibile tra due autostati di J e J z può essere scritto in odo da separare la parte dipendente dalle proiezioni sull asse di quantizzazione. Questa parte è puraente geoetrica ed è copletaente esplicitata da un coefficiente di Clebsch Gordan: < j a a Tq k j b b > = k< j b b kq j a a > < j a T k j b > 56 ĵ a ja k j = ja a b < j a q a T k j b > 57 b L equazione precedente in realtà è la definizione dell eleento di atrice ridotto < j a T k j b >. Il essaggio iportante del teorea è che la parte geoetrica, il 3j, e quella che contiene la fisica, l eleento di atrice ridotto, possono essere fattorizate. è : L heritiano coniugato di un operatore congiunto secondo le definizioni che abbiao adottato T k q = q T k q 58 8

9 Questo porta alla seguente relazione tra eleenti di atrice ridotti: < j a T k j b >= j b j a < j b T k j a > 59 che nel caso di operatori heritiani diventa: < j a T k j b >= j b j a < j b T k j a > 60 Si possono costruire eleenti di atrice eleentari da cui, utilizzando la 5, si ottengono eleenti di atrice più coplessi. =< j J z j >=< j J0 j >= < j0 j > < j J j > 6 ĵ Dato che: < j0 j >= jj + 6 si ha: < j J j >= ĵ jj + = jj +j + 63 Applicando 63 si ha che: < s >= 3 ; < σ >= 6 64 Gli operatori tensoriali possono essere generati dal prodotto di due operatori tensoriali. In questo caso è possibile separare l eleento di atrice ridotto dell operatore in due eleenti di atrice. Quando gli operatori agiscono nello stesso spazio si ha che: < j a [T p T q ] r j b >= ja+r+jb r j c { jb j a r p q j c entre quando agiscono in spazi differenti si ha che: < j a j b J [T p T q ] r j c j d J >= Ĵ rĵ j a j b J j c j d J p q r } < j a T p j c >< j c T r j b > 65 < j a T p j c >< j b T r j d > 66 Le aroniche sferiche Y LM sono operatori tensoriali irriducibili di rango L. I loro eleenti di atrice ridotti possono essere espressi in terini di funzioni eleentari: la lb L la L l < l a Y L l b >= la b 4π o nel caso di autostati di l+s: < l a j a Y L l b j b >= ja+ dove è ξl = se L è pari e ξl = 0 altrienti. ĵ a ĵ b L ja 4π L j b 0 ξl a +l b +L 68 9

10 5 Forula di Landè Questa espressione è utile per calcolare gli eleenti di atrice diagonali in J di un operatore vettoriale V. < JM V J JM >= < JM V J JM > 69 dove è stata utilizzata la definizione 55 di prodotto scalare in coordinate sferiche. Inserendo un set copleto in 69 si ha: < JM V J JM >=< JM V J M >< J M J JM > 70 J M e dato che J è diagonale in J si ha: < JM V J JM >= < JM V JM >< JM J JM > 7 M Applicando il teorea di Wigner Eckart ai due eleenti di atrice si ha: < JM V JM > = < JM JM > Ĵ < JM J JM > = < JM JM > Ĵ Data l eguaglianza dei due coefficienti di Clebsch Gordan si ha: < JM V JM > = < JM J JM > < J J J > < J V J > 7 < J J J > 73 Ĵ < J V J > Ĵ = < J V J > < J J J > < JM J JM > 74 Inserendo 74 nella 7 si ha: < JM V J JM > = < J V J > < J J J > < JM J JM >< JM J JM > M = < J V J > < J J J > < JM J J JM > = < J V J > < J J J > < JM J JM >= < J V J > JJ + 75 < J J J > Inserendo 75 in 74 si ha: < JM V JM >= < JM V J JM > JJ + che generalizzata a tutte le coponenti dà la forula di Landè: < JM V JM >= < JM V J JM > JJ + < JM J JM > 76 < JM J JM > 77 0

11 6 Bibliografia Una introduzione ai oenti angolari in Meccanica Quantistica si trova in ogni anuale: ad esepio il capitolo XIII del libro di A. Messiah, Quantu Mechanics North Holland, Asterda 96 oppure il capitolo VI di C. Cohen-Tannodji, B. Diu, F. Laloë, Quantu Mechanics John Wiley and Sons, New York 977. Ci sono vari libri che trattano specificaente dei oenti angolari in Meccanica Quantistica. Io ho adottato terinologia e convenzioni del libro di A. E. Edonds Angular Moentu in Quantu Mechanics Princeton University Press, Princeton 957. Vari libri contengono appendici che collezionano forule, un po con lo stesso spirito di queste note. Particolarente interessanti sono l appendice C del libro di Messiah, l appendice A del libro di Brussaard e Glaudeans e l introduzione alle tavole di 3,6,9, e j di Manuel Rotenberg.