Esercitazione di Controlli Automatici 1 n 3

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1 0 aprle 007 a.a. 006/07 Rferendo al tema d controllo della temperatura n un locale d pccole dmenon dcuo nella eerctazone precedente, e d eguto rportato:. S analzzno le carattertche modal del loop nterno d portata al varare del guadagno k C del controllore d portata C () utlzzando l luogo delle radc, e faccano le conderazon del cao.. Valutare margn d guadagno e d fae del tema, nonché la pulazone crtca ed l guadagno crtco del controllore d temperatura C ().. S analzzno le carattertche modal del tema a cclo chuo al varare del guadagno k C del controllore d temperatura C () utlzzando l luogo delle radc.. S dcutano gl effett della emplfcazone del loop nterno ulla valutazone delle carattertche d tabltà del tema a cclo chuo (margn d fae e guadagno, e guadagno crtco), utlzzando dagramm d Bode, Nyqut ed l luogo delle radc. Δq(t) Δθ(t) θ r (t) q(t) + _ C _ C G P + θ a (t) H H C C H H P G k ( + τ )( + τ ) kg + τ G + 0 k 00 C P ( + τ ) I kc k k H + τ + H P P C

2 Soluzone Eerctazone n a.a. 006/07 - Soluzone ) S analzzno le carattertche modal del loop nterno d portata al varare del guadagno k C del controllore d portata C () utlzzando l luogo delle radc, e faccano le conderazon del cao. La funzone d trafermento a cclo chuo dell anello nterno è: W con: Q Z K C G H c + 0 () () CG CG + C GH + C G La funzone d trafermento ad anello aperto è: K c K c F() CG + 0 ( + 0.)0 Il luogo delle radc avrà le eguent carattertche: Numero d antot: Centro degl antot p 0. ( h + ) π Fae degl antot π n m Il luogo delle radc traccato con matlab è dunque: Imagnary Ax Root Locu Real Ax

3 a.a. 006/07 - Soluzone L anello nterno è dunque caratterzzato da un modo aperodco decrecente per qualunque valore del guadagno K c. Per un guadagno uffcentemente alto la dnamca dell anello nterno può eere tracurata rpetto alla dnamca del proceo n ere per l crtero del modo domnante. Per K c 00 : () Q CG W ( ) Z + CGH ) Valutare margn d guadagno e d fae del tema, nonché la pulazone crtca ed l guadagno crtco del controllore d temperatura C (). La funzone d trafermento ngreo ucta avendo emplfcato l modello dell anello nterno dventa: Funzone d trafermento ngreo-ucta: W r Θ Θ a r CW P C P + CWPH + C PH La corrpondente funzone d trafermento ad anello aperto, ottuendo valor numerc è: 0. kc (00 + ) F( ) C PH ( + ) ( ) I margn d fae e d guadagno poono eere valutat medante l traccamento del dagramma d Bode > margn(numf,denf)

4 6.08 a.a. 006/07 - Soluzone 0 m 6.08 db n corrpondenza della pulazone crtca ω 0.59 rad/ g m 9. 0 n corrpondenza della pulazone d taglo ω rad/ ϕ () Il guadagno crtco del controllore C arà dunque par al margne d guadagno : K c 6.7 alla pulazone crtca ω c 0.59 rad/. t c ) S analzzno le carattertche modal del tema a cclo chuo al varare del guadagno k C del controllore d temperatura C () utlzzando l luogo delle radc. La funzone d trafermento ad anello aperto n forma pol zer è la eguente: F 0.0( + 0.0) ( + )( )( + 0.0) Per d traccare l luogo delle radc rcavamo le ue carattertche fondamental: n, n m, qund avremo ram d cu uno termnerà nello zero. Il centro degl antot è n : p z La fae degl antot è: ( h + ) π ( h + ) π ϕ per h 0,, n m Il luogo nell ae reale negatvo comprende tutt punt (corrpondent a valor d ) che lacano alla propra detra un numero dpar d pol e zer, dunque punt dell ae reale negatvo che appartengono al luogo ono: [ 0.0,0] [ 0.0, 0.05] [, ] Eventual punt dopp ono le oluzon d: z p che rulta volgendo calcol: ^ -.8 ^ - 0.0^ e le cu radc ono:

5 a.a. 006/07 - Soluzone D quete olo la econda appartene al luogo delle radc e qund arà l unco punto doppo. Il luogo traccato con Matlab è dunque: Root Locu.5 Imagnary Ax Facendo uno zoom nell ntorno dell orgne: Real Ax 0. Root Locu 0. Imagnary Ax Real Ax Per l anal modale occorre nfne tarare l luogo ne punt crtc, ovvero nel punto doppo e nell attraveramento dell ae mmagnaro. Il guadagno crtco per l attraveramento dell ae mmagnaro è par al margne d guadagno, coè K c Il guadagno nel punto doppo ( p ) ottene rolvendo K per emplce ottuzone dretta, ovvero -0.05, ottenendo z K ' c ( ) Queto k è comprenvo d tutt guadagn della f.d.t. d anello aperto. 0 < k < k C mod aperodc y( t) 5 R e p t

6 a.a. 006/07 - Soluzone k k C k C < k < un modo codale e mod aperodc y( t) R k C modo peudo-perodco e mod aperodc tabl M e ϕ en pt te p t + R e p t k k C un modo ocllatoro e mod aperodc tabl M en ϕ pt k C < k modo peudo-perodco ntable e mod aperodc tabl M ϕ e en pt ) S dcutano gl effett della emplfcazone del loop nterno ulla valutazone delle carattertche d tabltà del tema a cclo chuo (margn d fae e guadagno, e guadagno crtco), utlzzando dagramm d Bode, Nyqut ed l luogo delle radc. Le dfferenze tra dagramm d Bode del tema orgnaro (n blu) e del tema emplfcato (n verde) ono gnfcatve olo n alta frequenza (ω > rad/). I margn d fae e d guadagno modfcano leggermente neme alle frequenza crtca e d taglo: m 5.08 db 0 5.8n corrpondenza della pulazone crtca ω 0.0 rad/ g m n corrpondenza della pulazone d taglo ω 0.09 rad/. ϕ t c

7 a.a. 006/07 - Soluzone Il dagramma d Nyqut vene modfcato olo n alta frequenza; n partcolare è cambata la fae per ω a partre da poco meno d una decade dalla frequenza crtca, cò è pù evdente da dagramm d bode: Il tema orgnale è n blu e d quello con l appromazone legata all elmnazone del loop nterno è n verde. La funzone d trafermento a cclo aperto F() (con la dnamca dell anello nterno) ha uno zero n 0.0, cnque pol d cu uno nell orgne e gl altr n 0., -, e 0.0. C apetta che luogo delle radc del tema completo preent carattertche antotche dvere da quello precedente n quanto è aumentato l grado relatvo del tema, coè la dfferenza pol zer. ( h + ) π ϕ m n ( h 0,, n m ) c K e centro ull ae reale n π π 5π 7π x c n p m n m z Il luogo ha punt dopp che ono radc dell equazone

8 m z n p 0 tra le qual celgono quelle appartenent al luogo: P cu corrponde un guadagno k C P al quale corrponde l guadagno k C a.a. 006/07 - Soluzone Il luogo può eere traccato con l aulo d MATLAB Control Sytem Toolbox > rlocu(numf,denf)

9 a.a. 006/07 - Soluzone S può evdenzare l luogo n promtà dell orgne del pano compleo con uno zoom Il valore del guadagno per cu due pol comple e conugat hanno parte reale mmagnara corrponde al margne d guadagno, ovvero k C

10 a.a. 006/07 - Soluzone Il luogo delle radc può eere tarato utlzzando l comando MATLAB Control Sytem Toolbox > rlocfnd(numf,denf) Il tema a cclo chuo arà caratterzzato da: 0 < k < k C 5 mod aperodc k k C k C < k < C y( t) 5 R e pt un modo codale e mod aperodc y( t) R k modo peudo-perodco e mod aperodc tabl M e ϕ en pt k k C un modo ocllatoro e mod aperodc tabl C M en ϕ pt k < k < k modo peudo-perodco ntable e mod aperodc tabl k k C C M ϕ e en pt modo peudo-perodco ntable, modo codale table e mod aperodc tabl y( t) M e α t en pt ( ω t + ϕ ) + R te + k > k C modo aperodco table, modo peudo-perodco table ed modo peudoperodco ntable p ( ) en( ) en( ) t y t R e + M e ω t + ϕ + M e ω t + ϕ R e αt te pt + R e pt S oerva come le carattertche modal del tema ano dfferent olo per mod con reduo aocato pccolo e per valor elevat del guadagno K c. Una dfferenza rlevante è però la dvera fae degl antot dovuta all aumento dell ordne del tema.