CORSO DI CONTROLLI AUTOMATICI QUADERNO DELLE ESERCITAZIONI

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1 UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÁ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA CORSO DI CONTROLLI AUTOMATICI QUADERNO DELLE ESERCITAZIONI

2 ANNO ACCADEMICO

3 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace SOMMARIO SOMMARIO... ESERCITAZIONE N : La trasformata d Laplace...4 ESERCITAZIONE N : Rappresentazone delle funzon d s... ESERCITAZIONE N : I dagramm d Bode... ESERCITAZIONE N 4: Applcazone de dagramm d Bode...44 ESERCITAZIONE N 5: Dagramm polar o d Nyqust...54 ESERCITAZIONE N 6: Sstem a fase mnma...7 ESERCITAZIONE N 7: Anals modale...78 ESERCITAZIONE N 8: Procedment d convoluzone e deconvoluzone...9 ESERCITAZIONE N 9: Ancora su dagramm d Bode...99 ESERCITAZIONE N : Teora della struttura - Graf d flusso... ESERCITAZIONE N : Formule d Mason - Sstem a catena chusa...8 ESERCITAZIONE N : Teora della realzzazone - Studo d stabltà - Metodo d Routh... ESERCITAZIONE N : Studo d stabltà - Metod d Routh e Hurwtz...8 pag.

4 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace ESERCITAZIONE N 4: Studo d stabltà - Metod d Routh e Hurwtz...7 ESERCITAZIONE N 5: Studo d stabltà - Metodo d Jury e Blanchard - Metodo d Nyqust...4 ESERCITAZIONE N 6: Studo d stabltà - Metodo d Nyqust...47 ESERCITAZIONE N 7: Studo d stabltà - Metodo d Nyqust...5 ESERCITAZIONE N 8: Stabltà d sstem multdmensonal - Metodo d Gershgorn Sstema d regolazone della temperatura...55 ESERCITAZIONE N 9: Amplfcator a parzalzzazone...7 ESERCITAZIONE N : Stabltà d sstem contenent element non lnear - Crtero d Popov - Metodo d sntes per tentatv n ω...87 ESERCITAZIONE N : Metodo d sntes per tentatv n ω... ESERCITAZIONE N : Metodo d sntes per tentatv n s...8 ESERCITAZIONE N : Metodo d sntes dretta...4 ESERCITAZIONE N 4: Sntes con reazone dello stato...44 ESERCITAZIONE N 5: Appendce - Esperenze d laboratoro...49 pag.4

5 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace ESERCITAZIONE N LA TRASFORMATA DI LAPLACE Lo studo de sstem a tempo contnuo lnear e stazonar non vene condotto soltanto nel domno del tempo ma anche con altre metodologe basate sull applcazone dell operatore Trasformata d Laplace. Il motvo d tutto cò, come meglo vedremo n seguto, rsede nel fatto che rcorrere allo studo nel domno d s talvolta semplfca notevolmente la trattazone analtca ed è consentto trarre concluson teorche con una maggore facltà. Per studo nel domno d s ntendamo l applcazone dell operatore trasformata d Laplace alle funzon del tempo che esprmono l evoluzone temporale delle grandezze n goco e tutt legam che ntercorrono tra le rappresentazon delle stesse grandezze ne due domn. Defnamo trasformata d Laplace della funzone temporale f ( t) la funzone complessa d varable complessa: F( s) L[ f ( t)] lm f ( t) e dt T T ε + ε st pag.5

6 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace con < ε < T. La funzone f ( t) rsulta nulla per t < mentre la funzone F( s) rsulta defnta per tutt valor della varable complessa s, che ha la forma s σ + jω, per cu l ntegrale evdenzato converge. La convergenza è, così, legata a valor assunt dalla varable s sul pano d Gauss. E possble dmostrare che l ntegrale converge s C / Re( s) > a, con a costante postva, e cò f ( t). Grafcamente (fg.) è possble evdenzare sul pano d Gauss questa regone d convergenza: jω Zona d convergenza a σ fg. Il valore d a vara al varare d s poché ω rappresenta un ulterore grado d lbertà. Dal momento che c servrà un parametro d rfermento scegleremo come tale l estremo nferore dell nseme de valor delle part real σ della varable s per cu s ha l assoluta convergenza dell ntegrale. Tale valore sarà ndcato col smbolo σ a e vene detto ascssa d assoluta convergenza della funzone f. Una volta eseguto lo studo nel domno della varable s è opportuno rcondurre rsultat del domno d partenza. Nasce, così, l concetto d Anttrasformata d Laplace. Essa è defnta come: n cu l cammno tra c Trasformate notevol e propretà c+ j L [ F( s)] f ( t) F( s) jπ c j st e ds j e c + j è nteso percorso a destra d σ a. La trasformata d Laplace è una trasformazone lneare. Propro n questo fatto s rtrova la sua grande utltà: L[ a f ( t) + b f ( t)] a F ( s) + b F ( s) pag.6

7 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace Trasformata della dervata. con a, b R L df ( t ) s F( s) f ( ) dt + S mette + per eventual punt n cu non è defnta la dervata (a causa d dscontnutà mpulsve). Per dervate successve: Trasformata dell ntegrale. L d f t ( ) k k + s F( s) s f ( ) dt k t L f ( τ ) dτ F( s) s Da queste prme formule è gà ntuble l utltà dello studo nel domno d s. teorema dello scorrmento. [ at ] L f ( t) e F( s + a) con a > teorema dello scorrmento. δ par a zero. [ δ ] t s L f ( t t ) ( t t ) e F( s) ( t t ) è l gradno untaro che parte da t t ed ha ampezza per t t >. Altrove è Teorema del valore nzale. lm f ( t) f ( ) lm s F( s) + t + s + Teorema del valore fnale. pag.7

8 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace lm f ( t) lm s F( s) t + s Il teorema del valore fnale permette d calcolare la rsposta del sstema a regme permanente, una volta esaurt transtor. Questo lmte non s può, ovvamente, calcolare quando F( s) ha pol nel sempano destro o sull asse mmagnaro. Infatt se σ la rsposta è oscllatora pura ( σ ) o dverge ( σ > ) esaltandos. Teorema della traslazone. αt [ ] L e f ( t) F( s + α) [ ] st L f ( t T) e F( s) Teorema della convoluzone reale. t L f( τ ) f ( t τ ) dτ F ( s) F ( s) Teorema della convoluzone complessa. c+ j L[ f( t) f( t) ] F ( ) F ( s ) d jπ ω ω ω c j Inoltre s ha che: L t k pt e k! ( s p) k + con k R e p costante. Vedamo, adesso, alcune trasformate elementar: pag.8

9 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace L t k δ ( t) k + k! s s L[cos ωt] s + ω ω L[sen ωt] s + ω at s + a L[ e cos ωt] ( s + a) + ω at ω L[ e sen ωt] ( s + a) + ω L[ δ ( t)] L[ δ ( t)] s L[ δ ( t)] s n n! L[ t ] n+ s δ( t ) è L mpulso untaro. Un sstema sollectato da un mpulso è come se fosse sollectato da snusod con frequenza che arrva fno ad nfnto. In alcune espresson, talvolta, bsogna stare attent al valore d σ a. Anttrasformazone Le funzon nella varable reale s sono n genere funzon razonal fratte: F( s) P( s) Q( s) con P( s) e Q( s) polnom generc. Generalmente l grado del numeratore è nferore al grado del denomnatore. Anche se cò non fosse potremmo sempre effettuare la dvsone: otterremmo un nseme d fattor mmedatamente anttrasformabl per mezzo delle regole note ed una frazone avente le caratterstche suddette. Se, allora, m è l grado del numeratore e n è l grado del denomnatore, sarà m n. De due polnom posso trovare le radc e dare una nuova espressone: pag.9

