LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

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1 LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO Come rcavare la funone d trafermento d un crcuto Per rcavare con facltà la funone d trafermento d un generco quadrolo convene nterretare condenator attravero le reattane generalate /C e gl nduttor con le reattane generalate L. Con quete oon la funone d trafermento G uò eere faclmente rcavata come emlce legame algebrco ngreo-ucta: o G. Il rultato trovato e one jω ermerà, come cao artcolare, la rota n frequena a regme nuodale e n funone d ω. Eemo. rcavare la f.d.t. del crcuto d fg... Fg.. C aa-bao. I La corrente rulta: La tenone n ucta rulta: I. C o I. C C C e qund rcavando l raorto ucta/ngreo rcava: o G.3 C Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO

2 Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO Eemo. rcavare la f.d.t. del crcuto d fg... Fg.. C aa-alto. Procedendo allo teo modo dell eemo recedente trova ubto: C C G o.4 Eemo 3. cavare la f.d.t. del crcuto d fg..3. FIG..3 Crcuto dell eemo 3. La corrente rulta: C C C C C C C C C I.5 e qund la tenone n ucta rulta: C C C C C I C C I o.6 Infne rcava la funone d trafermento: o I

3 o G.7 C ota n frequena e dagramm d Bode Come noto e n una funone d trafermento one jω è oble utlare la funone d trafermento er analare l tema a regme nuodale e arrvare coì a una rareentaone grafca della ua rota n frequena. Sccome la funone d trafermento G jω è una varable comlea n funone d ω la ua rareentaone grafca uò rultare comoda. Per emlfcare tale rareentaone rocede earandola n due grafc: quello del modulo e quello della fae. In quet grafc ere n funone d f o d ω la frequena ulaone è rortata n una cala logartmca, al fne d rareentare un ntervallo d frequena ulaone molto amo n oco ao. Per comrendere queta affermaone mmagn d rareentare come n fg.. l camo d frequene da 0 H a MH con una cala lneare. FIG.. Eemo d cala er le frequene lneare. In queta cala è molto dffcle ndvduare con recone ngol valor d frequena er valor numerc ccol dtnguere add e. H da 0 H è ratcamente moble, mentre arebbe agevole dtnguere er eemo 500 kh da 550 kh. Per rolvere l roblema bognerebbe eandere la cala degnandola u un foglo lunghmo; n queto modo arebbe oble ottenere la guta roluone alle bae frequene ma la medema roluone arebbe o donble alle alte frequene otrebbe ad e. dtnguere MH da,00000 MH l che arebbe otanalmente nutle. S anal ora la cala d fg..: ono ndcate a oon equdtant le frequene corrondent alle otene del 0, relatve al camo d valor che nterea. FIG.. Eemo d cala er frequene logartmca. Ogn ntervallo rareenta una decade: la roluone dmnuce al crecere della frequena ma rmane ratcamente cotante quella ercentuale ad e. è oble rlevare l 0% d 0 H, oa H, nell ntervallo -0 H oure l 0% d 00 kh, oa 0 kh, nell ntervallo 0-00 kh. Se uone che l orgne dell ae x corronda a f H e che ad ogn ncremento untaro ull ae x corronda una decade, ottene la relaone: e qund: x log0 f. x f 0. La. ega erché n fg.. la cala arte da e non da 0 l logartmo er f 0 tende a. Se dedera oonare l orgne della cala ad una frequena f 0 dvera da H e rareentare una decade n un generco ntervallo x dell ae x, ottene la relaone ù generale: Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO 3

4 e qund: f x x log 0.3 f 0 x / x f f0 0.4 Normalmente n quet grafc modul delle funon d trafermento vengono ere n decbel db: a fn d quanto a no nterea l db è ar a 0log0 G jω. La fae vene nvece erea n grad. I grafc della rota n frequena ne termn qu eot ono dett dagramm d Bode. 3 I dagramm d Bode n un cao emlce: l fltro C aa-bao S conder l crcuto C del ordne d fgura 3.. FIG. 3. Crcuto C aa-bao del ordne. FIG. 3. Interretaone geometrca del modulo e della fae. Come noto la ua funone d trafermento rulta: Ponendo jω ottene la rota n frequena: o G 3. C o jω G jω 3. jω jωc Il modulo d Gjω rareenta l raorto tra l amea del egnale nuodale n ucta e l amea del egnale nuodale n ngreo alla ulaone conderata. Il modulo d Gjω vale: G jω 3.3 jωc ω C La fae, che corronde allo faamento ntrodotto dal crcuto, è nvece: fae G jω arctg0 / arctg ωc / arctg ωc 3.4 Intea come dfferena tra la fae del numero comleo al numeratore e la fae d quello al denomnatore della funone d trafermento. A charmento delle relaon 3.3 e 3.4, rcorda che er un numero comleo ereo n forma carteana x jy l modulo vale: Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO x y 3.5 4

