I modelli per la stima della volatilità

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1 I modell per la sma della volalà Sldes rae da: Andrea Res Andrea Sron Rscho e valore nelle banche Msura, regolamenazone, gesone Egea, 8

2 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà AGENDA La sma delle volalà e delle correlazon Le mede mobl semplc Le mede mobl esponenzal I modell GARCH La sma d covaranze e correlazon Esercz Res e Sron, 8

3 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma d volalà e correlazon La sma delle volalà e delle correlazon L approcco varanze-covaranze s basa sull assuno che sa possble smare n modo soddsfacene le volalà e le correlazon de rendmen de faor d mercao I meod ulzzabl a ale scopo sono raggruppabl n due prncpal caegore: I modell che ulzzano da d volalà e correlazon sorc per prevson d volalà e correlazon fuure. Modell che consderano volalà e correlazon cosan. Modell che consenono a volalà e correlazon d varare nel empo (mede mobl, GARCH) I modell lega all'ulzzo delle prevson mplce ne prezz delle opzon. Il rcorso a valor sorc è solo ndreo (la volalà mplca è fgla della volalà sorca) Res e Sron, 8 3

4 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma d volalà e correlazone Mede mobl semplc È l crero pù ulzzao per la valuazone de conra d opzone, per l asse-allocaon basaa sul crero meda-varanza, e per la deermnazone del value-a-rsk. Indcando con r l rendmeno d un faore d mercao la volalà può essere smaa, ulzzando come campone una sere sorca d n osservazon, come radce quadraa della varanza La volalà al empo può essere calcolaa ulzzando le n osservazon dal empo -n al empo -. Con rendmeno medo nullo r r r n n meda camponara n calcolaa al empo n Al perodo successvo (+) la volalà verrà smaa sulla base de da da (-n+) a, sposando n avan d un perodo la fnesra emporale. Res e Sron, 8 4

5 / 5/ 8/ / / 5/ 8/ / /3 5/3 8/3 /3 /4 5/4 8/4 /4 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Mede mobl semplc 3,5% 3,%,5%,%,5%,%,5%,% Rendmen gornaler dell'ndce S&P 5 equponderao devazone sandard moble a 3 gorn La Fgura rpora l andameno della volalà del rendmeno logarmco gornalero dell ndce d borsa S&P5, smaa ulzzando n=3 gorn lavorav nel perodo gennao - 3 dcembre 4. Res e Sron, 8 5

6 / 6/ / / 6/ / /3 6/3 /3 /4 6/4 /4 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Mede mobl semplc - scela dell arco emporale Un numero d osservazon (n) pù elevao offre un elevao conenuo nformavo e conduce a una sma Rendmen d volalà gornaler pù sable. dell'ndce La S&P sma 5 è però poco aggornaa e rsponde n Devazon modo leno sandard a varazon mobl (campon mprovvse d dversa delle lunghezza) condzon d mercao 3,%,5%,%,5%,%,5% Devazone sandard moble a 3 gorn Devazone sandard moble a 5 gorn Devazone sandard moble a 9 gorn Res e Sron, 8 6

7 7// 7/6/ 7/3/ 8/3/ 8/7/ 9// 9/4/ /8/ // /5/ /9/ /3/ /7/ /3/ Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà,%,6% Mede mobl semplc - scela dell arco emporale Echo effec o ghos feaures La sma della volalà subsce uno shock sa quando l faore d mercao subsce una fore varazone, che quando l dao relavo a queso shock esce dal campone e vene sosuo da un dao pù recene,% 8,% Menre la prma varazone è gusfcaa, la seconda non lo è.,%,8%,4%,% Rendmen gorna ler (sca la dx) Dev. Sandard moble a 3 gorn (scala sx) 4,%,% -4,% -8,% Volalà S&P5 seembre-oobre. La varazone verso l alo a meà seembre (even errorsc) è segua dalla rduzone d meà oobre, pur n presenza d rendmen gornaler normal Res e Sron, 8 7

