POLITECNICO DI MILANO Facoltà di Ingegneria dei Processi Industriali Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Elettrica

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1 POLITECNICO DI MILANO Facolà d Ingegnera de Process Indusral Corso d Laurea Specalsca n Ingegnera Elerca MODELLI SUPPLY FUNCTION EQUILIBRIUM PER LO STUDIO DEL MERCATO ELETTRICO: UN APPROCCIO TRAMITE ALGORITMI GENETICI A CODIFICA REALE Tes d Laurea Specalsca d: Marco Vescov Mar. 707 Relaore: Ing. Crsan Bovo Anno Accademco 008 / 009

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3 Rngrazamen Guno al ermne d queso lavoro desdero rngrazare ed esprmere la ma rconoscenza ne confron d ue le persone che m sono sae vcne e hanno permesso e ncoraggao sa me sud che la realzzazone d quesa es. I me pù sen rngrazamen vanno a ch m ha seguo durane la redazone d queso lavoro, al professor Ing. Crsan Bovo, per averm dao un ema così neressane e ambzoso, per averm seguo durane lo svolgmeno del lavoro con consgl e confron che m hanno auao ad nraprendere le scele pù approprae, per la connua dsponblà e pronezza ne charmen e suggermen ed nfne per la rleura d u capol della es. Rmarrà n me l pacevole rcordo d ques ann d sudo che ho rascorso n queso dparmeno e per aver rovao professor dsponbl al dalogo e a confronars con le dee alru. Il mo pensero, ovvamene, va a me famlar, a me genor Waler e Govanna e a ma sorella Monca: senza l loro auo non avre ma ragguno queso raguardo. Sono enormemene grao per uo l sosegno economco, ma pù d ogn alra cosa d quell auo aco o esplco che è venuo dal loro cuore: a ue quelle vole che m hanno ncoraggao vedendom preso da lbr, dagl esam e da quesa es, sopporando l pc acceso durane la noe, ma soprauo per la fduca che hanno sapuo donarm. M auguro che u sacrfc spes sano n queso modo, almeno n pare, rpaga. Se ho ragguno quesa mea lo devo anche a Vanessa e alla sua connua presenza, per averm fao capre che poevo farcela, ncoraggandom a non mollare ma. Desdero nfne rngrazare ue quelle persone con cu ho rascorso me sud, con cu ho scambao qualche pensero, qualche dea e qualche rsaa all nerno del dparmeno. Graze a u. Marco Vescov Mlano, 3 Maggo 00

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5 Indce Inroduzone... CAPITOLO - Lo Sudo dell Olgopolo... Inroduzone..... Forme d mercao..... Le eore classche sul mercao olgopolsco Il modello d Courno Il modello d Berrand Il modello d Sackelberg Il modello d leadershp d prezzo Breve confrono ra modell classc Conjured supply funcon Bblografa... 3 CAPITOLO - Il Modello S.F.E Inroduzone Il modello Supply Funcon Equlbrum Leeraura Alcun modell SFE propos Il modello d Klemperer e Meyer SFE senza ncerezza SFE con ncerezza Confrono ra gl equlbr d Courno e Berrand Il modello d Green e Newbery Duopolo smmerco Lm d capacà d offera Equlbr con soceà asmmerche Modell SFE lnear Bblografa CAPITOLO 3 - Gl Algorm Genec Inroduzone Evoluzone Gl algorm evoluv Il modello d Holland Le fas d un algormo geneco Codfca Popolazone nzale Fness Tecnche d selezone de genor Il crossover Tpologe d crossover per BCGA... 64

6 Tpologe d crossover per RCGA La muazone Tpologe d muazone per BCGA Tpologe d muazone per RCGA Elsmo Convergenza Vanagg e svanagg Bblografa... 8 CAPITOLO 4 - Descrzone dell Algormo Inroduzone Descrzone del modello Modello del mercao Tecnca per mglorare la convergenza Tpologe d selezone de genor Tpologe d ncroco (crossover) Tpologe d muazone Bblografa... 0 CAPITOLO 5 - I Da d Ingresso Inroduzone La sruura zonale Gl mpan d produzone La domanda Bblografa... 3 CAPITOLO 6 - Anals de Rsula... 5 Inroduzone Rsula per lo scenaro UC Domanda par al 0% Domanda par al 00% Domanda par al 90% Domanda par al 80% Domanda par al 70% Consderazon conclusve relave al caso UC Rsula per lo scenaro CC Domanda par al 0% Domanda par al 00% Domanda par al 90% Domanda par al 80% Domanda par al 70% Consderazon conclusve relave al caso CC Bblografa CAPITOLO 7 - Concluson... 77

7 Indce delle fgure Fgura. - Andameno delle vare funzon per la deermnazone del prezzo... 8 Fgura. - Benessere de consumaor S e benessere delle mprese Vπ... 8 Fgura.3 - Effcenza allocava e benessere collevo: concorrenza perfea e poere d mercao... 9 Fgura.4 - La scela omale dell mpresa... Fgura.5 - I due cas esrem... 3 Fgura.6 - Funzone d reazone nell olgopolo d Courno... 3 Fgura.7 - Deermnazone dell equlbro d Courno... 5 Fgura.8 - Funzon d reazone nell olgopolo d Berrand... 7 Fgura.9 - Prof dell mpresa a seconda del prezzo scelo... 7 Fgura.0 - Equlbro nel modello d Sackelberg... 0 Fgura. - Confrono ra gl equlbr ne modell classc d olgopolo... Fgura. - Creazone della Supply Funcon... 6 Fgura. - Confrono ra le dverse modalà d offera... 6 Fgura.3 - Curva d duraa d carco... 6 Fgura.4 - Forme d SFE compeve Fgura.5 - Prce cap e lm d capacà aggregaa (devazon profevol)... 3 Fgura.6 - Esempo d caraersca carco-duraa Fgura.7 - Esemp d funzone d offera Fgura.8 - Confrono ra SFE ed equlbr d Courno e Berrand... 4 Fgura.9 - Supply Funcon Equlbra possbl Fgura.0 - Soluzon possbl con lm d capacà Fgura. - Supply Funcon affne a ra Fgura 3. - Meodo del gradene: nerpreazone grafca Fgura 3. - Il cclo evoluvo Fgura Sruura base d un algormo geneco Fgura Meodo della Roulee Wheel Fgura Crossover: nerpreazone grafca Fgura Heursc crossover: nerpreazone grafca nel caso d mnmzzazone della funzone fness Fgura Cener of mass crossover: nerpreazone grafca... 7 Fgura Seed crossover: nerpreazone grafca... 7 Fgura Muazone: nerpreazone grafca Fgura Onda Morle: nerpreazone grafca Fgura 3. - Onda Morle: effeo della varazone Fgura 3. - Effeo del paramero d forma ξ sulla funzone a Fgura Elsmo: nerpreazone grafca Fgura 4. - Sruura del cromosoma nella codfca bnara Fgura 4. - Sruura del cromosoma nella codfca reale Fgura Sruura del cromosoma nella codfca reale con µ dfferenzao Fgura Incroco Fgura Muazone Fgura Andameno del profo con sagnazone Fgura Rappresenazone del procedmeno d sosuzone... 9 Fgura Andameno del profo senza sagnazone... 9 Fgura Valore delle probablà assegnae a cascun ndvduo con fness sml con selezone d po Roulee Wheel... 9 Fgura Valore delle probablà assegnae a cascun ndvduo con fness molo dverse con selezone d po Roulee Wheel Fgura 4. - Valore delle probablà assegnae a cascun ndvduo con fness qualsas con selezone d po fness rankng relneo Fgura 4. - Valore delle probablà assegnae a cascun ndvduo con fness qualsas con selezone d po fness rankng lneare Fgura Valore delle probablà assegnae a cascun ndvduo con fness qualsas con selezone d po fness rankng quadraco Fgura Confrono ra le dverse ecnche d selezone de genor Fgura Ingrandmeno delle prme generazon Fgura Confrono ra le dverse ecnche d ncroco Fgura Ingrandmeno delle prme generazon Fgura Confrono ra le dverse ecnche d muazone... 00

8 Fgura Wavele Muaon: nfluenza de paramer g ed eps Fgura 5. - Conformazone delle zone e de pol lma della ree rlevane Fgura 5. - Zone ree rlevane e lm d scambo, caso nvernale (durno=hp, nourno=hv), ra parenes valor senza dsposv d ele dsacco Fgura Conrbuo de prncpal operaor alla produzone nazonale lorda Fgura Conrbuo de prncpal operaor alla produzone d energa el. desnaa al consumo, Fgura Rparzone della capacà nsallaa per produore... 0 Fgura Rparzone zonale aggregaa della capacà nsallaa... Fgura Rparzone zonale della poenza rchesa... Fgura 6. - Percenuale d poenza nsallaa, suddvsa per ecnologa e per soceà... 6 Fgura 6. - Andameno d prof e prezz delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=0%... 8 Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, domanda=0%, µ-unco... 9 Fgura Rparzone della poenza dspaccaa da S per ecnologa d produzone, d=0%, µ-unco... 9 Fgura Rparzone della poenza dspaccaa da S per ecnologa d produzone, d=0%, µ-unco... 0 Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=0%, µ-dff... 0 Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=0%, µ-dff... Fgura Andameno d prof e prezz delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=00%... 4 Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=00%, µ-unco... 5 Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=00%, µ-unco... 5 Fgura 6. - Percenuale d poenza dspaccaa, d=00%, µ-dff... 6 Fgura 6. - Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=00%, µ-dff... 6 Fgura Andameno d prof e prezz delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=90%... 9 Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=90%, µ-unco Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=90%, µ-unco Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=90%, µ-dff... 3 Fgura Rparzone della poenza dspaccaa da S per ecnologa d produzone, d=90%, µ-dff... 3 Fgura Rparzone della poenza dspaccaa da S per ecnologa d produzone, d=90%, µ-dff... 3 Fgura Andameno d prof e prezz delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=80% Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=80%, µ-unco Fgura 6. - Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=80%, µ-unco Fgura 6. - Percenuale d poenza dspaccaa, d=80%, µ-dff Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=80%, µ-dff Fgura Andameno d prof e prezz delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=70% Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=70%, µ-unco Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=70%, µ-unco Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=70%, µ-dff... 4 Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=70%, µ-dff... 4 Fgura Poenza dspaccaa dalle soceà nel caso d CP Fgura Confrono ra prof massm e mnm, µ-unco e µ-dff Fgura Andameno de prof delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=0% Fgura Confrono ra domanda ed offera zonale, domanda=0% Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=0%, µ-unco Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=0%, µ-unco Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=0%, µ-unco Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=0%, µ-dff Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, domanda=0%, µ-dff Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=0%, µ-dff Fgura Andameno de prof delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=00%... 5 Fgura Confrono ra domanda ed offera zonale, domanda=00%... 5 Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=00%, µ-unco Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, domanda=00%, µ-unco Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=00%, µ-unco.. 54 Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, domanda=00%, µ-dff Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=00%, µ-dff Fgura Andameno de prof delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=90% Fgura Confrono ra domanda ed offera zonale, domanda=90% Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=90%, µ-unco Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=90%, µ-unco Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=90%, µ-unco Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=90%, µ-dff... 60

9 Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=90%, µ-dff Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=90%, µ-dff... 6 Fgura Andameno de prof delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=80% Fgura Confrono ra domanda ed offera zonale, domanda=80% Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=80%, µ-unco Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=80%, µ-unco Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=80%, µ-unco Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=80%, µ-dff Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=80%, µ-dff Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=80%, µ-dff Fgura Andameno de prof delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=70% Fgura Confrono ra domanda ed offera zonale, domanda=70% Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=70%, µ-unco Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=70%, µ-unco Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=70%, µ-unco... 7 Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=70%, µ-dff... 7 Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, domanda=70%, µ-dff... 7 Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=70%, µ-dff Fgura Poenza dspaccaa dalle soceà nel caso d CP Fgura Confrono ra prof massm e mnm, µ-unco e µ-dff Indce delle abelle Tabella 4. - Suddvsone per ecnologa ulzzaa Tabella 4. - Valore delle probablà per ndvdu con fness sml con selezone d po Roulee Wheel... 9 Tabella Valore delle probablà per ndvdu con fness molo dverse con selezone d po Roulee Wheel Tabella Valore delle probablà per ndvdu con fness qualsas con selezone d po fness rankng relneo Tabella Valore delle probablà per ndvdu con fness qualsas con selezone d po fness rankng lneare Tabella Valore delle probablà per ndvdu con fness qualsas con selezone d po fness rankng quadraco Tabella 5. - Conrbuo % de prncpal operaor nazonal alla generazone ermoelerca per fone, Tabella 5. - Suddvsone delle soceà d produzone per accord e/o parecpazon Tabella Caraersche delle cenral ermoelerche n servzo nell anno Tabella Caraersche delle cenral droelerche n servzo nell anno Tabella Caraersche de pol d produzone eser... Tabella 6. - Eso smulazone, domanda 0%... 7 Tabella 6. - Impan n servzo, domanda=0%... Tabella Eso smulazone, domanda 00%... 3 Tabella Impan n servzo, domanda=00%... 7 Tabella Eso smulazone, domanda=90%... 8 Tabella Impan n servzo, domanda=90%... 3 Tabella Eso smulazone, domanda 80% Tabella Impan n servzo, domanda=80% Tabella Eso smulazone, domanda 70% Tabella Impan n servzo, domanda=70%... 4 Tabella 6. - Eso smulazone, domanda 0% Tabella 6. - Eso smulazone, domanda 00%... 5 Tabella Eso smulazone, domanda 90% Tabella Eso smulazone, domanda 80%... 6 Tabella Eso smulazone, domanda 70%... 68

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11 Inroduzone In Europa l processo d deregolamenazone nzò nel 996, quando la Commssone Europea approvò la dreva 96/9/CE, con la quale paes membr erano spn a nrodurre la compezone nel seore dell energa elerca. In Iala la rsruurazone nzò nel 999 con l Decreo Legge 79/99, ma solo nel 004 la borsa elerca dvenne effevamene operane. La borsa elerca consene a produor e a consumaor d effeuare lberamene operazon d compravenda d energa elerca. Idealmene, la sruura del mercao e la compezone ra parecpan dovrebbero drgere la soceà verso un aumeno del welfare. Tuava, l mercao elerco non rappresena una suazone d compezone perfea, essendo puoso pù smle a un olgopolo, a causa delle lmazon nrnseche nel seore della produzone, rasmssone e dsrbuzone dell energa elerca, ossa: lmao numero d produor; necessà d gross nvesmen, che cosuscono una noevole barrera all ngresso d nuov operaor; vncol nella rasmssone, che alvola rducono l numero d produor da qual ogn consumaore può essere servo; l energa elerca non può essere mmagazznaa (con l eccezone degl mpan d pompaggo). La prosecuzone del processo d lberalzzazone ha favoro la nasca e la cresca d nuov operaor (la presenza d una moleplcà d sogge è un elemeno vale per la compezone e per l mercao) e sospno quell essen verso una dmensone sempre pù nernazonale. Se, nfa, n un ssema monopolsco vercalmene negrao, un unca azenda svolgeva n manera coordnaa le avà d produzone, rasmssone, dsrbuzone e venda, n un mercao lberalzzao le avà d produzone e venda sono apere alla compezone, rspevamene ra dverse generaon companes (GenCo) e dvers raders/realers, menre le avà d rasmssone e dsrbuzone, confgurandos come monopol naural, rmangono seor regola. A frone d al parcolarà è necessaro dsporre d srumen prevsonal che permeano d valuare se l mercao, così come è aualmene sruurao, nel medo-lungo ermne enda ad un equlbro, oppure, a una suazone d nsablà e, nel caso n cu enda a un equlbro, qual prezz s vengano a deermnare e qual quoe sano copere da var produor. Ques srumen smulano la sraega d offera e possono auare gocaor a rovare l offera omale da presenare al mercao, e l Auorà d regolazone a sorveglare l funzonameno del mercao sesso. Nauralmene, smulaor d lungo perodo, a cu apparene l modello presenao n queso lavoro, rchedono comunque una smulazone d breve perodo del clearng del mercao per la fssazone del prezzo dell energa, anche se magar realzzaa n manera relavamene meno deaglaa rspeo a un mplemenazone fnalzzaa esclusvamene a obev d breve ermne. Recenemene dvers sud sono sa condo al fne d deermnare la sraega omale per produor d energa elerca, al fne d massmzzare l loro profo n ermn economc. La procedura descra n queso lavoro prende n consderazone grupp d mpan d produzone d energa elerca che cosuscono produor prce-maker, ovvero gross

12 Inroduzone produor che hanno un poere d mercao suffcenemene elevao da nfluenzare prezz d venda dell energa con le loro offere, e prce-aker, ovvero pccol produor che non hanno l poere o l neresse d nfluenzare prezz d mercao con le loro offere. Il poere d mercao s rflee nella capacà d un produore d: fssare prezz d venda dell energa elerca superor a cos d produzone, oppure d raenere la poenza erogable dal suo parco facendo sì che mpan pù cosos debbano essere fa funzonare, con un conseguene prezzo d mercao pù elevao. S è analzzao l caso n cu sono presen due produor prce maker ra loro n compezone, smulandone l comporameno araverso modell d olgopolo. Ques ulmo approcco è sao renuo pù approprao per l anals del comporameno de var produor n un coneso come quello del mercao elerco, anche se la sua applcazone rchede la conoscenza, da pare d cascun produore, de real cos d produzone de produor rval. Il modello d mercao qu proposo può essere ulzzao quando un produore non ha a dsposzone mole nformazon rguardo le possbl sraege degl alr compeor prma dell aperura della sessone del mercao. La sraega omale dervane dal modello suggersce un convenene pano d produzone che rappresena l equlbro verso l quale var compeor enderanno progressvamene nel empo, a meno che non nsorgano nuov elemen n grado d dsorcere ale equlbro. I modell d olgopolo, che s sprano alla Teora de Goch, osservano l comporameno nel medo-lungo perodo de var sogge (n ermn d offera sul mercao dell energa) come una sequenza d mosse, n, appuno, un goco compevo. Le mosse compue da cascun gocaore generano un feedback sul comporameno degl alr gocaor. Queso andameno nel empo può endere a una suazone sable (equlbro d Nash) che cascun soggeo consdera oma e dalla quale nessuno ha convenenza a sposars, oppure a una suazone d nsablà. Nel caso s enda a un equlbro, cascuno è n grado d valuare la sraega oma per sé, conseguble compablmene con gl obev de compeor. In queso lavoro vene nrodoo un modello n grado d smulare l mercao elerco e l comporameno de parecpan, n coneso d olgopolo per sudare l poere d mercao nel seore del mercao elerco alano. Ovvamene, per fare cò sono sae nrodoe alcune poes semplfcave, nel seguo del lavoro rporae. I modell d equlbro sono ampamene ulzza a queso scopo, n quano sono flessbl e poenzalmene applcabl a descrvere realà complesse con un elevao numero d operaor che neragscono ra loro. Occorre, però, sceglere l po d erazone sraegca per descrvere l comporameno degl operaor, n relazone a possbl meccansm d formazone del prezzo, alla modalà d rappresenazone de vncol d rasmssone e nfne alle ecnche compuazonal adoae. I modell d Courno e SFE sono quell maggormene ulzza per sudare, nel coneso elerco, le problemache legae al poere d mercao e al suo abuso. A dfferenza de modell d Courno, poché produor d energa elerca devono froneggare una domanda pracamene anelasca, modell SFE consenono una rappresenazone pù realsca del mercao elerco, benché la loro mplemenazone rsul pù complessa e presenno alcune lmazon d caraere compuazonale che l rendono dffcl da applcare a merca real caraerzza da un elevao numero d sogge e da vncol ecnc. Il modello consene d emulare le sraege adoae da produor come, ad esempo, emulare l comporameno d un prce maker, che ende a produrre una quoa d mercao lmaa al fne d manenere un deermnao lvello d prezzo, oppure osservare l comporameno de compeor che agscono come prce aker, che sono nvece dspos ad aumenare la produzone man mano che l prezzo sale.

13 Inroduzone In al modell, le GenCo formulano le propre sraege ponendos come obevo prmaro la massmzzazone del propro profo. Dao che l mpego de modell SFE pora a problem alamene non lnear, con l rscho d deermnare soluzon local e non global del problema, nel lavoro qu presenao, s adoa un approcco basao su un algormo geneco co-evoluvo per deermnare pun d equlbro del mercao elerco: la massmzzazone s realzza medane l omzzazone del mark-up, consderao come varable sraegca, effeuaa araverso una procedura erava basaa sugl algorm genec. Nel capolo vengono nrodo alcun conce economc fondamenal per lo svluppo d queso lavoro: l elascà della domanda al prezzo e l poere d mercao. Successvamene vene presenaa una panoramca a lvello eorco delle pù noe forme d mercao. In seguo s presena una descrzone deaglaa delle eore sul mercao olgopolsco, analzzando brevemene la Teora de Goch e modell One Sep Games, raa sa dal puno d vsa eorco che maemaco. Il capolo presena una descrzone approfonda de modell Supply Funcon Equlbrum. Una descrzone generale è segua da un anals della leeraura nernazonale rguardane var approcc, con relav vanagg e lmazon nell applcablà. Vengono po analzza prncpal modell cosuen la base d quesa eora: l modello d Klemperer e Meyer (n presenza o n assenza d cerezza della domanda), l modello d Green e Newbery (applcao prma a un duopolo smmerco, po nel caso d lmazone della capacà d offera e nfne nel caso d soceà asmmerche), e l modello lneare. Il capolo 3 nroduce l conceo d Algormo Geneco, analzzando vanagg che quesa ecnca compora rspeo alle alre ecnche d rcerca. Vengono rporae n deaglo le fas d un algormo e approfonde le ecnche presen n leeraura. Nel capolo 4 vene descro l modello ulzzao n queso lavoro. Poché esso prende spuno da un lavoro gà essene, sono rporae le modfche nrodoe, n parcolare la codfca a varabl real n luogo della codfca a varabl bnare e l mplemenazone d una dfferenzazone, per ecnologa d produzone, della varable sraegca che s nende omzzare. Vene rappresenao l modello maemaco del mercao elerco e delle soceà d produzone dell energa. Infne, s rporando le consderazon che hanno condoo alla scela degl operaor genec mglor. Nel capolo 5 s descrvono da d ngresso ulzza per le smulazon: la scela della sruura zonale, la caraerzzazone degl mpan d produzone e la rchesa zonale d poenza. Il capolo 6 rpora gl es delle smulazon effeuae. In parcolare, la prma pare ndvdua la soluzone d mercao n poes d concorrenza perfea. Tale scenaro, benché rreale, cosusce un benchmark d rfermeno per confronare gl es nelle condzon d monopolo. Successvamene s rpora l anals del comporameno sraegco adoao dalle soceà d produzone n assenza e n presenza de lm d rasmssone. Il capolo 7 conclude queso lavoro e rpora le osservazon fnal.

