Sulla quantità dei numeri primi inferiori a una data grandezza

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2 Sulla quanttà de numer prm nferor a una data grandezza (Rendconto menle dell Accadema d Berlno, Novembre 859) Non credo d potere eprmere meglo l mo rngrazamento per la conderazone che l Accadema ha avuto ne me rguard, ammettendom fra uo corrpondent, e non facendo mmedatamente uo del prvlego conneo a queto ttolo, per comuncare una rcerca ulla frequenza de numer prm; argomento che, tante l nteree motrato da Gau e Drchlet durante lungh ann, m embra non mmertevole d una mle comuncazone. In queta rcerca, parto dall oervazone d Eulero ul prodotto, n p dove p vara u tutt numer prm ed n u tutt numer nter. Indco con ζ() la funzone della varable complea rappreentata da quete due epreon quando convergono. Ambedue convergono oltanto e la parte reale d è maggore d, tuttava può trovare faclmente un epreone della funzone che ret empre valda. Applcando l equazone ottene dapprma e n Π( ) ζ() = ( ) d n e d. Il teto a fronte è rprodotto da B. Remann geammelte mathematche Werke, a ed., Lpa, 89, edzone che arà ndcata con la gla RW. Nella prma pubblcazone, Monatberchte der Berlner Akademe, 3 November 859, la Memora occupa pagne (67-68), nella RW occupa 8 pagne e rghe (45-53) ed è eguta da alcune note dell Edtore. La traduzone francee d RW, Oeuvre Mathématque de Remann, Parg, 898, rporta la Memora e le note dell Edtore nelle pp Una traduzone pagnola, comprenva delle uddette note, è quella d Juan Ara de Reyna, prelevable da Una traduzone nglee trova n H. M. Edward, Remann Zeta Functon, N. Y., 974, Dover edton, Appendce a p. 99. L nottuble opera d Edward arà ctata, n eguto, colla gla ZF. Un altra traduzone nglee è tata pubblcata da D. R. Wlkn nel 998 e può prelevare da Le note ( ), ( ), ( 3 ) rfercono alle note dell Edtore pote dopo la Memora (Anmerkungen)..

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4 3 S conder adeo l ntegrale ( ) e da + a + preo nel vero potvo attorno a un domno che contenga all nterno l valore, ma non altre dcontnutà dell ntegrando, ottene faclmente come valore d queto ntegrale d d ( e e ), 3 e qualora nella funzone poldroma ( ) = e ( )log ( ), l logartmo d a defnto n modo da eere reale per negatvo. Da queto ottene ( ) d n π Π( ) ζ() =, e eendo l ntegrale defnto nel pano col uddetto gnfcato. Queta equazone fornce adeo l valore della funzone ζ() per quala compleo e motra che queta funzone è monodroma, fnta per ogn valore fnto d, tranne, ed anche che ea annulla quando è uguale a un ntero negatvo par. ( ) Quando la parte reale d è negatva, allora, nvece d eere preo n eno potvo attorno al domno pecfcato, queto ntegrale può eere preo n eno negatvo attorno a quel domno contenente tutte le rmanent quanttà complee perché l ntegrale calcolato con valor d modulo nfntamente grande dventa nfntamente pccolo. Comunque, all nterno d queto domno, l ntegrando ha dcontnutà oltanto dove w rulta uguale ad un multplo ntero d ± π, e l ntegrale è coì uguale alla omma degl ntegral calcolat n eno negatvo attorno a quet valor. Poché l ntegrale attorno al valore nπ è = ( nπ) ( π), ottene da quet n π Π( ) ζ() = (π) n (( ) + ), una relazone tra ζ() e ζ( ) che, eprea come egue medante l uo d note propretà della funzone Π: Π π ζ() rmane nvarata quando ad ottuca. Queta propretà della funzone m ha ndotto a ntrodurre nel generco termne della ere nvece d Π( ) l ntegrale d Π, n Domno traduce l termne Gröengebet (regone o campo d grandezze), rpetuto altre tre volte nella tea pagna mentre, due pagne dopo, è uato l pù emplce Gebet. 3 Nella traduzone francee, l fattore che moltplca l ntegrale è crtto erroneamente ( e π e π ). Corretto è nvece nelle altre traduzon ctate.

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6 5 dal quale ottene un epreone molto opportuna della funzone ζ(). In effett ha allora, ove ponga oppure, eendo coì che od anche n n n e Π e ζ() = n n (), d, ( ) d, ψ() + =, (Jacob, Fundamenta nova pag. 84) *) Π Pongo adeo = + t e 3 ζ() = d ) ( d 3 + d = () d ( ). Π ( ) ξ(t) = (t t + ) ( ) 3 ζ() = ξ(t), 3 4 co t log d d ( ' ()) ξ(t) = 4 4 co t log d. d Queta funzone è fnta per tutt valor fnt d t, e può eere vluppata n una ere d potenze d t che converge molto rapdamente. Poché per un valore d, la cu parte reale è maggore d, log ζ() = Σlog( p ) reta fnto, e lo teo vale per logartm de retant fattor d ξ(t), la funzone ξ(t) può olo annullar quando la parte mmagnara d t è comprea fra e. Il numero delle radc d ξ(t) =, le cu part real ono compree fra e T, è crca *) Opere complete d Jacob, Vol. I. pag. 35. [Nota dell edzone RW]. Nella formula che egue, l edzone Monatberchte reca, nel prmo ntegrale, l epreone ()ψ nvece d ψ().

