Bayes. stati del mondo

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1 ayes Sao del mondo Se ndchamo con uno sao del mondo e un eveno, la probablà d dao ndca che s manfesa dao che è lo sao del mondo. Qund l eveno può essere pensao anche come uno sao del mondo. La formula d ayes deermna la probablà a poseror d uno sao dovua al fao che l eveno e lo sao s manfesno enramb, dvso la probablà che l eveno nervenga senza rguardo degl sa (deermnaa dalla somma d u gl sa possbl. Generalzzando possamo scrvere che per un se d sa del mondo N: / N / ; ( N / se degl sa del mondo S consder la seguene applcazone. La sruura produva d un Paese è formaa dal 5% d pccole mprese, dal 3% d mprese d meda dmensone e dal % d mprese d grande dmensone. Sappamo da una precedene sasca che l % delle pccole mprese espora la sua produzone su merca nernazonal, quesa cfra sale al 5% per le mede mprese e al 8% per le grand mprese. Se una mpresa scela casualmene dchara d non esporare nessun ammonare della sua produzone che probablà è che sa una mpresa d pccola dmensone? Indchamo con P, e G le mprese d pccola, meda e grande dmensone, e con NE l fao che non esporano. La regola d ayes ndca che ale probablà è vcna al 7%: P / NE P NE / P P NE / P NE / G NE / G P / NE 67.8 S consder la seguene applcazone. Un sndacao de consumaor è nenzonao a charre come alcun prodo ulzza nella conservazone d alcun ben almenar sano percolos per la salue de consumaor e soopone a es chmc un parcolare bene almenare. Queso es fornsce l 8% delle vole un valore negavo, ndcando che l prodoo n quesone è percoloso

2 per la salue, menre l % delle vole pur ndcando che l prodoo è nocvo, n realà non lo è. Ipozzamo che l 3% delle mprese che producano l bene n quesone ulzzno prodo percolos, qual è la probablà che una mpresa scela a caso l cu prodoo rsul dal es negavo sa usando veramene del prodoo percoloso? Indchamo con P l mpresa che usa prodo percolos, e con (- l fao che l mpresa sa selezonaa come una d quelle che l es ndca che usa prodo percolos. Pr ob ( P / P P / P / P NP / NP Esse una probablà maggore del 63% che una mpresa che rsula dal es negava (che usa prodo dannos ha d fao usao prodo dannos. S consder la seguene applcazone. Un nvesore ha una credenza (pror belef rguardane la probablà che l azone crosof sa profevole perché s aende che l suo Ebda (l'ule prma degl neress passv, mpose e ammoramen su ben maeral e mmaeral rsul elevao (porebbe consderare anche l Eb, l ule neo, rcav ecc. nalzzando da, una vola no, lo conducono ad aggornare la sua credenza, passando da una pror belef Prob ( ad una poseror belef Prob ( / Ebda dove + e Ebda+ ndcano la profablà del olo crosof e la cresca dell Ebda, rspevamene. on la regola d ayes l nvesore rvede la sua credenza conoscendo da dell mpresa (l Ebda: Pr ob ( / Ebda Ebda Ebda / La probablà d avere un Ebda n cresca è una probablà margnale che uava può essere consaaa sa che s manfes l eveno aeso (+ sa che non s manfes (-: Prob ( Ebda Ebda / Ebda / Qund la credenza sulla reddvà d crosof aggornaa è: Pr ob ( / Ebda Ebda Ebda / / Ebda / S consder la seguene applcazone. In un deermnao paese l 6% de proprear d mmobl s oppone all nroduzone d una assa comunale sulla casa, menre l 8% de non possessor d case è favorevole alla sua applcazone. Il 65% de voan sono possessor d case. Se con F ndchamo l voane casualmene scelo favorevole all nroduzone della assa, e con P l possessore d case (NP non possessore d case, qual è la percenuale de voan favorevol all nroduzone della assa che sono possessor d case?