10 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace P( s) ( s z ) ( s z ) ( s z ) Q( s) ( s p ) ( s p ) ( s p ) Sarà, allora: m n F( s) m n j ( s z ) ( s p ) j Vedamo, ora, var cas che s possono presentare partendo da una forma d questo tpo: a) Pol tutt dstnt. n Q( s) ( s p j ) j Voglamo pervenre allo svluppo n frazon parzal. Calcoleremo resdu, element numerc alla base d tale svluppo. L -esmo resduo (relatvo al polo -esmo) s ottene a partre dalla formula: R lm [( s p ) F( s)] s p Questo calcolo deve essere eseguto n volte, al varare d. Cò fatto segue che: F( s) n R ( s p ) A questo punto s ha che: f ( t) L [ F( s)] R e n p t con t >. Questa espressone rsulta valda solo ed esclusvamente nel caso d pol tutt dstnt e real. b) µ pol real e dstnt e ν coppe d pol compless e conugat. pag.

11 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace E opportuno precsare che ove s presentassero pol compless, quest devono essere present a coppe conugate perché l polnomo al denomnatore possede per potes coeffcent real. Per l teorema fondamentale dell algebra, se un polnomo a coeffcent real ammette come zero un numero complesso dovrà ammettere come zero anche l suo conugato. Per quanto detto sarà: µ + ν n. Per µ pol real e dstnt lavorerò esattamente come prma. Cò che camba è che le coppe d pol compless conugat danno un contrbuto perodco. Avremo: µ ν σ t k f ( t) L F( s) R e + M e k sen( ω t + ϕ ) Come noto pol real danno un contrbuto aperodco mentre quell compless conugat un contrbuto perodco (non posso dre se s tratta d oscllazon smorzate, pure o esaltate perché non dco nulla su σ k ). Avremo che: R R e k M k k R k π ϕk + R j Rk k k σ t ω k sarà rcavable dalle radc complesse conugate, così come per σ k. k k c) Radc con molteplctà >. Nella produttora compaono delle potenze: µ Q( s) ( s p ) ν Trattas d µ zer real e dstnt, cascuno con molteplctà ν. Avremo che: F( s) µ ν Rk k + k ( s p ) con: pag.

12 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace R k ( ν d k ) ν lm s p [( F s k s p k ) ( )] ( ν ds ) ( ν )! In tal modo s pervene a: µ ν t f ( t) L [ F( s)] Rk e k! k k p t con t >. Eserczo n Calcolare la trasformata d Laplace per la seguente funzone: pag.

13 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace c f ( t) t Per prma cosa determnamo la forma analtca della funzone. Essa è data da una rampa che parte all stante zero con pendenza 4 e da una seconda rampa che parte dall stante due con pendenza -4. Abbamo, coè: f ( t) 4 δ ( t) 4 δ ( t ) ovvero f ( t) 4 t δ ( t) 4 ( t ) δ ( t ) Applcando le regole note: 4 4 s 4 s F( s) e ( e ) s s s Eserczo n Calcolare la trasformata d Laplace per la seguente funzone: pag.

14 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace f ( t) t Per prma cosa determnamo la forma analtca della funzone. Essa è data da un gradno che parte all stante zero con ampezza da un secondo gradno che parte dall stante due con ampezza -. Abbamo, coè: f ( t) δ ( t) δ ( t ) Applcando le regole note: F s s s e s s ( ) ( e ) s Eserczo n Calcolare la trasformata d Laplace per la seguente funzone: pag.4

15 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace f ( t) E T t Per prma cosa determnamo la forma analtca della funzone. Essa è data da una rampa che parte all stante T con pendenza par a E. Abbamo, coè: T E f ( t) ( t T) T δ ovvero f ( E t ) T ( t T) δ ( t T) Applcando le regole note: E F( s) e st ) T s Eserczo n 4 Calcolare la trasformata d Laplace per la seguente funzone: pag.5

16 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace f ( t) E T t Per prma cosa determnamo la forma analtca della funzone. Essa è data da una rampa che parte all stante con pendenza par a E T e procede fno all stante T per po tornare a. Abbamo, coè: E f ( t) { δ ( t) δ ( t T) } E δ ( t T) T ovvero E f ( t) { t δ ( t) ( t T) δ ( t T) } E δ ( t T) T Applcando le regole note: E st F( s) ( e ) E e T s s st Eserczo n 5 Calcolare la trasformata d Laplace per la seguente funzone: pag.6

17 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace f ( t) t 4 5 Per prma cosa determnamo la forma analtca della funzone. Essa è data da una rampa che parte all stante con pendenza par a. Abbamo, coè: f ( t) δ ( t ) ovvero f ( t) ( t ) δ ( t ) Applcando le regole note: F( s) s e s Eserczo n 6 Calcolare l anttrasformata d Laplace per la seguente funzone: pag.7

18 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace F( s) s + ( s + ) ( s + ) S tratta d una funzone avente due pol real e dstnt. Calcolamo resdu sfruttando la formula: R lm [( s p ) F( s)] s p R s + s + lm ( ) ( ) ( s + ) ( s + ) s s s + lm ( ) ( s + ) R s + s + lm ( ) ( ) ( s + ) ( s + ) s s s + lm ( ) ( s + ) A questo punto applchamo la formula: F( s) n R ( s p ) Da cu derva che: f ( t) L [ F( s)] R e n p t con t >. Sosttuendo valor rcavat: t t t t f ( t) e e e ( e ) Eserczo n 7 Calcolare l anttrasformata d Laplace per la seguente funzone: pag.8

19 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace F( s) s + s ( s + s + ) S tratta d una funzone avente un polo reale nell orgne e due pol compless conugat par a: s s + Il resduo del polo reale s calcola nel modo consueto e darà orgne ad una componente aperodca: R s ( s + ) lm s s ( s + s + ) Calcolamo con la stessa modaltà resdu corrspondent a due pol compless conugat. C aspettamo ancora due valor compless conugat. R lm s ( + ) ( s + ) ( s + ) s ( s + s + ) 6 R lm s ( ) ( s + + ) ( s + ) s ( s + s + ) + 6 Dal momento che nella formula: µ ν σ t k f ( t) L F( s) R e + M e k sen( ω t + ϕ ) k σ t k k pag.9

20 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace fgurano le coppe d pol compless conugat, per determnare le grandezze d cu abbamo bsogno c servremo ndfferentemente d uno de due pol. R R e k M k k R k π ϕk + R j Rk k R R M M π π π π ϕ + R + 6 π R R arctg 6 In conclusone, abbamo che: f ( t) L [ F( s)] ( t) + e π δ sen( t + ) t Con R avre ottenuto esattamente lo stesso rsultato, n vrtù delle propretà delle funzon d tpo perodco. Eserczo n 8 Calcolare l anttrasformata d Laplace per la seguente funzone: pag.

21 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace F( s) s + ( s + ) S tratta d una funzone avente un polo reale con molteplctà par a. Dovremo calcolare resdu R, R, R per mezzo della formula: R k ( ν d k )! ν lm s p [( F s k s p k ) ( )] ( ν ds )! ( ν )! dove ν. R R R d s + lm s s ( + ) ds ( s + ) d lm ( ds s + ) s lm ( s + ) s Dalla formula: µ ν t f ( t) L [ F( s)] Rk e k! k k p t con t >. rcavamo che: t t t t t f ( t) t e + e t e ( ) con t >. Eserczo n 9 Calcolare l anttrasformata d Laplace per la seguente funzone: pag.

