Statistica Descrittiva II

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1 Organzzazone de dat Statstca Descrttva II Indc d poszone Indc d varabltà Indc d asmmetra Indc d normaltà Outler Box-plot Sere statstche monovarate Carattere: Cellular possedut Popolazone: 7 student d Botecnologe n Total Rappresentazon complete ma ngombrant Utle un ndce pù maneggevole ndce sntetco Indc d poszone: eda Indcano n manera sntetca l centro della statstca eda: calcolo l valore medo delle osservazon Calcolo standard m= 1 =1 m= =1,61 o Calcolo n tabella (I) srutto le requenze assolute m= 1 =1 m= 11 7 =1,61 o = 1 =1 n n n Total

2 eda: prncpal propretà Date O={ o } osservazon La meda è compresa ra le osservazon mnma e massma mn o o max o La somma degl scart dalla meda è nulla o =1 o = La somma del quadrato degl scart dalla meda è mnma o =1 o o =1 p p eda: altr tp d dat La meda s basa sulla somma delle osservazon on può essere calcolata per dat qualtatv Caratter contnu. Osservazon essun problema Dat elaborat (raccolta atta da terz) Istogramma Tabella organzzata per class anca la modaltà! 6 eda: Raccolta dat per class Idea: uso come modaltà l valore centrale (medo) della classe Tabella ad entrata semplce 1. Ad ogn c assoco l valore centrale c. Calcolo usuale con c al posto d Istogramma: n sup c c 1,4 1, 1,4,1,14 1, 1, 1,,8,1 1, 1,6 1,7,18,83 1,6 1,6 1,6,4,39 1,6 1,7 1,67,16,68 1,7 1,7 1,7,1,7 1,7 1,8 1,8,1,16 6 totale 1 1,631 eda: Outler Outler: valore poco plausble o errato Error d msura Dato volutamente poco plausble Come s modca la meda? 1 outller (u) -1 osservazon valde (o ) m= 1 1 o u =1 1.Da ogn classe rcavo c. Converto denstà n requenza = sup n d 3. Calcolo usuale o= =1 c U outlers (u j ) -U osservazon valde (o ) (Ovvamente >> U) m= 1 U o 1 U u =1 j=1 j 8 1,3 1,4 1, 1,6 1,7 1,8 1,9

3 eda: consderazon Può essere calcolata solo per caratter numerc. Possble calcolarla anche per rlevazon a class Sensble agl outlers Peggora al crescere del # d outler (U) glora al crescere d La meda non è un osservazone (solo n rarssm cas lo è) 9 oda: altr tp d dat La moda s basa sulle requenze assolute Può essere calcolata anche per valor qualtatv Caratter contnu. Osservazon osservazon ugual sono rare raggruppo n class Dat elaborat (raccolta atta da terz) Istogramma Tabella organzzata per class Classe modale = classe con la requenza maggore 11

4 Indc d poszone: edana II Se l numero d osservazon è par? Procedmento d calcolo Esempo = 1 1. Ordno le osservazon 1 1. Calcolo la dmensone delle metà =, 3. Se ntera leggo l dato successvo altrment medo le due osservazon lmte (6 e 7) =6, 14 edana: altr tp d dat edana: Raccolta dat per class La medana s basa sulle osservazon ordnate on può essere calcolata per dat non ordnabl Caratter contnu. Area Istogramma = 1; Area alla sx q =. etodo d calcolo o=1.63 q =1.69 Osservazon essun problema Dat elaborat Istogramma Tabella organzzata per class 1 1. Trovo la classe n cu cade q (F 1 =.1; F =.18; F 3 =.36; F 4 =.6).. Calcolo l'area resdua.. F 1 = Calcolo la base b del rettangolo parzale 1,3 1,4 1, 1,6 1,7 1,8 1,9 b =.14 b 4.8=.14 b=,9 sup n 4. Trovo la medana q =n b=