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8 7 = T π log T π T ; π perché l ntegrale d log ξ (t), preo n eno potvo attorno all neme de valor d t, la cu parte mmagnara a comprea fra e e la cu parte reale a comprea fra e T è uguale (tranne T che per una parte frazonara dell ordne della grandezza ) a Tlog T ; ma quet ntegrale T π è uguale al numero delle radc d ξ(t) = gacent n tale domno, moltplcato per π. In realtà trovano all ncrca altrettante radc real all nterno d queta frontera, 4 ed è molto probable che tutte le radc ano real. Al rguardo arebbe certamente dederable una rgoroa dmotrazone; tuttava ne ho tralacato provvoramente lo tudo dopo alcun fugac tentatv nfruttuo, perché ea non embra neceara allo copo mmedato della ma ndagne. 5 S ndch con α ogn radce dell equazone ξ (α) =, coì che poa eprmere log ξ (t) medante Σ t t log + log ξ (); α α n effett, poché la dentà delle radc d grandezza t aumenta con t oltanto come log t, queta epreone converge e per t nfnto dvene nfnta oltanto come tlog t; pertanto ea dfferce da log ξ (t) per una funzone d tt, che per un t fnto reta contnua e fnta e dva per tt dventa nfntamente pccola per un t nfnto. Tale dfferenza è dunque una cotante, l cu valore può eere determnato ponendo t =. Con quet mezz aular è adeo poble determnare la quanttà de numer prm che ono nferor ad. F() a tale quanttà quando non è propro uguale ad un numero prmo, a nvece uguale a tale quanttà aumentata d quando è un numero prmo, n modo che per un che provoca un alto F() var coì S ottuca adeo n F( ) F( ). log ξ() = Σ log ( p ) = Σ p + p + 3 p p con p p d, p con d,..., 4 Gebet è tradotto con domno (cfr. la nota d due pagne precedent), Grenze con frontera. 5 La cornce e la ottolneatura ono del traduttore, come rulta evdente dal teto tedeco.

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10 9 n modo che ottenga log () f () dove F() + F ( ) F ( 3 ) è tato ndcato con f(). Quet equazone è valda per ogn valore compleo a + b d, quando a >. Ma e con quet pote è valda l equazone g () = h () d log la funzone h può eere eprea tramte la funzone g per mezzo del teorema d Fourer. Quando h() è reale e g(a + b) = g (b) + g (b), l equazone dvde nelle due: g (b) = g (b) = h() -a h() d, co (b log ) d log -a n (b log ) d log Moltplcando le due equazon per (co (b log y) + n (b log y)) db e ntegrando da a a +, ottene n ambedue nella parte detra n forza del teorema d Fourer π h(y) y a, allora, ommando le due equazon e moltplcando per y a, a πh(y) = g () y d, a dove l ntegrazone deve eere tale che la parte reale d rmanga cotante. ( ) Per un valore d y nel quale la funzone h(y) ha un alto dcontnuo, l ntegrale fornce l valore medo de valor che la funzone h aume a ndue lat della dcontnutà. Poché la funzone f() è tata defnta n modo da poedere la tea propretà, ne conegue n tutta generaltà,.

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12 f(y) = a a log () y d. S può otture adeo a logζ l epreone trovata prma logπ log( ) log Π + Σ α / log + logξ(); 6 αα l ntegrale d cacun termne d quet epreone non converge però quando venga eteo all nfnto, per cu è opportuno, tramte un ntegrazone per part, traformare prma l equazone n α log ζ() d f() = d. π log d Sccome per m =, allora log Π = lm d log Π d n m n α log log m, n d log coì tutt termn dell epreone per f(), con l eccezone d α π log α d n, log ξ() d log ξ() aumono d coneguenza la forma α d log β d. π log d α Ma adeo è d log β, dβ (β )β e, quando la parte reale d è maggore della parte reale d β, π α α β d (β )β β d, 6 Il mbolo d ommatora non compare nell edzone Monatberchte e nel manocrtto rulta paleemente aggunto n un econdo tempo.