8 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà 8 Mede mobl esponenzal Res e Sron, 8 Per superare l rade-off fra conenuo nformavo e reavà alle condzon recen e l echo effec, è sao svluppao l meodo delle mede mobl esponenzal Ulzzando un numero relavamene elevao d osservazon passae, ma arbuendo un peso maggore a quelle pù recen, s oene una sma della volalà con elevao conenuo nformavo e pù sensble agl shock recen La sma reagsce pù rapdamene a shock del faore d mercao, e lo shock pronuncao del faore d mercao esce n modo graduale dalla sma: ˆ n n n n n n n r r r r r r n n n ˆ n n r La sma della volalà

9 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà 9 Mede mobl esponenzal Res e Sron, 8 La cosane, decay facor, ndca l grado d perssenza delle osservazon camponare passae Se la cosane è pù vcna a uno, le sue poenze successve s avvcnano a zero pù lenamene Per valor d molo vcn a, la meda esponenzale ende alla meda semplce Se è suffcenemene pccolo e/o n è suffcenemene elevao La varanza: ) ( ˆ n r ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ r r r r r r Meccansmo adavo : la sma è aggornaa n base al quadrao del rendmeno del gorno prma La meda s adegua meno rapdamene alle condzon pù recen n

10 -lug- 6-lug- 3-lug- 3-ago- 7-ago- -se- 4-se- 8-o- -o- 5-nov- 9-nov- 3-dc- 7-dc- 3-dc- Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà,4%,%,6%,%,8%,4%,% Mede mobl esponenzal Rendmen gornaler (scala dx) Devazone sandard moble a 3 gorn Dev. Sandard moble esponenzale a 3 gorn con lambda =,94,% 8,% 4,%,% -4,% -8,% La fgura mosra l confrono ra la meda moble semplce con n=3 e la meda moble esponenzale con l =,94. Nel caso delle mede mobl esponenzal lo shock del seembre genera un mmedao aumeno nella volalà a cu non corrsponde nessuna repenna dmnuzone della volalà quando l dao esce dal campone Res e Sron, 8

11 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Mede mobl esponenzal Araverso l mpego d volalà che varano nel empo (mede mobl esponenzal) è possble dare cono della forma lepocurca della dsrbuzone de rendmen Ulzzamo prm da del nosro campone (dal gennao al 5 febbrao ) per produrre una sma della volalà basaa sull approcco EWMA, usando 3 osservazon ed un valore d λ par a,94 Smulamo un valore per l 6 febbrao, esraendolo casualmene da una normale con meda nulla e devazone sandard ˆ Sposamo po n avan d un gorno la fnesra d da ulzzaa per la sma della volalà, e producamo una seconda sma, ˆ, esraamo po un valore per l 7 febbrao e cos va Generamo 98 valor fno al 3 dcembre 4 Res e Sron, 8

12 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Mede mobl esponenzal Come s vede, da smula rsulano lepocurc. Il loro ndce d curos n eccesso è nfa par a,, molo smle a quello del campone emprco d parenza (,8) Numero effevo Normale Res e Sron, 8

13 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Mede mobl esponenzal alcun problem prac V sono alcun problem prac Scela del decay facor La scela d dovrebbe dpendere dalla velocà con la quale s rene che la volalà var nel empo. Se s modfca lenamene è meglo un decay facor vcno a e vceversa. La scela dovrebbe anche dpendere dall holdng perod della poszone. Mnore è ale orzzone, mnore dovrebbe essere. Scela del numero d osservazon passae Una sere sorca pù ampa mnmzza l errore d camponameno e consene d oenere sme pù affdabl. Una sere sorca pù breve rflee meglo le condzon d mercao recen. Se le sme vengono aggornae frequenemene è possble ulzzare sere sorche pù ampe. In queso caso s rduce l problema della scarsa aderenza alle condzon pù recen del mercao. Res e Sron, 8 3

