Università degli Studi di Bologna

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1 Unversà degl Sud d Bologna FACOLTA DI INGEGNERIA Corso d Laurea Specalsca n Ingegnera Informaca Applcazon d Inellgenza Arfcale L-S INCERTEZZA DELLA DOMANDA NELLE CATENE DI SUPPORTO: TECNICHE DI RIDUZIONE DINAMICA DELLO SPAZIO DI RICERCA PER UN MODELLO CP Tes d Laurea d: Robero Ross Relaore: Prof. Mchela Mlano Correlaor: Armagan Tarm Brahm Hnch Anno Accademco 24 25

2 Parole chave: caene d supporo ncerezza della domanda conrollo delle score programmazone a vncol vncol global

3 Inroduzone Il problema del cosddeo loo economco consse nella gesone oma delle score per soddsfare la domanda de clen nella venda d prodo, soo l vncolo d mnmzzare cos d acquso e soccaggo delle merc. Esso cosusce una delle sfde prncpal per le grand azende mpegnae nella dsrbuzone o nella produzone d ben d consumo: nerpreare l mercao, saper prevedere l comporameno de clen e omzzare d conseguenza la propra produzone o l propro nvenaro sono queson complesse e al conempo baslar per le compagne; un drasco calo nelle rchese d merc non opporunamene prevso e geso nfa, porebbe far levare cos d magazzno, menre qualora s andasse soo scora s avrebbero manca guadagn e soprauo s perderebbe credblà verso clen. Modellare un ale ssema per effeuare prevson e panfcazon non cosusce cero un facle compo per le dvson azendal dedcae: servono ngen sforz per coordnare var sogge che devono cooperare per garanre l massmo rsulao n ermn d mnma spesa per le merc n sock e d mglor soddsfacmeno possble delle rchese de clen. Le azende all avanguarda nel seore sono spesso doae d compless ssem e dvson d daa mnng, che semanalmene raccolgono nformazon sulle rchese, elaborando prevson e panfcando le successve produzon secondo modell pù o meno consolda. D fao la pesane ngerenza d faor aleaor rende l problema molo complesso; dunque se a parre dagl ann 5 s è nzao ad approfondre la emaca della gesone oma d un semplce magazzno n presenza d una domanda deermnsca e noa a pror, essenzalmene a scop mlar per coordnare le caene d supporo ra var repar della dfesa; gà dagl ann 8 s è seno l bsogno d svluppare modell pù compless, n grado d gesre una domanda che, come nella realà, è foremene aleaora, focalzzando soprauo l aenzone sul bsogno d garanre lvell d servzo adegua alle rchese del managemen. Le prme soluzon al Le prme rcerche condoe da Wagner e Whn furono fnanzae dalla marna saunense nel

4 problema, seppur lmae nella loro capacà d modellazone de real ssem n goco, necessaramene erano d naura eursca: l modello nfa sebbene fosse d programmazone lneare, rchedeva un numero d varabl e d vncol roppo elevao per poer essere ulzzao ne solver dell epoca. Gl sess Bookbnder e Tan, ovvero creaor della prma polca per la gesone d domande non deermnsche, alla fne degl ann 8 facevano noare quesa esrema complessà compuazonale per l modello compleo, nonosane s cercasse d modellare l problema per un sngolo prodoo, una sngola sorgene e un sngolo dsrbuore; qualora po uno d ques ermn fosse sao eseso a due o re sogge, la complessà sarebbe crescua d conseguenza rendendo ancora pù nverosmle la possblà d rovare la polca oma per sanze non banal del problema. La soluzone da loro proposa è n grado d fornre soluzon soddsfacen dal puno d vsa della mnmzzazone de cos, n praca però la scela da loro effeuaa è saa quella d sacrfcare l omalà della soluzone per punare sull effcenza e sull effeva possblà, n ermn compuazonal, d effeuare la panfcazone e rovare una buona polca. Tra la fne degl ann 8 e la fne del secolo mol alr sud sono sa condo per mglorare modell prepos alla raccola da e all elaborazone d prevson, uava per quas un decenno l modello d Bookbnder e Tan è rmaso lo sao dell are per la mnmzzazone del valore aeso de cos per l problema del loo economco n presenza d domande aleaore e varabl nel empo. Ne prm ann del nuovo secolo, anche n relazone allo svluppo d elaboraor con capacà d calcolo sempre maggor, nuov progress sono sa compu nella formulazone d modell e ecnche d rsoluzone complee. Tarm e Kngsman nel 23 hanno proposo un esensone al modello d Bookbnder e Tan che, sfruando la programmazone lneare nera msa, resce a garanre la compleezza nella rcerca della soluzone oma per la sessa polca d gesone delle score orgnaramene proposa da Bookbnder e Tan. Successvamene Tarm e Smh hanno rasformao l modello MIP n un modello CP, dmnuendo l numero d vncol e d varabl convole n modo sgnfcavo e rendendo possble una rcerca esausva dello spazo delle soluzon relavo. Consderazon sulla sruura del problema hanno po permesso a Tarm e Smh anche d elaborare - 2 -

5 alcune ecnche d rduzone a pror per ale spazo d rcerca, n modo da rendere pù effcene l esplorazone dell albero decsonale per la rcerca della soluzone oma. In queso lavoro vene presenaa un esensone proposa per le ecnche d rduzone svluppae da Tarm e Smh. Parendo dalle consderazon sruural da loro suggere per la rduzone a pror de domn delle varabl decsonal, sono sae svluppae delle nuove ecnche che poggano sulle preceden, ma che rendono possble una rduzone dnamca de domn durane la rcerca, n modo da sfruare le nformazon legae alla soluzone parzale relava ad un cero nodo dell albero decsonale. Sono sa n parcolare svluppa due meod d rduzone soo forma d vncol global per l problema CP, che possono essere usa per mglorare drascamene l effcenza della rcerca. Un erzo vncolo globale, sfrua nvece un rlassameno del problema CP orgnale, rsolvble n empo polnomale, rendendo possble una rcerca d po relax and bound; ques ulma ecnca n parcolare, ha prodoo l ncremeno pù noevole n ermn d presazon. Rspeo al lavoro d Tarm e Smh s è po proposa una dversa eursca per la selezone delle varabl decsonal per l branchng; anche quesa modfca ha porao noevol mgloramen nelle presazon, che rsulano evden da es effeua. Il lavoro svolo ha comporao la modellazone del problema CP ulzzando un solver open source n java, nonché l esensone del se d vncol d base medane l agguna de nuov vncol global necessar per modellare le nuove ecnche propose. Medane l anals de rsula oenu è sao possble valuare l effcaca delle ecnche d rduzone anche n relazone alle dverse pologe d sanze raae. In parcolare s è osservao che, sebbene paramer del modello nfluenzno n modo crco le presazon, nella maggor pare de cas es effeua hanno mosrao l esrema effcaca delle nuove ecnche d rduzone propose, che anche per le sanze pù sfavorevol, dove coè la rduzone e l boundng rsulano meno effcac, rducono d var ordn d grandezza l numero d nod esplorao e l empo mpegao per effeuare la rcerca rspeo a rsula oenu con la sola rduzone a pror proposa da Tarm e Smh