22 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace F( s) s + s + ( s + ) ( s + ) Nella stuazone che stamo affrontando abbamo pol real: s con molteplctà e s con molteplctà. Dovremo calcolare: R, R, R. R s + s + s + lm ( ) ( ) ( s + ) ( s + ) s R d ( s + ) ( s + s + ) lm ds ( s + ) ( s + ) s R lm s s + s + s + Applcando le formule note: t t t f ( t) e + e + t e ovvero t f ( t) ( e + + t) e t Eserczo n Calcolare l anttrasformata d Laplace per la seguente funzone: pag.

23 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace F( s) s s + + s + 4 Samo n presenza d due pol compless conugat. s + 5 s 5 Adottando la tecnca nota determneremo R e R. R lm s ( s + ) ( s + ) s + s Analogamente s ottene: 5 R + 5 R R M 5 R arctg 5 Infne avremo che: t π f ( t) 5 e sen( t + + arctg ) 5 5 pag.

24 Eserctazone n - La Trasformata d Laplace Stesso rsultato s sarebbe ottenuto operando con R. pag.4

25 Eserctazone n - Rappresentazone delle funzon d s ESERCITAZIONE N RAPPRESENTAZIONE DELLE FUNZIONI DI s Nell ambto dello studo de Controll Automatc grande mportanza ha la funzone W( s), detta funzone d trasfermento. In questa fase non damo una sua nterpretazone. C soffermamo, puttosto, sul fatto che, come tutte le funzon d s, essa è suscettble d una rappresentazone grafca. Partamo dall potes che W( s) sa una funzone complessa d varable complessa. Per tale classe d funzon esstono due tp d rappresentazon: rappresentazone con pol e coeffcent e rappresentazone con pol e zer. Sa, noltre, W( s) razonale fratta e strettamente propra e l sstema stazonaro: L( s) W( s) N ( s) l n b a s s con l < n Rappresentazone con pol e coeffcent. S effettua lo svluppo n frazon parzal. W( s) r m Rk k + k ( s p ) Vedamo la rappresentazone grafca: Samo nel caso d due pol compless conugat. R, R,... X jω jω σ σ X jω pag.5

26 Eserctazone n - Rappresentazone delle funzon d s Col smbolo X abbamo evdenzato pol e relatv resdu (che sono n numero par alla molteplctà del polo) vengono evdenzat medante enumerazone ne press del polo stesso. Rappresentazone con pol e zer. W( s) K w r r ( s z ) ( s p ) m m bl Kw è detto fattore d trasfermento. Se an Kw bl. Ad esempo, la rappresentazone grafca, nel caso d due zer compless conugat e d un polo reale negatvo, an è: jω O jω K w σ X σ O jω Mettamoc, adesso, nel caso pù generale, n cu voglamo dstnguere pol e zer real da pol e zer compless conugat, mettendo n evdenza le rspettve molteplctà. Per dstnguere le grandezze relatve al numeratore da quelle relatve al denomnatore useremo al numeratore l smbolo d soprasegno. Allora supponamo d avere al numeratore µ zer real e ν coppe d zer compless conugat, mentre al denomnatore µ pol real (compres eventual pol nell orgne) e ν coppe d pol compless conugat. Sa K w l fattore d trasfermento, m m la molteplctà dell esmo zero, m la molteplctà del polo nell orgne, m k la molteplctà dell -esmo zero, la molteplctà della pag.6

27 Eserctazone n - Rappresentazone delle funzon d s k-esma coppa complessa conugata d zer e m k la molteplctà della k-esma coppa complessa conugata d pol. Fssate tal convenzon, per W( s) avremo una espressone del tpo: W( s) K w µ ν m s s k k m k ( σ ) [( σ ) + ω ] k µ ν m m k k m k s ( s σ ) [( s σ ) + ω ] k dove al denomnatore s sono mess n evdenza gl eventual pol nell orgne. L espressone trovata può essere espressa n un modo dfferente, pù utle per determnate applcazon: Sa T σ, coè l valore nverso dell esmo zero reale cambato d segno: Tale valore c rcorda le costant d tempo de sstem aperodc. Sa ζ σ k k k σ + ω Sa, nfne, ω σ + ω nk k k, grandezza defnta come coeffcente d smorzamento., detta pulsazone naturale non smorzata. Espresson analoghe, a meno del smbolo d soprasegno, valgono anche per pol. Sosttuendo alla precedente espressone, s ha: W( s) K dove µ ν m s ( + st ) + ζ s + k ω n ω n µ ν m m ζ s s ( + st ) + s + k ωn ωn ν ν pag.7

28 Eserctazone n - Rappresentazone delle funzon d s K K w µ ν m T k µ ν m T k n ν ( ω ) vene defnto come guadagno. ν n ( ω ) Bsogna stare molto attent nel corso dello studo a non confondere fattore d trasfermento e guadagno perché sono due parametr rfert a due dfferent espresson della W( s). Notamo anche che: K lm W ( s ) s s m Passaggo tra le due rappresentazon. La rappresentazone con zer e pol è la pù mmedata e quella che offre un sgnfcato fsco. Talvolta può essere utle transtare da una rappresentazone all altra. Solo nel caso d pol tutt dstnt s ha che: W( s) K w r n ( s z ) m ( s p ) n j R j s p j In questa espressone abbamo pol e c mancano resdu. Ogn polo, avendo molteplctà, avrà un solo resduo. R j lm K s p j w r m s z ( ) n j w ( s p ) ( s p ) K r j ( p z ) j ( p p ) m j ( p z ) j E l j-esmo polo collegato con un segmento a tutt gl zer. S tratta d un vettore. ( p p ) j S tratta d un vettore d collegamento tra l j-esmo polo e tutt gl altr pol. pag.8

29 Eserctazone n - Rappresentazone delle funzon d s R j K w r n j ( p z ) j ( p p ) j m r R m ( p p ) ( p p ) + K j j n j j w con K w ± π a seconda se K w < o K w >. Se K w vara tra e dremo d essere n presenza d attenuazone. Come esempo vedamo l caso n cu nell orgne ed uno zero reale. abbamo due pol compless conugat, un polo D O p X ψ A z ϕ jω ϕ p X B σ p X C Supponamo d voler calcolare l resduo d p : R AD AB+ AC K w R ψ ϕ ϕ + K w pag.9

30 Eserctazone n - Rappresentazone delle funzon d s Rappresentazone d W(jω). W( jω ) è una funzone complessa della varable reale ω. In buona sostanza s tratta della W( s) defntà medante valor che s assume lungo l asse mmagnaro. Essa può essere rappresentata a mezzo d parte reale e parte mmagnara o d modulo e fase. W( jω) R( ω) + ji ( ω) M ( ω) e j α ( ω ) Le formule d passaggo tra le due rappresentazon sono: R( ω) M ( ω) cosα I ( ω) M ( ω) senα M( ω) R ( ω) + I ( ω) I ( ) arctg ( ω α ω ) R( ω) La W( jω ) è suscettble d tre dfferent tp d rappresentazone:.dagramm logartmc o d Bode..Dagramm polar o d Nyqust..Dagramm cartesan o d Nchols. Dagramm logartmc o d Bode. E una rappresentazone del modulo e della fase d W( jω ). Sa per la rappresentazone del modulo che per quelle della fase n ascsse s rporta l logartmo decmale d ω (su carta semlogartmca rportamo drettamente valor d ω ) mentre n ordnate per l modulo rportamo l valore del modulo n db, coè vent volte l logartmo decmale del modulo, mentre per la fase rportamo drettamente l valore della fase n grad. Ascsse log ω Ordnate M db log M ( ω ) Dagramm cartesan o d Nchols. pag.