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15 . Lo Sudo dell Olgopolo Inroduzone La lberalzzazone del mercao elerco è para con la Dreva Europea 9/96 [], che ha nrodoo norme comun per l mercao nerno dell energa elerca, fnalzzae a realzzare una graduale lberalzzazone della domanda e a creare condzon favorevol per lo svluppo della concorrenza, nella generazone e nella venda d energa elerca. La lberalzzazone del mercao elerco è saa avvaa n Iala medane l Decreo Bersan [] che recepsce la suddea Dreva Europea segnando l nzo del processo d lberalzzazone delle avà d produzone, mporazone, esporazone, acquso e venda d energa elerca. In precedenza, n Iala vgeva un modello d mercao d po monopolsco. Infa, dal 96 (anno d nasca dell Ene Nazonale per l Energa Elerca, ENEL) ue le avà legae alla produzone, al rasporo e alla venda d energa elerca erano, per legge, rservae solo a Enel. V erano anche alcun sogge auorzza a produrre energa elerca, ma ques poevano solo venderla a Enel e non mmeerla dreamene nel mercao. Nel 99 Enel è dvenaa Soceà per Azon, prmo passo verso la prvazzazone. Alla nuova soceà furono arbue, a olo d concessone, le avà che n precedenza erano rservae all Ene Nazonale per legge. I sogge auorzza a operare sulla borsa elerca sono: produor, gl mporaor e grosss d energa, ma anche clen (che dal luglo 007 sono consdera u done). A causa della sruura dell offera, l mercao elerco può essere vso come un olgopolo nel quale un numero lmao d produor deene una quoa sgnfcava d mercao. Alcune caraersche de merca elerc possono ndurre le azende a esercare poere d mercao, come ad esempo una domanda anelasca, lm d ranso sulla ree d rasmssone e la rchesa, essenzale, che la domanda e l offera sano blancae n ogn sane. In presenza d olgopolo, le eore classche basae sul modello d concorrenza perfea non sono valde e la predzone dell andameno del mercao deve passare necessaramene araverso l anals del comporameno sraegco de dvers produor. Peralro, è propro nel caso degl olgopol che la prevsone araverso modell maemac dell andameno de merca è parcolarmene mporane. Infa, sogge doa d fore poere d mercao possono essere n grado d dsorcere a loro favore gl es dello sesso, ed è neresse de regolaor ndagare qual norme possano essere nrodoe, al fne d garanre agl acquren un prezzo l pù prossmo possble a quello d concorrenza perfea. In queso coneso può essere ule sudare e defnre opporun modell d mercao per analzzare l comporameno sraegco degl operaor, con parcolare rguardo a produor. Nel modellzzare gl olgopol s possono fare due poes alernave. La prma è che dvers sogge endano a coalzzars n un carello, la seconda è che, nvece, cascuna soceà sablsca la propra sraega ndpendenemene dalle alre. Nel seguo, s suppone che valga la seconda crcosanza. Per queso movo, comporamen possono essere modellzza sulla base del prezzo, della quanà o della funzone d offera.

16 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo Tra ques, l modello d Courno, l modello d Berrand, l modello d Sackelberg, l modello Leadershp d prezzo, le Conjured Supply Funcon e le Supply Funcon Equlbra sono pù largamene applca nell anals de merca elerc d po pool. Un enavo d modfcare l approcco de modell classc, ne qual gocaor fssano la sola quanà o l solo prezzo, adaandolo al caso de merca elerc, è cosuo da modell che fanno uso del conceo d Supply Funcon. La supply funcon d una generca soceà d produzone è una funzone monoona non decrescene che fa corrspondere a ogn prezzo la quanà che la compagna d generazone (GenCo) è dsponble a offrre a quel prezzo. I modell d Courno e SFE s fanno concorrenza come srumen prac per sudare l olgopolo ne merca elerc. Il modello SFE offre una vsone pù reale de merca elerc, dove le regole d offera porebbero rchedere a produor d fornre una funzone prezzo-quanà, puoso che una sere d sole quanà. Nelle applcazon con Courno, la formazone del prezzo dpende esclusvamene dalla curva d domanda e dal produore margnale: l prezzo d mercao s deermna dall nersezone ra la curva d domanda e la quanà aggregaa d offera. La domanda rsula caraerzzaa da una bassssma elascà al prezzo, per cu la prevsone del prezzo con Courno non rsula parcolarmene aendble. L approcco con SFE rchede anch esso d specfcare la dpendenza della domanda dal prezzo e s può applcare anche a domande con elascà nulla, poché rsula ne sono meno sensbl... Forme d mercao Prma d defnre le vare forme d mercao è opporuno nrodurre due conce fondamenal, ul anche per lo sudo del mercao elerco: l elascà della domanda al prezzo [3] e l poere d mercao. La pendenza della domanda d un mercao ndca quano sensbl sano gl acquren a cambamen del prezzo. L elascà al prezzo ε è l paramero che snezza ale audne: dq ε = dp p q dove p ndca l prezzo e q la domanda d mercao. Un modo comunemene usao per esprmere e msurare l elascà della domanda al prezzo è la varazone percenuale della quanà domandaa dal mercao per un aumeno del prezzo par all %. La scela d una msura normalzzaa derva dalla necessà d avere un unco paramero che esprma, per ogn prodoo, la sensblà al prezzo e non rsena delle parcolar unà d msura ulzzae per esprmere quanà e prezzo. Una domanda anelasca è pù rpda: essa ndca che clen dmnuscono, n msura mnma, la quanà d prodoo che sono dspos ad acqusare, anche se prezz aumenano n manera sgnfcava. Ben essenzal, come l energa elerca, endono ad avere una domanda d queso po. L elascà al prezzo della domanda è solamene una funzone del perodo d empo preso n consderazone. Nel breve perodo, un aumeno del prezzo d un prodoo può avere un effeo mnmo sulla domanda, perché c vuole del empo affnché s creno de surroga e s mpar ad usarl. Nel lungo perodo, uava, s possono spesso rovare e usare surroga. La domanda d gas, ad esempo, è pù sensble al prezzo n orzzon d lungo perodo, a causa del empo che c vuole per nrodurre mpan d rscaldameno basa su alr combusbl.

17 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo Il poere d mercao è la capacà d un mpresa d aumenare prezz al d sopra del lvello concorrenzale n modo profcuo e connuavo. Il poere d mercao può essere mgao dalla reazone all aumeno d prezzo da pare d:. consumaor, che possono rdurre l consumo d quel bene, rmandandolo nel empo, acqusandolo n un alro luogo o sosuendolo con un alro bene;. concorren, che possono ad esempo espandere la propra produzone; 3. concorren poenzal, che possono enrare nel mercao. In un mercao come quello elerco, dove la ree rappresena l elemeno che permee l vero e propro dspegars del goco concorrenzale, è charamene evdene la correlazone drea ra la doazone d nfrasruure e l lvello d compevà e produvà d un ssema economco. Nel seore della produzone elerca la pena concorrenza è possble solo con re adeguaamene svluppae, n grado d elmnare dfferenze zonal e aree d mercao rservae. L Auorà per l energa elerca e l gas (AEEG), essendo nvesa d una specfca funzone d conrollo e d promozone della concorrenza e dell effcenza nell offera de servz d pubblca ulà nel seore dell energa elerca, eserca una funzone connuava d monoraggo del mercao elerco all ngrosso e del mercao per l servzo del dspaccameno, n una prospeva fnalzzaa a conrollare e valuare le dnamche d formazone de prezz nel mercao, l grado d concorrenzalà del mercao, nonché l effcaca delle regole d funzonameno de merca. Un smle conrollo ha, ra l alro, lo scopo d consenre al regolaore d accerare se l essenza d anomale ne prezz sano arbubl a suazon conngen, relave a ndsponblà d elemen d ree (vale a dre scarsà d capacà d rasporo) o alla movaa ndsponblà d unà d produzone (vale a dre scarsà d offera), oppure a condoe sraegche, voluamene pose n essere dagl operaor d mercao e fnalzzae a sfruare l loro poere d mercao. La presenza d congeson n una ree d rasmssone aumena l poere d mercao: l generaore effcene espora quano possble ed è n grado d mporre un prezzo superore al prezzo d monopolo nel mercao domesco. I vncol d ree rducono la conendblà del mercao a lvello zonale, aumenano l grado d concenrazone dell offera e, qund, favorscono l poere d mercao, che s raduce n prezz cosanemene pù eleva n alcune zone. Se le scele de s degl mpan ogg essen sono sae fae a prescndere dal segnale d prezzo, perché avvenue prma della defnzone zonale del dsegno d mercao, quelle n ao manengono l dfferenzale d prezzo come un elemeno non proraro ra quell pres n consderazone dagl mprendor. Dao che l poere monopolsco consse nella capacà d pracare un prezzo p superore al C' q, la relazone: coso margnale ( ) C' p= ( q) ( ε ) q, p evdenza come l prezzo pracao dal monopolsa p sa superore al coso margnale, d un ammonare nversamene proporzonale all elascà della domanda al prezzo ε q,p : quano pù la domanda dell mpresa è anelasca, ano maggore è l suo poere monopolsco. Rsula anche evdene la ragone per cu l monopolsa non opera ma nel rao anelasco della curva d domanda, coè nel rao n cu ε q,p <. Quando ε q,p <, nfa, l rcavo margnale R è negavo, come s evnce da: 3

18 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo R R' = q = q p q p q q p + ε q, ( p q) = p+ q = p( q) + = p( q) = p( q) p ε q, p Infa, rorganzzando la relazone precedene: p C' p ( q) = ε q, p s può noare come l mark-up sul coso (n percenuale rspeo al prezzo) sa uguale al recproco dell elascà della domanda, preso con segno negavo. L eserczo del poere d mercao appare mpossble n regm penamene concorrenzal, ovvero n presenza d due forme d mercao: la concorrenza perfea e la conendblà (o concorrenza poenzale). S defnsce perfeamene concorrenzale ogn mercao nel quale le mprese sono prce-aker, ovvero, non sono n grado d deermnare dreamene l prezzo a cu vendere propr prodo, e l prezzo vene formao dal mercao, ovvero dall nerazone fra acquren e vendor. Le cnque poes fondamenal sono: basso lvello d concenrazone ndusrale (presenza d un grande numero d mprese d dmenson relavamene pccole); assenza d barrere (all ngresso e all usca); omogeneà del prodoo (lo deve essere effevamene ma anche percepo come ale); nformazone perfea (u gl agen, mprese e consumaor conoscono prezz fssa da ue le mprese); smmera ecnologca (ue le mprese hanno accesso alle sesse ecnologe produve e organzzave). I rsula che quesa dealà compora sono: nel lungo perodo, l mercao forma un prezzo uguale al lvello mnmo de cos med, nclusa una remunerazone mnma del capale (oale assenza d exraprof 3 ); nessuna mpresa gudca razonale aumenare auonomamene l prezzo: se l prezzo aumenasse, l mpresa oerrebbe exraprof, le alre mprese lo perceprebbero decdendo d fssare prezz pù bass (non essendoc barrere all ngresso), menre se l prezzo dmnusse, l mpresa oerrebbe exraprof negav; le mprese, solo con enorm dffcolà porebbero formare carell, poché, olre che a essere llegm, al accord sarebbero espos a un elevao rscho d defezone. I cos med o unar, AC (average coss), sono defnbl come l rapporo ra cos oal e quanà, al varare della quanà. Necessaro ad asscurare agl azons, almeno nel lungo ermne, una remunerazone paragonable a quella che oerrebbero da alr nvesmen con smle lvello d rscho. 3 Essendo l profo è defno come dfferenza ra rcav oal e cos oal, nel caso l profo sa posvo s defnsce come exraprofo. 4

19 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo I merca penamene concorrenzal sono un rfermeno, un benchmark, rspeo al quale msurare l grado d mperfezone del mercao e, dunque, anche se non sono osservabl dreamene permeono una valuazone relava d alre forme d mercao. Indcando con p l prezzo d mercao, MC l coso margnale e con AC mn l coso medo mnmo, l equlbro concorrenzale sablsce che: p = MC= AC mn ovvero, n alr ermn, la quanà del bene vene prodoa al mnmo de cos possbl (massma effcenza produva) e vene vendua al mnmo prezzo possble (massma effcenza allocava). Nessuna mpresa ha ncenv ad allonanars dal prezzo d equlbro auonomamene: aumeno d prezzo: è ovvo che nessuna mpresa aumenerà l propro prezzo, dao che concorren connuano a pracare l prezzo d mercao, perché perderebbe la propra quoa d domanda; dmnuzone d prezzo: nessuna mpresa rova razonale rdurre l propro prezzo, quando l prezzo d mercao connua a essere pracao da concorren, anche se quesa sraega porerebbe l nera domanda a rversars su d essa. Infa, nel breve perodo, l mpresa è sempre vncolaa da una capacà produva lmaa, come espresso dall andameno crescene de cos margnal: l mpresa non sarà n alcun modo n grado d aumenare la quanà prodoa, perché produrre unà aggunve compora cos ncremenal crescen che non verrebbero, n queso modo, coper dal rdoo coso medo. I prof dunque s rdurrebbero perché la rduzone del margne prezzo-coso non sarebbe accompagnaa da un aumeno delle quanà. In alr ermn, nessun sngolo produore rova razonale pracare prezz dvers dal prezzo d equlbro. Le mprese, dunque, rcevono l prezzo dal mercao e non lo deermnano: alcune avranno prof e alre perderanno. Inolre l prezzo copre appena cos margnal dell ulma unà d prodoo. In concorrenza perfea, le mprese perano non godono d poere d mercao (vedere nel seguo). S defnsce poenzalmene concorrenzale (o conendble) un mercao nel quale mprese provenen da alr seor o da alr merca geografc sono faclmene n grado d enrare per sfruare le opporunà d profo dovue a prezz eleva. Le mprese sono consapevol che prezz superor a cos med, e dunque la presenza d prof, agscono come segnal ne confron degl nvesor. Se l mpresa è prce-aker, l evenuale consapevolezza delle mprese non ha conseguenze, perché l prezzo vene formao dal mercao: nuove mprese enreranno e le mprese presen subranno una rduzone progressva del prezzo. Se nvece s assume che l mercao sa conrollao da un mpresa monopolsa o domnane, o da un carello d mprese, le mprese presen hanno capacà e ncenv ad aumenare l prezzo olre lvell d equlbro d concorrenza perfea: sanno che consumaor o clen ndusral, non poranno dfenders perché non hanno alernave pracabl nel breve perodo; sanno che la rduzone nel numero d clen o ne volum produv (proporzonalmene all elascà della domanda al prezzo) porà essere compensaa da un aumeno del margne d profo unaro, dao dalla dfferenza ra prezz e cos med (mark-up). 5

20 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo L eserczo del poere d mercao, n un mercao non perfeamene concorrenzale può essere argnao con l permanere dell poes d assenza d barrere all ngresso e all usca. La mnacca d ngresso da pare delle mprese poenzal enran, rappresena un effcace deerrene: un aumeno, anche emporaneo, de prof s radurrebbe n un ngresso da pare d mprese con prezz nferor. Ma perché la mnacca d ngresso sa credble, non v devono essere cos d usca: non v devono essere barrere all usca assocae a nvesmen rrecuperabl, così che poenzal enran, n caso d aumeno de prezz, possano auare un comporameno h-and-run, enrando e, al empo sesso, ruscendo a resare nel mercao, solo fnano che l mpresa sorca non rduce propr prezz. S defnsce monopolo naurale un avà ndusrale nella quale cos d mpresa sono subaddv (condzone necessara e suffcene): la produzone concenraa n un unca mpresa presena cos oal 4 nferor a cos oal che l nera ndusra spermenerebbe nel caso n cu l offera fosse realzzaa da pù mprese [4]. Se Q è la quanà oale d prodoo offera nel seore (n caso d seore mul-prodoo, Q è un veore delle quanà de sngol prodo), s ha monopolo naurale se: CT ( Q) < n = CT ( q ), n = q = Q, n In quesa formulazone è mporane soolneare che v è monopolo naurale se e solo se cos oal rsulano nferor, qualsas sa la suddvsone della quanà oale ra pù mprese: ra o pù mprese o ra mprese d dmenson ugual o dverse. Nel caso mul-prodoo, la formula deve valere per suddvson sa ra mprese specalzzae, sa ra mprese dversfcae. S consder l caso d un seore mono-prodoo, pù rlevane per l ndusra dell energa elerca. Condzone suffcene per la subaddvà de cos è che Q, quanà rchesa dal mercao, non sa un lvello dmensonale caraerzzao da dseconome d scala, ovvero che cos med 5 sano decrescen: AC( Q) < 0 Q La concorrenza fra mprese cosusce un meccansmo vruoso n mol seor ndusral. In al seor, le scele operae auonomamene dalle sngole mprese n un regme d concorrenza rsulano al empo sesso: ome da un puno d vsa prvao, ovvero permeono d persegure la massmzzazone del propro profo; ome da un puno d vsa pubblco, ovvero permeono alla collevà d dsporre d ben e servz al mnor prezzo possble e con la mglore qualà. 4 La funzone d coso oale può essere specfcaa dsnguendo una componene cosane (cos fss), comprenden cos d se-up (e nel breve perodo anche cos fss propramene nes), e una componene varable, funzone della quanà. 5 Includono sa cos fss (nel breve perodo u cos delle rsorse fsse e d se-up, nel lungo perodo solo d quese ulme) sa quell varabl. I cos med o unar, AC (average coss), sono defn come l rapporo ra cos oal e quanà, al varare della quanà: AC = AC ( q) = CT ( q) q. 6

21 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo Come ancpao, l grado d concenrazone e l mporanza delle barrere all ngresso possono rdurre la forza della compezone, ma anche n queso caso s rene preferble manenere un regme d mercao concorrenzale non regolamenao. Invece, deermnae avà dell ndusra elerca o del gas hanno cosuo, e nella maggor pare de cas ancora ogg cosuscono, un eccezone a ale regola dell economa. In caso d monopolo naurale, nfa, la concorrenza non appare come desderable, perché rchederebbe un aumeno de cos (come ad esempo duplcare le nfrasruure d ree). Il monopolo è un male mnore : vene perano proeo con specfche dsposzon d legge. Al empo sesso, se mancassero uleror nerven da pare dell auorà pubblca, l mpresa monopolsa s roverebbe a dsporre e a esercare poere d mercao, con neffcenze nacceabl per la collevà, soprauo per prodo essenzal come quell n dscussone. La scela operaa nella maggoranza de paes è la regolamenazone del monopolo. Un mpresa che non ha concorren nel mercao non sarà prce-aker, ma sarà prce-maker: la scela del prezzo equvale a sceglere la quanà d oupu da produrre e vendere. S consder la quanà da produrre q come varable decsonale, l obevo è la massmzzazone del profo П, oenuo eguaglando rcavo margnale e coso margnale 6 : Π= RT maxπ e qund: ( q) CT( q) = p( q) q CT( q) RM = MC ( q) RT p RM = = q + p= MC MC= p + q q q p p q Ipozzando una curva d domanda lneare, la cu funzone è rcavo margnale s calcolano, rspevamene, come: p= a b q, l rcavo oale e l RT = p q = a q b q RM = a b q Se cos oal sono espress da MC = c q CT = F + c q, l coso margnale è esprmble come: Uguaglando le due espresson per massmzzare l profo, s oene: RM = MC q * = a b p * = a a b ( + c) ( b+ c) Π * = RT * CT * = p * q * F c q * Nella fgura. s mosra come n concorrenza perfea prof sano null e l surplus de 6 Il coso margnale è l coso che l mpresa sosene per produrre un unà aggunva d prodoo; s raa dunque dell'ncremeno ne cos oal dovuo alla scela d produrre un unà n pù. I cos margnal, MC (margnal coss), sono defnbl come la varazone ncremenale o la dervaa de cos oal (ovvero, de cos varabl): CT ( q) CV ( q) MC= MC( q) = CT( q+ ) CT( q) = = q q 7

22 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo consumaor sa rappresenao dal rangolo a-p cp -o, menre n monopolo prof sano par a π* e l surplus de consumaor sa rappresenao dal rangolo a-p*-k. Nasce così una perda secca d benessere poché l area a-p cp -o è maggore dell area (a-p*-k) + π*. Fgura. - Andameno delle vare funzon per la deermnazone del prezzo In un mercao olgopolsco le grandezze n goco (prezz, quanà, prof, surplus e benessere socale) s pongono n una poszone nermeda, ra quella che s oene n concorrenza perfea e quella oenua n monopolo. I due modell d mercao preceden hanno n comune l fao che le sraege d ogn mpresa non devono preoccupars delle reazon de concorren (n concorrenza perfea perché, essendo prce-aker, non ncdono sull equlbro, menre n monopolo perché non c sono d fao concorren). In olgopolo s ha un numero rsreo d mprese, dove ogn decsone presa da un soggeo nfluenza l profo delle alre. Il modello è dffcle da formalzzare: ne essono dvers, che parono da dverse poes. In un oca prvaa (azons e managemen), l obevo è la realzzazone d prof, o ul (olre al lvello mnmo d remunerazone del capale azonaro). In un oca pubblca, l obevo è la realzzazone del benessere collevo o socale (welfare). S defnsce benessere collevo, W, la somma del benessere de consumaor S e del benessere delle mprese V π (fgura.). p S p p p V π MC Domanda Domanda Quanà mercao Quanà mpresa, q Fgura. - Benessere de consumaor S e benessere delle mprese Vπ S defnsce effcenza allocava la capacà d un ssema economco d permeere la massma soddsfazone d bsogn, ovvero la produzone e lo scambo della massma quanà e vareà d prodo, a parre da una deermnaa doazone d rsorse nzale. 8

23 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo Per rdurre l neffcenza allocava del ssema, occorre aumenare l benessere de consumaor/clen d cascun seore. Un puno cenrale dell anals del mercao n ermn d effcenza consse nella consderazone che l poere d mercao delle mprese rappresena un mpedmeno alla rduzone dell neffcenza allocava. La fgura.3 confrona l benessere de consumaor e l benessere collevo n concorrenza perfea (breve perodo) e nel caso d eserczo del poere d mercao da pare d una o pù mprese del seore. p S Offera Prezz d equlbro p S Offera V V Domanda Domanda Quanà d equlbro Q Fgura.3 - Effcenza allocava e benessere collevo: concorrenza perfea e poere d mercao L eserczo d poere d mercao rduce l effcenza allocava caraersca d un mercao n concorrenza perfea: s rduce la quanà prodoa e scambaa. Consumaor e clen con dsponblà a pagare compable con la sruura dell offera, non rescono ad accedere al prodoo. Inolre, con l eserczo del poere d mercao, l benessere collevo dmnusce: l benessere delle mprese, V h, aumena ma non compensa la dmnuzone del benessere de consumaor/clen. S defnsce effcenza ecnca o produva dell nero ssema economco, la capacà d soddsfare bsogn de consumaor/clen, ovvero d permeere la produzone e lo scambo d una deermnaa quanà e vareà d prodo, con la mnma quanà d rsorse. In regme d concorrenza perfea d lungo perodo s realzza effcenza produva, perché una deermnaa quanà d prodoo vene prodoa con la mnma quanà d rsorse, ovvero con cos mnm: ue le mprese adoano la sruura d coso ecncamene pù effcene e le mprese ave sono quelle che presenano cos mnor. Rdurre l neffcenza produva n un seore sgnfca lberare rsorse mpegnae per soddsfare clen/consumaor del seore senza compromeere bsogn fno a quel momeno soddsfa ed mpegarle per us alernav. In concorrenza perfea s ha la massma effcenza produva, la massma effcenza allocava (massma quanà del prodoo scambaa) e l benessere collevo massmo (perda secca nulla). In caso d eserczo d poere d mercao la suazone camba. S rduce l effcenza allocava caraersca d un mercao n concorrenza perfea: s rduce la quanà prodoa e scambaa, e consumaor, con dsponblà a pagare compable con la sruura dell offera, non rescono ad accedere al prodoo. Inolre l benessere collevo dmnusce: l benessere delle mprese aumena ma non compensa la dmnuzone del benessere de consumaor. 9