5 e la fae: fae arctg y / x 3.6 Per comrendere quete ultme due relaon facca rfermento alla nterretaone geometrca d modulo e fae d fgura 3.. Nel cao artcolare del notro crcuto C vede che er ω 0 l modulo tende a e la fae a 0, mentre er ω l modulo tende a 0 e la fae a 90. Modulo della funone d trafermento Il modulo ereo n decbel nel notro cao rulta: G jω 0log G jω 3.7 db 0 Dalle roretà de logartm deduce che quando l modulo della f.d.t. tende a ω 0 l modulo n db tende a 0, mentre quando l modulo tende a 0 ω l modulo n db tende a. A queto unto c chede come vara l modulo er ω che vara tra 0 e. Per farlo artendo dalla 3.3 erme l modulo n db: G jω 0log0 0log0 ω C 3.8 db ω C S conderano ora due ca. Se ω<</c allora ωc << e l argomento del logartmo è amlable a ovvero l modulo n db della f.d.t. uò conderare ar a 0. Se ω>>/c allora ωc >> e l argomento del logartmo è amlable a ωc e qund l modulo n db vale 0log 0 ωc 0log 0 ωc. In queto cao al crecere d ω l modulo decrece d 0 db er ogn decade d aumento. In ultma anal er ω<</c l dagramma è una emretta che concde con un tratto dell ae delle ace; er ω>>/c l dagramma del modulo d G jω è una emretta con endena d 0dB/dec tenga reente che << e >> vuole dre n ratca almeno 0 volte e qund n termn d ω o f almeno una decade rma o doo. Se ora, er ulterore emlfcaone, uone che rultat raggunt ano vald anche er ω</c e er ω>/c, ottene l dagramma antotco del modulo d fg. 3.3 a. FIG. 3.3 Dagramm antotc del modulo a e della fae b. Evdentemente queto dagramma è olo un aromaone d quello reale e qund è oortuno valutare l enttà dell errore commeo. In artcolare, l mamo errore verfca er ω /C, che è l orgne delle due emrette antotche oltre che la ulaone d taglo del fltro aa-bao a queta ulaone la retena è uguale al modulo della reattana. L amea del modulo a queta ulaone rulta: Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO 5

6 G j/ C 0log0 0log0 3,0 db 3.9 db jc / C In corrondena della frequena d taglo l modulo della f.d.t. vale 3 db 0,707 come valore effettvo e qund l errore del dagramma antotco è d 3 db. Un eemo d dagramma del modulo reale er un aa-bao del rmo ordne è rortato n fg FIG. 3.4 Dagramm del modulo a e della fae b real e antotc con kω e C 68 nf. -5,7-84,9 Fae della funone d trafermento S è gà accennato al fatto che la fae aa da 0 a 90 quando ω va da 0 a. Alla frequena d taglo la fae rcordando la 3.4 rulta: fae G jω arctg C C Una decade rma e una decade doo la frequena ulaone d taglo hanno rettvamente valor d fae arctg0, 5,7 e arctg0 84,9, la cu omma è eattamente 90. S uò allora aumere che, aromatvamente, la fae a nulla una decade rma della ulaone d taglo e 90 una decade doo. Alla ulaone d taglo ha la fae meda d 45 valore queto ultmo rgoroo. Il dagramma antotco della fae è rortato n fg. 3.3 b, mentre n fg. 3.4b è rortato un eemo d dagramma reale. 4 Pol, er e fattoraone della funone d trafermento La funone d trafermento d un tema lneare n funone d uò n generale ermer come raorto tra olnom: m b 0 n a 0 G 4. Le radc del olnomo al denomnatore, ovvero valor d che lo annullano, ono dett ol della funone d trafermento. Il loro numero, ovvero l grado del olnomo al denomnatore della funone d trafermento, ndca l ordne del tema rareentato dalla funone d trafermento. Le radc del olnomo al numeratore ono dette er della funone d trafermento. Nella 4. qund m è l numero degl er e n l numero de ol. S tenga reente che l numero de ol, oltre che concdere con l grado del olnomo al denomnatore, corronde anche al numero d element reattv ndendent reent nel crcuto del tema conderato. I ol e gl er oono eere real o comle, n queto econdo cao ono emre a coe comlee e conugate ovvero e ete l olo σ jω ete anche l olo σ jω. Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO 6