31 Eserctazone n - Rappresentazone delle funzon d s S sfruttano le carte d Nchols, dagramm che consentono d passare dallo studo del sstema a catena aperta a quello a catena chusa. S rporta n ordnate MdB log M ( ω ) come per Bode ma con scala artmetca normale. In ascsse s ntroducono corrspondent valor d fase espress n grad. Così facendo ogn punto della curva è ben defnto. ω è la taratura delle curve che sono descrtte al varare d ω. Il vantaggo è d potere usufrure d una rappresentazone unca che raccogle tutte le nformazone. Dagramm polar o d Nyqust. Sugl ass s hanno due scale artmetche normal e s può rappresentare con modulo e fase o con parte reale e parte mmagnara. Per ogn valore d ω ho un solo punto e al varare d ω vene descrtta una curva, detta polare. Importante è sottolneare che da questa curva è possble trarre nformazon sulla stabltà o sulla nstabltà del sstema. pag.

32 Eserctazone n - Rappresentazone delle funzon d s pag.

33 Eserctazone n - I dagramm d Bode ESERCITAZIONE N I DIAGRAMMI DI BODE. C occuperemo n questa sede de dagramm d Bode, che, come detto nella precedente ( ω ). Damo due defnzon utl: eserctazone servono alla rappresentazone della funzone complessa d varable reale W j Decade: Intervallo de valor d ω che stanno tra loro n rapporto. Ottava: Intervallo de valor d ω che stanno tra loro n rapporto. Ne dagramm d Bode s rcorre a scale logartmche dal momento che sono oggetto d studo grandezze che hanno un range d escursone puttosto ampo. Dunque, n questo modo, s ha una sorta d compressone del range dnamco della varable ω. Per l traccamento d W( jω ) faccamo rfermento all espressone n cu fgura l guadagno K, coè: W( jω) K µ ν m ζ ( jω) ( + jω T ) + ( jω) + k ω n ωn µ ν m m ζ ( jω) ( jω) ( j T + ω ) + ( jω) + k ωn ωn ν ν Vedamo l espressone del modulo logartmco: µ ν ζ k ω Lm[ W( jω)] Lm( K) + m Lm( + jω T ) + mk Lm + ( jω) + k ω nk ω µ ν ζ k ω + m Lm( jω) + m Lm( + jωt ) + mk Lm + ( jω) ω ω k nk nk nk pag.

34 Eserctazone n - I dagramm d Bode Occupamoc adesso della fase: termn al numeratore danno un contrbuto postvo, quell al denomnatore un contrbuto negatvo. µ ν ζ k ω W( jω) K + m ( + jω T ) + mk + ( jω) + k ω nk ω µ ν ζ k ω + m ( jω) + m ( + jωt ) + + ( jω) ω ω k nk nk nk Il dagramma ottenuto rportando n ordnate l logartmo del modulo espresso n decbel e n ascsse l logartmo d ω espresso n decad (o ottave) costtusce l dagramma del modulo logartmco o dagramma d attenuazone o guadagno. Il dagramma ottenuto rportando la fase espressa n grad n ordnate e l logartmo d ω espresso n decad (o ottave) n ascsse costtusce l dagramma logartmco d fase o dagramma d fase. Entramb quest dagramm fornscono la rappresentazone d Bode della W( jω ). Nell espressone della W( jω ) rntraccamo 4 fattor fondamental a cu rdurre lo studo d modulo e fase: K ( jω ) ± fattore costante. fattore monomo. ( + j T) ± ω fattore bnomo. ± ζ ω + ( jω) fattore trnomo. ωn ωn L esponente negatvo sgnfca che l fattore compare al denomnatore, quello postvo al numeratore. La rappresentazone complessva della W( jω ) rsulta dalla composzone delle rappresentazon de fattor semplc che rsultano nella sua espressone. Vsto che tale rappresentazone rsulta sovente complessa, per semplfcare ulterormente lo studo, s rcorre all uso d rappresentazon asntotche onde po effettuare correzon per pervenre all andamento esatto. Ponamoc allo studo de sngol fattor. pag.4

35 Eserctazone n - I dagramm d Bode Fattor costant. La costante K non dpende da ω per cu l dagramma del modulo logartmco è: LmK log K db Questa è una retta orzzontale. Questo fattore eleva le curve logartmche del modulo d un valore fsso. La fase è se K è postva mentre è d ± π se K è negatva. Fattore monomo. Lm( jω) logω S tratta d una retta che passa per db per ω con una pendenza d db/decade o d 6 db/ottava. Se ho molteplctà la pendenza vene moltplcata per la molteplctà. L angolo d fase è costantemente uguale a 9. Se l fattore compare al numeratore le pendenze sono postve ( db/decade o d 6 db/ottava) e la fase è costantemente uguale a 9. Se ho molteplctà la pendenza vene moltplcata per la molteplctà. Fno a questo punto non abbamo fatto alcuna approssmazone. Fattore bnomo. Lm + jωt log log + ω T + jωt Premettamo che l segno d T non nflusce sul modulo ma solo, eventualmente, sulla fase. Il dagramma del modulo presenta due asntot: Per ωt << abbamo che Lm + jωt log Qund, per bass valor d ω l asntoto concde con l asse delle ascsse. pag.5

36 Eserctazone n - I dagramm d Bode Per ωt >> abbamo che Lm + jωt log log ωt jωt L asntoto è, n tal caso, una retta con una pendenza negatva d 6 db/ottava o db/decade che nterseca l asse delle ascsse per ω, detto punto d rottura. Abbamo che l ntersezone de T due asntot costtusce una spezzata detta dagramma asntotco del modulo d tale fattore. Ovvamente le cose s capovolgono se l fattore fgura al numeratore ed n entramb cas eventual molteplctà vanno a fattore. In fgura è possble vedere l andamento approssmato e quello esatto del modulo logartmco del fattore bnomo Lm, db Dagramma esatto Dagramma asntotco db/decade ω / T Per quanto rguarda lo scostamento del dagramma esatto da quello asntotco, questo è d db alla rottura e d db un ottava sopra e un ottava sotto la rottura. Esste un dagramma detto d correzone: pag.6

37 Eserctazone n - I dagramm d Bode.5 Scostamento n db ωt 4.. Anche per la fase s ha un dagramma asntotco: α[ ] Dagramma esatto ω Valore esatto Dagramma asntotco 9... / T / T / T pag.7

38 Eserctazone n - I dagramm d Bode Le correzon per l dagramma asntotco d fase sono d 6 una decade sotto la rottura e d 6 una decade sopra la rottura. Alla rottura abbamo propro l valore esatto ( 45 ). Non è superfluo rcordare che se tale fattore s trova a numeratore segn s nvertono ed eventual molteplctà vanno a fattorzzars. Vedamo l dagramma d correzone per la fase: Scostamento n grad ωt 7.. Fattore trnomo. ζ ω + ( jω) ωn ωn ± ζ è l fattore d smorzamento. ω n è la pulsazone naturale. Se ζ ( ; ) (cò avvene se ω è reale) avremo a che fare con un modo oscllatoro smorzato. Il fattore trnomo s può scndere nel prodotto d due radc complesse conugate. pag.8