14 //4 /8/4 /5/4 //4 /9/4 /5/4 //4 /9/4 /6/4 /3/4 //4 /7/4 /4/4 /3/4 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà,8%,6% Mede mobl esponenzal alcun problem prac Ulzzare un unco faore, per dverse varabl su nervall emporal pù o Rendmen gornaler dell'ndce S&P 5 equpesao meno Devazon prolunga, sandard presena mobl basae alcun su dvers problem: decay facor In alcun merca gl aumen 8,% d volalà sono perssen 6,% menre n alr gl aumen s confgurano 4,% solamene come shock emporane,%,%,4% -,% Il decay facor omale mua sgnfcavamene nel empo. Rendmen gornaler (scala dx) Dev. Sandard moble esponenzale a 3 gorn con lambda =,94 Dev. Sandard moble esponenzale a 3 gorn con lambda =,9 Dev. Sandard moble esponenzale a 3 gorn con lambda =,99 È preferble aggornare frequenemene ale faore Res e Sron, 8 4

15 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà I modell GARCH Come è sao mosrao nelle fgure preceden, la volalà subsce delle fluuazon sgnfcave (volaly cluserng). I faor d mercao presenano de perod d maggore volalà che possono anche perssere per perod prolunga Queso problema vene esplcamene affronao da modell GARCH (generalzed auoregressve condonal heeroskedascy) Eeroschedascà sgnfca varanza che mua nel empo, coè presenza d perod d elevaa volalà nerro da perod d relava ranqullà Condzonale sa a ndcare che le prevson oenue sono basae sulle nformazon dsponbl nel perodo precedene Auoregressvo s rfersce nvece al meodo ulzzao per modellare l eeroschedascà condzonale, coè una regressone della varanza su sé sessa Generalzzao s rfersce al modello d Tm Bollersev (986) che rappresenava una generalzzazone del prmo modello (ARCH) deao nel 98 da Rober Engle Res e Sron, 8 5

16 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà I modell GARCH meda condzonale e non condzonale I modell a eeroschedascà condzonale auoregressva consenono d prevedere la volalà fuura ulzzando una regressone basaa su valor passa, generando una sma della volalà che camba nel empo Sma condzonale e sma non condzonale Tpcamene oenua ulzzando un campone pù o meno ampo d da sorc, ad esempo la meda d una varable smaa con la meda camponara Se la varable n quesone dpende da una o pù alre grandezze, è possble smare una meda condzonale rcorrendo, ad esempo, a una regressone de mnm quadra. Per la varable y che dpende da x: Oppure se dpende da suo valor passa: y y y y x xx modello auoregressvo del prmo ordne, AR() Res e Sron, 8 6

17 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà I modell GARCH sma condzonale e non condzonale La dfferenza fondamenale fra meda non condzonale e meda condzonale è che la prma è una cosane menre la seconda necessa d un modello d specfcazone La sessa logca rova applcazone nel caso della varanza non condzonale e condzonale Varanza condzonale qualsas Varanza non condzonale- ulzzo modello, come l GARCH della varanza camponara Consderamo l modello ARCH proposo da Engle:... p p con,,..., p Il modello sma la varanza come una meda moble d p error d prevsone passa eleva al quadrao modello a p rard o ARCH(p) Se s verfca uno shock della varable consderaa, s genera un errore d prevsone che, se l suo è posvo, provoca un ralzo della prevsone della volalà relava al perodo successvo Res e Sron, 8 7

18 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà I modell GARCH Il modello è coerene con l evdenza emprca secondo la quale una varazone sgnfcava de prezz ende a essere segua da alreane varazon sgnfcave Il prncpale lme del modello ARCH è che le applcazon emprche hanno sovene rcheso un numero elevao d rard, rendendo l modello poco flessble e oneroso La generalzzazone nrodoa da Bollersev (GARCH) rende l modello pù flessble: con... p p... q q,...,,,..., p q La varanza condzonale è modellaa nserendo, anche q rard relav a valor passa della varanza sessa GARCH(p,q) Se la varable consderaa sono rendmen d un faore d mercao che s mmagna abbano meda nulla, allora l errore ε concde con r Res e Sron, 8 8

19 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Il GARCH (,) La maggoranza delle applcazon del modello GARCH s basa sulla versone GARCH(,), che consdera un solo errore d prevsone (l ulmo) e l valore della varanza al perodo precedene: Nel modello è mplca anche una sma del valore aeso non condzonao Se σ esse, rappresena l valore aeso non condzonao d σ, σ - e anche d -. Sosuendo al grandezze con σ s oene: La sma condzonaa della varanza n un cero perodo è una meda ponderaa della varanza d lungo perodo, della varanza aesa per l perodo precedene e dello shock relavo all ulmo perodo ( ) Res e Sron, 8 9