6 La eora delle score Il problema d defnre la polca oma per l problema del loo economco d un sngolo prodoo nell poes d domande socasche su nervall dscre e d un orzzone emporale fno s nsersce nel pù vaso scenaro della eora delle score. C sono moleplc ragon per cu un azenda solamene è ndoa ad accumulare score d ben. Recenemene success d Amazon [KKS, p.] o d alre compagne.com come la Dell [KKS, p. 97] hanno porao un fore enusasmo verso le cosddee sraege jus n me, ovvero verso ue quelle forme d gesone mnmale del magazzno, vole a rdurre l pù possble cos d soccaggo e a rendere pù nervosa la domanda d ben da pare del dsrbuore ne confron del produore: s ende ad ordnare un bene solo quando s ha gà un clene a cu venderlo e s organzzano gl ordn sulla base dell esperenza acqusa. Tale approcco presena vanagg, ma anche ovv problem: dffclmene una sraega sffaa ruscrà a sfruare vanagg lega ad econome d scala; pcamene nfa gl ordn sono frequen e d pccola enà, dunque cos fss non sono ammorzza a dovere. Sono sae dunque adoae dalle azende soluzon e sraege dfferen per far frone a problem lega a cos fss, ad esempo accord d lungo perodo con produor d componensca (Dell Inel) n modo da oenere bass cos fss a frone d ordn frequen; n ogn caso resano comunque vare voc d spesa che non possono essere faclmene ammorzzae n scenar JIT: se vengono fa ordn frequen e se l rasporo avvene su gomma, ovvamene l prezzo del carburane ncderà n modo sgnfcavo su cos, dunque rsulerebbe n ogn caso pù convenene accorpare gl ordn cercando d dmnure l ncdenza de cos fss lega a ques ulm. Sebbene qund n alcun cas la sraega JIT s sa rvelaa vncene, spece negl amb pù vcn alle nuove ecnologe, l problema del correo dmensonameno de lo d produzone rmane comunque apero e sgnfcavo n mol alr camp: edlza, almenar ec. Come accennao, le ragon per accumulare score sono moleplc: La fluuazone della domanda: nel campo della componensca eleronca è sgnfcavo l caso cao da Davs (993) dove uno sudo - 4 -

7 condoo dalla Hewle-Packard ha rvelao che l 6% degl nvesmen mpegna nel ssema d produzone e dsrbuzone sono arbubl ad ncerezza della domanda da pare del mercao. L andameno de prezz delle merc Le econome d scala che s oengono producendo o acqusando lo d pù grand dmenson L ncerezza n cu opera un ssema Nella deermnazone del coso d una polca d gesone nervengono vare componen:. coso d approvvgonameno: comprende una quoa fssa, k, dea coso d ordnavo (o: coso fsso d produzone, a seconda che l bene sa acqusao o prodoo dall azenda) e una varable, C (Q), legaa alla quanà Q d merce acqusaa o prodoa, per cu l coso d approvvgonameno d un loo Q è dao da: k + C(Q) 2. coso d mmagazznameno (dovuo al deerorameno del bene, all affo de local, agl spend del personale, al mancao profo legao all mmoblzzazone del capale, ); può n genere reners proporzonale all ammonare delle score. Perano, se h è l coso d mmagazznameno d un unà d merce n gacenza per un unà d empo, I è l lvello medo delle score e T è l perodo consderao, l coso d mmagazznameno è dao da: h I T 3. coso d roura: msura la perda suba quando non s può soddsfare una domanda (nfa, s ha una perda d profo se la domanda s rvolge alrove; se l clene è dsposo ad aspeare, s ha comunque una perda d credblà; oppure, secondo l conrao, non s perde l ordnazone ma s paga una penalà); nell poes pù semplce sarà proporzonale alla quanà d domanda non soddsfaa, secondo un coeffcene l che ndca la perda mpuable ad un unà d domanda non soddsfaa

8 deermnare l lvello omale d score sgnfca deermnare la quanà d merce da conservare n magazzno n modo da mnmzzare la somma d ques cos. Il modello deermnsco del loo economco (EOQ) n presenza d una domanda saca [KKS, p. 43] È l pù semplce e cosusce la base d parenza per la comprensone d qualsas alro modello. Formulao da Ford W. Harrs ne prm ann del secolo, s basa sulle seguen poes: assenza assolua d ncerezza: la domanda (fuura) è supposa noa ed l asso con cu s manfeserà è supposo cosane e uguale a d. q () è l lvello d score, q è l lvello nzale q( ) q d () = non sono ammesse roure d sock, coè suazon n cu non s può far frone alla domanda, dunque s esegue un ordne quando q ( ) =, coè all sane = q d Cos: Il empo d aesa per l arrvo della merce dopo che un ordne è sao eseguo s suppone nullo c k h coso d acquso unaro coso fsso d produzone (ndpendene dalla merce acqusaa) coso d gacenza unaro C p ( q) = cq + k coso d produzone C g q d 2 hq ( q) = q( ) d = coso d gacenza 2d - 6 -

9 Soluzone per l modello deermnsco del loo economco n presenza d una domanda saca: unà * q * * 2 * 3 empo 2 hq C = C p ( q) + C g ( q) = cq + k + (coso oale) (2) 2d q nell nervallo [, ] d (unà d empo n assenza d roure) annullando la dervaa prma oenamo l valore omo d 2dk q * = (3) h e l empo omo d rordno 2k * = (4) dh coso coso oale coso d ordnazone coso d soccaggo * = 2k dh empo Tale meodo d rsoluzone è ben noo soo l nome d formula della radce quadraa per EOQ, s basa sull dea d blancare cos d soccaggo e cos d ordnazone per oenere una polca oma

10 Il modello socasco del loo economco n presenza d una domanda saca Il modello presenao llusra la ecnca per blancare cos d soccaggo e cos d ordnazone mnmzzando l coso oale, uava esso non ene cono d mporan faor qual l ncerezza della domanda e delle fluuazon de cos. D fao mole compagne nel mondo basano le loro sraege su prevson a breve e medo ermne rguardan l andameno del mercao, pcamene al prevson vengono effeuae sulla base de rend sorc e qund sull esperenza pregressa; ogggorno lo svluppo ecnologco ha reso merca sempre pù dffcl da nerpreare sulla base delle conoscenze acquse, prodo hanno spesso un cclo d va breve e l ncerezza della domanda è pcamene elevaa. Soo quese premesse: Il asso d domanda è una v.a. d con meda d e funzone densà d probablà ϕ d (ξ ) ϕ d (ξ ) può essere una funzone connua o dscrea ϕ d (ξ ) è defna per ξ > rame la ϕ d (ξ ) oenamo la funzone d dsrbuzone cumulava Φ (ξ ) l valore aeso della domanda dunque sarà: d = ϕ d ( ξ ) dξ sa L l empo necessaro per rcevere le merc n seguo ad un ordne d unà Q ncerezza della domanda L safey sock sock ou s b empo - 8 -