24 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo.. Le eore classche sul mercao olgopolsco Solamene le mprese conrollano delle varabl chave per consegure loro obev d mercao: possono, ad esempo, modfcare la quanà prodoa d un deermnao bene oppure l prezzo d venda. Nauralmene l mpresa può formulare molssme poes rguardo a come reagranno le concorren alle sue decson: porebbe renere che le rval manengano nalerao l prezzo de loro prodo, oppure che non modfchno l lvello d produzone, ma non solo. In un regme olgopolsco sono presen poche grand mprese n grado d produrre la maggor pare dell oupu d mercao e spesso sono presen barrere all enraa d nuove mprese, d naura ecnologca oppure sraegca. La caraersca peculare dell olgopolo, che lo dfferenza da ue le alre forme d mercao, è cosua dal comporameno sraegco delle mprese presen: le decson d cascuna mpresa olgopolsca, n mero al prezzo da mporre o alla quanà da produrre, dpendono dal comporameno d ue le alre mprese olgopolsche presen sul mercao. Non ha pù senso parlare d decsone oma, n quano l rsulao oenuo da ogn decsore dpende anche dalle scele degl alr. S prefersce, dunque, parlare d puno d equlbro, nendendo con cò l nseme d scele (una per ogn gocaore) da cu nessun gocaore ha ndvdualmene neresse a sposars. Nel caso parcolare oggeo del nosro sudo, gocaor sono le soceà d produzone, che formulano offere d venda d energa (n ermn d coppe quanà-prezzo) nella borsa. Il goco consse nella massmzzazone dell ule, persegua a urno da cascuna soceà. Nel caso n cu, a seguo d un cero numero d erazon del goco, corrspondene a un cero numero d sesson della borsa dell energa, s pervenga a una suazone d equlbro, n al condzon l offera presenaa da cascuna soceà sarà quella che permee d consegure l massmo ule, compablmene con le condzon d mercao (comporameno de compeor, prezz de combusbl, ecc). In alr ermn, n al condzon le offere presenae da cascuna GenCo saranno quelle ome. Nel caso n cu le GenCo sano ue d dmenson comparabl e l modello non rceva feedbacks dal mercao dell energa reale, non è correa nemmeno l assunzone, faa da alcun meod, che la curva d offera aggregaa de compeor sa noa prevenvamene alla decsone della mossa da compere da pare della soceà d rfermeno. Infa, supporre noa la curva d offera aggregaa de compeor, presuppone che le sraege da ess persegue sano ndpenden dalle mosse compue dalla GenCo soo sudo oppure prevedbl a pror. Cò è possble, ad esempo, se compeor sono d dmensone roppo pccola per condzonare l mercao e adoano, d conseguenza, una sraega da prce aker (consderano l prezzo come dao e sablscono la quanà da produrre n modo ale che l coso margnale d produzone sa uguale al prezzo d mercao). In caso conraro, ben dffclmene una prevsone a avolno porà caurare la complessà d faor che nfluenzano d vola n vola le scele sraegche de compeor. Perano, nel caso n cu le dmenson de sogge del mercao sono comparabl ra d loro è opporuno consderarl u come sogge av del goco. La eora de goch, rsalene al 944 e nrodoa da Von Neumann e Morgensern, è una branca della rcerca operava che s occupa d modell maemac all nerno de process decsonal, consderando goch come ssem decsonal caraerzza da un nerazone sraegca presene ra le mprese n un deermnao seore [5, 6, 7]. E ule qund ad analzzare suazon d po economco n cu s verfca un nerazone ra sogge, cascuno de qual persegue una propra sraega, modfcando le propre varabl 0

25 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo sraegche n modo ale da massmzzare una propra funzone d benefco, sulla base d un nformazone, n generale parzale, sulle sraege e le opzon degl alr gocaor. La mossa compua da cascun gocaore genera un feedback sul comporameno degl alr gocaor. In generale, dopo un cero numero d mosse d u gocaor, s può verfcare che s enda ad una suazone sable (equlbro d Nash) nella quale nessun gocaore ha pù convenenza a modfcare le propre sraege. I modell sraegc pù recen permeono d mplemenare una noevole quanà d varabl (ad esempo l comporameno de sngol produor, le regole del mercao, l modello de vncol d ree) consenendo così d gungere ad un modello sempre pù specfco e vcno al caso reale. Dunque, la eora de goch s occupa d process decsonal a mol decsor, mol obev (uno per cascun decsore) e nformazone complea o ncomplea. Un mercao per cu ogn parecpane agsce n modo ndpendene rspeo agl alr, e non sono presen coalzon ra gocaor, può essere descro come un goco non cooperavo. John Nash dmosrò che un goco non cooperavo fno ha sempre, come mnmo, un puno d equlbro per cu la sraega d ogn gocaore è omale conro quella de suo rval. In queso puno ogn gocaore non può aumenare l propro profo modfcando la sua sraega unlaeralmene. Il proflo d sraege per cu, ognuna, è una rsposa oma a quella degl alr, è defno Equlbro d Nash. Nel modello d equlbro d mercao basao sulle offere, un equlbro d Nash rsula se nessun parecpane al mercao ha un ncenvo a modfcare unlaeralmene la propra offera. Tale puno d equlbro può essere defno come un nseme d prezz ne dvers nod della ree, oppure come prof de produor, l benessere socale, la quanà prodoa oppure l carco n ogn nodo. L equlbro d Nash è una prevsone dell eso del goco, nel senso che se u parecpan sono n grado d prevedere un parcolare equlbro d Nash che s manfeserà, allora nessun gocaore avrà ncenvo a modfcare la propra sraega: cò avvene solamene se u gocaor prevedono un parcolare puno d equlbro d Nash, pozzando che anche rval prevedano lo sesso. In alcun goch, come ne merca n cu la curva d offera nerseca la curva d domanda pù d una vola, porebbero essere dvers equlbr d Nash. In queso caso, l assunzone che l eso del goco sarà un equlbro d Nash, fa affdameno sul processo che condurrà u gocaor allo sesso puno d equlbro. Nell equlbro ragguno n concorrenza perfea, l prezzo rsula fssao al prezzo margnale e l coso dell mpano margnale, chamao alla produzone, non renra nelle varabl da consderare. Nel caso opposo, n cu esse un unco produore e un unca funzone d offera, l prezzo d equlbro è legao al prce cap mposo e al coso dell mpano margnale pù cososo: l aumeno de prezz e la produzone dalle unà margnal sarà legao alla presenza d queso mpano. I modell d goco s possono classfcare n: Modell sac (o one sep games [8]) ne qual s mpone che le azende non conoscano le sraege de compeor e non possano varare le propre scele n rsposa all offera faa da concorren, come ad esempo modell d Courno e Berrand;

26 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo Modell dnamc (o wo sep games [6]) n cu ogn parecpane ha la possblà d osservare le azon alru e d reagre d conseguenza nella fase successva, come ad esempo modell d Sackelberg, Leadershp d prezzo, SFE (Supply Funcon Equlbra) e CSF (Conjecured Supply Funcon).... Il modello d Courno Nel modello d Courno [9] ogn mpresa assume che le concorren connuno a produrre lo sesso lvello d oupu: l dea venne formulaa nel 838 dall economsa francese Auguse Courno e applcaa a due mprese che vendevano acqua mnerale. Quando n un mercao olgopolsco sono presen solo due mprese s ha un duopolo, e rsula del modello possono po essere generalzza al caso d pù mprese. L poes prncpale del modello è che ogn mpresa consder cosane la quanà prodoa dalla concorrene, ndpendene dalle sue decson d produzone. Nonosane quesa lmazone, l comporameno d ogn mpresa resce ad nfluenzare le decson dell alra. Sulla base d ale poes, cascun duopolsa calcola la quanà da produrre per massmzzare propr prof ndvdual. Nelle mplemenazon usual del goco d Courno, applcae al mercao elerco, non s consdera ua una sere d vncol ecnc, per esempo mnm e massm d poenze ermche e sulle rserve drche e vncol d sarup e shudown, che nvece nella praca rvesono una grande mporanza. S consder una funzone d domanda d mercao lneare, n cu l offera è faa da due mprese, e : ( ) p = a b y + y dove a e b sono due paramer posv e y e y sono le quanà prodoe dalle due mprese. Poché l mpresa assume che l mpresa non modfch la quanà prodoa y, la domanda per l bene offero dall mpresa sarà: p ( a b y) b = y La curva d domanda vene qund oenua soraendo b y dall nercea orzzonale della curva d domanda d mercao. Le prme y unà del bene sono p offere dall mpresa, menre D l mpresa fronegga la domanda p( y rmanene. Deducendo la quanà ) fssa dell mpresa rvale, dalla quanà oale ndcaa dalla d ( y ) funzone d domanda d mercao per cascun prezzo, l mpresa può nnanz uo rcavare la p ( y ' + y ) c propra pozzaa funzone d domanda. Tale funzone d r ( y ) y,y domanda ndvduale, daa la * quanà che congeura sarà y y ( y ) y' y ' + y prodoa da, è chamaa funzone y d domanda resduale (che Fgura.4 - La scela omale dell mpresa

27 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo descrve la quanà oma d oupu offero da cascun duopolsa n funzone della quanà d oupu offero dall alro). Come s evnce dalla fgura.4, se l mpresa decde d non produrre affao, l prezzo è dao p. Se l mpresa nvece produce una quanà posva, y ', l prezzo è dao da da ( y ) p ( ) produrre, l prezzo è dao dalla curva ( y ) y ' + y. Pù n generale, qualunque sa la quanà che l mpresa può decdere d d. La curva d ( y ) è chamaa la curva d domanda resdua per l mpresa : essa esprme la relazone ra la quanà prodoa dall mpresa ed l prezzo per un dao valore d y. Avendo deermnao la domanda resdua per l mpresa, l calcolo della scela omale per l mpresa è a queso puno analogo a quello n condzon d monopolo. Fondamenalmene occorre deermnare l puno n cu l coso margnale uguagla l rcavo margnale. Il coso margnale è per poes cosane e uguale a c. Il rcavo margnale è una curva che ha la d e pendenza doppa rspeo a ques ulma. Il puno nel sessa nercea vercale d ( y ) * quale le due curve s nconrano corrsponde alla quanà ( ) y y. * S no che la scela omale per l mpresa, y ( y ), dpende dalle sue congeure su cò che sa facendo l mpresa. Per rovare un equlbro, s deve calcolare la scela omale dell mpresa per ogn possble valore d y. p Se y = 0, la domanda resdua per l mpresa concde, n effe, con l nera D y domanda d mercao: y ( 0) = D. La ( 0) soluzone omale, non sorprendenemene, è che l mpresa scelga la quanà d * monopolo: y ( 0) = ym. Se l mpresa dovesse sceglere una quanà corrspondene all oupu d c concorrenza perfea, coè se y = yc, dove yc è ale che p( yc ) = c, allora la rsposa omale dell mpresa sarebbe d non * * y ( y C ) = 0 y ( 0) = ym yc y *,y produrre nene: y ( y C ) = 0. Fgura.5 - I due cas esrem La fgura.5 rappresena grafcamene le consderazon appena fae. In effe, queso è l puno n corrspondenza del quale l coso margnale nerseca la curva del rcavo margnale corrspondene a d ( yc ). Poché sono no due pun d quesa y rea, è possble dsegnare l nera rea * y ( y ), così come è sao fao nella y m * fgura.6: s no che gl ass caresan y ( y) sono ora dvers rspeo alle fgure preceden. Sull asse orzzonale s connua a msurare la quanà, e n parcolare la quanà dell mpresa, y menre sull asse vercale non s msura y C pù l prezzo, ma la quanà Fgura.6 - Funzone d reazone nell olgopolo d dell mpresa. Courno * La funzone y ( y ), funzone d reazone dell mpresa, esprme la scela omale dell mpresa per ogn possble scela dell mpresa o, da un alro puno d vsa, la scela omale per l mpresa dae le sue congeure sul comporameno del suo concorrene. 3

28 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo L mpresa dovrà qund massmzzare l propro profo. Ipozzando un coso d produzone cosane per unà d prodoo par a c, la funzone del profo dell mpresa è daa da: π = [ a b ( y+ y) ] y c y Cò che neressa all mpresa è l puno d massmo della funzone, dao l lvello d y. Per massmzzare l profo, l mpresa dovrà rovare l lvello d produzone ale per cu: π y = 0= a b y b y c c= a b y b y n quano, per una funzone sreamene concava (come la funzone d profo, rspeo a y per ogn lvello d y dao) l puno d massmo s rova uguaglando a zero la dervaa prma. In ermn economc cò sgnfca eguaglare rcav margnal a cos margnal. Tuava, nessun duopolsa congeura correamene la quanà che l rvale produrrà. Infa, l mpresa generalmene non manene l oupu cosane, ma a sua vola produce la quanà che massmzza suo prof, sulla base dell poes che l mpresa produca un oupu fsso. D conseguenza, la coppa d oupu realzzaa, n generale non dura, ossa non è fssa: ogn duopolsa, quando scopre la quanà effevamene realzzaa dal rvale, adegua le propre aspeave a ale quanà, manenendo l poes che essa reserà fssa. Solo quando enramb, adaando l propro oupu al smulaneo oupu dell alro, raggungono l oupu d equlbro, allora l poes che ess fanno sull alro è quas correa. Infa, è dvenao vero che l alro connua a produrre una quanà fssa, anche se la ragone non è nel fao che segue una polca d oupu fsso, ndpendenemene dall oupu del rvale. L mpresa raa y come cosane. La funzone d domanda vsa dall mpresa sulla base d quesa poes è: ( ) p = a b y + y e l suo rcavo: p y = a y b y b y y La condzone d massmzzazone de prof per l mpresa è l uguaglanza ra rcavo margnale (MR) e coso margnale (MC), che s è supposo uguale a c : MR MC a b y b y = c = La funzone d reazone dell mpresa sarà qund: y = a c b y ndcaa anche come: y = ( ) R y 4

29 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo Per analoga s deduce la funzone d reazone dell mpresa : a c y = y y = R b E possble ora rappresenare geomercamene le funzon d reazone, assumendo che la funzone d domanda sa lneare e che produor abbano cos margnal cosan e dello sesso lvello. Sull ascssa s msura l oupu d subordnao a quello d. S chama ( ) y ( y ) y ( a c) b y e = 3 ( a c) b ( a c) b R ( y ) ( ) b ( ) b R ( y ) ( a c) b R la curva che y e = a c 3 a c esprme l oupu d n funzone Fgura.7 - Deermnazone dell equlbro d Courno d quello d e R ( y ) la curva che esprme l oupu d n funzone dell oupu d : enrambe sono chamae funzon d rsposa oma o d reazone (o luogo delle rspose ome). Enrambe le funzon declnano n modo monoono come ndcao nella fgura.7. Infa, pù uno produce, meno produrrà l alro, perché ques ulmo pozza che la propra funzone d domanda ndvduale sa collocaa pù a snsra. Le funzon d reazone sono lnear, se s pozza, come è sao fao, funzon d domanda lnear e cos margnal cosan. D conseguenza l puno d equlbro sable è l unco puno d nersezone. Inolre gl oupu ndvdual degl olgopols, dae le denche funzon d coso, sono ugual. Il lvello d oupu scelo dall mpresa dmnusce all aumenare del coso d produzone e all aumenare della pendenza della funzone d domanda, menre aumena all aumenare del prezzo che consumaor sono dspos a pagare la prma unà mmessa sul mercao. Ad ogn azone d un mpresa corrsponde, qund, una reazone dell mpresa concorrene che modfca l propro lvello d produzone sceglendo una quanà sulla sua funzone d reazone, n corrspondenza del lvello d oupu della concorrene. Il processo connua fnché non s raggunge un puno d equlbro sable n corrspondenza dell nersezone delle due funzon d reazone: n queso puno nessuna delle due mprese sarà ncenvaa a modfcare l propro lvello d produzone per reagre alla scela operaa dall alra mpresa. I lvell d oupu n corrspondenza del puno d nersezone delle due funzon d reazone defnscono un equlbro d Nash. S ha equlbro quando y = y e y = y (coè le quanà d produzone del rvale che vengono congeurae sono effevamene quelle che s verfcano, per enramb duopols). Qund la funzone d reazone dell mpresa è: y y = a c b y e sosuendo nella funzone d reazone dell mpresa : y a c a c y b b = 5

30 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo da cu rsula che n equlbro ( y = y ) la quanà prodoa da è: y a c = 3 b e sosuendo nella funzone d reazone dell mpresa, la quanà prodoa da è: y a c = 3 b L oupu oale, neso come quanà oale dell equlbro d Nash-Courno sarà: y NC = y + y ( a c) = 3 b S deermna ora l profo che cascuna mpresa realzzerà producendo la quanà appena deermnaa: per fare queso occorre prma deermnare l prezzo d equlbro. NC Sosuendo y all nerno della funzone d domanda d mercao s oene: p NC = a b NC ( y ) = a+ c 3 Il profo dell mpresa sarà dao da: π NC = NC [ ( )] ( a c) a b y y c y = 9 b Analogamene, l profo dell mpresa sarà: π NC = NC [ ( )] ( a c) a b y y c y = 9 b Tale profo è nferore a quello d monopolo, che vale: π M ( a c) = 4 b... Il modello d Berrand Secondo Berrand [0] le mprese scelgono l lvello de prezz de loro prodo e s confronano su quesa varable. Nel modello s assume che ogn mpresa fss l propro lvello d prezzo, assumendo che l prezzo della concorrene rmanga cosane e che ogn mpresa abba una capacà ale da coprre l nera domanda. Le concluson che verranno raggune dal modello d Berrand saranno dfferen da quelle del modello d Courno. Il modello è mporane a lvello eorco ma produce rsula poco realsc se applcao al mercao elerco. 6

31 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo S assume che le due mprese abbano le funzon d domanda e d coso vse n precedenza nel modello d Courno. Inzalmene l mpresa fssa l lvello d prezzo p 0, a queso puno l mpresa avrà re alernave: 0 fssare un lvello d prezzo superore a p ; 0 fssare un lvello d prezzo par a p ; fssare un lvello d prezzo margnalmene nferore a 0 p ; Nel prmo caso l mpresa non avrà mercao, menre nel erzo caso nvece ruscrà ad approprars d ua la domanda. Nel caso nermedo le due mprese s dvderanno equamene l mercao. La erza alernava rappresena la mglore sraega per l mpresa : l mpresa realzzerà un profo doppo rspeo al secondo caso. Poché le mprese sono denche, la sraega omale per enrambe, sarà quella d sceglere un prezzo margnalmene nferore a quello fssao dal concorrene. A queso puno rsula charo che non porà essere un equlbro se le mprese connueranno c p R ( p ) R ( p ) a rdurre l loro prezzo per fssarlo ad un lvello nferore a quello del rvale. Tale processo connuerà fnché l prezzo non raggungerà l coso margnale c. Rappresenando le due funzon d reazon n fgura.8, nessuna delle due mprese sarà ncenvaa a rdurre ulerormene l prezzo al d soo del coso margnale, n quano non avrebbe nessun guadagno dalla venda del propro prodoo. c p Fgura.8 - Funzon d reazone nell olgopolo d Berrand Secondo le poes alla base del modello d Berrand, l equlbro oenuo concde con quello della concorrenza perfea perché l prezzo d venda concde con l coso d produzone. Ad un lvello d prezzo par al coso margnale ognuna delle due mprese servrà meà della domanda d mercao (fgura.9). p p p * a Prof dell mpresa se scegle lo sesso prezzo dell avversaro Domanda d mercao p * p a Prof dell mpresa se scegle un prezzo mnore dell avversaro Domanda d mercao Pendenza=-b y Pendenza=-b y Fgura.9 - Prof dell mpresa a seconda del prezzo scelo Fn qu s raa d un modello d mercao perfeamene compevo, non applcable a merca olgopolsc. Se, però, le soceà non sono n grado d soddsfare l nero mercao, allora la porzone d mercao che non può essere soddsfaa dalla soceà a mnm cos margnal dovrà essere soddsfaa da compeor a prezz margnal va va crescen, fno al raggungmeno della domanda oale. Nel caso d un ssema borssco a prezzo margnale, s 7

32 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo formerà un prezzo par a cos margnal dell ulmo compeore pù cososo chamao n goco. Infa, se l prezzo fosse par al coso margnale, nessuna mpresa avrebbe un guadagno (paradosso d Berrand): se però s nduce un lme d capacà n enrambe le azende (volando però un poes nzale) nessuna delle due porà coprre neramene la domanda del mercao, e l prezzo s abbasserà fno a quello corrspondene al massmo della capacà produva, arrvando a un prezzo d equlbro comunque maggore del prezzo margnale. Esse anche l caso n cu le mprese pracano una sraega d mnacca, nella quale coè un azenda applca un prezzo superore al coso margnale ma nferore al prezzo d monopolo, fno a che non s accorge che l alra azenda, nel perodo precedene, ha gà pracao lo sesso prezzo. Per applcare quesa sraega, cascuna azenda confronerà l profo aeso, vendendo ad un prezzo p* poco mnore (conqusando così uo l mercao), con l profo oenble manenendo cosane l prezzo p (dvdendo però l mercao con l concorrene). Se vale che, per prof, Π ( p) > Π( p *), allora a enrambe converrà manenere l lvello d prezz nvarao. Un ulma consderazone rguarda l fao che l prezzo sa par al coso margnale: nella realà, nel parco d generazone posseduo da un azenda, sono presen dverse ecnologe con cos d mpano dvers. Per avere cos margnal ugual le mprese dovrebbero essere denche, alrmen cò ndurrebbe l elemeno dverso ad uscre dal mercao...3. Il modello d Sackelberg I modell d Sackelberg e d Leadershp d prezzo sanno ra loro nello sesso rapporo n cu sanno l modello d Courno e quello d Berrand: l prmo fssa la quanà e lasca al mercao la deermnazone del prezzo, menre l secondo fssa l prezzo e lasca al mercao la deermnazone della quanà. Il modello rappresena l equvalene dnamco del modello d Courno e s suppone che un mpresa sappa che la sua concorrene s compor come un duopolsa d Courno. Nel 934, l economsa edesco Henrch von Sackelberg arrvò alla conclusone che un mpresa prenderebbe le propre decson sulla quanà da produrre consderando l loro effeo sulle scele della rvale: ancperebbe qund la concorrene nelle propre scele dando luogo a un poeco goco sequenzale. Rprendendo da del modello d Courno, s suppone che l mpresa sa a conoscenza del fao che l mpresa assuma cosane l lvello d produzone dell mpresa : ques ulma adoerà una parcolare sraega. La funzone d reazone dell mpresa è: y = R ( y ) = ( a c b y ) b Sapendo che l mpresa ulzzerà quesa funzone d reazone e che fsserà l propro lvello d produzone y n funzone della produzone del concorrene, s può sosure la funzone d reazone nell equazone della curva d domanda d mercao oenendo: 8

33 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo p= a b ( y + R ( y )) = a+ c b y Daa la funzone d domanda, l leader sceglerà la quanà da produrre n base all obevo d massmzzare prof. Il suo rcavo oale sarà: RT a+ c = y b y A queso puno è possble oenere la funzone del rcavo margnale MR raddoppando l nclnazone della curva d domanda (-b). Sceglendo po l lvello d produzone n corrspondenza dell uguaglanza ra rcavo margnale e coso margnale, l mpresa massmzzerà l profo secondo l uguaglanza: a+ c MR = b y = c= MC * a c y = b Queso è l lvello omo d oupu per l mpresa quando ene cono che l mpresa reagsce alle sue decson, sulla base della funzone d reazone R ( y ). * Se, qund, l mpresa produce la quanà y, l mpresa produce la quanà corrspondene sulla sua funzone d reazone, e coè: y * = R * ( y ) = * ( a+ c b y ) b a c = 4 b Poché l mpresa conduce l goco, vene chamaa leader d Sackelberg, menre l mpresa, che nvece segue, vene chamaa follower. Il modello leader-follower è sosanzalmene un goco a due sad, n cu nel prmo sado, l leader (mpresa ) scegle la quanà da produrre che non porà pù essere varaa nel secondo sado, menre nel secondo sado, l follower (mpresa ) scegle quano produrre, dopo aver osservao la scela faa dal leader sulla base della propra funzone d reazone. Dopo che enrambe le mprese hanno scelo la quanà da produrre, l oupu oale vene venduo sul mercao e le mprese raccolgono prof. L equlbro corrsponde a produzone e prof d maggor d quell che avrà. L offera oale sarà par a: y S = y + y ( a c) 3 = 4 b menre l prezzo d equlbro sarà: p S ( a c) 3 a+ 3 c = a b = 4 b 4 Infne, s può calcolare anche l profo realzzable dalle due mprese. Il leader avrà prof p c y, ossa: par a ( ) 9