7 Fattorando olnom al numeratore e al denomnatore è oble crvere la funone d trafermento nel eguente modo:... m G K K è detto fattore d guadagno mentre, m ono gl er non null d G e,... n ono ol non null d G; l ntero g rareenta l to del tema ed è dato dalla dfferena tra l numero de ol null n n e quello degl er null m m. Pù ntetcamente la 4. uò eere crtta: m n G K 4.3 n g Introducendo er ol e gl er non null le cotant d temo: τ τ 4.4 La 4. uò eere crtta: G τ τ τ... τ m µ g τ... τ n 4.5 Il termne µ erme l guadagno d G. Pù ntetcamente la 6.3 uò eere crtta: m τ G µ n 4.6 g τ In quete relaon e g0 l guadagno aume l gnfcato d guadagno tatco G0. Ovvero n aena d ol e er nell orgne µ erme l guadagno a frequena ero. Il fattore d guadagno K e l guadagno µ ono legat dalla relaone:... m µ K n Il egno d µ non è detto concda con quello d K: affnché queto avvenga è necearo che la omma del numero de ol e degl er con arte reale otva a ar; n artcolare e tutt ol e gl er ono a arte reale negatva cao molto mortante erché è quello de tem tabl µ e K hanno lo teo egno. Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO 7

8 5 Traccamento de dagramm d Bode con ol e er real In queto aragrafo vengono generalat rultat ottenut con la rota n frequena del fltro aabao del rmo ordne del aragrafo 4. S tenga reente che n queto aragrafo non condera l cao d ol e er comle e conugat. S utla er le funon d trafermento la rareentaone fattorata del to 4.5 che evdena le cotant d temo e l guadagno µ; evdentemente, qualora la f.d.t. foe erea nell'altra forma fattorata, arà emre oble rcondur a quella qu conderata tenendo reente quanto eoto nel aragrafo 4. Dagramma del modulo Ponendo jω e ermendo l modulo n db dalla 4.5 ottene: G jω... m 0log0 µ 5. g jω... n Sfruttando le roretà de logartm la 5. uò rcondurre a una omma: G jω 0log... 0log 0log µ 0log m 0 0 g log... 0log 0 0 ω 0log 0log n alutamo l effetto de ngol termn. Il rmo non crea roblem: eendo una cotante al varare d ω decrve una retta orontale oonata al valore 0 log 0 µ fg. 5. a: la oone nel grafco non è gnfcatva erché dende dal valore del guadagno. FIG. 5. Dagramm d Bode d µ la fgura rferce al cao d µ>0, ovvero faamento nullo. I termn 0log0 e 0log 0 comortano al varare d ω n modo analogo al termne 0log0 jωc del aa-bao del ar. 3. In artcolare: o log : 0 db e endena 0 db/dec er ω < / τ ; 0 db n ω / τ con o 0 0 errore n dfetto d 3 db; endena 0dB/dec er ω > / fg. 5. a: con ω ntende la ulaone corrondente allo ero. 0log0 : 0 db e endena 0dB/dec er ω < / τ ; 0 db n ω / τ con errore n ecceo d 3 db; endena 0dB/dec er ω > / fg. 5. a: con ω ntende la ulaone corrondente al olo. τ τ Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO 8

9 FIG. 5. Dagramm d Bode er l termne nell ote d ero negatvo. 0log0 ero non nell orgne: la fae vale FIG. 5.3 Dagramm d Bode er l termne nell ote d olo negatvo. 0log0 olo non nell orgne: la fae vale Il termne 0 g log ω determna una endena 0 g db/dec er tutt valor d ω; 0 ntereone con l ae a 0 db er ω rad/ nel cao d un olo ero nell orgne ha la tuaone d fg. 5.4 a, nel cao d un olo olo nell orgne quella d fg. 5.5 a. FIG. 5.4 Dagramm d Bode er l termne 0log 0 ω ero nell orgne. FIG. 5.5 Dagramm d Bode er l termne 0log 0 ω olo nell orgne. Il dagramma antotco comleto del modulo è dato dalla omma de dagramm antotc de ngol termn ora conderat. Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO 9

10 Dagramma della fae Per la fae ha: fae fae [ G jω ] fae µ fae fae... fae m g jω fae fae... fae n 5.3 alutamo ora l effetto de ngol termn. elatvamente al guadagno µ la ua fae è 0 e otvo e 80 e negatvo fg. 5. b er guadagno otvo. fae arctg ωτ : er ω otve aume valor tra 0 e 90 con τ >0 ero negatvo e tra 0 e 90 con τ <0 ero otvo. La fg. 5. b rferce al cao d ero negatvo. fae arctg ωτ : er ω otve aume valor tra 0 e 90 con τ >0 olo negatvo e tra 0 e 90 con τ <0 olo otvo. La fg. 5.3 b rferce al cao d olo negatvo. fae jω g fae jω g 90. La fg. 5.4 vale er uno ero nell orgne ovvero er g ; la fgura 5.5 er un olo nell orgne, ovvero er g. g Anche er la fae l dagramma antotco è la omma de dagramm antotc de ngol termn. Eemo. Traccare l dagramma de modul della eguente funone d trafermento: Il dagramma è rortato n fg G 5 0, FIG. 5.6 Dagramma antotco del modulo della f.d.t. dell eemo. Per la gutfcaone tenga reente quanto egue. Il guadagno µ 5 corronde alla retta a d ordnata: 0log05 3,5 db Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO 0