11 ovvamene non possamo escludere l evenualà d andare soo scora con quese poes, dunque nrodurremo la nozone d sock d scurezza e assumeremo un cero lvello d servzo desderao nel nosro modello, cò sgnfca ncorrere nell eveno score esaure con una cera probablà: pcamene s rchederanno al lvell d servzo (es. 95%) n modo che ale probablà sa bassa; un alra soluzone solamene adoaa, ma non descra nel seguo è quella d assegnare de cos d penalzzazone nel caso n cu s esaurscano le score. Nella formulazone scela dunque la dmensone dello sock d scurezza dpende dal lvello d servzo rcheso: b = z σ (5) L dove z è l coeffcene d devazone sandard per l lvello d servzo rcheso, σ L è la devazone sandard della domanda nell nervallo d arrvo delle merc. In queso caso la polca mglore da adoare è chamaa polca ( s, S). In ale polca non s ndca pù la quanà Q d merc da ordnare come nel caso precedene, ma, asseme al lvello d score mnmo s che mpone un rordno, la quanà S che s desdera avere n sock n seguo all ordne. Q qund dvena d fao un valore che è sablo n funzone della domanda che s è effevamene realzzaa. unà ncerezza della domanda S Q L safey sock sock ou s b empo La quanà S può essere calcolaa n queso caso seguendo la logca gà llusraa per EOQ nel caso deermnsco, dunque usando la noa formula della radce quadraa: parendo dalla defnzone d Q n ale formula, dal momeno che - 9 -

12 c è una cera varazone della domanda abbamo bsogno d manenere l buffer d scurezza gà descro, dunque l valore d S (order-up-o-level, coè l lvello a cu porare le score n seguo all ordne) può essere espresso come: S = max{ Q, L d} + z σ (6) L l puno d rordno nvece è defno come: s = d L + z σ (7) L ovvero è par alla somma ra l valor medo della domanda per unà d empo molplcao per perod rches per la consegna e l buffer d scurezza per l lvello d servzo rcheso. Lvello d servzo rcheso. (lvello d servzo rcheso) valor medo della domanda nel empo d arrvo delle merc puno d rordno Enramb al modell, quello deermnsco e quello socasco presenano de lm, nfa non consenono d:. esprmere l coso d una spedzone n funzone della quanà del rfornmeno e/o della dsanza del fornore 2. esprmere l effeo su cos d gacenza d varazon del valore delle rsorse nel empo 3. enere cono d un andameno rregolare dell assorbmeno d rsorse dovuo ad esempo a varazon della domanda da pare del mercao - -

13 Il problema del loo economco n presenza d una domanda dnamca e deermnsca Un esensone al problema EOQ d base presenao è saa proposa da Wagner and Whn n [WW58], ale formulazone permee d rlassare l assunzone secondo cu la domanda è consderaa saca; dunque nel modello da loro presenao è possble avere domande dfferen ne var perod pres n consderazone nel problema. Wagner e Whn osservano come la formula della radce quadraa non sa effcace nel caso n cu s consder un modello dnamco: ad esempo quando cos d soccaggo o cos fss sono varabl ne var perod pres n consderazone; soo quese condzon essa nfa non asscura pù una soluzone a coso mnmo. In [WW58] è presenao un algormo d programmazone dnamca [B57] che rsolve la versone dnamca d EOQ. Il modello maemaco adoao n [WW58] è empo dscreo ad orzzone fno e pozza cos d acquso e d venda cosan nel empo, dunque solo cos d soccaggo dvenano rlevan nella defnzone della polca oma. Nel modello presenao per d = enà della domanda =,2... N rovamo: = coso d soccaggo per merc enue n magazzno fno a + s = coso fsso per ordnazone x = enà dell ordne Domande e cos sono per defnzone non negav per u perod pres n consderazone. Il problema vuole rovare una polca oma x, =,2.. N ale che ue le domande sano soddsfae con un coso complessvo mnmo, non è deo che ale polca sa unca. Ovvamene ale problema può essere rsolo per enumerazone, consderando le 2 N possbl combnazon rguardan la scela d ordnare o meno delle merc n un dao perodo. Pù effcene è uava l approcco presenao basao sulla programmazone dnamca. - -

14 C sono due conce fondamenal alla base d ogn algormo d programmazone dnamca: n prmo luogo sfruare la memora per non rpeere gl sess calcol pù vole: DP è nfa defna pseudo-polnomale propro perché l occupazone d memora dvena l faore crco; n secondo luogo è baslare ndvduare uno schema d rcorsone adeguao per l problema consderao, n modo ale da permeere all algormo d rsolvere ad ogn passo un sooproblema dfferene, memorzzarne la soluzone ed evenualmene rulzzarla se necessaro ne pass successv evando d calcolarla nuovamene. Il modello d Wagner e Whn prevede che non c sano roure, qund poso I l valore nzale delle score e I l valore delle score all nzo d un cero perodo abbamo: I = I + x j d j (8) j= j= possamo qund scrvere l equazone funzonale [B57] che rappresena la polca a coso mnmo per perod [.. N], fssao I come valore delle score n enraa per un cero perodo: f ( I) = mn [ I + δ ( x ) s + f + ( I + x d )] (9) x I + x d dove f x = δ ( x ) = () f x > nel perodo N abbamo: f N ( I) = mn [ N I + δ ( x x I + x d N ) s N ] () - 2 -

15 Possamo qund calcolare f parendo da = N come funzone d I fno ad oenere f oenendo la soluzone oma nel momeno n cu vene rovao I per l perodo. La versone base qu enuncaa per la programmazone dnamca vene po esesa n [WW58] per mezzo d alcun eorem:. Esse una polca oma ale che I x = per ogn (dove I sono le score porae n da perod preceden) 2. Esse una polca oma ale che per ogn k x = oppure x = j = d j per alcun k, k N 3. Esse una polca oma ale che se d è soddsfaa da alcun * ** * x **, <, allora ** * d, = +,...,, è anch essa soddsfaa da x * 4. Poso che I = per l perodo, è possble consderare perod da a separaamene nella deermnazone della polca oma. araverso alcune propreà del modello gl auor formulano un equazone funzonale dfferene, che poenzalmene è n grado d rchedere meno perod per gungere alla soluzone oma. L dea che quaro eorem enunca supporano consse nell ndvduare de sooproblem ndpenden all nerno del macro nervallo [.. N ], n parcolare l eorema 4 ndca le condzon secondo cu un sooproblema [.. ] può essere consderao ndpendene. Vene qund enuncaa una formulazone alernava per l equazone funzonale n seguo all nroduzone de nuov eorem: sa F () l coso mnmo d un programma per perod [.. ] allora: F( ) mn s j + hd k + F( j ) mn j < (2) h= j k = h+ s + F( ) = dove F ( ) = ed F ( ) = s. Cò sgnfca che l coso mnmo per prm perod comprende un coso fsso d ordne al perodo j, pù la somma de cos d - 3 -