39 Eserctazone n - I dagramm d Bode Se ζ avremo a che fare con un moto oscllatoro smorzato. Il fattore trnomo s scnde nel prodotto d due radc real e concdent. Se ζ > (cò avvene per determnat valor d ω complessa) avremo a che fare con un moto oscllatoro smorzato. Il fattore trnomo s scnde nel prodotto d due radc real e dstnte. ζ ω ω Lm + j + n n n ζ ( ω) log ω ω ω ωn Non c occuperemo del segno d ζ perché non nflusce sul modulo logartmco ma solo sulla fase. Vedamo gl asntot: Se ω ζ ω << s ha che Lm + ( jω) log ω n ωn ωn Questo è un prmo asntoto. Se ω ζ ω ω >> s ha che Lm + ( jω) 4 log ω n ωn ωn ωn Questo è un secondo asntoto, una semretta che parte da ω ω n e prosegue con una pendenza d 4 db/decade. I due asntot s ntersecano propro per ω ω n, dando orgne al dagramma asntotco del modulo. Nella fgura successva vedamo l andamento asntotco e quello reale del fattore trnomo. pag.9

40 Eserctazone n - I dagramm d Bode Lm, db Dagramma asntotco -4 db/decade ζ [. 5 ; ] 6 8 ω / ωn 4. La rottura s ha alla pulsazone naturale. Nel caso d molteplctà o d grandezza al numeratore s lavora come gà vsto per fattor precedent. par a: La curva non presenta massm per ζ >. 77 mentre po s raggunge un massmo d valore Il valore d Lm per ω ω r è: ω ω ζ r n M r log( ζ ζ ) pag.4

41 Eserctazone n - I dagramm d Bode Al varare d ζ l massmo s ha per un dverso valore d ω. Per cò che rguarda la fase s ha che: ζω ωn α( ω) arctg ω ω n ζ ω ωn arctg ω ωn ζ ω ωn arctg ω ω n Per ζ > Per ζ < Se ω << s ha che α( ω) arctg. ω n Se ω >> s ha che α( ω) arctg( ) 8 ω n Se ω s ha che α( ω) arctg 9 ω n Dunque abbamo due asntot: uno concdente con l asse delle ascsse fno a ω. e ω n l altro par a 8 per ω ω n. Il dagramma asntotco e quello reale sono qu d seguto rportat: pag.4

42 Eserctazone n - I dagramm d Bode α[ ] ζ [. 5;. ] ζ 5 9 Dagramma asntotco ω / ωn Vedamo, a questo punto, dagramm d correzone, sa per l modulo che per la fase. Anche ess sono traccat al varare del fattore d smorzamento. S può notare che per ζ l errore è esattamente l doppo d quello commesso nel caso del fattore bnomo. Per ζ [ ; ) s ha una rsonanza che assume valore tanto pù elevato quanto pù pccolo è l valore d ζ. Gl spostament dal dagramma effettvo dpendono dal valore d ζ e possono essere molto elevat, tendendo ad nfnto per ζ. pag.4

43 Eserctazone n - I dagramm d Bode Scostamento n db ζ [. 5;. ] 7. ω / ωn pag.4

44 Eserctazone n - I dagramm d Bode Scostamento n grad ζ [. 5;. ] 7. ω / ωn pag.44

45 Eserctazone n - I dagramm d Bode Eserczo n Traccare dagramm d Bode della seguente funzone: ( + jω. ) W( jω) jω ( + jω. ) Tale funzone possede un numeratore n cu fgura un fattore costante e un fattore bnomo mentre al denomnatore rnvenamo un fattore monomo e un fattore bnomo. Consderazon sul numeratore: Il termne costante offre un contrbuto par a log al modulo logartmco e un contrbuto nullo alla fase. Il fattore bnomo offre uno zero per ω che contrbusce al modulo logartmco solo da ω n po con una crescta d db/decade. Per la fase s parte da un contrbuto nullo fno a ω, per pervenre a + 45 per ω e manteners costante a + 9 da ω n po. Consderazon sul denomnatore: Il polo nell orgne da un contrbuto par a db/decade per ogn valore d ω ed un contrbuto costantemente uguale a 9 per la fase. V è un secondo polo per ω. Esso, per cò che rguarda l modulo, comnca a fars sentre propro da ω n po, con un contrbuto d db/decade. Per la fase l contrbuto è nullo fno a ω, gunge a 45 per ω e s mantene costante a 9 da ω n po. pag.45

46 Eserctazone n - I dagramm d Bode Rportamo qu d seguto dagramm d modulo logartmco e fase: 5 4 Lm, db ω α[ ] ω 6. pag.46

47 Eserctazone n 4 - Applcazone d dagramm d Bode ESERCITAZIONE N 4 APPLICAZIONE DI DIAGRAMMI DI BODE. Eserczo n Traccare dagramm d Bode della seguente funzone: W( jω) ( + jω5. ) ( + jω. ) ( + jω. ) Tale funzone possede un numeratore n cu fgura un fattore bnomo mentre al denomnatore rnvenamo due fattor bnom. Consderazon sul numeratore: Il fattore bnomo offre uno zero per ω 8 che contrbusce al modulo logartmco solo da ω 8 n po con una crescta d db/decade. Per la fase s parte da un contrbuto nullo fno a ω 8., per pervenre a + 45 per ω 8 e manteners costante a + 9 da ω 8 n po. Consderazon sul denomnatore: Il prmo fattore bnomo offre un polo per ω 5 ed un un contrbuto par a db/decade per ogn valore d ω superore ad ω Per la fase s parte da un contrbuto nullo fno a ω 5., per pervenre a 45 per ω 5 e manteners costante a 9 da ω 5 n po. V è un secondo polo per ω. Esso, per cò che rguarda l modulo, comnca a fars sentre propro da ω n po, con un contrbuto d db/decade. Per la fase l contrbuto è nullo fno a ω, gunge a 45 per ω e s mantene costante a 9 da ω n po. Rportamo qu d seguto dagramm d modulo logartmco e fase: pag.47

48 Eserctazone n 4 - Applcazone d dagramm d Bode 5 Lm, db ω 5 5 α[ ] ω pag.48

49 Eserctazone n 4 - Applcazone d dagramm d Bode Eserczo n Traccare dagramm d Bode della seguente funzone: W( jω) ( + jω) jω ( + jω5) Tale funzone possede un numeratore n cu fgura un fattore costante e un fattore bnomo mentre al denomnatore rnvenamo un fattore monomo e un fattore bnomo con molteplctà due. Consderazon sul numeratore: Il termne costante offre un contrbuto par a log al modulo logartmco e un contrbuto nullo alla fase. Il fattore bnomo offre uno zero per ω 5. che contrbusce al modulo logartmco solo da ω 5. n po con una crescta d db/decade. Per la fase s parte da un contrbuto nullo fno a ω. 5, per pervenre a + 45 per ω 5. e manteners costante a + 9 da ω 5 n po. Consderazon sul denomnatore: Il polo nell orgne da un contrbuto par a db/decade per ogn valore d ω ed un contrbuto costantemente uguale a 9 per la fase. V è un secondo polo per ω. con molteplctà due. Esso, per cò che rguarda l modulo, comnca a fars sentre propro da ω. n po, con un contrbuto d 4dB/decade. Per la fase l contrbuto è nullo fno a ω., gunge a 9 per ω. e s mantene costante a 8 da ω. n po. Rportamo qu d seguto dagramm d modulo logartmco e fase: pag.49