3 P/ F P P F / P F / P NP F / NP Nella eora de goch ques even sono le sraege (o p degl alr gocaor e le mosse osservae: ogn gocaore ha una dsrbuzone d probablà nzale sulle sraege degl alr gocaor che rflee le sue credenze su cosa ques gocaor faranno. Quesa dsrbuzone è spesso daa esogenamene daa da Naura. Ogn sraega defnsce una probablà per ogn mossa n ogn nodo (aenzone anche le sraege pure fornscono una probablà o per ogn azone. Dopo aver osservao una mossa d un alro gocaore, l gocaore usa le sue pror belefs, l se delle possbl sraege e la regola d ayes per calcolars le nuove probablà per ogn sraega del gocaore che dovrà muovere nel goco. Ipozzamo che l po d un gocaore abba d frone due p (po e po d un gocaore opponene (come spesso accade ne goch d segnalazone. Indchamo con Pr ob ( / la probablà che l po che s ha d frone è l po condzonaa sul fao che l soggeo che cerca d aggornare le sue credenze sa l po. Quesa probablà è la credenza del gocaore relava al po del gocaore opponene. Ulzzando la regola d ayes avremo: Pr ob ( /, / / / Quesa è la credenza a poseror del po relava a p del gocaore opponene. In generale, la credenza del po rspeo a u possbl p de suo opponen è defna come: /, T,, on n- gocaor, ed un nseme d possbl p T,e dao l po del presene gocaore, ndcao con, la regola defnsce la credenza del po relava a possbl p degl alr gocaor. Ne goch d segnalazone. Il mene nva de segnal e l desnaaro deve svluppare una credenza relava a possbl p che porebbero aver nvao al segnal. Tale credenza è sempre una dsrbuzone d probablà la cu sommaora deve essere par a. Tuava non è condzonaa sul po del desnaaro, ma è una probablà condzonaa sul po d messaggo: / m j T

4 Qund p ra loro sono ndpenden e, n quano ale, la credenza sul po che c sa d frone non è condzonaa dal fao che o sono un cero po d gocaore. Se abbamo una probablà forna esogenamene da Naura (pror belefs all nzo del goco, dopo che l mene ha nvao messagg, l desnaaro non porà aggornare quese pror belefs. S consder la seguene applcazone. Queso è una forma esesa puoso comune de goch con nformazone ncomplea che permee sener nformav sul senero d equlbro e fuor dal senero d equlbro. I 4 p II q L R L R 3 4 Ovvamene (p+q=. L equlbro d Nash perfeo ne soogoch (,L la credenza del gocaore II è p=, daa la sraega d equlbro che due gocaor adoano ( e L. Qund dao l proflo d sraega (,L, la probablà d rovars sul nodo a snsra d quesa fgura è, se requs d sequenzalà razonale e conssenza delle credenze sono soddsfa. S no che l gocaore I ha re azon da nraprendere. Ipozzamo che possa randomzzare ra quese re e goch quese re azon con una cera probablà. Per nzare, ponamo, che gocaore I assuma con probablà uguale ad d gocare (e qund con probablà uguale a d gocare sa che, allora l requso d conssenza delle credenze non porrebbe nessuna resrzone sulle credenze del gocaore II, semplcemene perché ques ulmo non verrebbe chamao a gocare. Ponamo ora che l gocaore I arbusca delle probablà posve d gocare o. In queso caso l crero d conssenza delle credenze pone una resrzone mporane. Impone al gocaore II d pensare che l gocaore I goch, dao b=p, con, dao b=q e con, dao b=-p-q, dove abbamo chamao con b è l proflo d sraega. La formula d ayes mplca che le credenze del gocaore II arbuscano una probablà d gocare par a: / b p p q nalogamene, la formula mplca che le credenze del gocaore II arbuscano una probablà d gocare par a: / b q q p

5 Ed è, ovvamene, zero anche la probablà d gocare se l requso d conssenza delle credenze deve essere vero.