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14 3 oppure d, a econda che la parte reale d β a potva o negatva. S ha percò α d log β d π log d e α α = log d π β = β α d + cot. nel prmo log β = d + cot. nel econdo cao. log Nel prmo cao la cotante d ntegrazone reta determnata, quando facca tendere la parte reale d β all nfnto negatvo; nel econdo cao l ntegrale da a aume valor che dffercono d π, a econda che l ntegrazone rguardante valor comple avvenga con arco potvo o negatvo, e, preo n quel modo, arà nfntamente pccolo quando l coeffcente d nel valore d β dventa nfnto potvo, ma nel econdo modo, quando l uddetto coeffcentte dventa nfnto negatvo. Da queto egue come vada determnato log nel membro a ntra, n modo che β compaa la cotante d ntegrazone. Con l nermento d quet valor nella formula d f() ottene f() = L() Σ α α α L L + d log + log ξ(), ( 3 ) dove n Σ α fgurano al poto d α tutte le radc potve (o che hanno una parte reale potva) della equazone ξ(α) =, dpote econdo l ordne della loro grandezza. È poble, con una dcuone pù eatta della funzone ξ, motrare faclmente che da queto ordnamento de valor la ere

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16 5 α α Σ L L log concorda con l valore lmte vero l epreone ( / ) abd Σlog αα d π d ab che converge al crecere nceante della grandezza b, mentre tramte un ordne dvero potrebbe aumere ogn valore reale. Da f() trova F() nvertendo la relazone dando luogo all equazone n f() = F( ) n μ F() = ( ) f ( m ), m dove al poto d m pone la ere de numer non dvbl per alcun quadrato tranne e μ ndca l numero de fattor prm d m. Se lmta Σ α ad un numero fnto d termn, allora la dervata dell epreone d f() ovvero, a meno d una parte che decrece molto rapdamente al crecere d, α co(αlog ) Σ log log fornce un epreone appromata della dentà de numer prm + metà della dentà de numer prm al quadrato + /3 della dentà de numer prm al cubo ecc. pertnent alla grandezza. L appromazone conocuta F() = L() è dunque guta olo fno a grandezze dell ordne d e fornce un valore un po troppo grande; perché termn non perodc nell epreone d F() ono, precndendo da grandezze che non crecono nfntamente con, L() L L 3 3 L L 6 6 L Infatt, dal paragone, ntrapreo da Gau e Goldchmdt, d L() con l numero d numer prm nferor ad e proeguto fno a = tre mlon rulta che queto numero, a partre dal prmo centnao d mglaa, è empre nferore a L() e

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18 7 la dfferenza fra alcune fluttuazon ubce un graduale ncremento con. L addenamento e la rarefazone de prm, tendenze che nella formula ono decrtte dagl element perodc, erano gà tate oervat nel conteggo de prm, enza che foe potuta tablre una legge al rguardo. Sarebbe ntereante, n un futuro conteggo, tudare l nfluenza d ogn termne perodco contenuto nell epreone data per la totaltà de numer prm. Pù regolare d F() è l comportamento d f() che, gà nel prmo centnao, è medamente molto vcna a L() + log ξ().

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20 9 Dall Edtore delle Opere d Remann (RW) furono appote le eguent N o t e In una lettera, d cu ete la mnuta nel lacto, 7 dopo la comuncazone del rultato del lavoro, trova l eguente appunto: Non ho ancora completato la dmotrazone, e dedero allo teo rguardo... aggungere pure l oervazone che due teorem che qu m lmto ad enuncare, T T T tra e T ono tuate all ncrca log radc real dell equazone ξ(α) =, e π π π α α la ere L L, quando termn ono ordnat econdo l ordne crecente α d α, converge vero l lmte uguale a quello d ab ξ( / ) d log ξ() d quando la grandezza b crece enza lmte π log d ab ono la coneguenza d un nuovo vluppo della funzone ξ che non ho ancora emplfcato a uffcenza da poterlo comuncare. Nonotante alcun tud uccev (Schebner, Plz, Steltje), le ocurtà d queto lavoro non ono tate ancora completamente charte. ( ) (a pagna 46 [pag. 47]) Quete propretà della funzone ζ() manfetano con l mpego della econda forma d queta funzone ζ() = ππ( ) e con la conderazone, noltre, che nello vluppo econdo le potenze crecent d e contene oltanto potenze dpar. ( ) (a pagna 49 [pag. 53]) La dctura d queta propozone non è del tutto preca. Le due equazon, trattate eparatamente nel modo ndcato, forncono, quando lmt d ntegrazone, rfercono a log, πy α h (y) h, e qund, olo tramte la loro omma, la formula del teto. y ( 3 ) (a pagna 5 [pag. 57]) Per valor real d, che ano maggor d, la funzone L() è defnta d dall ntegrale ± π, dove va preo l egno uperore o nferore a econda che l ntegrazone log ( e )d 7 È tato tradotto con lacto l termne Nachla che, nella letteratura pecfca, ndca l neme degl appunt matematc upertt d Remann, conervat nella Bbloteca dell Unvertà d Gottnga.

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22 avvenga tramte valor comple con argomento potvo o negatvo. Da queto deduce faclmente lo vluppo dato da Schebner (Perodco d Schlömlch [Zetchrft für Mathematk und Phyk], tomo V) (log) L() = log log Γ'() +, n n!, che è valdo per tutt valor d e preenta una dcontnutà per valor real e negatv (cfr. la corrpondenza Gau-Beel). Effettuando l calcolo ndcato da Remann, trova nella formula log anzché logξ(). S tratta fore olo d un errore d crttura o d tampa, logξ() al poto d logζ(), eendo ζ() =. n Traduzone d Mauro Bernabe