50 Eserctazone n 4 - Applcazone d dagramm d Bode Lm, db ω α[ ] ω 7... pag.5

51 Eserctazone n 4 - Applcazone d dagramm d Bode Eserczo n 4 Traccare dagramm d Bode della seguente funzone: W( jω) jω 5 jω + Innanz tutto è opportuno rportare la W( jω ) nella sua forma canonca: 5 ( jω. ) W( jω) ( + jω5. ) Tale funzone possede un numeratore n cu fgura un fattore costante e un fattore bnomo mentre al denomnatore rnvenamo un fattore bnomo. Consderazon sul numeratore: Il termne costante offre un contrbuto par a contrbuto d π alla fase. 5 log al modulo logartmco e un Il fattore bnomo offre uno zero per ω 5 che contrbusce al modulo logartmco solo da ω 5 n po con una crescta d db/decade. Per la fase s parte da un contrbuto nullo fno a ω 5., per pervenre a 45 per ω 5 e manteners costante a 9 da ω 5 n po. Totto cò perché T ha un valore negatvo e lo zero, a fn della fase, s comporta come un polo. Consderazon sul denomnatore: V è un polo per ω. Esso, per cò che rguarda l modulo, comnca a fars sentre propro da ω n po, con un contrbuto d db/decade. Per la fase l contrbuto è nullo fno a ω., gunge a 45 per ω e s mantene costante a 9 da ω n po. Rportamo qu d seguto dagramm d modulo logartmco e fase: pag.5

52 Eserctazone n 4 - Applcazone d dagramm d Bode 9 Lm, db ω α[ ] 6.. ω pag.5

53 Eserctazone n 4 - Applcazone d dagramm d Bode Eserczo n 5 Traccare dagramm d Bode della seguente funzone: jω e W( jω) + jω5. Il modulo d W( jω ) è: W( jω) + jω5. Tale funzone possede un denomnatore con un fattore bnomo. Questo offre un polo per ω e propro da tale valore n po s ha un contrbuto d db/decade. Qund, complessvamente, l modulo logartmco è nfluenzato esclusvamente da tale fattore. Per cò che rguarda la fase, l numeratore da un contrbuto costantemente par a ω, mentre l denomnatore da contrbuto nullo fno ad ω., s porta a 45 per ω e s mantene par a 9 da ω n po. Il valore esatto della fase è: W( jω) ω arctg( 5. ω) Per un pù precso traccamento del dagramma d fase è utle dsporre d un set d valor della fase stessa, valor ottenut al varare d ω. ω arctg(ω ) α rad α,, , ,859445,5, , ,968856,, , ,599877,, , ,697494,5, , ,684,8, , ,68,6, , ,555, , ,59559, , ,977 4, , ,68669 Rportamo qu d seguto dagramm d modulo logartmco e fase: pag.5

54 Eserctazone n 4 - Applcazone d dagramm d Bode Lm, db ω α[ ] 6. ω pag.54

55 Eserctazone n 4 - Applcazone d dagramm d Bode Eserczo n 6 Traccare dagramm d Bode della seguente funzone: W( jω) 4 ( + jω. 5) jω ( + jω) + jω. + jω 5 8 Tale funzone possede un numeratore n cu fgura un fattore costante e un fattore bnomo mentre al denomnatore rnvenamo un fattore monomo, un fattore bnomo e un fattore trnomo. Consderazon sul numeratore: Il termne costante offre un contrbuto par a log 4. 4 al modulo logartmco e un contrbuto nullo alla fase. Il fattore bnomo offre uno zero per ω che contrbusce al modulo logartmco solo da ω n po con una crescta d db/decade. Per la fase s parte da un contrbuto nullo fno a ω., per pervenre a + 45 per ω e manteners costante a + 9 da ω n po. Consderazon sul denomnatore: Il polo nell orgne da un contrbuto par a db/decade per ogn valore d ω ed un contrbuto costantemente uguale a 9 per la fase. V è un secondo polo per ω 5.. Esso, per cò che rguarda l modulo, comnca a fars sentre propro da ω 5. n po, con un contrbuto d db/decade. Per la fase l contrbuto è nullo fno a ω. 5, gunge a 45 per ω 5. e s mantene costante a 9 da ω 5 n po. Studamo, adesso, l fattore trnomo: n esso notamo che la pulsazone naturale è ω n 8. Da tale valore è possble rcavare: ζ. 5 ω n, per cu ζ ωn. 5.. Facendo uso de dagramm asntotc e, n seguto, degl opportun dagramm d correzone s ottengono andament del modulo e della fase come qu d seguto rportato: pag.55

56 Eserctazone n 4 - Applcazone d dagramm d Bode Lm, db ω α[ ] ω 7.. pag.56

57 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust ESERCITAZIONE N 5 DIAGRAMMI POLARI O DI NYQUIST. Come abbamo gà avuto modo d dre W( jω): R C. I dagramm polar perseguono una rappresentazone della W( j ) ω sul pano complesso tramte parte reale e parte mmagnara oppure tamte modulo e fase, n va del tutto equvalente. W( jω) R( ω) + ji( ω) M ( ω) e j α ( ω ) Rcordamo che R( ω ) e M( ω ) sono due funzon par d ω mentre I( ω ) e α( ω). Il traccamento de dagramm polar vene effettuato rcavando una collezone d valor delle due coppe d grandezze e rnvenendo così de punt che testmonano l andamento della grandezza, coè una rappresentazone completa del sstema. S tratta d una curva esatta, anche se per nostr scop è suffcente traccare un andamento qualtatvo. Le nostre azon s artcoleranno n tre pass:.calcoleremo seguent lmt: lm M ( ω) ω lm α( ω) ω + + lm M ( ω) ω + lm α( ω) ω + Cò sarà fatto col precso scopo d valutare l andamento d W( jω) agl estrem dell ntervallo d osservazone ] + + [,. Per quanto rguarda l ntervallo ] [, c s rfà al fatto che essendo l modulo una funzone par e la fase una funzone dspar, la rappresentazone sarà la smmetrca d quella dell ntervallo ] +, + [ rspetto all asse reale..s cercano eventual ntersezon con gl ass: R( ω ) è l equazone che offre eventual ntersezon con l asse mmagnaro; I( ω ) è l equazone che offre eventual ntersezon con l asse reale; pag.57

58 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust.Può accadere che per cert valor d ω (tpcamente ω da snstra o da destra) la W( jω ) tenda asntotcamente ad un dato valore. Può essere utle stablre se tale asntoto sa effettvamente un asse o qualche retta ad uno degl ass parallela. Questa nformazone può essere ω. rcavata osservando se tenda a pù velocemente la parte reale o la parte mmagnara d W( j ) Studamo, adesso, qualche caso nteressante. W( jω) K ( + jωt ) ( + jωt ) con K, T, T R +. Trattas d una funzone d trasfermento avente un fattore costante a numeratore e due fattor bnomo a denomnatore, coè due pol. lm W( jω) K ω +. lm W( jω) 8. ω + Vedamo le eventual ntersezon con gl ass: K K W( jω) ( + jωt ) ( + jωt ) ω T T + jω( T + T ) K[ ω T T jω( T + T )] [( ω T T ) ω ( T + T ) ]. R( ω) ω T T ω ± I ( ω) ω( T + T ) ω. T T pag.58