34 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo S π ( a c) = 8 b p c y, ossa: Il follower avrà nvece prof par a ( ) S π ( a c) = 6 b Charamene l follower, producendo la meà del leader con gl sess cos, ha prof dmezza. y Rspeo al modello d Courno, se l mpresa ( a c) b renesse che la rvale R producesse sempre l lvello ( y ) * d oupu y, le converrebbe sceglere un lvello d produzone nferore, y e = ( a 3c) b corrspondene a quello sulla funzone d reazone R ( y ). Facendo così, nfa, R ( y ) massmzzerebbe l propro profo. Ma così non è, n quano y e = ( a+ c) 4b ( a c) b ( a c) b l mpresa sa che provocherebbe una reazone Fgura.0 - Equlbro nel modello d Sackelberg da pare dell mpresa : s nneserebbe una sprale d reazon che porerebbe l mpresa a dmnure l lvello d oupu per convergere verso l puno d nersezone delle due funzon d reazone. * Per l mpresa sarebbe scuramene convenene produrre un lvello nferore a y, se poesse mpedre all mpresa d varare la sua produzone. Tuava non è n grado d farlo e qund le convene connuare a produrre l lvello y...4. Il modello d leadershp d prezzo * Il modello rappresena l equvalene dnamco del modello d Berrand. Consderando un mercao duopolsco, s suppone l essenza d un azenda leader e un azenda follower. L azenda leader decderà l prezzo omo e n un secondo momeno l azenda follower reagrà decdendo la quanà da produrre, n modo che l suo coso margnale d produzone concda con l prezzo fssao n precedenza dal leader. Il leader ruscrà così a massmzzare l propro profo sapendo che l follower, n ermn d capacà produva, offrrà l bene al coso margnale, corrspondene al prezzo d mercao. 0

35 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo.3. Breve confrono ra modell classc Nella fgura. è rappresenao l rsulao de re modell dnamc, n modo da poer procedere a un raffrono anche con cas classc d monopolo e d concorrenza perfea. Per rovare la poszone de re equlbr sulla curva d domanda s deve far rfermeno a lvell d oupu ndvdua precedenemene. La dfferenza fondamenale ra l modello d Courno e l modello d Berrand rsede nel fao che, nel secondo modello, prof de gocaor sono molo pù sensbl alle sraege de gocaor che nel prmo modello. In parcolare, nel modello d Berrand, n una suazone con p = p > c, ognuno de gocaor ruscrebbe (quas) a raddoppare le sue vende (caurando anche la domanda dell alro gocaore) al coso d una mnma rduzone del propro prezzo. Ed è propro quesa enazone, d raddoppare l propro profo con una pccola devazone, che preclude la possblà d un equlbro nel quale gocaor oengono prof posv. p a D ( a c) c MR Monopolo Courno Sackelberg Berrand/concorrenza perfea ( a c) b y m = y Fgura. - Confrono ra gl equlbr ne modell classc d olgopolo Nel modello d Courno prof varano nvece n un modo pù connuo con le sraege de gocaor, perché un aumeno della quanà da pare d un gocaore mplca una rduzone del prezzo e, percò, una (poenzalmene rlevane) perda, n ermn d rcav oenu dalla venda delle unà nframargnal. Cò sgnfca che nel modello d Courno gocaor hanno meno da guadagnare da una possble devazone. Infa, come s è dmosrao, esse una combnazone d sraege (l equlbro d Courno-Nash) ale che gl ncenv a devare sono par a zero, anche se enramb gocaor realzzano prof posv. Quale de due modell sa pù adao, dpende dalle caraersche de merca che s nendono sudare. Ulzzare l modello d Berrand è approprao per un ndusra la cu ecnologa permee alle mprese d modfcare faclmene l loro oupu. Solo soo quesa condzone è ragonevole pensare che un mpresa possa enare d caurare l nera domanda d mercao offrendo un prezzo pù basso delle alre mprese. Il modello d Courno nvece può essere consderao pù realsco nel caso d un ndusra nella quale è dffcle, per le mprese, modfcare propr pan d produzone una vola che ques sano sa decs.

36 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo.4. Conjured supply funcon Ques ulmo meodo preso n consderazone dffersce da u gl alr perché n quese funzon vengono rappresenae le poes che cascuna azenda congeura su come le alre andranno a modfcare la loro offera n rsposa alle varazon d prezzo. Il goco è basao sulla quanà d prodoo resduale n funzone del prezzo ed è molo pù orenao allo sudo del mercao dell energa elerca 7. Un rsulao comune agl alr meod è quello d confermare che spesso lm d rasmssone e le manovre sraegche de produor vanno a dscapo del benessere socale e d conseguenza del benessere de consumaor. La prma formulazone è arbuble a C. J. Day e B. F. Hobbs, che lo rappresenarono come una generalzzazone del modello d Courno dao che le azende possono modfcare le propre offere n rsposa alle varazon d prezzo. Gl sess auor offrono una doppa formulazone del modello, una con curva d offera a pendenza cosane e l alra con nercea cosane: la pendenza delle Lnear Conjecures esprme l grado d compezone sul mercao []. Per evdenzare vanagg d queso meodo, rspeo al modello base del game n quany [8, ], nzalmene fu applcao al mercao d po pool nglese e scozzese. Daa la naura lneare delle curve consderae è molo semplce da applcare, ma presena problem nella modellzzazone delle sraege operae dalle azende []. Per ogn elemeno preso n consderazone (produor, sysem operaor, arbrarao) s devono, nfa, rcavare le condzon d Karush-Kuhn-Tucker per la massmzzazone del profo. 7 Generalmene, ne modell d Teora de Goch per mercao dell energa elerca s nende l solo Mercao del Gorno Prma. Gl alr merca (mercao dell aggusameno, mercao della rserva, ecc.) convolgono volum d scambo decsamene pù rdo e sono, perano, meno sgnfcav dal puno d vsa economco.

37 Capolo Lo Sudo dell Olgopolo.5. Bblografa [] Dreva 96/9/CE del Parlameno Europeo e del Consglo, 9 Dcembre 996, concernene norme comun per l mercao nerno dell energa elerca. [] Decreo Legslavo 6 Marzo 999, no. 79, Auazone della Dreva 96/9/CE recane norme comun per l mercao nerno dell energa elerca, pubblcao nella Gazzea Uffcale no. 75 del 3 Marzo 999, [3] R. Laffery, Demand Responsveness n Elecrcy Markes, Federal Energy Regulaory Commsson, 00. [4] R. Aron, Lezon d scenza delle fnanze, cap. 4, Il monopolo naurale, Il Mulno, 005. [5] A. Ardo, M. Benn, G. Mglavacca, Anals de requs e specfca d un sofware d smulazone ao ad ndagare l comporameno sraegco delle soceà d generazone n un coneso olgopolsco, Rapporo CESI-RdS A/0807, 00, [6] G. Mglavacca, Anals della leeraura sul ema della Teora de Goch applcaa alla modellzzazone de merca elerc, Rapporo CESI-RdS A4/504880, 004, [7] M. L Calz, Un eponmo rcorrene: Nash e la Teora de Goch, nerveno all Assemblea UMI, 8 maggo 00. [8] C. J. Day, B. F. Hobbs, Pang Jong-Sh, Olgopolsc compeon n power nework: a conjured supply funcon approach, IEEE Transacon on Power Sysem, vol. 7, no. 3, 00. [9] A. Courno, Recherche sur les prncpes mahémaques de la héore de rchesses, 838. [0] J. Berrand, Théore mahémaque de la rchesse socale, Journal des Savans, 48: , 883. [] Dansh Energy Research Program, Modellng mperfec compeon on he Nordc elecrcy marke wh Balmorel, 003, [] A. Garca-Alcalde, M. Venosa, M. Rver, G. Realano, Fng elecrcy marke models. A conjecural varaons approach, Rapporo del 4 PSCC, Sevlla, 4-8, gugno 00, sesson n., paper no. 3, pag. -6. Per ue le consderazon d caraere economco s facca rfermeno a: S. Maro, Economa de ssem ndusral, Lezon enue presso Polecnco d Mlano,

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39 . Il modello S.F.E. Inroduzone I modell d olgopolo classc sono abbasanza rgd, nfa, per cercare l equlbro d mercao, presuppongono che le azende parecpan al mercao fssno un valore n ermn d quanà (nel modello d Courno) o d prezzo (nel modello d Berrand). Tal modell, sac, non sono applcabl al mercao elerco se s voglono oenere rsula plausbl: l modello d Courno è foremene nfluenzao dall elascà della domanda al prezzo, ano che se fosse rgda l modello non ruscrebbe a rovare un puno d equlbro, menre quello d Berrand produce un rsulao paradossale, ovvero un puno d equlbro vcno alla concorrenza perfea. Le Supply Funcon Equlbrum caraerzzano un modello pù flessble e adeguao al mercao elerco, poché rfleono le regole d offera ne merca, dove ogn azenda offre una quanà ad un cero prezzo, secondo l programma prevso per un cero lasso emporale, al gesore del mercao. Inolre, con le SFE, è possble raare cas n cu la domanda sa compleamene anelasca, menre l modello d Courno rchede che la domanda resduale abba un cero grado d elascà (l prezzo prevso dpende dall aver assuno un lme d compevà, e cò non è aendble) e l modello d Berrand, pur non rchedendo una domanda elasca, deermna l equlbro che s oene da un mercao concorrenzale con due parecpan, senza lmazon sulla capacà. Per ques mov l modello SFE è sao applcao a var aspe del mercao elerco. E da enere presene però, che, pun d equlbro mulpl o assenza d equlbro, porebbero essere senza aver fao delle poes resrve sul numero de parecpan, sulla naura de cos d produzone o sulle funzon d offera... Il modello Supply Funcon Equlbrum Le Supply Funcons (nel seguo SF) nascono dall anals approfonda delle funzon d reazone raae nel capolo precedene. Dopo che un parecpane al mercao ha pozzao l comporameno degl alr, n ermn d prezzo o d quanà, rmane l fao che la domanda resdua che cascuna mpresa deve soddsfare ha un cero grado d ncerezza, dervane dal fao che l parecpane al mercao deve decdere la propra sraega prma d conoscere l effeva realzzazone della curva d domanda. La prma formalzzazone del modello vene descra da [] con domanda cera e noa, analzzando l caso d duopolo smmerco. Le due mprese parecpan al mercao presenano due funzon d coso denche, n funzone della quanà, Q C( Q). La funzone d domanda è defna come Q= D( p,ε), dove la varable ε è scalare, casuale, sreamene posva, e ndca l grado d ncerezza della domanda. Ogn ε asscura una curva d domanda unca. Successvamene, mplemenando le condzon che caraerzzano l mercao, è possble oenere una funzone che massmzza l profo []. Per ogn curva d domanda resduale defna dal paramero ε, s rcava qund l puno d dspaccameno omo che massmzza l 5

40 Capolo Il modello S.F.E. profo, rappresenao da coppe quanà-prezzo per l sngolo produore: unendo u ques pun s rcava la SF desderaa [3], come n fgura.. Random ε curva d domanda resdua Supply Funcon Fgura.3 - Curva d duraa d carco Fgura. - Creazone della Supply Funcon Le funzon d offera devono essere defne per ogn prezzo compreso nell nervallo [ +, ]. In pù, affnchè la SF sa realzzable, s rchede che essa sa conenua nell nervallo [ +, ], anche se l lme nferore mplca una produzone negava (cò non accade ne merca real, ma è necessara per semplfcare la raazone analca). I due auor hanno dmosrao che l prezzo e la quanà che s oengono n queso modello sono lma da rsula d Courno e Berrand (fgura.): l equlbro d Courno somgla a una SF vercale, essendo lo scenaro peggore, menre Berrand somgla a una curva d offera orzzonale, e suggerscono che l modello d Courno porebbe essere una mglore approssmazone ne merca con curve d coso margnale rpde rspeo alla domanda, menre merca con cos margnal pù pa possono essere approssma dalla concorrenza secondo Berrand. L dea d base del modello nzale venne manenua anche nello sudo del mercao nglese e gallese [4], ma Fgura. - Confrono ra le dverse modalà d offera fu nrodoa una modfca sosanzale: la novà rguardò la sosuzone della varable casuale ε, con la varable empo, e la conseguene rasformazone MW della curva d domanda n curva d duraa d carco, conservando comunque l ncerezza nzale della domanda [, 3]. La domanda carco è qund espressa come Q = D( p, ) e può essere ulzzaa dao l suo caraere monoono (se non vengono nrodo lm d 00% Duraa rasmssone), rappresenaa n fgura.3. 6

41 Capolo Il modello S.F.E. Il modello produsse prezz molo superor a prezz osserva nella realà, superor a cos margnal. L nervallo d prezz consderao fu [0,+ ], e d conseguenza la SF del generco produore, defna come S : [0, ] [ 0, ]. I due auor affermarono che l mercao elerco spo è probablmene l mglor esempo d mercao modellzzable medane Supply Funcons, I rsula eorc furono conferma dalle smulazon del mercao brannco, le qual mosrarono che l poere d mercao poeva essere esercao anche senza collusone. S consder qund una suazone d duopolo, n cu due produor A e B scelgono le rspeve SF S A ( p( ) ) e S B ( p( ) ), n funzone del prezzo e del perodo n cu vengono offere, p. La domanda oale sarà qund daa dalla funzone [3]: D ( ) ( p( ), ) = S ( p( ) ) S ( p( ) ) A + B Supponendo che l produore A sm una quanà offera dal produore B par a ( p), esso dovrà coprre (per effeo dell equazone d blanco ra domanda e offera) una domanda resduale par a S A( p) = D( p, ) S B( p). L obevo che s pone ogn produore è la massmzzazone del propro profo Π. Supponendo d consderare l azone del produore A, la massmzzazone del profo sarà daa da: A ( p) = p S ( p) C S ( p) = p [ D( p, ) S ( p) ] C [ D( p ) S ( p) ] Π, dπ A dp A ( p) d( p S ( p( ) ) C S ( p( ) )) = 0= = D A A dp dc dp ( p, ) S ( p) + p ( D( p) S ( p) ) B A = B B D p B ( p) ds ( p) B dp = 0 dove s ndca con C l coso d produzone sosenuo dalle soceà d generazone. La SF che s oene (dove con l apce s sono ndcae le dervae prme rspeo al prezzo delle funzon sopracae) è dunque: S B ds B dp = S B S A '( p) = + D' p C' ( S ) A ( p) n base alla quale produor andranno a produrre una quanà programmaa rspeo al prezzo [3]... Leeraura Il meodo delle SF s esende faclmene a cas con un numero qualunque d produor [5] e, almeno eorcamene, sembra offrre una meodologa coerene e maemacamene fondaa. In [6] s fa presene che la capacà predva del modello è puoso scarsa, poché s può dmosrare che rsolvendo l modello, ue le soluzon sono comprese fra quella d concorrenza perfea e quella d Courno. Green e Newbery [4] conrobaero sosenendo che, 7

42 Capolo Il modello S.F.E. enendo cono de lm sulle capacà produve degl olgopols, l numero d possbl equlbr dmnusce. La crcà prncpale de modell SFE è rappresenaa, nfa, da soluzon d equlbro mulple e, qund, porebbero avere bassa capacà predva. Forunaamene, mol sud hanno deermnao le condzon soo le qual l nervallo degl equlbr può essere rdoo noevolmene, fno a rovarne uno solo, come s vedrà n seguo. La possblà d ulzzare dverse pologe d funzon, lnear o non lnear, permee una grande versalà del modello, e modfca noevolmene rsula d equlbro, rendendo l modello pù o meno complesso. Senza poes resrve sulla naura de cos e su lm d capacà, sul numero d produor, o sulla forma sulle funzon d offera permesse, è dffcle rovare l equlbro nelle SF. In [7], le SF sono consderae lnear (n queso coneso per lneare s nende che l nercea della SF è zero). Baldck e Hogan [5] dchararono che solo le funzon lnear (con funzon d coso margnale anch esse lnear) possono offrre pun d equlbro sabl n condzone d assenza d lm d rasmssone e smmera de produor. Dopo aver applcao l loro modello al mercao energeco nglese gunsero a mporan concluson, d seguo rassune: n un mercao n cu produor presenano funzon d coso non smmerche e lm sulla capacà, un ssema dfferenzale non è effcene perché porebbe porare a delle SF non decrescen, come nvece rcheso dal modello; l numero d equlbr possbl può essere rdoo nroducendo l prce cap (e anche nel caso n cu sono s mponga quesa resrzone ale numero è comunque mnore rspeo al rcorso d un modello d Courno); l poes per cu la SF sa manenua cosane rspeo a una varazone della domanda, dmnusce la endenza da pare de produor d aumenare prezz. In [8] s analzza la sablà de modell SFE, non solo nel caso lneare, ma nel caso d ogn po d SFE. Green [7] ha mosrao come un modello d SFE affne possa essere usao per analzzare dvers aspe del mercao pool nglese e gallese, nroducendo successvamene conra alle dfferenze come n [9]: la caraersca comune d quese raazon è l dea che l unca sorgene d ncerezza sa nella domanda d mercao, menre cos de generaor sono assun no da u parecpan del mercao. Il modello proposo n [0], rspeo al modello d [], mplemena un caso specale d mercao, n cu produor smmerc (con vncol d Fgura.4 - Forme d SFE compeve capacà) che compeono n olgopolo, con domanda anelasca e prezzo unforme, propongono SF a gradn non convesse, pù realsche delle funzon d coso convesse e Sgnfca che la pendenza delle funzon d coso margnale è cosane e una nercea possblmene par a zero. In [3, 4 e 8] le funzon d coso margnale hanno ue nercea zero (o ue hanno la sessa nercea). 8

43 Capolo Il modello S.F.E. dfferenzabl (pche de modell preceden). Ulzzando da del mercao della Pennsylvana, l anals dmosrò che prezz d equlbro rsulan erano sgnfcavamene maggor de prezz n un mercao perfeamene compevo. I prezz all equlbro sono rsula molo sensbl alla dsponblà meda de generaor, all ammonare della capacà d rserva del ssema e alla precsone con cu produor sraegc erano n grado d prevedere la domanda. Lo sudo porò ad una soluzone n forma chusa al modello d [], nel caso parcolare d elascà della domanda al prezzo nulla. In [] s esende l modello d [4] ncludendo la possblà d ngresso d nuov produor, mosrando nolre le nerazon ra conra e mercao. S dmosra che l nseme de possbl equlbr può essere rdoo, non solo nroducendo lm d capacà, ma anche aumenando l numero d gocaor. Con l approcco seguo n [] essono però due sgnfcav problem. Per prma cosa, porebbe esserc un ampa famgla d equlbr dvers, n secondo luogo è spesso dffcle deermnare una soluzone d equlbro, sa analcamene che numercamene, anche quando s sa che esse. Klemperer e Meyer dscussero l caso n cu produor sono smmerc con funzon d coso convesse e una funzone d domanda concava, mosrando la non uncà delle soluzon. E fondamenale osservare che un SFE è un equlbro d Nash nelle sraege SF, ovvero un se d supply funcons { S ( p) }, una per ogn produore, la cu scela massmzza l profo d quel produore, dae le supply funcons scele dagl alr produor. S assume che la capacà de produor è largamene suffcene a coprre la domanda, n modo che la capacà d produzone non abba mpao sull nseme d equlbr. L equlbro d Nash può essere mmagnao come una prescrzone a pror a var gocaor, o l rsulao d un accordo ragguno a pror ra gocaor. Tale accordo è sable perché nessun gocaore ha neresse a modfcare unlaeralmene la propra sraega. Cascun gocaore porebbe domandars, prma d sablre la propra sraega, quale porebbe essere la sraega scela dagl avversar. Tale sraega dovrebbe essere (verosmlmene) una sraega oma. Se ogn gocaore ragona n queso modo, l rsulao è un equlbro d Nash. L equlbro d Nash porebbe essere l rsulao d un lungo processo d ral and error, nel quale ogn gocaore, a urno, modfca la propra sraega, fnché s raggunge un puno n cu nessuno ha pù convenenza a modfcarla. In realà, ques ulma gusfcazone, sebbene sembr nuva (è, d fao, la pù dffusa), non è del uo convncene: nene asscura che l processo eravo sa sable, coè che enda a un equlbro. Nel caso del mercao dell energa elerca, l fao che essa l equlbro d Nash non è per nene garano: bas pensare a comporamen speculav che hanno porao alla levazone de prezz e alla conseguene chusura del mercao calfornano a fne 000. L equlbro d mercao s deermna quando varazon unlaeral da queso puno deermnano una perda per l parecpane: all equlbro, la soluzone del mercao ha la propreà fondamenale che nessun parecpane gudcherà profevole varare la propra decsone unlaeralmene. Gl arcol [0] e [] rappresenano l caso d domanda ndpendene dal prezzo, n cu ogn produore ha una funzone d coso denca a quella degl alr: due offrono una formulazone n forma chusa per SF sreamene crescen, n assenza d lm d capacà o d alr lm operav, che enano d rsolvere due problem del modello d []. 9

44 Capolo Il modello S.F.E. Baldck e Hogan pensarono qund d nrodurre uleror vncol allo scopo d lmare l numero d equazon [3]: l prce cap e la massma capacà produva. Inolre, modellzzarono per ogn azenda una curva dversa dalla SF, lascandola cosane per un nervallo d empo (menre la funzone d domanda presenava noevol varazon). Conclusero che, l adozone d ques accorgmen avrebbe comporao la rduzone de possbl equlbr d Nash e, n cas esrem, anche l uncà d ale equlbro. L nroduzone nel modello de lm d capacà dmosra che gl equlbr possbl s rducono [4]. Se q è la quanà prodoa dal generco produore e q la quanà massma producble n un cero sane d empo, s poranno realzzare solo SF conenue nell nervallo [ 0, q ]. La presenza d lm d capacà può qund rdurre n modo drasco l nseme d SFE candda, come ad esempo quando la domanda è anelasca []. Se la domanda supera la capacà oale, c è un unco equlbro smmerco per produor smmerc con funzon d coso sreamene convesse [5]. Gl auor d [4, 5, ], seguendo le sesse consderazon, osservarono, n modo correo, che, se una soluzone del ssema d equazon dfferenzal del modello vola qualche lme d capacà, allora la soluzone non è un SFE. L alro lme nrodoo da [5] è l prce cap p, che ndca l prezzo pù alo olre l quale non è defna alcuna SF. Per rappresenare l effeo d queso lme nel mercao, s segue la raazone d Von der Fehr e Harbord [3], pozzando che sano le regole d mercao a defnre l prce cap al quale produor sono obblga ad offrre una SF, che soddsfa la condzone: ( p) q, S = Al prezzo d mercao non è qund permesso superare p. Se l offera è nsuffcene a nconrare la domanda a un cero sane, al prezzo p= p, la domanda deve essere razonaa. In queso caso s assume che, n caso d raggungmeno del lme d prezzo massmo, ua l energa sa vendua al empo a un prezzo par al prce cap. Se l prce cap dmnusce (o se l lme d capacà aumena, come s vedrà n seguo), l prezzo d equlbro dmnusce per ogn eso posvo della domanda, come nel caso aumen l numero d produor. Il mark-up è zero per offere nulle, e posvo per ogn offera posva. Emprcamene s ha la conferma che l nervallo d SF sabl può essere molo pccolo quando esse un prce cap. Inolre, l operaore d mercao deve essere n grado d smare n modo aendble l coso d produzone margnale massmo d ogn produore nel mercao, n modo che l prce cap possa essere fssao al d sopra del coso d produzone margnale massmo. In [3] s è sablo, con domanda anelasca, lm d capacà, prce cap e n condzon smmerche, l uncà del SFE. In [5] vene proposo un approcco numerco per calcolare l equlbro ne merca elerc consderando lm d capacà asmmerc, funzon d coso quadrache asmmerche, prce cap e bd cap, con funzon d offera monoone crescen, o meglo, con SF non decrescen: consderando due valor d prezzo p, al che, se p p', allora S( p) S( p' ). 30