16 soccaggo per soddsfare la domanda d k con k = j +,..., porando avan score a parre dal perodo j, pù l coso d una polca oma per perod da a j (pres come un sooproblema ndpendene); eorem enunca n [WW58] garanscono che sarà possble rovare un j per l quale esse una ale polca oma. Con ale formulazone s pare dal perodo e s prosegue fno a rovare una soluzone oma dopo aver dervao F (N) all ulmo passo d rcorsone. Da noare che con ale formulazone, n ogn perodo, solo dfferen polche dovranno essere consderae dall algormo. Il mnmo n (2) può non essere unco, dunque possono essere pù soluzon ome. L ulma esensone nrodoa è nfne l eorema dell orzzone d panfcazone (Plannng Horzon Theorem), dove s sablsce che se per un cero ' l mnmo s rsconra per un dao j = ' ' ' allora per perod > ' dovremo consderare solo j al che ' ' j, dunque sarà possble sposare n avan l orzzone degl even n '' rsparmando erazon. In ermn d complessà compuazonale n assenza d ale omzzazone sarà necessara una abella con N( N +) ermn (conro le 2 2 N possblà complessve), menre applcando la ecnca forward all orzzone degl even ale abella rsulerà d dmenson pcamene molo mnor o nel caso peggore comunque par a N( N +). 2 Esempo numerco Nella seguene abella sono rpora da per le domande su 2 perod; è saa lascaa cosane ad per u perod n modo da semplfcare calcol. (mese) d s

17 meda menre nella successva sono ndca pass dell algormo: (mese) coso ord domanda mn cos. polca o , 864, 2 Per charre, la polca oma per l perodo consderao separaamene consse nel fssare un ordne (dunque fssamo anche l coso fsso relavo: 85). Per l perodo 2 dobbamo consderare due alernave: ordnare nel perodo 2, ulzzando la polca oma noa per l perodo (ad un coso complessvo d = 87); oppure ordnare nel perodo per soddsfare la domanda anche relavamene al perodo 2 (ad un coso = 4). La polca oma è ovvamene la seconda. Nel perodo 3 c sono re alernave: ordnare nel perodo 3, ulzzando la polca oma per perod e 2 consdera separaamene (ad un coso = 26); oppure ordnare nel perodo 2 per soddsfare la domanda negl ulm due perod, adoando la polca oma per l perodo consderao separaamene (coso: = 223); o nfne ordnare nel perodo per soddsfare ue e re le domande (coso: = 86). 2 Vene mosrao solo l ulmo perodo d ordnazone; 567 ndca che la polca oma per perod da a 7 consse nell ordnare nel perodo 5 per soddsfare d 5, d 6, d 7, adoando una polca oma per perod da a 4 consdera separaamene (plannng horzon heorem)

18 Nell esempo è ovvo che non sarà ma convenene enere n sock merc dal perodo o 2 per soddsfare la domanda d 4, dal momeno che cos d soccaggo superano cos per un ordnazone n ale perodo. Pù n generale (eorema 3) non sarà ma convenene porare score dal perodo o 2 per soddsfare d 4, d 5,, d N, perché cò mplcherebbe anche una convenenza nel soddsfare d 4 con un ordne fao nel perodo o 2 (cosa gà dmosraa falsa). S no che perod da ad 8 e da 8 a comprendono degl orzzon d panfcazone. Qualora s nconrno orzzon emporal, ermn possono essere elmna se s rovano soo la dagonale sud-es per (,2,, * ) *, come avvene nella abella. È possble rcosrure la polca oma parendo dall ulmo perodo e andando a rroso: s ordnerà dunque al perodo, auando po la polca oma per perod da a, dunque l successvo ordne sarà fssao nel perodo, po, secondo le sesso ragonameno, nel perodo 8, 5, 3 ed nfne. Il coso oale d quesa polca oma sarà d 864. Soluzone medane l'algormo DP d Wagner e Whn score perod Wagner e Whn S può faclmene verfcare che l algormo presenao produce rsula equvalen alla regola della radce quadraa per EOQ quando le poes d domande e cos d soccaggo sac vengono renrodoe. Facendo ancora rfermeno alla abella, assumendo una domanda par al valor medo delle domande durane l anno, qund 52.5, e un coso d ordnazone anch esso par - 6 -

19 al valor medo de cos, dunque 2.8, ed nfne un coso d soccaggo d. La formula della radce quadraa darà come rsulao: Q = 2 ds / = / = 4 dal momeno che approssmando quesa rsula essere crca la domanda su due mes, arroondamo Q a 5 per mov d comparazone. Applcando l algormo appena llusrao oenamo che per prm due e per l erzo perodo le polche ome sono 2 ed (2)3, ndcando con cò che prm due perod cosuscono un orzzone emporale e possono essere consdera a pare. Dal momeno che c rovamo n un caso n cu la domanda è saca, u gl orzzon d panfcazone sono ugual (la domanda è nfa cosane nel empo), dunque gl ordn andranno fssa ogn due mes. Il coso annuale può dunque essere oenuo molplcando per 6 l coso d un ordne, qund D alra pare l coso annuale può essere calcolao con le regole classche per l loo economco come 2 [( Q d) / 2 + ds / Q] = Dunque due modell s equvalgono. Soluzone equvalene per Wagner e Whn e Regola della Radce Quadraa score ,5 52,5 Soluzone equvalene per WW e Regola della Radce Quadraa perod Infne s no che un esensone a ale algormo è presenaa n [HZ94]. Tale arcolo llusra una versone con complessà n prma approssmazone lneare nel numero d perod nell orzzone d panfcazone e n grado d dmezzare la rchesa n ermn d occupazone d memora

20 Il problema del loo economco n presenza d una domanda aleaora e dnamca Il modello presenao da Wagner e Whn rsula essere dnamco e deermnsco, ovvero l enà delle domande ne var perod varano ma sono noe con cerezza. Un dverso approcco alla versone dnamca d EOQ è presenao n [BT88]; n ale arcolo valor delle domande ne var perod non sono pù no con cerezza, ma dvenano varabl aleaore come nel modello EOQ socasco, a dfferenza d queso però vene a cadere l poes secondo cu al v.a. sono sache; come sosenuo da Slver n [S78-] rovare la soluzone oma per la versone socasca e dnamca del problema del loo economco rsula probvo dal puno d vsa compuazonale. Bookbnder e Tan propongono re dverse sraege per affronare ale suazone. Prma d [BT88] alr avevano enao approcc eursc verso quesa formulazone del problema. Slver [S78-] suggersce una procedura soo l assunzone che gl error d prevsone sano dsrbu normalmene e possano essere oenu per ogn dao nervallo; l approcco prevede re fas, e ncorpora decson su quando ordnare, l numero d perod che la domanda n un cero perodo deve coprre e la dmensone dell ordne. Askn [A8] assume nvece che ue le correlazon ra le domande sano noe all orzzone degl even, la procedura da lu proposa ena d oenere un ordne che copra l numero desderao d perod al mnmo coso. La formulazone n [BT88] per la versone socasca e dnamca del problema del loo economco su un sngolo prodoo ncorpora un vncolo sul lvello d servzo rcheso a frone dell eveno d esaurmeno score. Le re sraege sudae sono la sac uncerany, dove le decson d dmensonameno de lo devono essere ue prese all nzo del prmo perodo; la dynamc uncerany, che nvece permee d prendere decson rguardo le dmenson de lo successv al prmo sulla base delle domande gà dvenue noe; e la sac-dynamc uncerany, che combna le caraersche delle due preceden sraege