59 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust Dunque abbamo una ntersezone con l asse mmagnaro per ω ± T T e una con l asse reale, propro nell orgne del rfermento con ω. La rappresentazone non possede asntot. Il suo andamento qualtatvo (n dpendenza da valor assunt da T, T ) sarà: ω + K ω Vedamo cosa succede se all espressone gà analzzata aggungamo un ulterore polo: W( jω) K ( + jωt ) ( + jωt ) ( + jωt ) con K, T, T, T R +. lm W( jω) K ω +. lm W( jω) 7. ω + Vedamo le eventual ntersezon con gl ass: pag.59

60 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust K W( jω) ( + jωt ) ( + jωt ) ( + jωt ) K ω ω + + ω ( T T T T T T ) j[ ( T T T ) T T T ] { ω ( ) [ ω( ) ω ]} K T T + T T + T T j T + T + T T T T a b a ω ( T T + T T + T T ), ω ω b ( T + T + T ) T T T. R( ω) ω ( T T + T T + T T ) ω ± I ( ω) ω( T + T + T ) ω T T T ω, ω ± T T + T T + T T. T + T + T T T T T T + T T + T T e Dunque abbamo una ntersezone con l asse mmagnaro per ω ± due con l asse reale, una propro nell orgne del rfermento per ω e l altra per T + T + T ω ±. La rappresentazone non possede asntot. Il suo andamento qualtatvo (n T T T dpendenza da valor assunt da T, T, T ) sarà: 7 8 ω + K ω pag.6

61 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust Come s evnce dalla rappresentazone polare, l aggunta d un polo fa ruotare l dagramma d 9 n senso oraro. Intutvamente apprendamo che uno zero sortrebbe un effetto contraro. Occupamoc, adesso, dello studo della stuazone che s vene a creare quando aggungamo uno zero: ntutvamente s comprende che l comportamento varerà al varare della poszone relatva dello zero rspetto a pol. W( jω) K ( + jω T ) ( + jωt ) ( + jωt ) ( + jωt ) con K, T, T, T, T R +. Studamo lmt: lm W( jω) K. ω + lm W( jω) 8. ω + Vedamo le eventual ntersezon con gl ass: K ( + jω T ) W( jω) ( + jωt ) ( + jωt ) ( + jωt ) K ( + jω T ) ω ω + + ω ( T T T T T T ) j[ ( T T T ) T T T ] { [ ]} K ω ( T T + T T + T T ) j ω( T + T + T ) ω T T T ( + jω T ). a b a ω ( T T + T T + T T ), b ω( T + T + T ) ω T T T. pag.6

62 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust [ ] R( ω) ω ( T T + T T + T T ) + ω T ω( T + T + T ) ω T T T 4 ω ( T T T T ) ω ( T T + T T + T T T T T T T T ) Q ω A ( T T T T ), B ( T T + T T + T T T T T T AQ BQ Q,,, 4 T T B ± B + 4 A ω ± Q, ω ± A [ ] [ ] I ( ω) ω ( T T + T T + T T ) ω T ω( T + T + T ) ω T T T ω ( T T T + T T T + T T T T T T ) ω T + T + T + T C T T T + T T T + T T T T T T D T + T ω ±, ω, + T + T D C ) Q In conclusone, abbamo due ntersezon con l asse reale e due con l asse mmagnaro. I corrspondent valor d ω. Vedamo, adesso, le vare stuazon:. T < T < T < T Incontreremo prma tre pol e po lo zero: pag.6

63 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust 7 8 ω + K ω Vedamo l dettaglo attorno all orgne: ω pag.6

64 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust. T < T < T < T Incontreremo prma due pol e po lo zero, qund l ultmo polo: 7 8 ω + K ω Vedamo l dettaglo attorno all orgne: ω pag.64

65 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust. T < T < T < T Incontreremo prma un polo, po lo zero, qund gl altr due pol: ω + K ω Vedamo l dettaglo attorno all orgne:. 7 8 ω pag.65

66 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust 4. T < T < T < T Incontreremo prma lo zero e po tre pol: ω + K ω Vedamo l dettaglo attorno all orgne:. 7 8 ω pag.66

67 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust Dagramm polar nvers. La metodologa d studo ndcata mantene la sua valdtà anche nel caso n cu da oggetto del nostro studo la W ( jω ). Applcheremo, qund, la stessa sequenza d pass gà evdenzata. Rcorramo subto a qualche esempo: W ( jω) ( + jωt ) ( + jω T ). K Effettuamo lo studo de lmt: lm W( jω) ω + K. lm W( j ω) + 8. ω + Vedamo eventual ntersezon con gl ass: R( ω) ω T T ω ± I ( ω) ω( T + T ) ω +. T T S osserva qund un ntersezone con l asse mmagnaro e nessuna con l asse reale (la funzone. Grafcando, s ha che: d trasfermento s avvcna ndefntamente all asse reale per ω ω ω + K pag.67

68 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust Prma d affrontare una dversa questone teorca soffermamoc a svolgere un pao d esercz: Eserczo n 7 Rcavare l dagramma polare per la seguente funzone d trasfermento: W( ω) K ( jω) ( + jωt) o Procedendo con la solta metodologa: ω lm W( j ω) lm W( jω) 7. ω + Non v sono ntersezon con gl ass se non con l orgne per ω + ne asntot. ω ω pag.68

69 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust Eserczo n 8 (proposto dal Prof. Ing. Tommaso Ramond). Rcavare l dagramma polare per la seguente funzone d trasfermento: W( ω) K ( + jωt) ( jω) ( jωt ) Per prma cosa rconducamo la W( jω ) nella sua forma canonca: K ( + jωt) W( ω) ( jω) ( jωt ) Procedendo con la solta metodologa: ω lm W( j ω) lm W( jω) + 7. ω + Studamo le eventual ntersezon con gl ass: K ( + jωt) K ( + jωt) K ( + jωt) ( ω T jω) W( ω) ( jω) ( jωt ) 4 ω T + jω ω T + ω K 4 ω T + ω [ ω T T jω ω TT ] ( + ) + ( ). R( ω) ω ( T + T) ω. I( ω) ω( ω TT ) ω + +, ω ±. TT Dunque abbamo una sola ntersezone con l asse reale, oltre al tendere all orgne al dver-gere d ω. Dovremo analzzare separetamente due cas che possono emergere n dpendenza della poszone relatva dello zero e del polo. pag.69

70 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust. T > T, s ha prma lo zero e po l polo: 8 ω ω T < T, s ha prma l polo e po lo zero: 8 ω ω pag.7

71 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust Vedamo l dettaglo attorno all orgne: ω pag.7

72 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust Eserczo n 9 Rcavare l dagramma polare per la seguente funzone d trasfermento: W( ω) K ( + jω T ) o ( jω) ( + jωt ) ( + jωt ) ( + jωt ) 4 Procedendo con la solta metodologa: ω lm W( j ω) lm W( jω) 6. ω + Ipotzzamo che sa: ultmo polo. < < < T T T4 T. S ncontrano prma due pol, po lo zero, po un 8 ω ω pag.7