45 Capolo Il modello S.F.E. Seguendo [5], se cos margnal sono null, nessun produore farà offere sul mercao ad un prezzo nferore al coso margnale C ' e l oupu prodoo sarà nullo: un buon prezzo mnmo ammssble porà essere dunque p= C'. E nolre possble che, allo scopo d frenare la domanda, prezz sano pù al d p = p. Per queso c è un cap sulle offere, ma non su prezz: per mplemenare l bd cap, s defnsce la SF come S [ p, ] [0, q ], p> p, S p = q. : poché ( ) E possble anche rlassare l lme superore sul prezzo e rchedere solo che p p : n queso caso c è sempre una soluzone. Inolre, s può rsolvere n modo nverso per rovare l prezzo margnale come funzone del empo: n queso caso l prezzo è una funzone p :[0,] [ p, ). Come s vede nella fgura.5, lm d prezzo e d domanda nrodo (ques ulmo rame l lme sulla capacà aggregaa) rducono noevolmene l numero d possbl equlbr. Prce cap Prce Unque SFE wh consrans Tradonal SFE whou consrans Tradonal SFE whou consrans Profable devaons Aggregae capacy consrans Demand (ε) Fgura.5 - Prce cap e lm d capacà aggregaa (devazon profevol) Il produore che s manene sulla curva SFE bassa raggunge l lme d produzone prma, poché nconra l lme d capacà aggregaa: oene un profo mnore perché l prezzo d venda è mnore. Il produore può però sposars n modo profevole prma d nconrare ale lme. Lo sesso può fare un produore che s manene sulla SFE ala che nconra l lme d prezzo: queso deve connuare a produrre perché la domanda deve essere soddsfaa neramene. L unca SF pracable sarà dunque quella cenrale. Un puno mporane rguarda l poere che hanno le azende d non rspeare valor sabl e qund d devare unlaeralmene dalla funzone proposa: quesa evenualà vene superaa fssando delle penal per le azende che operano queso po d decson, poché sono n possesso d mole nformazon ecnco-economche che le gudano. In generale, s rchede qund che ogn SF sa defna per ogn prezzo nell nervallo [ p, p] e per essere realzzable, l nervallo della SF per l produore deve essere conenuo nell nervallo 0, q ] : per queso, la SF d un produore è una funzone S [ p, p] [0, q ]. [ : In [6] s esesero rsula d [] ncludendo conra (olre a lm d capacà e al prce cap, caraersche comun ne merca elerc). Enramb ques arcol analzzano equlbr smmerc. 3

46 Capolo Il modello S.F.E. Assumere produor smmerc è convenene, poché è possble calcolare l equlbro dreamene per funzon d coso general [, 7]. I produor nel mercao elerco sono però pcamene asmmerc: SFE lnear per produor asmmerc con cos margnal lnear sono sa analzza da Green [4]. In [8] s ndcano le condzon necessare per l omalà n condzon asmmerche. La forma pù semplce d problema asmmerco s presena quando produor hanno funzon d coso denche, ma hanno capacà dfferen. Problem come ques, n cu cos margnal sono cosan, sono sa approfond da [5] e da [9] (s calcola l equlbro n un modello parcolare con funzon d coso asmmerche, ma l asmmera permessa è abbasanza lmaa e l uncà non può essere sabla): l unco caso n cu s può rovare faclmene un SFE asmmerco è quando le SF sono lnear (sreamene affn), e cò s verfca ogn vola n cu le funzon d coso sono quadrache (cos margnal lnear) e la domanda è lneare. La rchesa che ogn SF sa realzzable e ammssble è radoa nelle seguen consderazon. Per ogn produore =,..., n, l nseme delle S, SF realzzabl e ammssbl, che hanno domno [ p, p], sono al che: hanno nervallo [ 0, q ] (così che ue le offere sono realzzabl per prezz ammess), e sono non decresen nel domno [ p, p] (così che la funzone è una SF ammssble). La condzone fondamenale è che ossa: '( p) 0 =,..., n, p [ p, p], S S sa una funzone dfferenzable e monoona crescene, E naurale consderare SFE a ra lnear, n cu nervall d prezzo dvers hanno soluzon lnear dverse. Sforunaamene, al soluzon non possono essere sempre rovae, poché le SF deermnae n queso modo porebbero rdurs passando da un nervallo d prezzo all alro. In [0] s è applcao queso conceo a SF lnear a ra, che possono raare produor asmmerc con cos margnal affn (ad esempo cos margnal lnear con nercee dverse). Tuava, sebbene SF lnear e lnear a ra sano enrambe problemache se s consderano lm d capacà, ale approcco è sao usao con successo da [] che ha ulzzao la base per l approcco d po numerco d []. In [] s esplora qund l applcablà del modello a ssem a ra lnear. Per oenere una caraerzzazone convenene dell equlbro, gl auor assumono che ogn produore debba fornre: una funzone d offera affne, o una funzone d offera affne a ra, dove l numero d pezz è lmao. Nel caso d lm d capacà mnm, s oene un SFE affne a ra. In [3] s ulzza un approssmazone polnomale, mosrando che c sono sgnfcave dffcolà con queso approcco, n modo parcolare se è rchesa la sablà degl equlbr (ovvero che una pccola perurbazone, operaa da un gocaore, conduce ancora alla 3

47 Capolo Il modello S.F.E. convergenza, se ogn gocaore rpeuamene rsponde, n accordo alla sua rsposa mglore, alla correne offera degl alr gocaor). Anche quando l approcco rame le equazon dfferenzal conduce a soluzon che soddsfano la condzone d monooncà crescene, mol d ques equlbr porebbero essere nsabl. Per oenere un meodo che calcola equlbr sabl non decrescen, l modello era lo spazo della SF permesse per rsolvere l modello numercamene. La curva SF rsulane nel puno d equlbro consse n un elevao numero d segmen lnear successv, dove ognuno rappresena un gradno del processo eravo. In [7] s fornsce una procedura numerca per rovare una soluzone: l approcco ulzza un negrazone numerca per rsolvere l ssema d equazon dfferenzal e rcerca soluzon realzzabl, varando valor per prezz a cu lm d capacà sono raggun per ogn produore. In [6] e [4] la rcerca de pun d equlbro è saa anche esegua medane algorm evoluv, n cu s è consderao un ecosema d due e spù spece. Queso approcco offre una va alernava per oenere la soluzone ad equazon dfferenzal che descrvono l equlbro, smulando l comporameno sraegco de parecpan al mercao. L arcolo [5] analzza le smulazon d modell SFE basa sulla sraega evoluva, dmosrando un elevaa effcenza compuazonale e un elevao poenzale nelle applcazon prache. In [5] sono consderae sa SF affn che affn a ra, dmosrando una rapda convergenza nel modello con SF affn, e un energca convergenza nel modello con SF affn a ra. A causa delle dffcolà nel rovare un SFE, l auore propose un meodo n cu ogn gocaore osserva prezz e, da ques, svluppa un approssmazone lneare a ra alla SF de suo rval. Quando s consderano algorm per la sma numerca de SFE, le condzon d equlbro producono equazon dfferenzal accoppae d prmo ordne, ma c sono alcune dffcolà. Il prmo problema è che s possono rovare soluzon mprobabl, come una SF che dmnusce, oppure quanà che superano un cero lme. A causa d cò s porebbe cercare ra le poenzal condzon nzal, ndvduando una soluzone che sa realzzable. Inolre, quando s usa un approcco rame equazon dfferenzal, occorre fare aenzone se la soluzone del ssema è un puno d equlbro puoso che solo un puno locale sazonaro. Tuo queso è necessaro per conrollare che la SF offera dal produore sa una soluzone oma, dae quelle offere dagl alr produor. C sono un numero elevao d approcc alernav e n [3] s focalzzò l aenzone sulle anals d sablà. In [6] s dmosra che l assenza d vncol d rasmssone può essere una causa dell abuso d poere da pare delle azende parecpan al mercao elerco. In ale modello non vene rcheso che la SF sa del po S = [ p, ] [0, ] ma s consdera la sua funzone nversa: = [ 0, ] [ p, ], assumendo una funzone d offera lneare. p Il modello è applcao a un mercao cosuo da due generaor e due nod d carco, con equlbr sablzza su re SF: una per le ore d elevaa rchesa n cu s manfesavano congeson, una per le ore d rdoa rchesa n cu non c era congesone e l ulma per l nervallo emporale T, ovvero dalle 7.00 alle 7.00 (n queso caso le SF non davano rsula acceabl perché produor offrono quanà all nerno de lm sabl con un conseguene aumeno de prezz). Negl nervall T prezz rplcavano e prof aumenavano noevolmene con poca dfferenza ra le ore congesonae e le ore non congesonae. 33

48 Capolo Il modello S.F.E. In [7] vengono ndaga gl effe sulle soluzon oenue con l meodo delle SF ne seguen re cas: l nroduzone d prce caps; l effeo d consderare vncol d massma capacà produva; l effeo del requso che le offere (supply funcons) rmangano fsse su un eseso orzzone emporale, durane l quale la domanda vara con connuà; oenendo che: se produor hanno funzon d coso eerogenee e lmazon sulle capacà, l meodo (soluzone d un ssema d equazon dfferenzal) può non rvelars effcace, perché produce SF che non sono monoone crescen; anche qualora s rovno soluzon non-decrescen, solo poche d esse sono equlbr sabl, corrsponden a quelle che hanno rsconro nella realà; la rchesa che le SF resno fssae su eses orzzon emporal con ampe varazon della domanda, rduce l ncenvo de produor a effeuare bd-up su prezz, rspeo alla soluzone d Courno. La SF rmane cosane nel empo, rspeo alla curva d domanda, perché sono cosan cos d breve ermne (coè cos durane la gornaa), se rappora alla varazone della rchesa d energa che s ha durane la gornaa. Successv sud [, 8, 8] mplemenarono un modello SFE basao, olre che sul prezzo unforme, anche sulla modalà pay as bd, nvesgando sull essenza d equlbr e sull ablà de gocaor d convergere ad un equlbro lneare. Le nuove sfde rguardano, nfa, cas d modell SFE n cu produor sono asmmerc (funzon d coso dverse) e hanno lm operav, come ad esempo lm d capacà (dvers per ogn produore)..3. Alcun modell SFE propos Per defnre l modello s suppone che l obevo d ogn azenda sa, come pù vole deo, la massmzzazone del profo, assumendo che non dpenda solo dalla propra funzone d offera, ma anche dalle funzon d offera degl alr parecpan. E n sosanza un goco n cu produor sono gocaor, le funzon d offera sono le sraege e prof sono l obevo. Se esse l equlbro d Nash queso può essere ulzzao per caraerzzare l mercao. Inzalmene occorre defnre re elemen: la domanda, cos d generazone e le funzon d offera (Supply Funcon). Secondo Green e Newbery, la domanda può essere descra n due dfferen mod: araverso la domanda orara durane la gornaa, oppure araverso la curva d duraa d carco [4]. Mole rcerche hanno prefero la seconda pologa perché caraerzzaa da un andameno monoono. Tuava, quando s consderano lm d rasmssone, la curva d duraa del carco perde suo vanagg, perché lm dpendono non solo dalle caraersche d duraa del carco n ogn nodo, ma anche dal empo n cu c s rova ad un deermnao lvello d carco. Per ques mov s decde d rappresenare la domanda araverso la funzone carco-duraa ne dvers nod. In mol cas, l approcco araverso l meodo SFE è applcao al mercao del 34

49 Capolo Il modello S.F.E. gorno prma, ma anche al mercao dell ora prma. Ques ulmo caso rova noevole applcazone perché le varazon d carco sono relavamene pccole e l problema della non decrescenza è meno mporane. La domanda vene rappresenaa araverso una curva connua, secondo la convenzone adoaa da [] (la raazone è equvalene alla rappresenazone n []): [ ], D( p, ) = N( ) γ p p, 0, dove N ( ) specfca la fondamenale caraersca del carco (n ermn d duraa del carco), ovvero la varazone della domanda sull orzzone emporale consderao [ 0, ], e γ ndca la pendenza della domanda al prezzo p per ogn sessone, ovvero dd dp= γ, con γ posvo, (ed esprme come la domanda rsponde alle varazon d prezzo, menre la varable emporale è normalzzaa a essere compresa ra 0 e ). S assume che la domanda sa dpendene dal empo e dal prezzo, menre la caraersca carco-duraa è non crescene: a = 0 corrsponde l pcco della domanda, menre a = corrsponde la condzone d mnma domanda. La curva carco-duraa rappresena l empo (numero d ore) che la domanda supera un dao lvello, così a = 0 s avrà la pù ala domanda nel perodo consderao. Mole anals eorche assumono che N ( ) sa connua, ma s è faa anche una dscussone su cosa porebbe rappresenare l rlassameno d quesa condzone. Nel modello svluppao s assume che ( ) N sa affne, come n fgura.6. Fgura.6 - Esempo d caraersca carcoduraa Le assunzon d dpendenza lneare ra domanda e prezzo e d caraersca carco-duraa affne, è n qualche modo resrva: menre per quano rguarda la dpendenza lneare (come ad esempo l elascà cosane) porebbe anche essere rappresenaa, ma cò rchederebbe modfche sosanzal, la forma funzonale d ques ulma non ha effeo sull nseme degl equlbr. Inolre s assume che D( p, ) = D' ( p, ) > 0 e D( p, ) p = D' p ( p, ) 0. La domanda che fronegga l produore all sane, quando gl alr produor j hanno p D p, S p. presenao le propre supply funcon, S j ( ), chamaa domanda resduale, è ( ) ( ) Se s analzzano rsula e comporamen assun dal produore, ques ulmo offre la domanda resdua q a un dao prezzo p, n ogn sane d empo nell nervallo [0,]: [ 0, ], q = N( ) γ p S ( p ) j S assume che per ogn ( ) compuazonale. La funzone d coso oale per l produore, j p,, < D < 0, D 0 e D = 0, per semplcà p pp C, con p =,..., n, è una funzone della j S suppone d gnorare cos d sar up e cos d carco mnmo. 35

50 Capolo Il modello S.F.E. quanà prodoa, d po quadraco e sreamene convessa. Quesa forma è pca nelle funzon d coso margnale affne per ogn produore: q 0 C( q) = c q + a q e q 0 C '( q) = = c q + dq dc a ( q) dove c e a sono paramer che caraerzzano l produore, n parcolare c > 0, e a, dversamene dalle preceden anals, sarà dverso da zero. S p. Prma d nzare l goco ogn azenda soopone al gesore del mercao la propra SF, ( ) Trascurando le perde d rasmssone, la domanda aggregaa D ( p) alla produzone oale d u produor nel mercao: D ( p, ) = S ( p) n = Rsolvere per ogn sane d empo [ 0,] l equazone: (, p( ) ) = N( ) γ p( ) = S ( p( ) ) D n =, alla sessone, sarà par *, sgnfca rovare l prezzo p che soddsfa Le forme d SF che è possble consderare sono funzon affn e funzon affn a ra. Sud successv ulzzarono dverse forme d SF, anche se s connuava a dmosrare che la forma lneare presenava noevol vanagg. In generale, una funzone d offera può presenars nella forma lneare (fgura.7.a e.7.b) o a gradn (.7.c). Fgura.7 - Esemp d funzone d offera.3.. Il modello d Klemperer e Meyer Il modello presenao da due auor vene analzzao soo due dfferen aspe, ossa, con cerezza e, n seguo, con ncerezza della domanda SFE senza ncerezza Con domanda cera, nel puno d equlbro, un produore conosce la domanda resdua con cerezza e conosce l puno n cu effeuare la massmzzazone del profo, l quale porebbe essere oenuo sceglendo un prezzo fssao, oppure una quanà fssaa. Con ncerezza, nvece, un produore ha una domanda resdua ncera anche n equlbro e, qund, ha un nseme d pun da cu oenere la massmzzazone del profo, ognuno corrspondene a una 36

51 Capolo Il modello S.F.E. possble realzzazone della domanda resduale. La curva d domanda è defna come Q= D( p). La sraega per l produore è formalmene una funzone che racca l prezzo per ogn lvello d oupu, ndpendenemene dal empo, defna come S : [0, ) (, ). Ogn produore presena, smulaneamene agl alr, la propra SF al gesore del mercao del gorno prma e ques ulmo deermna l prezzo e l offera d ognuno, rendendo noo l prezzo p ale che: d equlbro ( ) D ( p( ) ) = S ( p( ) ) S ( p( ) ),, se esse. + j S assume che se l prezzo d mercao non essesse, oppure non fosse unco, allora non c sarebbe produzone e prof sarebbero null. Cò asscurerebbe che non c fosse alcun eso n equlbro, ma l assunzone precedene non lma l comporameno de produor n alcun modo: l equlbro rmane equlbro soo ue le assunzon alernave ragonevol su rsula rguardan l payoff de produor quando l prezzo del mercao non è unco 3. S defnsce p l prezzo per cu ( p) = 0 D sa due vole dfferenzable e sreamene crescene nell nervallo ( 0, p ). D, assumendo che ( ) S suppone che produor abbano funzon d coso denche C ( ), con coso margnale C '( q) 0 e C ''( q) 0 per ogn quanà q 0. D conseguenza, la sraega per l generco produore k è una funzone due vole dfferenzable, defna come S k :[0, p) (, + ). Permeendo, nzalmene, a produor d sceglere le SF specfcando quanà negave semplfca noevolmene l anals, poché rende la curva d domanda resdua ovunque dfferenzable, e non camba rsula oenu. Due produor e j scelgono qund le SF smulaneamene, premesso che c è un unco prezzo * * * * d mercao D p = S p S p. p ale che deermna l equlbro ra domanda e offera, ( ) ( ) + j( ) * * I produor vendono qund le quanà S ( p ) e S j ( p ) al prezzo rspevamene prof: π = π j = p p * * S S * * ( p ) C( S( p ) * * ( p ) C( S ( p ) j j * p, guadagnando Concenrando l aenzone sull equlbro d Nash, s consder una coppa d oupu posv qˆ, ˆ n cu l prezzo del mercao pˆ supera l coso margnale C' ( qˆ k ), k =, j d ogn ( ) q j produore. Affnchè queso puno sa un rsulao d equlbro, s cerca una coppa d SF S ( ) e S j( ), relave rspevamene a ( pˆ, qˆ ) e ( pˆ, qˆ j ), pozzando che la quanà qˆ sa un puno che massmzza l profo lungo la curva d domanda resdua d. Lo sesso s fa per j. p, l produore rova l prezzo che massmzza l suo S j Dopo aver defno la SF de rval ( ) 3 In assenza d ncerezza, un produore può sempre oenere l suo puno d massmzzazone del profo lungo la sua curva d domanda resdua sceglendo una SF che ncroca la curva d domanda resdua solo n queso puno. 37

52 Capolo Il modello S.F.E. profo lungo la sua curva d domanda resduale, rsolvendo: maxπ p [ ] C( D( p ) S ( p) ) ( p) p D( p, ) S ( p) =, Dervando rspeo al prezzo s oene: d π ( p) dp = 0= j [ D( p, ) q ( p) ] + p D ( p, ) = D ( p) S ( p) + p C' D( p) S ( p) j j p j dq j dp ( p) dc( q) dq D ( p, ) { ( )} [ D' ( p) S '( p) ] = 0 j j p dq j dp che consene d deermnare la condzone del prmo ordne per la massmzzazone del profo. Rsolvendo rspeo a pˆ s ha: ( p) = dq dp j qˆ = S j '( pˆ ) = + D' pˆ C' ( qˆ ) ( pˆ ) dove, parendo da S j ( pˆ ) = qˆ j, s defnsce qˆ D( pˆ ) S j( pˆ ) =. Un equazone analoga s può scrvere per l alro produore. Imponendo che 0 < dq dp< e enendo cono dell equazone appena rcavaa, s può provare che nelle soluzon oenue con l meodo delle SF, prezz sono nermed ra cos margnal (come se s ulzzasse l modello d Berrand, perfeamene compevo), e quell che s oengono con l modello d Courno. La dervaa seconda del profo d rspeo a p è: π ' pp [ ] ( D( p) S j( p) ) [ D' ( p) S j '( p) ] { ( )} [ D' '( p) S ''( p) ] ( p; S j( )) = D' ( p) S j '( p) C'' + p C' D( p) S ( p) j dove con l doppo apce s ndcano le dervae seconde rspeo al prezzo delle suddee funzon. ' pˆ soddsfa quesa equazone, e se ''( pˆ ) 0, allora la condzone del secondo Se ( ) S j ordne è soddsfaa n pˆ. Smlmene s mosra che se: qˆ S ' + pˆ C' j ( pˆ ) = D' ( pˆ ) e ''( pˆ ) 0 ( qˆ ) j S S j allora pˆ è un puno locale d massmzzazone per l profo d j lungo la sua domanda S sull nero resduale. Per compleare la cosruzone, rmane solo da esendere S ( ) e ( ) domno d prezzo [ 0, p ), n modo da concludere che: pˆ è un puno d omo globale per la massmzzazone del profo, e pˆ è l unco prezzo d mercao. j j 38

53 Capolo Il modello S.F.E. Qund, enrambe le SF devono avere una pendenza non negava n pˆ. Esendendo S ( ) e S ( ) lnearmene sopra [ 0, p ), s rende pˆ un puno d omo globale per ogn produore. j La massmzzazone del profo n pˆ è anche asscuraa da SF crescen, e due vole dfferenzabl, che nel puno pˆ sono angen alle SF lnear e che, per u gl alr prezz, deermnano oupu che sono posv e maggor d quell lnear. In pù, quando enramb produor usano SF crescen, l prezzo d mercao è unco, verfcando la seconda condzone. Queso rsulao può essere generalzzao per le alre coppe d oupu, modfcando l modo n cu le SF, che a pˆ sono localmene le rspose mglor l una con l alra, sono esese sul domno [ 0, p ). In pù, quesa cosruzone può generalzzare l caso n cu c sano pù d due produor [5]. In assenza d ncerezza, la domanda resdua d è cera fnano che la condzone del secondo ordne resa soddsfaa: qualsas SF per che nerseca la sua domanda resduale solo una vola, a ˆ, qˆ ) S. Qund l produore è dsposo a sceglere una ( p, è una rsposa oma a ( ) j SF con una pendenza passane per p ˆ, qˆ ) la quale asscura che p ˆ, qˆ ) è l puno d ( ( j massmzzazone del profo lungo la domanda resdua del produore j. Deo queso, j è S. dsposo a sceglere ( ).3... SFE con ncerezza j In caso d domanda ncera, l produore ha un cero numero d pun da cu rcavare la massmzzazone del profo, anche quando conosce l comporameno d equlbro de suo rval. Nel seguo, s defnsce e s caraerzza l equlbro nelle SF n presenza d domanda ncera per un duopolo smmerco, generalzzando po nel caso d n produor. Resrngendo però ora l aenzone a produor smmerc, s mosra che un equlbro asmmerco non esse, ma s può caraerzzare l equlbro smmerco rsolvendo una sngola equazone dfferenzale. Con produor asmmerc, la caraerzzazone dell equlbro rchederebbe la rsoluzone d un ssema d equazon dfferenzal accoppae. S suppone che la domanda sa soggea ad una varablà ε (varable scalare casuale con densà sreamene posva nell nseme [ ε, ε ] ): Q= D( p,ε) dove per u ( p,ε): < D p < 0, D pp 0 e D ε > 0. Per ε > 0 curva d domanda e scrvere ( Q p) prezzo p, n modo che e ( Q, p) soddsf l uguaglanza Q D( p, e( Q, p) ) D è possble nverre la e, per l valore d ε per cu la domanda è par a Q al =. I produor hanno funzon d coso denche C ( ), n cu > 0, C' ( q) > 0 q 0, 0< C' '( q) <. Senza perdere d generalà, s suppone che C '( 0) = 0 C '( 0) =α > 0 q e. Se, s può applcare la precedene anals per rsolvere le SF esprmendo n ermn d p~ = p α. La sraega per l generco produore k è una funzone che mosra l prezzo per un cero lvello d oupu: k S :[0, ) (, + ) 39