5 edana: Raccolta dat per class Tabella ad entrata semplce: Cerco la modaltà F(q ) =.; Esempo d calcolo 1. Trovo la classe n cu cade q (4).. Trovo a quanto d m serve.. F 1 =..36 = = 7 1 n sup n F 3. Applco la stessa proporzone all'ntervallo sup n. F 1 = Calcolo q 1 =.9 n sup n. F 1 1,4 1,,1,1 1, 1, 4,8,18 1, 1,6 9,18,36 1,6 1,6 1,4,6 1,6 1,7 8,16,76 1,7 1,7 6,1,88 1,7 1,8 6,1 1 tot 1 edana - Consderazon olto spesso è un osservazone: Sempre per dspar. Spesso per par (meda d osservazon ugual). Può essere calcolata per tutt dat tranne non ordnabl Dat n class: Istogramma: Bpartzone dell'area sottesa. Tabella entrata semplce: F(q ) =.. Poco sensble agl outlers spostano la medana d U poszon Il valore numerco degl outlers è nnluente. = Indc d Poszone: Quartl Invece d bpartre le osservazon le dvdono n 4 part Sono 3 q 1 preceduto da (alla sua sx ha) ¼ de dat q medana q 3 seguto da (alla sua dx ha) ¼ de dat Alcun autor aggungono: q mnmo valore delle osservazon q 4 massmo valore delle osservazon etodo d calcolo non è unco (come per la medana) 19

6 Box-plot (prma versone) Rappresentazone graca legata a quartl Dverse verson Versone base Indc d varabltà. Esemp d popolazon n cu moda = meda = medana = Rettangolo ra q 1 e q 3 edana (q ) evdenzata (rosso) Due ba (segmento) Statstche molto dverse ra loro. da centro del lato dx e q 4 da centro del lato sx e q Cell Esempo S ntroduce l concetto d varabltà. Propensone delle osservazon ad allontanars dal loro centro. Osservazone: Serve una dstanza per poter valutare la varabltà. o caratter non ordnabl. Alcun quartl possono essere sovrappost (Cell) 1 Campo d varazone o range Varanza della popolazone σ range:derenza ra la massma e la mnma osservazone eda degl scart dalla meda al quadrato. = 1 =1 o m Esempo: osservazon O = { 6 7} eda = ( )/4 = range = 1 - = 1 range = 1 range = Consderazon: Faclssmo da calcolare Istogramm: I valor estrem del graco Scart dalla meda = { -3 1 } Scart dalla meda al quadrato = {9 1 4 } eda degl scart dalla meda al quadrato Varanza = ( )/4 = 3, olto sensble alla presenza d outlers. (gl outlers per denzone son valor estrem!) 3 4

7 Varanza: ormule d calcolo Denzone n - m ( - m) ( - m) Varanza: ormule d calcolo Denzone n - m ( - m) ( - m) n m =1 = m = =1 Formula breve = =1 1,1 -, 3,,6-4,8 4,4 7, 1,4 4,8 1 1,1 1, total 1 m = 6,6 m = =1 =1 m m m =1 m = =1 = 1 m m =1 m =1 = 1 n m =1 = m = =1 Formula breve n m m m m 1= 1 m m 1 1, total 1 m = 31,6 ( ) 1,1 3,,6 9 1,8 4,4 1 7, 1,4 49 9,8 1,1 -, 3,,6-4,8 4,4 7, 1,4 4,8 1 1,1 1, total 1 m = 6,6 = =1 m m =31.6 =6.6 Varanza e scarto quadratco medo Coecente d varazone (cv) Calcolo d σ nel caso d La varanza è sensble alla meda Istogramm Rlevazone per class d modaltà Stessa soluzone della meda: s utlzza l valore d centro classe come modaltà e s procede normalmente Esempo 1: osservazon O = { 6 7} eda = O = ( )/4 = Varanza = σ = ( )/4 = 3, O n sup c c Spesso s ndca lo scarto quadratco medo σ = = =1 c m (c m) (c m) 4,1, ,6 4 6,4, -1 1, ,4,8 1 1, ,1 1, ,6 6, 4, m 7 Esempo : cambo untà d msura P = { 6 7} eda = P = ( )/4 = Varanza = σ = ( )/4 = 3 P Introduco l coecente d varazone cv= m cv P = 3 = = =cv O 8