73 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust Relazone fra parte reale e parte mmagnara e fra modulo e fase. Abbamo appena llustrato dvers mod d assegnare una funzone d varable complessa attraverso valor cheessa assume n corrspondenza all asse mmagnaro: n tutt mod llustrat s trattava d dare, per ogn valore d ω nell ntervallo ] ; + [, due parametr caratterzzant la funzone stessa (parte reale e mmagnara ovvero modulo e fase). Per determnate class d funzon, molto mportant dal punto d vsta applcatvo, le W( s) possono essere assegnate dando un solo parametro, una sola parte delle nformazon relatve a valor assunt dalla funzone stessa n corrspondenza all asse mmagnaro, ad esempo quelle relatve alla sola parte reale. Tal propretà sono state studate da numeros autor; le formule pù note per passare dalla parte assegnata della W( jω ) a quella mancante vanno sotto l nome d Kramers-Köng quando c s rfersce alle espresson analtche, ndpendentemente dal loro possble sgnfcato fsco, e d Bayard-Bode quando c s rfersce alla teora delle ret elettrche. Sa la funzone W( s) analtca n tutto l sempano destro, frontera compresa, cò che equvale per le funzone razonal fratte fn qu consderate a non avere pol con parte reale maggore o uguale a zero. La I n funzone della R è data da: ω I ( ω) π Inoltre s ha che: + ω R( ω) R( ) π S ha anche che: R( ω) R( ω ) dω fssato l valore d ω. ω ω I( ω) I ( ω ) ω ω dω ω ω +. jα ( ω ) ln[ W( jω)] ln[ M ( ω) e ] ln[ M( ω)] + jα( ω). A questa espressone possamo applcare le regole ga vste per parte reale e parte mmagnara. Valgano le stesse potes e noltre che non v sano zer con parte reale postva. (Queste potes devono essere fatte per garantre l analtctà). I ( ω) α( ω) R( ω) ln[ M( ω)] ω α( ω) π + ln[ M( ω)] ln[ M ( ω )] d ω ω ω pag.7

74 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust α( ω) α( ω ) ω + ω ω ln[ M ( ω)] ln[ M( )] dω. π ω ω In questa espressone, però, fgura l logartmo naturale mentre ne dagramm d Bode v è l logartmo decmale. Dobbamo pervenre a quest ultmo. Q ln W( jω) ln M ω µ ln ω Da questa defnzone derva che se µ ω ω. π µ α( ω) + ln coth µ dq dq + µ π µ dq µ µ µ d d d d Il prmo termne dell ntegrale rappresenta la dfferenza d pendenza tra ω e un punto vcno. La seconda parte è una funzone peso. dq dµ rappresenta la pendenza del dagramma de modul per la ω normalzzata, espressa n neper db db neper /untà µ. Devo portarm a pendenze d db/decade. 6 untൠdecade ottava. 8 7 lncoth µ ω / ω pag.74

75 Eserctazone n 5 - Dagramm polar o d Nyqust Osservamo che l termne d peso va tenuto n conto solo per ω ω perché altrove l peso non da contrbuto. Ne punt a pendenza costante l fattore ntegrale può essere trascurato. Avremo che: π π log α( ω) dq µ d M d d logω µ ω ω Per cu s ha la stessa pendenza. Dvdendo per ambo membr: π α( ω) 4 dmdb d log ω ω ω che è la pendenza d Bode per ω ω. pag.75

76 Eserctazone n 6 - Sstem a fase mnma ESERCITAZIONE N 6 SISTEMI A FASE MINIMA. Un sstema è a fase mnma se è caratterzzato da una funzone d trasfermento non avente pol o zer con parte reale postva o nulla. Come vsto n precedenza, sstem a fase mnma sono anche caratterzzat dalla propretà che parte reale e parte mmagnara oppure mudulo e fase sono tra loro legat. Consderamo adesso una funzone a fase mnma e una a fase non mnma: W( jω) W( jω) jωt + M e j jωt + jωt M e j jωt + α α zero con parte reale negatva. zero con parte reale postva. Grafcamente: jω X / T / T / T σ Dove è T > T. Notamo che: M M ω T ω T + + α arctgωt arctgωt α 8 arctgωt arctgωt pag.76

77 Eserctazone n 6 - Sstem a fase mnma Vedamo dagramm d W( jω ) : 5 45 Lm, db ω α[ ] ω. pag.77

78 Eserctazone n 6 - Sstem a fase mnma Vedamo dagramm d W( jω ) : 5 45 Lm, db ω. 8 9 α[ ] ω 6. pag.78

79 Eserctazone n 6 - Sstem a fase mnma Come è evdente da grafc appena rportat ne sstem a fase mnma l dagramma d fase presenta valore mnmo. A questo punto, con l precso scopo d dedurre ulteror nformazon, calcolamo la rsposta n regme transtoro de due sstem, coè la rsposta al gradno, anche detta rsposta ndcale. Anttrasformando le due espresson s ha che: w w T ( t) + e T t T T ( t) + + e T t T Una modaltà d verfca d queste espresson può essere l lmte per t +. Grafcamente s ha che: Fase mnma Fase non mnma t Notamo, nnanz tutto, che ad una sollectazone d ampezza untara s ottene una rsposta d ampezza maggore d uno n entramb cas. Cò è conseguenza del fronte rpdo del gradno. Qund s vede anche che l sstema a fase non mnma mplca una nversone d segno dell uscta. Inoltre l comportamento nel transtoro del sstema a fase non mnma è meno rapdo. Il sstema a fase mnma, nvece, tende a raggungere l regme pù n fretta. Così s può concludere che l sstema a fase non mnma ha una scarsa prontezza d rsposta. pag.79

80 Eserctazone n 6 - Sstem a fase mnma Consderamo, a ttolo d esempo, un elemento a rtardo fnto: u( t) FINITE DELAY y( t) S ha che: y( t) u( t T). u( t) u( t T) t t Y( s) U ( s) e Ts Y( s) Ts W( s) e Ts U ( s) Cò per T. Abbamo uno zero con parte reale negatva. Dunque l sstema corrspondente è a fase non mnma. Vceversa, è possble affermare che un satema a fase non mnma presenterà n t un rtardo T. Ecco che è possble affermare che un sstema a fase non mnma parte sempre con un certo rtardo e rsponde meno velocemente ad una sollectazone. pag.8

81 Eserctazone n 8 - Procedment numerc d Convoluzone e Deconvoluzone ESERCITAZIONE N 7 ANALISI MODALE. Eserczo n Calcolare la rsposta lbera nello stato del sstema elettrco d fgura. R L R v( t) + t + L ( t) + ( t) C C Come noto, lo stato è una varable del sstema che confgura la stora e l evoluzone passata del sstema stesso e cò ndpendentemente dagl ngress applcat n stant precedent a quello a cu lo stato è noto. A partre da esso, e n corrspondenza a successv valor d ngresso, è possble ndvduare l uscta n modo unvoco. Affnchè l modello sa completamente caratterzzato è necessaro che lo stato sa completo: n caso contraro l comportamento del sstema non rsponderà alle prerogatve per esso potzzate. Nel caso n questone sceglamo come varabl d stato le tenson su condensator e le corrent negl nduttor: la scelta non è casuale poché quelle scelte sono le grandezze che tengono conto dell energa mmagazznata nella rete. Bsogna porre molta attenzone nella scelta delle polartà. v x v C C L Come varable d ngresso sceglamo la tensone applcata ( u( t) v( t) ) mentre come varable d uscta sceglamo la corrente che scorre attraverso l resstore R ( y( t) R ( t) ). Questo è solo l nostro punto d vsta e da questa scelta dpende l modello che rcaveremo. Scrvamo le equazon del crcuto, allo scopo d rcondurre l sstema ad una rappresentazone d tpo mplcto: x( t) A x( t) + b u( t) y( t) c' x( t) + d u( t) Dall equazone del nodo A: pag.8