21 Rporamo nel seguo l modello e le assunzon n [BT88] n quano la noazone rsulerà n seguo sgnfcava. La formulazone deermnsca prevede: mn TRC = T = { a δ ( X ) + h( I ) + v X } (3) s.. for =,2,..., T I = I T + X d ) = ( (4) le varabl decsonal ulzzae sono: X, I (5) f X > δ ( X ) = (6) oherwse X l numero d unà da produrre nel perodo I le merc n magazzno dal perodo al perodo + paramer sono: T a h v d l orzzone emporale l coso fsso d ordnazone l coso per manenere n magazzno un unà d merce per un nervallo l coso per unà d merce la domanda nel perodo I le merc n magazzno all sane. Voglamo dunque rovare un pano d ordnazone che mnmzz TRC (l coso complessvo) soo vncol descr. Le componen d coso sono, l prezzo fsso d un ordnazone a δ ( X ), l coso d soccaggo delle merc n magazzno h I e l coso delle merc v X

22 Le assunzon per l problema deermsco ncludono: arrvo delle merc sananeo a frone d un ordne, cos d soccaggo lnear, orzzone d panfcazone fno, e assenza d backloggng; nolre la produzone (o le merc ordnae, nfa conceualmene due esemp, produzone e ordnazone, s equvalgono) n un cero perodo possono essere usae per coprre rchese n perod successv. La domanda è conoscua n ancpo con cerezza. Rspeo a ale versone deermnsca del problema n [BT88] s modfcano due assunzon: () All nzo dell orzzone d panfcazon la domanda per var perod non è conoscua con cerezza; uava la densà d probablà della domanda g d ) è conoscua con cerezza e ue quese varabl aleaore sono muuamene ndpenden. ( () Quando s va soo scora ue le domande sono messe n coda e vengono soddsfae appena le merc dell ordne successvo arrvano. In ogn modo la probablà che queso eveno non s verfch (ovvero che I sa non negavo) è mposa al valore α nell ao della formulazone del problema; d fao pcamene l lvello d servzo rcheso dal managemen è alo (> 9%) qund nel modello l evenualà d andare soo scora può essere gnoraa. Possamo dunque rformulare l problema con un modello d programmazone a vncol probablsca: d d 2 mn E[TRC] =... [ v X + a δ ( X ) + h Max( I,)] g( d)... gt ( dt ) d( d)... d( dt ) (7) d T T = s.. for =,2,..., T Pr{ I } α (8) f X > δ ( X ) = (9) oherwse I = I T + X d ) = ( (2) - 2 -

23 X (2) Il modello s rfersce a d come varabl aleaore connue, ma vale anche se s consdera l caso dscreo. Per l problema d omzzazone socasca essono due prncpal sraege, come gà accennao: la sac uncerany [GW74] e la dynamc uncerany [GS77]. Nella leeraura che raa la programmazone socasca la sac uncerany è solamene ndcaa come sraega zero-order (o cosane), menre la dynamc uncerany è ndcaa come non-zero-order. La sraega sac uncerany Come gà spegao, nella sraega sac uncerany le decson vengono prese ue all nzo dell orzzone emporale, prma che ogn domanda dvenga noa; quesa sraega, fa noare Peers [PBK77], può rsulare parcolarmene ule se è necessaro un empo d preparazone lungo prma che la produzone nz (o che gl ordn vengano res no). Dao che u gl X n quesa sraega sono decs all nzo del perodo, ques posso essere consdera cosan, dunque le varabl aleaore rcavare come: I s possono I = = I + X d (22) = e ulzzando ale equazone nel precedene modello: + Pr{ I X d } α (23) = = se Gd + d d ( ) è la funzone d dsrbuzone cumulava d D ( ) = d + d d allora y 2 X G D( ) I (24) = - 2 -

24 Dove GD( ) è la funzone nversa ale che: G D ( ) ( α ) = u sgnfca G D ( ) u ( u) = α = Pr{ D( ) }. Soo l assunzone che G sa scela sreamene crescene, G è defna n modo unvoco. Dao che le { d } sono v.a. muuamene ndpenden, è possble rscrvere la funzone obevo come: T mn E[TRC] = { h E[ Max( I,)] + a δ ( X ) + v X } (25) = nolre l ermne E Max( I,)] può essere approssmao con E I ] soo [ l assunzone () precedenemene descra. Il modello compleo per la sac uncerany è dunque: s.. for =,2,..., T T mn E[TRC] = { h E[ Max( I,)] + a δ ( X ) + v X } (26) = + X E[ d ] = = E[ I ] = I (27) [ X G D( ) I (28) = f X > δ ( X ) = (29) oherwse X (3) Come mosrao n [BT88] n quesa sraega l ermne v T = X nella funzone obevo non ha effeo sulla deermnazone della polca oma e può essere gnorao. Parendo da queso modello è possble mosrare che la sua sruura maemaca è la sessa del modello deermnsco:

25 defnendo nfa D( ) ( ) E[ d ] = D( ) = G α possamo rscrvere l modello come: T mn { h ( E[ I ] D( )) + a δ ( X ) + v X } (3) = s.. for =,2,..., T E [ I ] D( ) = I + X GD( ) ( ) (32) α = X G D( ) I (33) = f X > δ ( X ) = (34) oherwse X (35) se confronamo ale modello con l problema deermnsco llusrao all nzo possamo noare una fore analoga, nonosane alcun vncol dfferscano sensblmene: Deermnsc model Vs Sac Uncerany model d G ( α) G ( ) D( ) D( ) α d = G ( ) D( ) α I E[ I ] D( ) Quese relazon, seguendo la ecnca ndcaa n [BT88, p.] c permeono d rasformare l modello sac uncerany n modo da poerlo raare esaamene come se esso fosse deermnsco, dunque samo ora n grado d ulzzare

26 meod no come [WW58] o l alro algormo d programmazone dnamca proposo da Zangwll [Z68] per oenere la soluzone oma per l problema. S può osservare che l modello deermnsco alro non è che un caso parcolare del modello sac uncerany quando la devazone sandard dell errore d prevsone è par a. Sma d G ( ) D( ) α Rsula ora neressane rporare la ecnca con cu G ( ) vene smaa, n D( ) α quano l meodo verrà ampamene ulzzao nel seguo. Le ecnche ulzzae dalle azende per effeuare sme e prevson pcamene fornscono la domanda meda e la corrspondene devazone sandard, ma non la dsrbuzone complea della domanda. In [BT88] vene descro come rcavare G ( ) dalla meda D( ) α della domanda e dalla sua devazone sandard soo le poes d una dsrbuzone gaussana degl error d prevsone avanzaa da Forun [F8]. Per defnzone d = D( ) = è normalmene dsrbua se le v.a. d } hanno ue { una dsrbuzone normale e sono muuamene ndpenden. Sano dunque E d ] la meda ed S d la devazone sandard d d, secondo quano sosenuo da Slver [S78-] l coeffcene d varazone C è cosane, qund per ogn d [ S d = C E d ] (36) [ dunque S 2 D( ) = C E d] = [ (37) Per oenere l lvello d servzo desderao α, l faore d scurezza Z può essere rcavao dalle abelle che rporano valor { D( ) E[ D( )]}/ S D ( ) sandard per la dsrbuzone normale e G può essere rcavao come: D( )