20 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Il GARCH (,) Come gà deo, se la varable consderaa è daa da rendmen d un faore d mercao che s mmagna abbano meda nulla, allora l errore ε concde con r e l modello da smare è: r Nelle applcazon a merca fnanzar assume generalmene valor superor a,7 menre assume valor pù conenu Una varazone della volalà ende a permanere a lungo Il coeffcene ndca la rapdà con cu la volalà s adegua a nuov shock d mercao, coeffcen pù eleva conducono a prevson pù sensbl alle condzon recen Anche l modello GARCH rconosce l essenza d un decay facor per la volalà. Tale faore non è deermnao arbraramene ma sono gl sess da a deermnarlo Res e Sron, 8

21 7/ / / 4/ 7/ / /3 4/3 7/3 /3 /4 4/4 7/4 /4 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Il GARCH (,) I coeffcen dell equazone GARCH (,) devono essere sma con l auslo d un sofware sasco, ad esempo rame Rendmen un algormo gornaler d sma dell'ndce basao S&P 5 sul equpesao crero Devazon sandard basae su EWMA e GARCH massma verosmglanza 3,%,5% Tale algormo è sao ulzzao per smare un modello GARCH(,) su rendmen gornaler dell ndce S&P5 nel perodo gennao - 3 dcembre 4, oenendo =,, =,85 e =,95. Il modello GARCH è po confronao con un EWMA con lambda par a,94,%,5%,%,5%,% GARCH(,) Dev. Sandard moble esponenzale a 3 gorn con lambda =,94 Res e Sron, 8

22 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Il GARCH (,) Res e Sron, 8 Il modello GARCH(,) è caraerzzao da una memora nfna. Per qualsas vale che: Sosuendo n manera rcorsva l ermne σ - s oene: Un modello GARCH(,) può essere consderao equvalene ad un modello ARCH con nfn rard, cu coeffcen β sono vncola a decrescere n progressone geomerca man mano che s consderano shock pù lonan nel empo ) ( ) ( 3

23 Rscho e valore nelle banche Il GARCH (,) preg e lm Preg del modello GARCH(,): Numero effevo Normale I modell per la sma della volalà rconosce esplcamene l essenza d un fenomeno d correlazone serale e lo esplca araverso un modello auoregressvo; arbusce un adeguaa mporanza alle nuove nformazon ncorporae negl shock d mercao; consene, analogamene al modello basao sull EWMA, d rappresenare la lepocuros presene ne da emprc; lasca che sano gl sess da a deermnare l decay facor della volalà. Res e Sron, 8 3

24 Rscho e valore nelle banche Il GARCH (,) preg e lm Lm del modello GARCH(,): può rsulare pù complesso e oneroso rspeo al semplce ulzzo d una meda moble; conserva l poes d normalà (n queso caso degl error d prevsone); nella sua versone orgnale consdera l mpao d uno shock sulla prevsone della volalà come ndpendene dal suo segno. Numerose evdenze emprche mosrano che volalà mplca aumena n seguo a una cadua del mercao, menre può maneners nvaraa n seguo a un ralzo de prezz ( leverage effec ). la I modell per la sma della volalà Il leverage effec vene spegao dal fao che quando un prezzo azonaro dmnusce, l valore d mercao del parmono dmnusce e dunque aumena la leva fnanzara e con essa l scho fnanzaro. Cò non succede nel caso d un ralzo del prezzo. Res e Sron, 8 4

25 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Il modello EGARCH Nel enavo d superare alcun lm del modello GARCH, sono sae propose numerose verson alernave: Exponenal GARCH (EGARCH) Inegraed GARCH (IGARCH) Asymmerc GARCH (AGARCH) Modello EGARCH L EGARCH modella l logarmo naurale della varanza anzché la varanza: la pare desra dell equazone può anche dvenre negava. Gl error d prevsone non devono essere eleva al quadrao e vene così adeguaamene consderaa la dversa reazone degl operaor alle buone rspeo che alle cave noze log Res e Sron, 8 5