54 Capolo Il modello S.F.E. I produor scelgono le SF smulaneamene. Nel puno d equlbro s ha che: D * * ( p ( ε) ) = S p ( ε) j * ( ) + S ( p ( ε) ) ossa, l prezzo d equlbro è una funzone del paramero ε. Essendo ε uno scalare, l nseme de pun che massmzzano l profo lungo la curva d domanda resdua del produore, su cu l paramero vara, è una curva monodmensonale nello spazo prezzo-quanà. Se quesa curva può essere descra dalla SF q = S( p), che nerseca ogn realzzazone della curva d domanda resdua d una e una sola vola, allora offrendo S ( ), può oenere ex-pos l aggusameno omale a ε. In queso caso, S ( ) è l unca SF oma del produore n rsposa a S j( ). Ora s assume che l nseme de pun d massmzzazone ex-pos per l produore possa essere descro da una SF, dmosrando che soo al poes esse un equlbro. Dae quese assunzon, s può sosure la massmzzazone de prof aes con la massmzzazone rspeo a p del profo, per ogn valore d ε. Il produore rsolve: [,ε ] C( D( p, ε) S ( p) ) ( ) max p D( p ) S ( p) p oenendo la condzone del prmo ordne: ( ) D( p, ε) S ( p) + p C' D( p, ε) S ( p) j j { ( )} [ D ( p, ε) S '( p) ] 0 = j j Se () è globalmene convessa n p, allora la () deermna n modo mplco l prezzo unco 0 d massmzzazone per l produore, ε p ε. 0 La corrspondene quanà è D p ( ε) 0 0 Le funzon p ( ε) e ( ε), ( ) 0 0 ( ε) S ( p ( ε) ) q ( ε)., j p q rappresenano l nseme de pun om ex-pos del produore. Rscrvendo l equazone () che defnsce mplcamene la funzone S ( p), rmpazzando la quanà q ( ε) D( p ( ε), ε) S j( p ( ε) ) con S ( p) e usando e ( Q, p) come defno sopra, 0 sosuendo D ( ε ),ε con D p, e S ( p) + S ( p) p s oene: ( ) p p ( ( ) p j, [ ( (, p ) S '( )] 0 ( ) S ( p) { p C' ( S ( p) )} D p, e S ( p) + S ( p) 3 + p = In un equlbro smmerco S ( p) S ( p) S( p) ( ) '( p) ( p) '( S( p) ) p j +, e la (3) dvena: S 4 S = + D p, p C ( p, e( S( p), p) ) f( p S( p) ) j j j oenendo la SF desderaa n funzone del prezzo. 40

55 Capolo Il modello S.F.E. Ora, se non è ndcao dversamene, s assume che = 0 D per ogn (,ε) domanda raslaa orzzonalmene d una quanà par a ε ). D p p e S p, p D p p, la (4) dvena: Se s scrve (, ( ( ) )) semplcemene come ( ) S 5 S = + D p, p C' ( ) '( p) ( S) ( p) f( p S) pe p (corrspondene a In ogn equlbro che convolge SF smmerche e dfferenzabl, raccae araverso ogn puno d massmzzazone, S ( ) deve soddsfare (5) per u prezz p [ p, p]. Inversamene, se per ogn ε [ ε, ε ] c è un unco prezzo n cu S ( p) = D( p,ε), e se S ( ) soddsfa (5) per ogn p [ p, p], allora S ( ) è un Supply Funcon Equlbrum (SFE). L equazone dfferenzale (5) è solo la versone smmerca delle coppe d condzon d equlbro svluppae precedenemene per cosrure l SFE n assenza d ncerezza. Il ruolo dell ncerezza è, semplcemene, la necessà che le condzon d prmo ordne valgano ad ogn prezzo che, per alcun valor d ε, rsolve l mercao. L equazone dfferenzale del prmo ordne (5) può essere rscra oenendo una funzone della quanà: ( ) p' ( S) = r( S, p) 6 f ( p, S) dove r ( S, p) è la funzone nversa d ( p S) auonomo: f,, oppure può essere rscra come un ssema ( 7) S' p' ( ) = S+ D p( p) ( p C' ( S) ) ( ) = p C' ( S) Ogn raeora che rsolve le equazon (5), (6) e (7), è un luogo d pun che soddsfano ogn condzone d prmo ordne d massmzzazone del profo d un cero produore al varare d ε, quando l rvale produce lungo lo sesso luogo d pun. Alcune d quese raeore possono essere espresse come funzon S ( p), menre alre non possono. Qualunque raeora che rsolve l equazone dfferenzale nella regone corrspondene alle possbl realzzazon della curva d domanda, e che soddsfano approprae condzon d secondo ordne, è un equlbro d Nash. La raeora che rsolve (5) ma che non può essere espressa come una funzone S(p), volerà, per un elevaa ncerezza della domanda, la condzone del secondo ordne, e non porà essere un puno d equlbro Confrono ra gl equlbr d Courno e Berrand Le SF hanno una pendenza posva e qund sono dsne dalle SF pcamene vercal nel modello d Courno, e dalle SF pcamene orzzonal nel modello d Berrand. Un prezzo fssao, o una quanà fssaa, non possono essere una sraega d equlbro quando cos margnal sono crescen. 4

56 Capolo Il modello S.F.E. Per capre cò, s osserv che se l produore j sa compeendo ad una quanà fssaa, la domanda resdua d per ogn ε sarà semplcemene daa dalla curva d domanda raslaa orzzonalmene. Al varare d ε, l nseme delle domande resdual d concde con l nseme delle domande d mercao per un monopolsa. Per un monopolsa, l luogo de pun d massmzzazone al varare d ε è precsamene l luogo f ( p, S) = 0 che ha pendenza posva [] (fgura.8). Al lme, con curva d coso margnale quas paa, l comporameno secondo Berrand dvena un equlbro: se l produore j compee con un prezzo fssao par al coso margnale cosane, l produore non può guadagnare prof posv, così non può fare nene d meglo che adoare la sessa sraega d j. Così come se la curva d coso margnale dvena pù rpda e avvcna l asse vercale, l comporameno del SFE approssma una quanà fssaa nulla. Soo le assunzon d queso modello, che esclude ques esrem, nè un prezzo fsso nè una quanà fssa possono rappresenare un adaameno n equlbro all ncerezza. In qualsas SFE per suppor non lma d ε, l eso corrspondene ad ogn dao valore d ε è nermedo ra l eso oenuo nella compezone secondo Courno e l eso oenuo nella compezone secondo Berrand. Quesa affermazone è dmosraa nella fgura.8, che Fgura.8 - Confrono ra SFE ed equlbr d Courno e Berrand rappresena la curva d domanda per un cero εˆ. Il puno C, nersezone ra l rcavo margnale D ( p,εˆ ) e l offera margnale f ( p, S) = 0, rappresena la coppa prezzo-quanà per ogn produore nell equlbro d Courno, ovvero l puno d massmzzazone del profo per ogn produore quando ε = ˆ ε, dao che gl alr S C p, che è compleamene vercale e qund usano come propra SF la soluzone d (5), ( ) localmene denca alla quanà fssaa C q. D alra pare, l puno B, dao dall nersezone ra Berrand quando ε ˆ ε 4 f = e D ( p,εˆ ), è l equlbro d S B p, che è =, se la sraega degl alr produor è soluzone d (5), ( ) B compleamene orzzonale e qund localmene denca al prezzo fssao p. Per SFE che nersecano D ( p,εˆ ) ra pun C e B, l prezzo e la quanà n ogn SFE sono nermed ra lvell d equlbro d Courno e Berrand. E lo sesso vale per prof, pochè prof lungo D ( p,εˆ ) sono sreamene concav e massmzza. In ogn caso, l uncà del SFE dpende dal comporameno del coso margnale e dalla curva d domanda. S consder l caso n cu la domanda rsula mnore della capacà del pù pccolo generaore, corrspondende qund al classco modello d Berrand: c è un unco eso d equlbro n cu

57 Capolo Il modello S.F.E. produor fanno un offera al prezzo par al coso margnale del generaore meno effcene. S consder l caso n cu enramb generaor sano chama a produrre, a prescndere dalle offere, ovvero con ala domanda: n queso caso l prezzo margnale eguagla l pù alo prezzo ammssble. I generaor che offrono poca poenza sono dspacca con la loro pena capacà, menre l generaore prncpale offre la domanda resduale. Segue che enramb preferscono equlbr n cu s comporano come l generaore mnore, poché l prezzo rcevuo è lo sesso. Tuava l offera del generaore maggore porebbe essere la pù bassa, e qund sarà dspaccao con ua la sua capacà, menre l generaore mnore vene dspaccao con una sola pare della sua oale capacà. In queso equlbro, cos d generazone non sono mnmzza. S consder ora l caso nermedo, n cu c è una probablà posva che un generaore dven margnale, qualunque sa l prezzo offero. E charo che le coppe quanà-prezzo non possono rappresenare un equlbro, poché l generaore mnore desdera sempre aumenare l suo prezzo d offera; così facendo s aumena l prezzo margnale nel caso dven l generaore margnale. Poché l nervallo d domande possbl eccede la capacà del generaore maggore, segue che per ogn combnazone d sraega c è una probablà che un generaore sa l unà margnale. In realà, pù d un generaore ha la possblà d deermnare l prezzo margnale, perché non può essere un equlbro puramene sraegco. I due auor conclusero qund che: n presenza d ncerezza, produor desderano adoare le SF come varabl sraegche. Le condzon soo le qual ese l equlbro d Nash nelle SF (SFE) per un olgopolo smmerco che produce un bene omogeneo, hanno mosrao che u gl equlbr sono smmerc, rovando condzon suffcen per l uncà. In pù, qualsas SFE rsulane, corrspondene ad un dao valore noo d ε, è nermedo n ermn d prezzo, quanà e prof, a quell rsulan da modell d Courno e Berrand; l modello rappresenao è un goco n cu le varabl sraegche (n queso caso le supply funcon) sono deermnae nell equlbro d Nash. L obevo d rsolvere l ndeermnaezza dell equlbro n olgolo è condvso da mol. La leeraura vede quesa ndeermnaezza nascere dalle congeure arbrare de produor crca la rsposa de rval e ena d rmuovere quesa arbrareà araverso l mposzone d alcune condzon sulle congeure; con un pccolo numero d produor, prof dfferenza, ncerezza d domanda e curva d coso margnale crescene, modell basa sulla quanà porebbero essere meglo approssmav d quell basa sul prezzo. Menre con un numero elevao d produor, prodo pù omogene, ncerezza d domanda relavamene maggore a prezz bass, e curve d coso margnale pae rspeo alla domanda, sono meglo modell basa sul prezzo..3.. Il modello d Green e Newbery In queso approcco s suppone che la curva d duraa del carco sa daa da ( p ) D, dove è l empo (numero d ore n cu la domanda è superore a D) e p è l prezzo del mercao Duopolo smmerco La condzone del prmo ordne può essere scra come s è vso n precedenza: 43

58 Capolo Il modello S.F.E. (8) dq dp j = q p C' ( q ) + D p Rsolvendo per la soluzone smmerca, n cu q = q q : j = (9) dq dp = q p C' ( q) + D p La dervaa seconda del profo del profo è: (0) d π dp dq j dq j d q j = + ( ) D '' p C D p p C ' D pp dp dp dp A pao che q e q j soddsfano (8), la (0) s può rasformare n: D p dq j dp dq j + C '' dp C '' D p dq j dp dq j dp che è negava, confermando l omo locale dell offera che soddsfa (8) e qund, l caso smmerco defno dall equazone (9). Può essere analzzao l comporameno dell equazone dfferenzale che caraerzza l SFE q, p al che: smmerco. S consderno pun ( ) ( ) C' ( q) < p< C' ( q) q D p allora, n ques pun, 0 < dq dp<, e la raeora che rsolve l equazone dfferenzale n queso puno ha una pendenza posva. S dmosra che ue quese raeore passano araverso l orgne, dove hanno la sessa pendenza. I due lm della condzone () sono, rspevamene, l prezzo che s oene nella compezone secondo Berrand e l prezzo che s oene nella compezone secondo Courno. Il prezzo p che massmzza l profo del generco produore s oene da: q [ p C' ( q )] D = 0 + p q da cu p= C' ( q), menre l prezzo p C' ( q) D p = è l offera d un produore compleamene compevo, e lungo quesa curva s ha che dq dp= e dp dq= 0. Qualsas raeora che nerseca l lme nferore, lo raggunge con la pendenza negava nel puno C, menre se la raeora raggunge l lme superore, nel puno B, la sua pendenza sarà dq dp= 0, e dp dq=. In generale, lo schema d offera n un duopolo sa ra la concorrenza perfea e Courno, lungo una raeora 0 A n fgura.9. Klemperer e Meyer provano che se la domanda è ala, 44

59 Capolo Il modello S.F.E. allora esse un unca soluzone, alrmen porebbe esserc un nseme d equlbr, lma da un offera superore e una nferore. In fgura, se BC è la massma domanda D ( p,0) (poché la curva carco-duraa ha l suo massmo n = 0 ), allora ue le soluzon a (9) che sanno ra 0 B e 0 C sono soluzon possbl. L equazone d base che governa la soluzone del modello SFE (8), defna da Green, non convolge la caraersca d carco D 0 ( p, ) ma dpende dalla pendenza della domanda dd dp. Fgura.9 - Supply Funcon Equlbra possbl.3... Lm d capacà d offera S supponga che nessun produore possa offrre al d sopra d una quanà la rsposa oma d è la soluzone d Courno: ( p C' µ ), µ 0, q k, ( k q ) = 0 q = D p µ 45 q= k. A q = k, dove µ è l prezzo ragguno al lme d capacà. Consderando la fgura.0, n cu la pù ala offera d domanda, D ( p,0) nconra l lme d capacà nel puno B. Lo schema 0 B soddsfa l equazone dfferenzale (9) ed è l offera mnore che può essere un equlbro. Se un produore offre lungo lo schema basso, raggungerà la capacà prma che la domanda sa al suo massmo. Gl alr produor roveranno allora profevole devare verso l offera d Courno, che però non è la rsposa mglore. La rea 0 A, che agla l offera d Courno n A, è però canddaa per l equlbro, pochè soddsfa le condzon d prmo e secondo ordne per l omo e non vola lm d capacà. L effeo de lm d capacà è d lmare Fgura.0 - Soluzon possbl con lm d capacà l nervallo de possbl equlbr e, n cas esrem, n cu l nersezone della massma domanda con l offera d Courno, A, avvene a pena capacà, l equlbro sarà unco.

60 Capolo Il modello S.F.E. Lo schema d offera che nerseca la soluzone d Courno alla massma domanda, non può essere mglorao dagl alr produor agendo da sol, che raccolgono prof d breve perodo maggor rspeo agl alr schem realzzabl. E dunque un canddao naurale per la scela della funzone d offera, ma non necessaramene l unco Equlbr con soceà asmmerche Le equazon dfferenzal (8), una per e una per j, danno due condzon del prmo ordne per una funzone d offera che massmzza localmene l profo, per un duopolo asmmerco, per cu le condzon del secondo ordne sono anche soddsfae. S ndca con p ) l prezzo a cu l pù pccolo produore, che compee secondo Courno, offre la pena capacà: ) p= C ( k ) k ' * D p ( p,0) dove k è la capacà del produore pù pccolo. Assumendo che D p = 0, l secondo ermne è ndpendene dal empo, e qund può essere valuao a = 0. Se a queso prezzo, l offera d q p ) Courno del pù grande produore, ( ) ) p= C' ( q ) q ) D p ( p,0), nseme con la pena capacà d usca del pù pccolo produore, è mnore della massma domanda a queso prezzo, coè: q ) ) ( p) + k < D(,0) p allora, n una coppa d sraege d offera d equlbro, l pù pccolo produore raggunge la pena capacà nel puno n cu la sua SF nconra l equlbro d Courno vercalmene (a p ) ) ed anche l secondo produore raggunge l suo equlbro d Courno allo sesso prezzo, p ). Nel caso asmmerco, produor pù grand guadagneranno da ogn aumeno del prezzo e enderanno a sceglere una SF pù rpda, relava al coso margnale, rspeo al caso smmerco. Queso dà al produore pù pccolo una domanda resduale meno elasca e un grande ncenvo ad alzare l propro prezzo. L effeo combnao è d rendere la SF ndusrale pù rpda. Nello sudo effeuao l lvello d oupu era.3% pù basso e l prezzo 3.8% pù alo nel caso asmmerco rspeo al caso smmerco, e prof maggor del 5%. E nolre pù dffcle rsolvere la coppa d equazon (8) per l equlbro smmerco, rspeo alla sngola equazone (9) per l equlbro smmerco Modell SFE lnear Per ragon d raablà numerca, rcercaor hanno recenemene focalzzao le aenzon sul modello SFE lneare, n cu la domanda è lneare 4, cos margnal sono lnear o affn, e 4 In accordo con Baldck [], la defnzone precsa è domanda affne, dove l ermne lneare sarebbe rsreo a funzon affn con nercea par a zero. 46

61 Capolo Il modello S.F.E. l SFE può essere oenuo n ermn d SF lnear o affn. Green [7] consdera l caso d un olgopolo con n-produor asmmerc con cos margnal lnear che froneggano una curva d domanda lneare la cu pendenza rmane nvaraa nel empo: s oene un SFE espresso n ermn d SF affne. Baldck esese rsula al caso d lm d capacà. Baldck e Hogan [5] revsonarono l meodo, sudando un olgopolo asmmerco d n produor che froneggano una curva d domanda lneare (senza alcuna esplca assunzone sulla forma de cos margnal), mosrando la complessà d oenere soluzon per l ssema d equazon dfferenzal: n parcolare, msero n rlevo la dffcolà d abbandonare le soluzon rrealzzabl (come ad esempo equlbr con SF decrescen). E proposa una procedura erava per calcolare soluzon al modello possbl, usaa per analzzare l nfluenza d una cera vareà d faor, come lm d capacà, prce caps, bd caps, oppure l orzzone emporale su cu s rchede che le offere rmangano nvarae. Supponendo che le regole d mercao specfcano che la SF d ogn produore sa affne [0], del po: ~ ( ) S ~ > c β ( p) = β ( p α ) = ( p α ) =,...,I, c = 0 dove paramer β e α sono scel da sngol produor, con β 0. La SF dovrebbe essere modfcaa n modo che sa sempre non negava (anche se nzalmene s assume che l prezzo sablo sa ale che nessuna SF sa negava). Se non s consderano lm d rasmssone, ogn soluzone non decrescene sopra un ampo nervallo d prezz è un SFE. ds Noando che = β, consderando le equazon gà defne precedenemene e qu dp rchamae: (, P( ) ) = N( ) γ P( ) = S ( P( ) ) D S ( q ) dc n = q 0 C ' = = + dq ( p) c q a ( q) ds ( p) dc ( ( )) dd = p + ds S p dp j e, sosuendole n (): j dp β ( p α ) = ( ( ) ) + p c β p α a γ β j j Assumendo che la SF offera deve essere cosane nel empo, l equazone deve essere soddsfaa per ogn valore realzzao d prezzo p. Se essono almeno due dsn valor d prezzo che soddsfano l equazone, allora l equazone può essere soddsfaa da u prezz realzza e qund, se α = a : 47

62 Capolo Il modello S.F.E. (3) Inolre: β = ( β ) + γ β j j c (4) -α β = ( α ) α c β γ + β j j Enrambe quese equazon devono soddsfare l requso d non negavà d β per ogn produore (per l essenza d un SFE affne). Sosuendo (4) n (3) s oene: -α ( c ) ( ) = + β γ + β j α α c β γ β j j j + j Se β 0 e γ > 0, s oene γ > 0, e s può eldere. Se α = a e l equazone d Green (3) è soddsfaa con β 0, allora l equazone: β j per ogn produore β ( p α ) = ( ( ) ) + p c β p α a γ β j j è soddsfaa, e rsulan α e β deermnano una SFE affne. Per calcolare prezz d equlbro n un deermnao orzzone emporale, s consder la domanda aggregaa e l prezzo come funzone del empo. Sommando le offere d u produor, s avrà:, N ( ) γ p( ) = β ( p( ) a) = p( ) β β a così che: N, p( ) = ( ) + β a β + γ Ques ulma equazone deermna l prezzo d equlbro n ogn sane d empo dell orzzone emporale n ermn d caraersca carco-duraa. Per consderare condzon molo pù complesse che s possono verfcare ne merca elerc, s consdera un approcco numerco per deermnare l SFE a cu è permesso d essere affne a ra, come nella fgura.. La SF è defna come una funzone decrescene, con pun d roura spaza ra ( + 0.) ( p 0.) dove p e p sono l prce floor e l prce cap. p e Non consderando lm sulla capacà generaa, la k-esma sezone lneare della SF, k K, della -esma soceà, esse nell nervallo d prezzo p, p ], e l nervallo d [, k, k 48

63 Capolo Il modello S.F.E. 49 capacà ], [,, k k q q può essere defno come: ( ) ( ),,,,,,,,, + = + = k k k k k k k k k p p p p q q q p p q q β dove k, β è la pendenza della k-esma sezone lneare. Fgura. - Supply Funcon affne a ra.