8 Varanza: consderazon range = 1; σ = 6.6 range = 1; σ = 4.4 range = σ = Consderazon: glore del range. Istogramm: uso l valore d centro classe Sensble alla presenza d outlers (come la meda). Sensble alla meda (ndce assoluto) Dstanza Interquartle Rappresenta la dstanza ra l terzo ed l prmo quartle D=q 3 q range = 1; σ = 6.6 range = 1; σ = 4.4 range = σ = D= 7-3 = 4 D = 6-4 = Rsulta meno sensble al valore degl outler Il valore numerco del outler non conta Spesso vene usata per ndcare gl outler (boxplot v.) Box-plot (seconda versone) BoxPlot: strumento graco d conronto Consderazone: % dat è ra q 1 e q 3 Il 1% de dat dovrebbe stare ra Valore Adacente Superore = q 3 + k*d Valore Adacente Inerore = q 1 - k*d Versone (k =1) Rettangolo ra q 1 e q 3 edana (q ) evdenzata Due ba (segmento) da lato a mn (q 4 e vas) da lato max (q e va) uso smbol dscret per valor restant CV = 1; σ = 6.6 CV = 1; σ = 4.4 CV = σ =D = D= 7-3 = 4 D = 6-4 =

9 Indc d orma Indc sntetc prncpal: Poszone: ndca l centro delle osservazon Varabltà: ndca quanto le osservazon s dscostano dal centro Spesso nsucent, s usano anche Indc Sntetc d Forma: descrvono la orma della dstrbuzone delle osservazon. Smmetra: ndca quanto la dstrbuzone sa asmmetrca rspetto al valore centrale ormaltà: quanto dstrbuzone è smle alla dstrbuzone d rermento normale. 33 Indc d asmmetra Asmmetra: dstrbuzone delle osservazon rspetto al valore centrale (ovvero se sono n maggoranza maggor o mnor). Esempo d 3 popolazon (= 1) con o 3 e σ 6. Asmmetra Postva:la dstrbuzone mostra una coda pù accentuata verso destra (prmo stogramma) Asmmetra egatva:la dstrbuzone mostra una coda pù accentuata verso snstra (terzo stogramma) 34 omento centrale terzo omento centrale terzo standardzzato Idea: medo gl scart dalla meda al cubo. Perché al cubo? Esempo serve l segno, qund potenza dspar. con lo scarto semplce la somma è sempre nulla! m n m ( m) 3 11,8-1,7-4,91 1 1,, -,7 -,34 8,,4,3,3 3 6,1,4 1,3, 4,,,3 1,17,, 3,3 3,94 6 1,3,1 4,3 79,1 4 1,7 3 omento centrale terzo: n m ( m) 3 ( m) 3 m 3 3 = =1 Calcolo n tabella Valore legato a σ omento terzo standardzzato Stesso sgncato momento terzo eno sensble alla varabltà 11,8-1,7-4,91-1,3 1 1,, -,7 -,34 -,9 8,,4,3,3,1 3 6,1,4 1,3,,33 4,,,3 1,17,61,, 3,3 3,94 1,8 6 1,3,1 4,3 79,1 1,99 4 1,7 3,6 1 = 3 3,6 3= 1, 3=.83 36

10 (prmo) Indce d skewness d Pearson Idea: se la moda dsta molto dalla meda le osservazon non sono smmetrche m moda Indc d Curtos (Kurtos) Curtos: dstrbuzone delle osservazon vcne a quelle della dstrbuzone normale Esempo: 3 popolazon (= 1) con o e σ 1 e γ 1. Esempo 1,7 1,7 =1,8 1 n ,8 1 1,, 8,,4 3 6,1,4 4,,,, 6 1,3, ,7 Iper-normaltà: l'stogramma delle osservazon tendono mostrate un pcco vcno al valore centrale (prmo stogramma) Ipo-normaltà: le osservazon tendono a dstrburs n manera patta (terzo stogramma) 38 omento centrale quarto omento centrale quarto 4 = =1 omento centrale quarto normato m 4 = 4 4 Eccesso Curtos Eccesso curtos = Una gaussana ha β = 3 qund γ =. γ > => per-normale γ < => po-normale β sempre postvo. Una gaussana ha β = 3. β > 3 => per-normale β < 3 => po-normale 39 γ = 3. γ =.7 γ = 1.9 4