27 G 2 D( ) ) = E[ d ] + Z S D( ) = E[ d ] + Z C E [ d ] = = = (α (38) possamo po smare C come la pendenza della rea formaa dalle coppe ( E [ d ], S d ) su un grafco, nfa se l assunzone d = C E[ d ] è valda ovvamene oerremo una rea. Quese consderazon valgono per una dsrbuzone normale degl error d prevsone, n presenza d alre dsrbuzon è possble segure le ndcazon dae da Vajda [V72, pp. 8-84], nel seguo uava faremo sempre e solo rfermeno ad una dsrbuzone normale degl error d prevsone. S La sraega dynamc uncerany La sraega sac uncerany mpone d prendere decson per l nero orzzone d panfcazone (T perod) all nzo del prmo perodo. Nella praca però spesso avvene che rsula scomodo essere vncola a al decson ne perod seguen; s prefersce nvece poer rvedere lvell d produzone X n funzone de valor aual assun dalle varabl aleaore ne perod gà rascors. La sraega dynamc uncerany prende le mosse propro da quesa osservazone; d fao non è molo ule nella praca ma è fondamenale per gusfcare la successva sraega che verrà largamene ulzzaa nel seguo: la sac-dynamc uncerany. Supponendo che la sruura organzzava d un azenda sa suffcenemene flessble da permeere d decdere d vola n vola lvell d produzone X, un possble approcco per le decson sugl ordn è quello proposo da Tan [T83] chamao Dynamc Uncerany. Per > lo sao delle score è aggornao non appena la domanda n dvene noa, n al modo la sma mglore a nosra dsposzone è quella per d (o meglo G ( α) ) e la quanà da produrre dvene d X = max[ Gd ( α ) I,] : n praca c è mnore ncerezza sulla domanda per perod successv rspeo alla sac uncerany n quando pare d essa è annullaa dal fao che possamo reagre n agl even aleaor che s sono gà

28 verfca adeguando le score. Il modello presenao dunque permee d prendere decson sulla base delle nformazon che dvenano noe ne perod successv. Nella programmazone socasca quesa sraega è spesso ndcaa con l nome d wa-and-see. Charamene queso approcco presena de lm: è nfa comune osservare ulzzando ale sraega pan che effeuano ordn n ognuno de perod dell orzzone d panfcazone; queso comporameno s verfca n seguo all applcazone della logca wa-and-see sessa, nell neno d oenere quane pù nformazon possble prma d reagre, ale sraega può ncorrere n cos fss d ordnazone molo eleva n seguo all alo numero d ordn effeua. Tale rsulao è charamene non desderable e lonano dall omo per l problema a a spece nel caso d eleva rappor. In ogn caso quando nvece è pccolo, la h h sraega dynamc uncerany può rsulare effcace n quano realzza polche jus n me che soo ale poes dvenano desderabl. Dao che enrambe le polche sac unceralny e dynamc uncerany possono rsulare effcac a seconda degl scenar pres n consderazone, n [BT88] s propone d combnare le caraersche posve d enrambe le sraege per dar va ad un nuovo modello chamao sac-dynamc uncerany. La sraega sac-dynamc uncerany Tale sraega cosusce una delle possbl soluzon per deermnare una polca ( R, S) dnamca nel caso n cu la domanda sa varable nel empo. Dove R ndca la polca d ordnazone: ovvero perod n cu fssare gl ordn ed S rspev valor d order-up-o-level ovvero l lvello d score che s desdera avere n seguo all ordne pazzao n un deermnao perodo. Pù formalmene: s consder una polca per gl ordn p =,,..., } che realzz m ordn, dove { 2 m m T e è l perodo n cu l -esmo ordne è pazzao. Per convenzone fssamo = ; è comunque sempre possble generalzzare l

29 modello consderando l caso n cu quando le score nzal permeono d coprre alcun perod. > Quesa polca porebbe essere saa oenua araverso l uso della sraega sac-uncerany all nzo del perodo. In ogn caso s consdereranno solo perod n cu gl ordn vengono effeua e s rcaveranno le rspeve dmenson degl ordn come qu d seguo ndcao: s esprmano le varabl decsonal orgnal { X } n ermn s un nuovo se d varabl decsonal { Y } come ndcao da Johnson e Mongomery [JM74] X = Y X = Y + d + + d : : : (39) X m = Y + d m d m m X = for all p Y può essere nerpreao come la varazone dal perodo al perodo nel lvello d score desderao. Da noare che X > for all p. In ale modello, la sraega sac uncerany è applcaa ne perod fno a ( ) +, dove enramb e loo + p. Cò sgnfca che, fssaa la dmensone del X all nzo del perodo, nessun ordne sarà prevso ra perod ( +) e ( ) +. Dunque la X dovrà essere abbasanza grande da garanre che n queso nervallo la probablà d andare soo scora sa meno d ( α)% ; uava come nella sraega dynamc uncerany, le varabl decsonal X } dpenderanno n modo esplco da valor no delle domande { d j per u perod sno alla decsone d produzone pù recene: qund per ogn j,...,. Per soddsfare l vncolo d non negavà dobbamo mporre po: =

30 d j j Y, = 2,3,..., m (4) = Il lvello d score alla fne del perodo j può essere espresso usando le Y } come { I j j + Y d (4A) j = = I Con quesa equazone asseme alla (39) l vncolo per l lvello d servzo voluo (8) dvena: j = Y G d + d + d j j + j + 2 j d ( α ) I, j =,2,..., m (4) [noa che per j = m la funzone d dsrbuzone cumulava arrva fno a d T ] La formula presenaa per I fornsce l lvello d score per ogn perodo j j p. Negl alr perod, coè j < < j+, l lvello d score alla chusura è ovvamene I = I d d d j j + j Ulzzando quese espresson per le score e rasformando le varabl decsonal da X } a Y } oenamo l modello per la sraega sac-dynamc uncerany: mn E[TRC] = m = m = m { { = = + m a + v { Y + E[ d ]} + h { ( T + ) Y ( j) E[ d ]} (42) s.. (4) e (4). Come accennao è l espressone presenaa per le varabl decsonal che rappresenano le score che pora alla nuova funzone obevo, n parcolare alla nuova espressone per l coso d soccaggo. Quesa componene della funzone obevo appare soo una forma dversa perché abbamo specfcao l pano degl ordn come p =,,..., } e perché samo lavorando con le Y } puoso { 2 m m j= che con le X }. Le varabl auslare Y } non devono essere confuse con le { { + j {