64 Capolo Il modello S.F.E..4. Bblografa [] P.D. Klemperer, M.A. Meyer, Supply funcon equlbra n olgopoly under uncerany, Economerca, vol. 57, no. 6, pp , 989. [] A. Rudkevch, Supply funcon equlbrum: heory and applcaons, IEEE Proceedngs of he 36h Hawa Inernaonal Conference on Sysem Scences, 003. [3] N. H. Von der Fehr, D. Harbord, Compeon n elecrcy spo markes economc heory and nernaonal experence, Memorandum from Dep. of Economcs, Unversy of Oslo, 998. [4] R. J. Green, D.M. Newbery, Compeon n he Brsh elecrcy spo marke, Journal of Polcal Economy, vol. 00, no. 5, pp , 99. [5] R. Baldck, W. Hogan, Capacy consraned supply funcon equlbrum models of elecrcy markes: Sably, non-decreasng consrans, and funcon space eraons, Workng Paper PWP-089, Unversy of Calforna Energy Insue, 00. [6] Y. S. Son, R. Baldck, Hybrd coevoluonary programmng for Nash equlbrum search n games wh local opma, IEEE Trans. Evol. Compu., vol. 8, no. 4, pp , 004. [7] R. J. Green, Increasng compeon n he Brsh elecrcy spo marke, Journal of Indusral Economcs, 44, pp. 05 6, 996. [8] R. Baldck, L. Xu, Sably of supply funcon equlbrum n elecrcy markes under pecewse lnear funcon perurbaons, Fory-Sxh Annual Alleron Conference Alleron House, UIUC, Illnos, USA Sepember 3-6, 008. [9] R.J. Green, The elecrcy conrac marke n England and Wales, Journal of Indusral Economcs, 47, 99 95, 999. [0] A. Rudkevch, M. Duckworh, M. Rosen, Modelng elecrcy prcng n a deregulaed generaon ndusry: he poenal for olgopoly prcng n a poolco, The Energy Journal, vol. 0, no. 3, pp. 9-48, 998. [] D. M. Newbery, Compeon, conracs, and enry n he elecrcy spo marke, Rand Journal of Economcs, vol. 9, no. 4, pp , 998. [] E. J. Anderson, A. B. Phlpo, Usng supply funcons for offerng generaon no an elecrcy marke, Operaons Research, vol. 50, no. 3, pp , 00. [3] P. Holmberg, Unque supply funcon equlbrum wh capacy consrans, Workng paper 004:0, Deparmen of Economcs, Uppsala Unversy, Sweden, 004. [4] J. Evans, R. Green, Why dd Brsh elecrcy prces fall afer 998?, CMI Workng Paper 6, Unversy of Surrey and Unversy of Brmngham, 005. [5] T. Genc, S. Reynolds, Supply funcon equlbra wh pvoal elecrcy frms, Eller College Workng Paper no , 004. [6] E. J. Anderson, H. Xu, Supply funcon equlbrum n elecrcy spo markes wh conracs and prce caps, Journal of Opmzaon Theory and Applcaons, vol. 4, no., pp , 005. [7] P. Holmberg, Numercal calculaon of an asymmerc supply funcon equlbrum wh capacy consrans, Workng paper 005:, Deparmen of Economcs, Uppsala Unversy, Sweden, 005. [8] A. Rudkevch, On he supply funcon equlbrum and s applcaons n elecrcy markes, Decson Suppor Sysems, vol. 40, pp , 005. [9] P. Holmberg, Asymmerc supply funcon equlbrum wh consan margnal coss, Workng paper 005:6, Deparmen of Economcs, Uppsala Unversy, Sweden,

65 Capolo Il modello S.F.E. [0] R. Baldck, R. Gran, E. Kahn, Theory and applcaon of lnear supply funcon equlbrum n elecrcy markes, Journal of Regulaory Economcs, vol. 5, no., pp , 004. [] R. Baldck, R. Gran, E. Kahn, Lnear supply funcon equlbrum, generalzaons, applcaons and lmaons, Unversy of Calforna Energy Insue, Berkeley, Rep. PWP.078, 00. [] A. Rudkevch, Supply funcon equlbrum n poolco ype power markes: learnng all he way, Tabor Caramans and Assocaes Tech. Rep , 999. [3] R. Baldck, W. Hogan, Polynomal approxmaons and supply funcon equlbrum sably, Cener for Busness and Governmen, Harvard Unversy, Cambrdge, Massachuses 038, 004. [4] H. Chen, K. P. Wong, D. H. M. Nguyen, C. Y. Chung, Analyzng olgopoly elecrcy marke usng coevoluonary compuaon, IEEE Trans. Power Sys., vol., no., pp. 43 5, 006. [5] H. Chen, K. P. Wong, C. Y. Chung, D. H. M. Nguyen, A coevoluonary approach o analyzng supply funcon equlbrum model, IEEE Transacons on Power Sysems, vol., no. 3, pp , 006. [6] L. Xu, L. Yu, Trasmsson consraned lnear supply funcon equlbrum n power marke: mehod and example, IEEE, 00. [7] Jyormoy Sakar, Barnal Gupa, Debashs Pal, A geomerc soluon of Courno olgopoly wh nondencal frms, Journal of Economc Educaon, pp. 8-6, 998. [8] P. Holmberg, Comparng supply funcon equlbra of pay-as-bd and unform prce aucons, Workng paper 005:7, Uppsala Unversy,

66 5

67 3. Gl Algorm Genec Inroduzone L dea d usare la selezone, l ncroco e la muazone per un compo d omzzazone, rsale almeno agl ann Cnquana, con l lavoro dello sasco George E. P. Box, che uava non fece uso dell elaboraore eleronco. Box gunse a formulare una meodologa sasca che sarebbe dvenua d largo uso nell ndusra e che egl baezzò evoluonary operaon []. Pù o meno negl sess ann, alr sudos conceprono l dea d smulare l evoluzone sull elaboraore eleronco: Barracell e Fraser ulzzarono smulazon al calcolaore per sudare meccansm dell evoluzone naurale, menre l bomaemaco Hans J. Bremermann rconobbe per prmo nell evoluzone bologca un processo d omzzazone []. Come spesso accade per mole dee ponersche, ques prm sforz nconrarono uno scecsmo consderevole. Cononosane, emp erano maur perché quese dee fossero svluppae. Probablmene, un faore deermnane per cu cò avvenne, fu l aumeno, olre una cera sogla crca, della poenza compuazonale degl elaboraor eleronc, allora dsponbl nelle mglor unversà, che rese fnalmene possble la messa n praca del calcolo evoluzonsco. Gl algorm evoluv, e quelle che ogg rconoscamo come le loro varan orgnare, furono nvena ndpendenemene, e pracamene allo sesso empo, a meà degl ann Sessana, nel seno d re dsn grupp d rcerca: n Amerca, Lawrence Fogel e collegh dell Unversà d Calforna a San Dego posero le bas della programmazone evoluva [3], menre presso l Unversà del Mchgan John Holland proponeva prm algorm genec [4]. In Europa nvece, furono Ingo Rechenberg e collegh, allora suden presso l Polecnco d Berlno, a deare quelle che baezzarono sraege evoluve [5]. Per successv 5 ann ques re flon s svlupparono essenzalmene cascuno per cono suo, fnché nel 990 non venne messo n ao uno sforzo organzzao a farl convergere: la prma edzone del congresso PPSN (Parallel Problem Solvng from Naure), che s enne a Dormund. Da allora rcercaor neressa al calcolo evoluzonsco formano un unca, anche se arcolaa, comunà scenfca. 3.. Evoluzone Ogn ndvduo ha caraersche e propreà specfche, manfesae esernamene e vsbl, che ne cosuscono l fenopo. È l fenopo a deare le possblà e lm delle nerazon dell ndvduo con l ambene n cu vve. Ma l fenopo è deermnao sosanzalmene dall nvsble parmono geneco (l genopo), cosuo da gen, che sono le unà fondamenal de cromosom. Ad ogn gene corrsponde, n generale, un caraersco fenopo. Perano la sopravvvenza degl ndvdu con caraersche pù adae, sgnfca n realà la sopravvvenza de gen pù ada. I due prncp fondamenal dell evoluzone sono la varazone geneca e la selezone naurale. Affnché la popolazone possa evolvere, gl ndvdu che la cosuscono devono anzuo avere una rcca vareà d fenop e, qund, d genop. 53

68 Capolo 3 Gl Algorm Genec Può allora scaare la selezone, che prema la sopravvvenza, la longevà e la rproduzone degl ndvdu pù ada. I meccansm generaor della vareà del genopo sono sosanzalmene due: un processo combnaoro de gen, graze a dvers appor de genor, nell ambo della rproduzone sessuale, e le muazon genche casual. Le muazon producono nuov gen, alcun de qual s ramandano alle generazon successve, menre alr scompaono e, l cosddeo pool d gen, nel quale pesca la selezone naurale, camba connuamene. I cambamen che s verfcano da una generazone all alra sono molo pccol, ma quell posv s accumulano (selezone cumulava) e, nell arco d emp lunghssm, danno orgne a cambamen enorm. Come gà aveva noao Darwn, n alcun cas basano perod lma d empo affnché s verfchno cambamen noevol. La ermnologa ulzzaa s spra dreamene agl sud sull evoluzone naurale e bologca. La combnazone delle poes darwnane con la geneca, ha dao luogo a prncp che cosuscono le bas della geneca delle popolazon, ovvero della spegazone dell evoluzone a lvello geneco delle popolazon. Indvduo = Soluzone d un problema Popolazone = Inseme d soluzon Fness = Qualà d una soluzone Cromosoma = Rappresenazone d una soluzone Gene = Componene d una rappresenazone Crossover, Muazone = Operaor per la rcerca d soluzon Selezone Naurale = Rulzzo d buone soluzon Il funzonameno d un algormo geneco è smlare al processo evoluvo eorzzao da Darwn. Un algormo geneco pare da un cero numero d possbl soluzon, dee popolazone, ognuna delle qual rappresena un ndvduo, e provvede a farle evolvere nel corso dell esecuzone: a cascuna erazone, esso opera una selezone d ndvdu della popolazone correne, mpegandol per generare nuov elemen della popolazone sessa, che andranno a sosure un par numero d ndvdu gà presen, e a cosure n al modo una nuova popolazone per l erazone, o generazone, seguene. Tale successone d generazon evolve verso una soluzone oma del problema assegnao. Nel coneso degl algorm genec d Holland, gl ndvdu pù for sono quell con fness pù ala, poché rsolvono meglo d alr problem d rcerca; per queso ess devono essere prvlega nella fase d selezone degl ndvdu che poranno rprodurs dando luogo a nuov ndvdu. L evoluzone vene oenua araverso una parzale rcombnazone delle soluzon, qund ogn ndvduo rasmee pare del suo parmono geneco a propr dscenden. Charles Darwn, nauralsa nglese, nao l febbrao 809 e moro l 9 aprle 88, formulò la eora dell evoluzone delle spece anmal e vegeal per la selezone naurale d muazon casual congene eredare e eorzzò la dscendenza d u prma, uomo compreso, da un anenao comune. Il suo lavoro pù noo è L orgne delle spece per mezzo della selezone naurale del 859. Un esempo è cosuo dalla selezone d anmal domesc, gudaa dall uomo anzché dall ambene, che ha prodoo nel gro d poche mglaa d ann razze canne così dverse come l pasore edesco e l bassoo. 54

69 Capolo 3 Gl Algorm Genec Fna la fase d rproduzone, la popolazone delle soluzon vene analzzaa e vengono enue solo le soluzon che meglo rsolvono l problema: gl ndvdu con le qualà pù adae all ambene n cu s rovano, hanno qund maggor possblà d sopravvvere e rprodurs. Quese soluzon subscono una nuova fase d evoluzone e così va, fno a generare una popolazone d soluzon che rescono a rsolvere adeguaamene l problema poso. Non v è modo d decdere a pror se l algormo sarà effevamene n grado d rovare una soluzone acceable; d norma gl algorm genec vengono ulzza per problem d omzzazone per qual non s conoscono algorm d complessà lneare o polnomale. 3.. Gl algorm evoluv Gl algorm genec cosuscono un soonseme degl algorm evoluv, ermne generco che ndca una vasa gamma d ssem d rsoluzone de problem basa sull ulzzo del calcolaore, affn a process evoluv. Olre agl algorm genec, gl algorm evoluv comprendono la Programmazone Evoluva, le Sraege Evoluve, Ssem Classfcaor e la Programmazone Geneca. Gl algorm evoluv sono sraege eursche che mano process d evoluzone naurale per rsolvere problem d rcerca globale e s caraerzzano per la capacà d rsolvere problem anche con scarsa conoscenza del domno. Tuava, la loro dffusone è lmaa dalle dffcolà d progeazone, dovue all elevao numero d paramer da mposare e dalla necessà d ulzzare una dmensone d popolazone elevaa per oenere una buona convergenza n problem d una cera dffcolà. Ne conseguono emp eleva, sa n fase d unng de paramer che durane l esecuzone dell algormo. Nel coneso dell omzzazone s è sol operare una dsnzone fra ecnche local e ecnche global, laddove le prme rcercano l mnmo relavo d una funzone obevo senza uava garanre che, fra ue le soluzon d mnmo relavo, quella rovaa rappresen anche la soluzone d mnmo assoluo, menre le seconde esplorano lo spazo delle varabl alla rcerca del mnmo assoluo. Le ecnche local necessano d un approssmazone nzale, dalla quale, medane un procedmeno eravo, l algormo può rcavare la soluzone omale. Nella maggor pare de cas, ques meod rchedono l calcolo del veore-gradene della funzone obevo per gudare la drezone della rcerca: muovendos lungo ale drezone s calcola l mnmo della funzone con un meodo unmodale. In ale puno, d mnmo approssmao, s rpee d nuovo l calcolo del gradene per oenere una nuova drezone d rcerca, rpeendo l algormo n manera erava fno a raggungere una buona approssmazone del mnmo locale. Esse una dscrea vareà d meod fonda sul calcolo del gradene: meod pù sofsca [6] rchedono l calcolo dell Hessano, come negl algorm Davdon-Flecher-Powell (DFP) o Broyden Flecher Goldfarb Shannon (BFGS). La necessà d dover fornre un approssmazone nzale può lmare foremene l ulà delle ecnche local nell ambo della snes d meccansm arcola, poché l uene porebbe fornre un meccansmo d parenza nuvamene prossmo a una soluzone buona, ma, a parre da queso, l omzzaore porebbe rcavare solamene una soluzone d omo locale e non assoluo. Con l aumenare del numero d om, la complessà dmensonale del problema aumena, al puno da rendere sempre pù dffcle la scela d approssmazon nzal acceabl, e sempre pù alo l rscho d ncorrere n om relav e non assolu. 55

70 Capolo 3 Gl Algorm Genec Nel meodo del gradene s ulzzano le nformazon sul gradene della funzone per gudare la drezone della rcerca. La funzone deve essere percò connua, alrmen non ne può essere calcolaa la dervaa. In generale ques meod sono de d hll clmbng (o d scalaa) e vengono ulzza nel caso d funzon con un solo pcco (unmodal), meno per funzon mulmodal, nelle qual non è deo che l prmo pcco scalao sa l pù alo. Un esempo è mosrao n fgura 3., dove, parendo da un puno nzale X scelo a caso, con movmen verso l alo vene localzzao l pcco B, ma A e C non vengono rova. Fgura 3. - Meodo del gradene: nerpreazone grafca Nella rcerca casuale l approcco per funzon complcae è una rcerca casuale o enumeraa. I pun nello spazo d rcerca sono scel a caso, o n qualche manera ssemaca, e l loro valore calcolao. E un meodo poco nellgene e d solo vene evao. Nel meodo della rcerca eraa, meod della rcerca casuale e quello del gradene sono combna per avere una scalaa eraa. Una vola che un pcco è sao rovao, la scalaa nza nuovamene da un alro puno scelo a caso. La ecnca ha l vanaggo della semplcà e da buon rsula con funzon che non hanno mol massm local. Comunque, poché ogn prova è faa solaamene, non s oene una fgura complessva della forma del domno. Menre la rcerca casuale progredsce, s connuano ad allocare lo sesso numero d prove sa n regon dove sono sa rova al valor d fness, sa n regon con basso valore d fness. Le ecnche global non rchedono approssmazon nzal, dao che endono a esplorare uo lo spazo delle varabl, alla rcerca della soluzone che mnmzz la funzone obevo nel mglore de mod. Tale esplorazone avvene rame un numero dscreo d camponamen, dsrbu con dverse ecnche [6]. Solamene s lma l esplorazone dello spazo-varabl enro un cero nervallo ma, anche ponendo lm nferor e superor alle varabl, emerge charamene come un numero elevao d varabl possa comporare una complessà dmensonale, ale da rendere molo neffcene un semplce meodo d camponameno random. Per ale ragone sono sa nrodo meod n grado d ulzzare poch camponamen nzal, che gudano successv nfmen de camponamen medane process erav. Fra ques vengono ca meod genec, de qual essono numerose varan [7]. Traendo spuno da prncp dalle eore evoluzonsche naural, meod genec mplemenano modell evoluv n grado d smulare la capacà d adaameno d sngol ndvdu ad un ambene n cu susssa una pressone seleva [8]. Un algormo geneco, a dfferenza delle alre ecnche presenae, nza con una popolazone nzale casuale, e assegna maggor enav d selezone alle regon con pù alo fness. Queso è uno svanaggo se l massmo s rova n una pccola regone crcondaa su u la da regon con basso valore d fness ma queso po d funzone è dffcle da omzzare con qualsas meodo. 56

71 Capolo 3 Gl Algorm Genec 3.3. Il modello d Holland 3 Il modello orgnaro d Holland s basa su una popolazone d n srnghe d b d lunghezza fssaa l (n, l N), generae n modo casuale. L nseme delle srnghe bnare d lunghezza l ha l elemen e rappresena lo spazo delle soluzon del problema. Ogn srnga (genopo) è la codfca bnara d una soluzone canddaa (fenopo). In generale la funzone d fness s presena nella seguene forma: ( x x ) F = f,...,, x n Trame quesa funzone, a ogn genopo g della popolazone nzale P (=0) è assocao un valore F = F(g ) che rappresena la capacà dell ndvduo d rsolvere l problema dao. Per deermnare l valore d adaablà, la funzone d fness rceve n npu un genopo, lo decodfca nel corrspondene fenopo e lo esa sul problema dao. Una vola conclusa la fase d valuazone degl ndvdu della popolazone nzale, s genera una nuova popolazone P (+) d nuove n soluzon canddae, applcando gl operaor d selezone, crossover e muazone. Un qualsas algormo d omzzazone effcene, deve usare due ecnche per rovare l massmo globale: exploraon (esplorazone): per esamnare nuove e sconoscue aree dello spazo d rcerca; exploaon (sfruameno): per usare pun precedenemene vsa al fne d rovare pun mglor. Quese rchese sono conraddore, percò un buon algormo d rcerca deve rovare un buon compromesso ra le due. Una rcerca puramene casuale è buona per l esplorazone, ma non fa nessuno sfruameno, menre un meodo puramene d scalaa, come l hll clmb, è buono per lo sfruameno, ma fa poca esplorazone. La combnazone d quese due ecnche può essere abbasanza effcace, ma è dffcle sapere dove s rova l equlbro mglore, ossa, quano sa necessaro sfruare prma d arrenders ed esplorare olre. Holland ha dmosrao che un algormo geneco combna allo sesso empo esplorazone e sfruameno e n un modo omale. Comunque, sebbene queso sa eorcamene vero, n praca c sono problem nevabl. Holland, nfa, ha fao alcune semplfcazon:. la popolazone è nfna;. la funzone fness rflee accuraamene l ulà della soluzone; 3. gen n un cromosoma non neragscono sgnfcavamene. L poes () non può essere ma verfcaa n praca e a causa d cò l funzonameno dell algormo sarà soggeo a error socasc. Una vola che un gene converge n quesa manera, l crossover non può nrodurre nuov valor d gen. Cò produce un effeo a caena, n modo ale che, con l procedere delle generazon, ogn gene dvena evenualmene fssao. 3 John Holland: professore alla Unversy of Mchgan, negl ann 60 e 70 fu l nvenore degl Algorm Genec. 57

72 Capolo 3 Gl Algorm Genec Le poes () e (3) possono essere verfcae su funzon es che s comporano bene n laboraoro, ma sono dffcl da soddsfare nel mondo reale. Un eorema d Holland [4] asscura che, soo deermnae poes, gl ndvdu con valore d fness elevao, endono a crescere esponenzalmene nella popolazone araverso l meccansmo dell ncroco, asscurando così la convergenza dell AG verso una soluzone omale. Nel suo eorema sugl schem, deo anche Teorema fondamenale degl Algorm Genec, egl dmosra che uno schema, ossa una parcolare combnazone d gen che occupano poszon precse all nerno d un cromosoma, prolfera pù rapdamene se, olre ad avere un valore d fness elevao, conene un pccolo numero d gen specfc non lonan fra loro e cò rduce la probablà d dsruggere lo schema durane la fase d rproduzone. Tuava, a causa d compless fenomen d nerazone non lneare ra grupp d valor d una srnga, rappresenane un ndvduo, non s può affermare con cerezza che la combnazone d gen, alamene performan, sa sempre desnaa a produrre ndvdu ancora mglor. Sosanzalmene, non sempre l operazone geneca d crossover produce rsula acceabl, anz a vole può accadere che, a parre da due genor molo promeen, s oenga un dscendene decsamene meno valdo. Gl AG offrono una noevole rasparenza nel modo d elaborare da permeendo d generalzzare ecnche e meodologe n cones decsamene dvers. Ess, generalmene, s presenano come l unca srada pracable per ndvduare una o pù soluzon delle qual s conosca l essenza ma non la procedura algormca per ndvduarle Le fas d un algormo geneco Lo svluppo d un algormo geneco per la rsoluzone d un parcolare problema convolge due p d decsone. La prma rguarda l modo n cu l problema deve essere modellao e nclude la defnzone dello spazo delle soluzon ammssbl, la forma della funzone d fness e l modo n cu gl ndvdu devono essere presena come srnghe (pologa d codfca). La seconda concerne paramer dell algormo geneco sesso e nclude le proporzon della popolazone da rprodurre, ncrocare e muare, la procedura d selezone, l numero d generazon, e le decson relave a varazon rspeo all algormo d base. Selezone Genor Popolazone Sosuzone Rcombnazone Muazone Fgl Rproduzone Fgura 3. - Il cclo evoluvo 58

73 Capolo 3 Gl Algorm Genec Sar Generae Inal Populaon Evaluae he Objecve Funcon Generae New Populaon Selecon Crossover Opmzaon crera ye? Muaon Bes Indvduals Resuls Fgura Sruura base d un algormo geneco In ale coneso solamene gl ndvdu mglor sopravvvono alla selezone naurale e sono n grado d rprodurs, generando una prole che ereda le caraersche de genor (fgura 3.). La maggor pare de meod genec s arcolano nelle seguen fas [9] (fgura 3.3): generazone d una popolazone nzale casuale: cò corrsponde alla creazone d una dsrbuzone d N camponamen casual nello spazo varabl; creazone d una sequenza d nuove popolazon, o generazon: n cascuna erazone, gl ndvdu (codfca da un cromosoma, una srnga d lunghezza cosane formaa da gen) della popolazone correne sono usa per creare la generazone successva; cascun membro della popolazone correne è valuao calcolandone l rspevo valore della funzone fness (doneà), chamaa anche funzone obevo; ordnameno d al ndvdu sulla base de valor d fness e selezone degl ndvdu con fness mglore; accoppameno degl ndvdu pù promeen, selezona come genor, medane l operaore d crossover; applcazone d muazon geneche; applcazone d evenual alr operaor genec (elsmo); gl ndvdu così genera vanno a sosure genor consenendo la formazone della generazone successva; rpezone de pass fno alla convergenza nel puno d omo. D seguo, vene presenaa la pseudo-codfca d un algormo geneco canonco, secondo le dreve enuncae da Holland. 59

74 Capolo 3 Gl Algorm Genec Begn end 0 Inzalzza una popolazone d cromosom P () Valua P () usando una funzone d fness Whle ( ) do Selezona ndvdu da P() e nserscl n P Selezona ndvdu da P e nserscl nel Mang Pool Applca l crossover agl ndvdu nel Mang Pool formando P Applca la muazone agl ndvdu d P formando P 3 Forma P ( +) selezonando per rmpazzameno ndvdu da P 3 e P () Codfca Gl algorm genec rchedono che ogn sruura della popolazone sa codfcaa con una srnga d smbol d un cero alfabeo: ad esempo, un valore d una varable può essere codfcao con una srnga d valor bnar, oppure con una srnga d valor real. Se n lnea d prncpo è possble codfcare le soluzon d un problema con srnghe bnare, n alr cas s ulzzano rappresenazon d lvello pù alo e s defnscono operaor d crossover e muazone n grado d operare su al rappresenazon. S è adoaa la codfca reale, n luogo della radzonale codfca bnara, per le superor do d convergenza ne problem d omzzazone [9] e per le seguen consderazon. La codfca bnara è mporane non solo dal puno d vsa sorco, ma anche perché rsula eorc pù rlevan sono sa oenu con modell basa su d essa. Occorre defnre una funzone che decodfch l genopo, o par d esso, n uno o pù valor real. La rappresenazone bnara ha l vanaggo d rendere pù semplce la defnzone degl operaor genec, e nolre s presa meglo ad alcune anals d caraere eorco sulle garanze d convergenza dell algormo. Per conro, essa rallena l esecuzone dell algormo a causa delle connue converson bnaro-decmale e vceversa e deermna una maggore lunghezza de cromosom (la sruura de da è un veore d b d lunghezza l, cu corrsponde uno spazo d l soluzon possbl). Con una codfca bnara de paramer real, è necessaro sceglere prelmnarmene la rsoluzone della sraega d codfca, la quale deermna l numero d b necessar a rappresenare le soluzon. La codfca basaa su numer real è la pù naurale per problem d omzzazone d paramer real. La sruura de da è un veore d lunghezza l dove ogn elemeno è un numero reale. Ogn soluzone canddaa è un puno nello spazo della rcerca e non è necessaro prevedere funzon d decodfca del genopo. La codfca reale offre una maggore compaezza e leggblà del cromosoma, la possblà d esplorare pù amp nervall d varablà de paramer e una precsone che dpende dalla macchna su cu s lavora (generalmene mglore d quella bnara). S dovranno ulzzare operaor genec dvers da quell bnar che mpongono a nuov ndvdu genera d apparenere a relav range. La codfca reale ha nolre la propreà che due pun vcn nello spazo della rappresenazone sono vcn anche nello spazo del problema e vceversa (e queso non è generalmene vero per l approcco bnaro). 60