11 Al termne corronde la eata b con tratto acendente d endena 0dB/dec. Lo ero e la corrondente ulaone ono: 0, rad/ τ ω 0,5 Al termne 5 corronde la eata c con tratto dcendente d endena 0dB/dec. Il olo e la corrondente ulaone rultano: 0, ω 0, rad/ Analogamente al termne 0, corronde la eata d con: 5 ω 5 rad/ Il grafco fnale ottene ommando ngol grafc elementar, ma la ua cotruone uò rultare ù agevole eguendo l eguente rocedmento, valdo nell'ote che non c ano er o ol nell'orgne come n queto cao: a ndvduano tutt ol e gl er e l ndcano mbolcamente ull'ae x n corrondena della relatva ulaone o ero, olo; b tracca una retta arallela all'ae x d ordnata ar al valore n db del guadagno µ. che, mancando ol e er nell'orgne, aume l gnfcato d guadagno tatco artendo dalla ntra del rmo olo e del rmo ero; c er ogn ero ncontrato ercorrendo l'ae x da ntra vero detra ntroduce una endena d 0 db/dec e er ogn olo una endena d 0 db/dec. Eemo. Traccare l dagramma de modul e calcolare lo faamento er ω 0 rad/ della eguente f.d.t.: 0 G 0, La fgura 5.7 rorta l dagramma de modul. Queto dagramma è tato ottenuto comonendo la f.d.t. nel rodotto: 0 G 0, Il termne ero nell'orgne corronde alla retta a endena 0 db/dec aante er ω rad/, l'altro termne alla eata b. Il dagramma fnale corronde alla omma d quet due. Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO

12 FIG. 5.7 Dagramma antotco del modulo della f.d.t. dell eemo. olendo traccare l dagramma antotco della fae uò rocedere n modo analogo. Per l calcolo reco dello faamento alla ulaone d 0 rad/ rulta: ϕ 90 arctg 0 arctg0, 0 6 Anche n queto cao è oble egure un rocedmento d cotruone del grafco del modulo mle a quello dell'eemo recedente, che erò deve tenere reente l'etena dello ero nell'orgne ù n generale d er o ol nell'orgne: a ndvduano tutt ol e gl er non nell'orgne e l ndcano mbolcamente ull'ae x n corrondena della relatva ulaone o ero, olo; b e non etono ol o er nell'orgne, tracca una retta arallela all'ae x d ordnata ar al valore n db del guadagno µ. che, mancando ol e er nell'orgne, aume l gnfcato d guadagno tatco artendo dalla ntra del rmo olo e del rmo ero; c e etono ol o er nell'orgne tracca una retta con endena determnata dal numero d ol o er nell'orgne 0. gdb/dec e che n ω rad/ reent un modulo ar a µ ; d er ogn ero ncontrato ercorrendo l'ae x da ntra vero detra ntroduce una endena d 0 db/dec e er ogn olo una endena d 0 db/dec. Eemo 3. Traccare dagramm d Bode antotc della f.d.t.: db 00 G 0, Preenta uno ero e due ol d cu uno nell'orgne 0 e 0. Per traccare l dagramma del modulo uò nare traccando una retta con endena d 0 db/dec, dovuta al olo nell'orgne, che n ω abba un modulo d 40 db 00g 0 00 e o n corrondena d ω ntroduce, grae allo ero, una endena d 0dB/dec, che raddra l grafco fno a ω 0, dove l econdo olo rrtna la endena nale fg. 5.8 a. Per la fae rulta: fae [ Gjω}] 0 arctgω 90 arctg0, ω In fgura 5.8 c è rortato l dagramma rultante ottenuto ommando ngol dagramm antotc d fgura 5.8b. Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO

13 FIG. 5.8 Dagramma del modulo a, ngol contrbut della fae b e dagramma della fae c della f.d.t. dell eemo 3. a b c Eemo 4. Traccare dagramm d Bode antotc della f.d.t..4. In fg. 5.9 rortano grafc rchet. FIG. 5.9 Dagramm d Bode antotc della.4. Enrco Ambroan: LA FUNZIONE DI TASFEIMENTO 3