31 { X }, n parcolare nel vncolo (4) s può noare che le Y } posso assumere valor negav: nfa esse sono varazon nel lvello d score. Possamo ora osservare che l modello sac-dynamc uncerany è semplcemene un modello d programmazone lneare nelle Y }. Infa valor d al varabl decsonal per { { p possono essere calcolae all nzo del perodo. In alre parole, dal momeno che X > per p, l vncolo (4) sarà soddsfao, ma non s verfcherà ma un uguaglanza ra due ermn; dunque sarà l alro vncolo (4) l pù resrvo, coè quello che all omalà sarà soddsfao all uguaglanza deermnando la soluzone per LP. Tale vncolo è oalmene deermnsco e dal momeno che l nverso delle funzon d dsrbuzone cumulava sono noe sn dall nzo dell orzzone emporale, le Y } poranno essere oenue per p all nzo del perodo. Da noare che le Y } non sono varabl aleaore. Esse sono varabl decsonal { deermnsche che c permeono d dervare la formulazone deermnsca equvalene al problema socasco. Quese varabl decsonal c porano alla mnmzzazone del valore aeso per l coso complessvo sull orzzone de T perod consdera. Ad ogn modo la dmensone del loo per un cero perodo, dunque X, non porà essere noa fnanoché non saranno noe anche le domande effevamene realzzae fno al perodo. L espressone (39) per rcavare le varabl decsonal { Y } come ndcao da Johnson e Mongomery [JM74] è pca d una regola non-zero-order (coè d una sraega dynamc uncerany) n programmazone socasca: s aende che la domanda realzzaa dven noa, dopo aver decso a pror, sablendo lvell d order-up-o-level, come quesa conoscenza acqusa debba essere ulzzaa [V72, p.98-]; dunque l anals può essere compleaa all nzo dell orzzone degl even. {

32 Ambene a orzzone moble (rollng schedule envronmen) Abbamo descro fnora l modello sac-dynamc uncerany per un parcolare pano d ordn p e abbamo vso che ale modello c pora ad un LP faclmene rsolvble; abbamo anche vso che un possble modo d oenere ale pano p è d rcavarlo medane la sraega sac uncerany. Tpcamene uava spesso c s rova a lavorare n amben a orzzone moble [B77]. L approcco ad orzzone moble è spesso applcao perché le prevson per perod lonan sono spesso dffcl da esegure e per d pù hanno pcamene una bassa aendblà. In queso nuovo approcco la sraega è quella d rsolvere un problema ad orzzone fno su M perod (con M < T, M dmensone della fnesra d prevsone) fssando però solo la decsone relava al prmo degl M perod; al successvo sane n cu s verfca una revsone delle score nuove nformazon dvenano dsponbl e dunque è possble mglorare la qualà delle prevson, sposare l orzzone degl even al perodo successvo e rsolvere l problema su nuov M perod; l processo connua fno al empo T, ovvero alla fne del empo d panfcazone fssao. In un ambene a orzzone moble pun crc sono: la decsone rguardane le dmenson d M fnesra d prevsone l modo n cu le dsrbuzon delle domande verranno corree n seguo all acquszone de nuov da Inolre, anche se la sraega sac uncerany fosse effcace e non c fosse bsogno d aggornare le dsrbuzon delle domande, n ogn caso le domande realzzae porebbero suggerre una revsone del pano d produzone; dunque un alro puno crco rsula essere: la decsone rguardane la frequenza con cu l pano d produzone deve essere aggornao Ovvamene l esremo opposo è dao dalla sraega dynamc uncerany dove l pano è aggornao ad ogn perodo e le quanà da produrre sono vengono deermnae solo n base al valore auale d I e G ( α), dunque consderando solo l nverso della dsrbuzone della domanda per l sngolo perodo. Soo d - 3 -

33 quesa luce la dynamc uncerany non è alro che una sraega ad orzzone moble con M =. Un approcco nermedo è ancora quello dao dalla sraega sacdynamc uncerany dove gl ordn sono panfca per perod p ma ogn dmensone del loo d produzone per un deermnao perodo è calcolao solo all nzo del perodo sesso. In al caso l nverso della funzone d dsrbuzone cumulava può essere espresso come G d d j j +, n modo da esprmere la dsrbuzone cumulava ra ordn successv, come avvene nel vncolo (4). Il modello rcavao medane la sraega sac-dynamc uncerany rsulerà meno nervoso rspeo a quello rcavao rame la dynamc uncerany, qund rspeccherà meglo le prache ndusral. Tuava è doveroso soolneare che un approcco ad orzzone moble non solo rchede d fssare esclusvamene la quanà da produrre X relava al prmo perodo p, ma non mpone neanche che gl alr perod 2, 3,... sano fssa: al empo (o prma a seconda dello sao delle score). Dvena dunque necessaro rsolvere un nuovo problema su M perod fssando nuovamene solo la decsone per l prmo d ques. Qund per una decsone sulla produzone quando l perodo j vene preso n consderazone, ale approcco rchederà l calcolo della domanda deermnsca equvalene dal perodo j n avan. la formula (38) dovrà dunque essere sosua da: G j+ K j+ K d + d + + d = E d + Z SD nex K perods = E d + Z C... ( α ) [ ] j+ ( ) [ ] j j+ K = j = j j+ K = j 2 E [ d ] per K =,2,..., M (43) Rassumendo, ogn vanaggo apporao dal modello sac-dynamc uncerany rpeo allo sac uncerany s rleva solo se l orzzone è saco. Dunque ale vanaggo s perde n presenza d una suazone ad orzzone moble ed è possble n al caso applcare semplcemene la sraega sac uncerany ad ogn gruppo d M perod, fssando d vola n vola solo la decsone relava al prmo come gà descro e come deaglaamene llusrao n [BT88]

34 Lm dell approcco a due sad d Bookbnder e Tan per la sraega sacdynamc uncerany Abbamo descro l approcco a due sad che Bookbnder e Tan propongono asseme alla sraega sac-dynamc uncerany per la rsoluzone del problema del loo economco a sngolo elemeno con domande socasche e dnamche. S è osservao come nella sraega sac-dynamc uncerany l dea sa quella d fssare perod d ordnazone delle merc all nzo dell orzzone d panfcazone, per po fssare l enà reale degl ordn solo all arrvo d al perod sulla base della domanda realzzaa. La soluzone proposa da Bookbnder e Tan è uava eursca, come s è gà osservao: ess propongono d fssare nfa n un prmo sado perod n cu ordnare le merc, n sosanza la polca p, medane la sraega sac uncerany e n un secondo sado d deermnare gl aggusamen da apporare agl ordn panfca sulla base della domanda effeva che s è realzzaa ne perod gà rascors: dunque la polca S degl order-up-o-level; al aggusamen sono espress come margn da aggungere alla somma oale delle domande rcevue n u perod a parre da quello n cu l ulmo ordne è sao fssao, n modo da soddsfare l lvello d servzo rcheso. Il modello presenao da Bookbnder e Tan nolre esclude con la sua eursca l effeo d un coso unaro varable v d produzone/acquso delle merc. Tarm e Kngsman osservano n [TK3] che l essenza d un ale coso, asseme al vncolo praco d ordn non negav (rcordamo che l backloggng non è prevso, qund non è possble rmandare ndero le merc), rendono dpenden ccl d rfornmeno; non è dunque possble, suggerscono, consderarl ndpenden rsolvendo l problema come una versone socasca del modello d Wagner e Whn applcando l algormo shores roue