26 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Il modello AGARCH e IGARCH Modello AGARCH La versone AGARCH consdera la rsposa asmmerca della volalà rspeo a mprovvs shock al ralzo o al rbasso. Un paramero addzonale posvo () amplfca l effeo degl shock negav e aenua quello degl shock al ralzo Modello IGARCH Queso modello mpone che la somma de coeffcen e sa par all unà Ipozzando nolre un valore nullo d, s oene l modello delle mede esponenzal con nfn rard Tale formula è oenua dal GARCH (,) annullando ( ) e sosuendo a l smbolo e ad -. Tale modello concde con l EWMA Res e Sron, 8 6

27 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà I modell GARCH capacà d prevsone I modell GARCH sono sa prevalenemene ulzza per spegare l comporameno della varanza delle varabl fnanzare, pù che per prevederne l evoluzone. La loro applcazone a scopo prevsonale presena re prncpal problem I modell GARCH necessano d un elevao numero d da affnché la sma de coeffcen possa rsulare sascamene robusa La capacà d un modello economerco d descrvere un deermnao campone d da è dreamene proporzonale alla sua complessà (numero d paramer ulzza). Un modello pù complesso ende uava a dvenre pù faclmene obsoleo.. Res e Sron, 8 7

28 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà I modell GARCH capacà d prevsone I modell GARCH funzonano bene se s desdera prevedere la volalà del perodo successvo; dvenano nvece va va meno nformav per prevson rguardan perod pù lonan Prevsone volalà d + Sarebbe necessaro conoscere l errore d prevsone n, che ancora non conoscamo. È possble sosure ε con l suo valore aeso: σ Prevsone volalà d +k k k k Non poendo conoscere gl error d prevsone fuur, la prevsone fnrà per convergere verso la varanza d lungo perodo L evdenza emprca non charsce se l modello GARCH abba una mglor capacà prevsonale rspeo a un pù semplce modello EWMA Res e Sron, 8 8

29 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà La prevsone della volalà: la volalà mplca È un meodo per la prevsone della volalà basao su prezz delle opzon Il prezzo d un opzone è funzone d cnque varabl prezzo d eserczo (X) va resdua dell opzone (T) volalà dell avà soosane () asso d neresse prvo d rscho () prezzo d mercao dell avà soosane (S) Se s conosce l prezzo d mercao dell opzone è possble ulzzare l modello d prcng a rroso per calcolare la volalà mplca nel prezzo sesso Spesso le formule d prcng d un opzone non possono essere nvere analcamene l calcolo della volalà mplca s basa generalmene su un processo eravo Res e Sron, 8 9

30 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà La prevsone della volalà: la volalà mplca Tra gl algorm pù usa per l calcolo della volalà mplca v è l meodo d Newon-Raphson o delle angen, che s compone d 3 fas:. calcolo del prezzo eorco dell opzone un valore della volalà scelo ˆ arbraramene ( ). confrono del prezzo eorco dell opzone O ( ) con l prezzo d mercao O m : se l prezzo d mercao rsula superore (nferore) s aumena (dmnusce) la volalà n npu d un valore par a 3. l nuovo dao d volalà così oenuo vene nsero nel modello d prcng e s procede fno a che non s verfca la convergenza fra O ( ˆ dervaa parzale della funzone d prezzo dell opzone rspeo alla volalà O (ˆ ) ˆ O m ) e O m Res e Sron, 8 3

31 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà La prevsone della volalà: la volalà mplca La volalà mplca rsula dfferene a seconda del conrao d opzone ulzzao Volalà mplca delle opzon a-he-money (ATM) mnore rspeo alle opzon n-he-money (ITM) o ou-of-he-money (OTM) Queso fenomeno, volaly smle, dpende dalla maggore sensblà delle opzon ATM a varazon della volalà (maggore vega) Capacà d prevsone della volalà mplca Le msure precedenemene nrodoe sono backward-lookng La volalà mplca derva dalle aspeave del mercao crca l evoluzone fuura della volalà (forward-lookng) l mercao nel quale l opzone è l modello d prcng adoao deve negozaa non deve avere essere aendble e adoao anche dagl mperfezon sruural n grado operaor del mercao, alrmen l d generare squlbr emporane valore oenuo non è rappresenavo prezz non d equlbro dell aspeava del mercao Res e Sron, 8 3