35 Un modello d programmazone lneare nera msa per deermnare la polca oma ulzzando la sraega sacdynamc uncerany La soluzone proposa da Bookbnder e Tan separa l processo d rsoluzone n due fas ndpenden, gnorando le nerazon che d fao susssono ra ess, come gà accennao è dunque una soluzone preamene eursca. Tarm e Kngsman al conraro hanno suggero un meodo alernavo, non eursco, per oenere la soluzone oma per la sraega sac-dynamc uncerany. Quesa ecnca permee d sablre n modo smulaneo (comprmendo le due fas n una sngola) l numero degl ordn necessar, perod n cu al ordn devono essere esegu e le nformazon necessare per deermnare la dmensone degl ordn sess mnmzzando l valore aeso del coso da affronare per venre n conro alla domanda nell orzzone d panfcazone; uo cò una vola che sano sae forne una sere d prevson per le domande e un vncolo sul lvello d servzo da garanre per l eveno d esaurmeno score. In sosanza Tarm e Kngsman [TK3] hanno proposo un modello che descrve l processo d rasformazone descro da Bookbnder e Tan n modo ale da permeere la deermnazone smulanea de perod n cu esegure gl ordn e dell enà degl ordn sess n un sngolo passo. Le decson nzal dpendono dalle nformazon che s sa dverranno noe n fuuro e cercano d reagre al meglo n accordo a ale conoscenza. Inolre, perod n cu esegure gl ordn sono deermna all nzo dell orzzone d panfcazone enendo cono dell nerdpendenza ra lvell d score che s hanno a dsposzone all nzo d al perod e degl nervall che ra ess nercorrono (dunque enendo cono de perod n cu non s eseguono ordn e dove la domanda deve essere soddsfaa con le score che s hanno n magazzno). I valor real degl ordn dvenano, come sablo nella polca sac-dynamc uncerany, no solo all arrvo de rspev perod, come è noo nfa al valor dpenderanno dall effeva domanda che è saa realzzaa. S assume che non sano ammess ordn negav, dunque se le score nzal superano l lvello mnmo necessaro a

36 coprre un cclo d rfornmeno, ale eccesso d score verrà comunque porao avan e non sarà possble resure (backloggng) le merc nulzzae. Sono nel seguo ndcae le modfche da apporare al modello d programmazone a vncol socasca soo quese nuove poes. Prendamo dunque n consderazone l equazone (4A): n queso caso l numero degl ordn e perod relav non sono uava no, nfa ess sono ancora varabl decsonal a cu è necessaro assegnare un valore. Defnamo ora R = I + Y (44) j= j ed effeuamo la sosuzone nell equazone (4A): I = R d k < + k = S può noare che =,..., m (45) R può essere nerpreao come un order-up-o-level al quale le score devono essere porae dopo aver rcevuo un ordne all -esmo perodo d rfornmeno, nolre R d (46) k = k è l lvello fnale delle score per l perodo d rfornmeno consderao. Dunque, nvece d lavorare n ermn delle Y come varabl decsonal come proposo da Bookbnder e an nel loro modello, l problema può essere eseso n ermn d quese nuove varabl decsonal d deermnare l numero d rfornmen, m, ovvero, e gl per =,..., m. Se per l perodo non è prevso un ordne allora R. Qund l nuovo modello prevede R assoca ad ess R rsulerà par al lvello delle score n aperura nel perodo. L equazone (45) può essere qund rscra come:

37 I = R d =,..., N (47) Ne segue che la varable R deve essere par a I se non è sao rcevuo un ordne nel perodo, menre deve essere par al valore d order-up-o-level se s verfca un rfornmeno. Il prmo caso s applca se non è prevso un rfornmeno nel perodo, ndcheremo ale evenualà con la varable nera δ =. Se qund δ = allora R dovrà essere par a I. Dao che vncol rsulano essere R I ed R I, possamo esprmerl con le seguen dsequazon per δ = : R I Mδ, (48) R, =,..., N (49) I dove M è un numero grande a pacere. Nel caso n cu δ = allora vncol rchederanno che R sa ra I e n modo da soddsfare l alra condzone su R. I valor per le varabl R che esprmono gl order-up-o-level quando δ = sono quell che offrono l mnmo valore aeso per l coso E[TC]. I lvell desdera d aperura per le score, come rcheso per la soluzone al problema, saranno dunque que valor d R al che δ =. Nel nuovo modello verranno qund ulzzae quese nuove equazon (47), (48) e (49) al poso de vncol (27) e (29). Come gà menzonao, α è l valore della probablà mnma desderaa che l lvello d score n ogn sane sa d fao non negavo. Soo quesa consderazone l vncolo socasco (8) può essere rscro ulzzando l equazone (45): Pr R d k α, =,..., N (5) k = l che mplca: e anche: G... ( R α, <, =,..., m (5) d + d d )

38 I G ) d + d d ( R + k = d k, =,..., m (52), < + La pare desra dell equazone (52) può essere calcolaa o lea da una abella, dopo che s è selezonao l po d g ( ) voluo. S deve noare che l ermne G d + d d ( R ) d (52) può essere deermnao solo dopo che perod n cu effeuare gl ordn sano sa anch ess deermna. Ma, dal momeno che ques vengono scel per mnmzzare cos aes, perod mglor per effeuare gl ordn non possono essere scel fnanoché valor appropra d G ( R ) da usare nel modello rmangono non no. C è d d d un ovva crcolarà convola nella rsoluzone d queso problema. Dal momeno che Bookbnder e Tan separano la deermnazone degl san d ordnazone da quella degl aggusamen necessar per le score n al san, ess evano la crcolarà sacrfcando l omalà. Un modo d superare queso problema senza sacrfcare l omalà della soluzone è quello d ulzzare un modello d programmazone lneare nera msa. Sccome l problema ha un orzzone d panfcazone fno ( N perod), G d + + d d ( R ) può essere calcolao per u cas sgnfcav. Se defnamo le varabl decsonal nere P j {, } n modo che esse assumano l valore se l ordne pù recene rspeo al perodo s rova nel perodo j + e alrmen, allora G d + d d ( R ) può essere espresso come: G d ( d R ) G d j+ + d j d ( R ) j= 2, =,..., N (53) + = d + + Qund possamo esprmere l equazone (52) come: I Gd d d ( R ) d k P j,,..., N j= k = j+ + + = (54) Il rsulao P = sgnfca che l ordne è sao fssao per l perodo, l nzo dell orzzone degl even, menre P = sgnfca che esso è sao fssao