32 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà La prevsone della volalà: la volalà mplca La volalà mplca nonosane sa forward lookng presena alcun svanagg se usaa a fn prevsonal per l avà d rsk-managemen: Deve essere un conrao d opzone con soosane uguale all avà d cu s vuole prevedere la volalà del rendmeno (l mercao n cu è negozaa deve essere lqudo effcene ed organzzao) La va resdua dell opzone deve concdere con l orzzone emporale prescelo per l ssema d rsk-managemen La volalà mplca s presa male ad essere ulzzaa per l rsk-managemen Essa può però negrare le prevson offere da un alro meodo e segnalare evenual dvergenze Res e Sron, 8 3

33 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà La sma d covaranze e correlazon Possono essere ulzza gl sess meod descr per la sma della volalà Da rendmen d due faor d rscho r e q ˆ r, q; n n r q Covaranza r q r, q; r, q; mede mobl esponenzal GARCH (,) È eorcamene possble rcavare da prezz delle opzon non solo le volalà, ma anche le sme delle correlazon mplce meod compless e da d mercao spesso non dsponbl Res e Sron, 8 33

34 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà La sma d covaranze e correlazon Per esempo, avendo le volalà mplce delle opzon su ass d cambo EUR/USD e EUR/YEN, e sul cross-rae YEN/USD è possble oenere la sma della correlazone mplca de due camb dell euro (USD e YEN): USD, YEN USD YEN USDYEN USD Un alro meodo è quello che prevede d ulzzare prezz delle quano opons, ossa delle opzon che hanno come underlyng asse sa un asso d cambo che un prezzo/ndce azonaro Una vola che le varanze e covaranze sono sae smae, è necessaro verfcare che esse sano coeren ra loro YEN È necessaro verfcare che la marce d varanze e covaranze sa defna posva Res e Sron, 8 34

35 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Esercz/. Un azone, dopo essere rmasa sable per qualche empo, regsra un mprovvsa e ampa varazone d prezzo. Quale, ra le seguen ecnche d sma della volalà, conduce a parà d alre condzon al pù ampo ncremeno nella sma della devazone sandard de rendmen gornaler (e qund del VaR)? a)volalà sorca basaa su un campone d gorn e smaa araverso una meda moble esponenzale, con l par a,94; b)volalà sorca basaa su un campone d 5 gorn e smaa araverso una meda moble semplce; c) volalà sorca basaa su un campone d gorn, smaa araverso una meda moble esponenzale, con l par a,97; d)volalà sorca basaa su un campone d 5 gorn, smaa araverso una meda moble esponenzale, con l par a,94. Res e Sron, 8 35

36 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Esercz/. Consderae le seguen affermazon conrare all uso della volalà mplca per smare la volalà de rendmen de faor d mercao all nerno d un modello VaR. Quale ra esse non è correa? a) prezz delle opzon scambae su un mercao llqudo porebbero ncludere un premo per la lqudà; b) prezz delle opzon scambae n un mercao non regolamenao ( over he couner ) porebbero ncludere un premo per l rscho d conropare, che può non essere faclmene denfcable; c) la volalà mplca ne prezz delle opzon è la volalà del prezzo dell opzone, non quella del prezzo dell avà soosane; d) l modello d prcng usao per calcolare s può essere dfferene da quello adoao da parecpan al mercao per prezzare l opzone. Res e Sron, 8 36

37 Rscho e valore nelle banche I modell per la sma della volalà Esercz/3 3. Una banca ulzza mede moble esponenzal, basae su un decay facor d,94 e su un numero molo elevao d osservazon. Ier sera, la volalà delle varazon percenual d prezzo era 3% per l azone Alfa, 8% per l azone Bea. Ogg, le varazon d prezzo per Alfa e Bea sono sae, rspevamene, 3% e %. Ipozzando che rendmen aes sano zero, aggornae le sme d volalà per Alfa e Bea. Infne, mmagnae che l coeffcene d correlazone ra rendmen de due ol azonar, er sera, fosse 5%: è possble aggornare anche queso valore? Res e Sron, 8 37