75 Capolo 3 Gl Algorm Genec Popolazone nzale L algormo nza con la creazone d una popolazone nzale d soluzon, generaa d solo n modo casuale. L evoluzone naurale opera su nere popolazon d ndvdu araverso process cclc e generazonal, deermna esclusvamene dalle conngenze ambenal e dalle nerazon fra var organsm. Se s scegle una popolazone pccola, l algormo è n grado d esegure le sue erazon pù velocemene, ma presena una mnore capacà esplorava, cosa che può deermnare una convergenza premaura a una soluzone molo lonana dall omo effevo. Se s scegle nvece una dmensone della popolazone roppo ampa, s rende l algormo eccessvamene e nulmene leno. La scela appropraa della dmensone della popolazone dpende anche dalla lunghezza de cromosom che descrvono una soluzone. All aumenare del numero d gen d una soluzone corrsponde un aumeno della mnma dmensone della popolazone n grado d garanre rsula soddsfacen. La popolazone nzale è generaa casualmene per garanre un ampa vareà d possbl soluzon (n alcune applcazon quesa scela non è auspcable se è necessaro generare una popolazone che s rov n un norno del puno d convergenza). Secondo un crero emprco, suggero dall esperenza, se la popolazone è pccola, enrambe le probablà dovrebbero essere pù grand che nel caso conraro Fness Gl algorm genec rchedono che ogn sruura della popolazone agsca nell ambene (ovvero sa messa a confrono con l problema) e la sua performance sa valuaa con un unco valore: ad esempo un organsmo può essere valuao n base al suo adaameno all ambene, oppure un valore della varable ndpendene n base al valore assuno dalla funzone. La condzone d usca del cclo è deermnaa dal raggungmeno d una soluzone soddsfacene, vale a dre caraerzzaa da un valore della funzone gudcao buono, oppure dal raggungmeno d un numero prefssao d generazon da elaborare. Per defnre quano sa buona la qualà d un ndvduo della popolazone, s defnsce una funzone obevo che specfca numercamene la fness dell ndvduo: un valore mglore della fness ndca una mglore soluzone del problema consderao. In queso modo, la funzone obevo emula lo sesso ruolo della naurale capacà d sopravvvenza degl organsm bologc, legaa alla loro forza. Gl AG non rchedono parcolar poes sulla forma o alre caraersche della funzone obevo, che può qund essere non lneare ne paramer omzza, mul-modale e dsconnua. Al conraro, è necessaro rendere l pù possble effcen meccansm necessar alla valuazone della fness, perché un AG rchede, n genere, (cennaa d) mglaa d chamae alla funzone obevo per convergere alla soluzone fnale. La funzone fness assocaa a ogn cromosoma è sreamene legaa alla funzone obevo che deve essere omzzaa, e defnsce la probablà che una srnga sa selezonaa per generare la popolazone successva. Da un puno d vsa formale è possble dre che, dao un elemeno X apparenene a uno spazo caresano D (nel caso n cu n sa la cardnalà d D, allora X sarà un veore), e daa una funzone f : D R dea funzone obevo, allora, la rcerca dell omo globale è la rcerca d un X* che massmzza ale funzone, ossa: X * * ( X) f( ) D, e X D : f X 6

76 Capolo 3 Gl Algorm Genec Tecnche d selezone de genor La selezone de genor ha l compo d allocare opporunà rproduve a cascun ndvduo. All nerno d una popolazone, a ogn ndvduo è assocaa una probablà d selezone legaa al valore della funzone fness. L operaore d selezone genera un numero casuale c (0,) che deermna quale ndvduo verrà scelo. L ndvduo selezonao vene copao nel cosddeo mang pool. Il mang pool è così rempo d n cope degl ndvdu selezona, al empo P (=0). La nuova popolazone, P (+), è oenua araverso gl operaor d crossover e muazone. Il cclo che realzza la generca erazone d un algormo geneco deermna l passaggo da una generazone all alra. Esso nza con la selezone de genor dalla popolazone correne, ovvero degl ndvdu che parecpano alla fase d rproduzone. La selezone vene faa n base a valor d fness che presenano sngol ndvdu all nerno della popolazone. Una vola assegnao l valore d fness a u gl ndvdu, essono dvers algorm che effeuano la selezone de genor. In queso sudo ne vengono pres n consderazone dvers. Nella versone degl AG pù frequenemene ulzzaa, la selezone degl ndvdu che parecpano alla rproduzone è d po probablsco. Il meccansmo d scela pù ulzzao assegna a cascun ndvduo della popolazone una probablà d sopravvvenza proporzonale al suo valore d fness. Cò mplca che, n meda, gl ndvdu pù for s rproducono pù frequenemene. Il rsulao della selezone è qund la creazone d una pscna d accoppameno (mang pool) n cu vengono nser gl ndvdu per la rproduzone: gl ndvdu mglor hanno mola probablà d essere copa pù vole, menre peggor porebbero non essere copa affao. Soo un severo schema d rproduzone, la dmensone del mang pool è uguale a quella della popolazone. Dopo d cò, coppe d ndvdu vengono ra fuor dalla pscna e fa accoppare. La creazone d quesa pscna compora dvers problem rguardan la dmensone e l numero d ndvdu (par o dspar) che può essere nsero: essono dverse ecnche per rsolvere quese suazon, ra le qual l rmappaggo del fness. Il prncpale nconvenene della rproduzone probablsca è che essa compora l rscho d un fenomeno denomnao convergenza premaura (s veda pù avan). Tra le soluzon pù adoae per rsolvere queso problema sono presen le sraege d: fness rankng [0]: gl ndvdu della popolazone sono ordna per fness decrescene e a cascuno d ess è assegnaa una probablà d rproduzone n base alla poszone nella graduaora e non n base al valore specfco della fness. In alre parole, daa una popolazone P conenene N ndvdu ( P = N) e l nseme delle funzon fness della popolazone, gl N ndvdu d P vengono ordna secondo valor delle fness corrsponden. La probablà d ogn ndvduo P d essere selezonao, vene mposaa secondo una funzone della poszone che esso occupa all nerno della popolazone dopo l ordnameno. Le funzon usae per assegnare valor d probablà agl ndvdu sono solamene lnear o esponenzal. I vanagg sono che non s ha convergenza premaura (nessun ndvduo ha probablà molo maggore degl alr d essere selezonao) e non s ha sagnazone (le probablà sono sempre ugualmene dsrbue). Lo svanaggo è la pesanezza compuazonale. 6

77 Capolo 3 Gl Algorm Genec ournamen selecon [,]: s esraggono casualmene n coppe d ndvdu nella popolazone e s confronano ra d loro, selezonando per la rproduzone vncor d cascun confrono come ndvdu. Non c è qund bsogno d un ordnameno come accadeva nel caso precedene. roulee wheel selecon [3]: genor sono selezona n base al valore della loro fness. I mglor cromosom hanno maggore probablà d essere selezona. Queso meodo può essere assmlao a una roulee n cu vengono pazza u cromosom, ognuno de qual occupa uno spazo d dmensone proporzonale al suo valore d fness, come rappresenao n fgura 3.4. Po s lanca la pallna e s selezona l cromosoma, qund cromosom con alo fness possono essere selezona pù vole. La procedura da segure è la seguene:. la crconferenza d un mmagnaro cercho vene dvsa n M segmen con aperura angolare: π f A = ( f) qund con ( A ) = π ; Fgura Meodo della Roulee Wheel. per ogn f s genera un numero a caso k, con dsrbuzone unforme ra 0 e ; 3. l cromosoma () vene scelo se k cade nel relavo seore A. Numero d ndvdu Fness Probablà d selezone Selezonando casualmene 6 numer: 0.8, 0.3, 0.96, 0.0, 0.65, 0.4, la nuova popolazone sarà cosua da seguen ndvdu:,, 3, 5, 6, 9. Per quano rguarda la selezone d po ournamen essono alcune varan. Nella pù semplce, la selezone d orneo bnaro, coppe d ndvdu sono prese a caso ra la popolazone: chunque abba un alo fness vene copao nel mang pool, e nseme vengono sosu nella popolazone orgnale; queso è rpeuo fnché la pscna non è pena. Possono essere usa orne pù grand, dove l mglore d n ndvdu scel a caso è copao nel mang pool, e queso ha l effeo d aumenare la pressone d selezone, perchè gl 63

78 Capolo 3 Gl Algorm Genec ndvdu soo la meda dffclmene vnceranno orne, menre mglor avranno ome probablà. Un ulerore generalzzazone è la selezone con orneo bnaro sasco, dove mglor ndvdu vncono orne con probablà p dove 0.5 < p <. Usando valor pù bass d p s dmnusce la pressone d selezone 4, perché gl ndvdu soo la meda sono n proporzone pù avvanagga nel vncere un orneo, menre quell sopra la meda perdono probablà. Aggusando la probablà d vncere o la dmensone del orneo, la pressone d selezone può essere resa grande o pccola a pacere. Goldberg [3] ha confronao ques re dfferen schem (fness rankng, ournamen selecon e roulee wheel selecon) concludendo che, rame opporun aggusamen de paramer, u gl schem hanno performance sml, qund non c è una ecnca mglore n assoluo Il crossover Alla selezone de genor segue quella d rproduzone, medane la quale avvene la generazone d nuov pun dello spazo d rcerca: cascuna coppa d ndvdu prescel genera, con probablà P C (probablà d crossover) una coppa d fgl. All nerno del mang pool qund, sono scel a caso due ndvdu, de genor: dopo aver effeuao la selezone de genor e averl poszona nel mang pool, devono essere effeuae ue le operazon per permeere l evoluzone della spece. Queso vene rpeuo fnché la pscna rmane vuoa. In naura un dscendene è raramene un esao clone d un genore: esso ha due genor ed ereda gen da enramb. Il processo d rproduzone smula l meccansmo bologco d crossover n cu s verfca uno scambo d grupp d gen apparenen a due genor: propro graze a ale scambo d nformazon geneche s verfca l processo evoluvo che pora l ssema verso la regone d omo (fgura 3.5). Il paramero P C esprme la probablà che ha un ndvduo d rprodurs per accoppameno Fgura Crossover: nerpreazone grafca durane una generazone, e può varare da 0 a. In generale va osservao come non s possa sablre unvocamene un valore omale, gacché la probablà d crossover deve essere regolaa con valor dvers per dvers p d problem ([7] e [9]). In [4] una P C par al 50% deermna una convergenza pù veloce ad un valore pù alo d fness, rspeo al caso d avere una P C = 00% Tpologe d crossover per BCGA Ulzzando la codfca bnara sono dsponbl dverse ecnche d crossover [5], [6], [7]. 4 Probablà del mglore ndvduo d essere selezonao n rapporo alla probablà meda d selezone d u gl ndvdu. 64

79 Capolo 3 Gl Algorm Genec Sngle-pon crossover: prende due ndvdu, e agla le srnghe de loro due cromosom n una poszone scela a caso, per produrre due segmen esa (head) e due segmen coda (al). Genore Genore Fglo Fglo Two pons crossover: gl ndvdu non sono rappresena da srnghe lnear, ma da crcol. Qund s sosurà una porzone d crcolo d un ndvduo con quella d un alro, selezonando due pun d crossover. Genore Genore Fglo Fglo Crossover unforme: cascun gene ne fgl è creao rame una copa del corrspondene gene da uno de due genor, scelo n accordo a una maschera d crossover creaa n manera casuale. Una nuova maschera d crossover è generaa casualmene per cascuna coppa d genor. Il fglo, qund, conene una msura d gen provenen da cascun genore. Crossover mask Genore Fglo Genore Fglo Il dbao su quale sa la mglore ecnca d crossover è ancora n corso. Syswerda [8] argomena n favore dell unforme: nfa, n quesa modalà, gl schem che hanno un parcolare ordne hanno la sessa probablà d essere dsru, a prescndere dalla lunghezza defna. Con l wo-pons è la lunghezza defna dello schema che deermna la sua predsposzone alla dsruzone, non l suo ordne. Queso sgnfca che, rguardo al crossover unforme, gl 65

80 Capolo 3 Gl Algorm Genec schem con lunghezze defne core hanno maggor probablà d essere dsru, menre le pù lunghe sono dsrue meno faclmene. Syswerda, nolre, dce che l numero oale delle dsruzon degl schem è comunque ala. Il crossover unforme ha l vanaggo che l ordnameno de gen è del uo rrlevane e queso sgnfca che gl operaor d rordnameno non sono necessar. L effcenza dell algormo che usa l wo-pons decade drascamene. Il crossover unforme d alra pare, connua a lavorare bene almeno quano un wo-pons usao con un cromosoma ordnao correamene. Comunque, l unforme sembra essere la ecnca pù robusa. Eshelman [9] fornsce una comparazone esesa d dfferen operaor d crossover, ncluso unform, wo pons e mul-pons: ques sono analzza eorcamene n ermn d devazone d poszone e dsrbuzone, ed emprcamene su alcun problem. Nessuno prevale sugl alr e, nfa, non esse pù del 0% d dfferenza nella velocà d convergenza delle ecnche. Spears e DeJong [0] sono molo crc rguardo l mul-pons e l unform crossover, menre sono d accordo con le anals eorche che mosrano l omalà d unform e wo pons crossover: affermano nfa che l crossover a due pun lavorerà male quando la popolazone è ampamene convergene, e cò a causa della rdoa produvà del crossover. La produvà del crossover ndca la capacà dell operaore crossover d produrre nuov cromosom che nello spazo d rcerca camponano pun dfferen. Quando due cromosom sono sml, segmen scamba dal wo-pons crossover è probable che sano denc, e porano a fgl che sono denc a genor. Queso è meno facle che succeda con l unform crossover: loro descrvono un nuovo operaore wo-pons crossover che, se produce due fgl denc, scegle due nuov cross-pon per varare fgl successv. Queso operaore fu nsero per lavorare meglo del crossover unforme n un problema es, ma le presazon erano solo leggermene superor. In una pubblcazone successva hanno concluso che l wo-pons modfcao è mglore per grand popolazon, ma che la maggore dsruzone del crossover unforme è benefca se la dmensone della popolazone è pccola, confronaa con la complessà del problema, e qund dà una performance pù robusa Tpologe d crossover per RCGA Semplc operaor d crossover sono: meda (calcola la meda armeca de gen de due genor), meda geomerca (calcola la radce quadraa del prodoo de due valor), ed exenson (calcola la dfferenza ra due valor e la aggunge al pù alo o la sorae al pù basso), ma s possono adoare ecnche pù sofscae, come quelle descre n seguo. Smple crossover [] E l operaore pù smle a quello mpegao per BCGA, e può essere ulzzao se cromosom sono cosu da pù d un sngolo gene. Defn cromosom de due genor selezona nella -esma generazone, G e G, (ogn + + cromosoma ha n gen caraerzza da un numero reale), s oengono due fgl, G e G nel seguene modo: 66

81 Capolo 3 Gl Algorm Genec 67 = = = = ],...,,,...,, [ ],...,,,...,, [ ],...,,,...,, [ ],...,,,...,, [ n n n n g g g g g G g g g g g G g g g g g G g g g g g G Modfed Smple crossover [9, ] Defn cromosom de due genor selezona nella -esma generazone, G e G, s oengono due fgl, + G e + G, nel seguene modo: = = = = ],...,, ˆ,...,, [ ],...,, ˆ,...,, [ ],...,,,...,, [ ],...,,,...,, [ n n n n g g g g g G g g g g g G g g g g g G g g g g g G dove: ( ) ( ) g g g g g g ˆ ˆ + = + = λ λ λ λ e,λ λ sono numer casual unformemene dsrbu n [ ], 0. Arhmec crossover [7] Defn cromosom de due genor selezona nella -esma generazone, G e G : ],...,,...,, [ ],...,,...,, [ n j n j g g g g G g g g g G = = due fgl vengono genera nel seguene modo: ( ) ( ) a a a a G w G w G G w G w G + = + = + + dove a w è una cosane pesaa nell nervallo [0,]. Può valere 0.33, oppure 0.8 come proposo da [3]. Ques ulma varane del crossover rsponde all esgenza d dsrbure n modo molo unforme fgl nello spazo-varabl, e confersce un elevaa velocà d convergenza all evoluzone del ssema. Blend crossover (BLX-α crossover) [4] Defn cromosom de due genor selezona nella -esma generazone, G e G : ],...,,...,, [ ],...,,...,, [ n j n j g g g g G g g g g G = =

82 Capolo 3 Gl Algorm Genec = 3 mn, max con: ess generano un solo fglo G [ g, g,..., g,..., g ], dove casualmene ra [ G I α G + I α] { g j g j} { g g } Gmn = mn, Gmax = max j, j I = G max G mn j + 3n g è selezonao + 3 j e α [ 0,] è paramero scelo dall uene. Se la pressone d selezone è nulla, α < 0. 5e u valor dmosrano che la popolazone ende alla convergenza a valor vcno al cenro d ess, con l conseguene abbassameno del lvello d dversà all nerno della popolazone e la possble convergenza premaura a soluzon che non sono ome. Solo ponendo α = 0. 5 s ha l omo blanco ra esplorazone (rovare soluzon compleamene nuove) e sfruameno (mglorameno delle soluzon gà oenue). Paren-Cenrc crossover (PBX) [5] Defn cromosom de due genor selezona nella -esma generazone, G e G : G G = [ g = [ g, g, g,..., g j,..., g j,..., g n,..., g ] n ] s oene l unco fglo G = [ g, g,..., g,..., g ], dove g g [ a, b ]. Il gene j n j, j j j + g j è scelo casualmene ra max { a j, g j L α} e { b j, g j + L α} + g j g j g j è scelo casualmene ra { a j, g j L α} { b, g + L α} L =, menre l gene mn, e solamene α = 0.5. j j Crossover Hll-Clmbng [5] Esegue la seguene procedura: selezona due genor G e G ; rpee n vole; esegue BLX-α crossover su G e G ; valua l fglo e lo chama Chld bes; sosusce al peggore ra G e G l fglo Chld bes, se è mglore; + + fornsce G e G. Laplace crossover [6] Defn cromosom de due genor selezona nella -esma generazone, mn, max e G e G : 68

83 Capolo 3 Gl Algorm Genec G G = [ g = [ g, g, g,..., g j,..., g j,..., g n,..., g ] n ] vengono genera due fgl. S genera un numero λ e un numero γ, unformemene dsrbu n [0,], e un numero dalla dsrbuzone d Laplace come: φ a b ln φ = a+ b ln ( λ) ( λ ) γ 0.5 γ > 0.5 dove valor d a e b sono cosan. I fgl s oengono da: g g + j + j = g = g j j + φ g + φ g j j g g j j Enramb fgl sono dspos n modo smmerco rspeo a genor, pù b è basso pù fgl saranno localzza vcno a genor. Inolre, per un cero valore d a e b, se genor sono vcn ra loro, anche fgl saranno vcn ra d loro, menre se genor sono lonan ra loro, lo saranno anche fgl. AveBXover [7] La seguene ecnca combna l average crossover e l bound crossover. Il prmo manpola gen de genor selezona e l mnmo e l massmo valore de gen. Il secondo è n grado d muovere fgl vcno al confne del domno. In queso caso sono genera quaro cromosom fgl anzché due e mglor due, n ermn d valore d fness, saranno selezona per rmpazzare due genor. Defn, come n precedenza, cromosom de due genor selezona nella -esma generazone, G e G, oenu dalla selezone naurale, alla fne dell operazone ess produrranno due fgl. S applcano le due ecnche: dove: - Average crossover: G G + + = = ( G + G ) [( µ + µ ) ( w ) + ( G + G ) w ] max - Bound crossover: G G = µ = µ max mn mn ( wb) + max{ G, G} w ( wb) + mn{ G, G} wb a b 69 a

84 Capolo 3 Gl Algorm Genec G G + k k para µ max = [ g = [ g j mn = G + k, g g U, g j, + k,..., g µ mn,..., g j para n cu, [ 0,] a w b = G + kj,..., g j max L,..., g n ] + kn ] k =,,3,4 =,; j =,,..., n w e denoano l peso dell average crossover e del bound crossover (possono valere 0.3 e 0.5) deermna dall uene, e { G } max G, denoa l veore n cu, ogn elemeno, è oenuo prendendo l massmo de corrsponden elemen d G e G Tra G, G, G 3 e G 4, due a cu corrsponde l valore maggore d fness sono usa come fgl ed enreranno nella popolazone successva, rmpazzando due genor. Heursc crossover Proposo per la prma vola da [7], venne po ulzzao per rsolvere problem d omzzazone lneare senza lm n [8], problem d omzzazone non lneare n [9] e n problem con e senza lm. Defn cromosom de due genor selezona nella -esma generazone, G e G : G G = [ g = [ g, g, g,..., g j,..., g j,..., g n,..., g ] n ] per cu vale che ( G ) Fness( G ) Fness <, ra ques s effeua un nerpolazone lneare per generare l unco fglo (come n fgura 3.6), che sarà: G + 3 = [ g + 3, g + 3,..., g + 3 j,..., g + 3n + cu gen sono oenu come ( ) ] g3 j = r g j g j + g j, dove r è un numero casuale ra 0 e. Rspeo agl alr operaor d crossover mpega nella codfca reale, quesa ulzza valor della funzone fness de genor. Convex crossover [30] La meda pesaa d due veor, G e Fgura Heursc crossover: nerpreazone grafca nel caso d mnmzzazone della funzone fness G, chamaa combnazone convessa, s calcola come: S = λ G + λ G dove per molplcaor vale: 70

85 Capolo 3 Gl Algorm Genec λ + λ = λ, λ < Defn cromosom de due genor selezona nella -esma generazone, G e G : G G = [ g = [ g, g, g,..., g j,..., g j,..., g n,..., g ] n ] se ( G ) Fness( G ) Fness <, fgl genera saranno: G G + + = [ g = [ g + +, g, g + +,..., g,..., g + j + j,..., g,..., g + n + n ] ] cu gen sono oenu come: g g + j + j = λ g = λ g j j + λ g + λ g j j dove λ,λ sono numer casual dsrbu unformemene nell'nervallo [0,]. Ponendo λ =λ 0. 5 s oene l meodo ulzzao per la prma vola n [3], chamao Average Convex crossover, e n [3], chamao Inermedae crossover. AABX [33] = Combna Arhmec Crossover, Average Crossover e Bound Crossover e genera se fgl. Tra ques, due a cu corrsponde l pù alo valore d fness sono selezona come due cromosom fgl, che andranno ad aggungers a due genor, deermnando un allargameno della popolazone. Cener of mass crossover (CMX crossover) [34] S suppone che G = g, g,..., g,..., g ] sa un veore n-dmensonale d elemen real che [ rappresena una possble soluzone (cromosoma). S può defnre l numero d genor m > e la dmensone della popolazone N > m. Dall nseme de genor { G, G,..., GN}, sono scel a caso m ndvdu, rappresenav d m genor G = g, g,..., g,..., g ] con =,..., m. [ j Il barcenro degl m genor (fgura 3.7), calcola come: G m CM = G m = n j n G CM 7, s Fgura Cener of mass crossover: nerpreazone grafca

86 Capolo 3 Gl Algorm Genec Per ogn =,..., m s genera un genore vruale barcenro: G V, che rsula smmerco a G rspeo al G V = G CM G + Incrocando due genor s genera l fglo G. In sosanza m genor generano m fgl. Alla fne s sceglerà un alro nseme d m genor che genereranno m fgl, fno a che N nuov fgl sono genera. Seed crossover [34] Medane quesa ecnca, m genor sono scel n base al valore della funzone fness. La rcombnazone ra due genor è affdaa ad un orneo knockou e solo un fglo è generao da m genor. Smulaed bnary crossover [35] Fgura Seed crossover: nerpreazone grafca Inzalmene s genera un numero casuale u dsrbuo unformemene ra 0 e. S deermna un paramero γ usando una dsrbuzone d probablà polnomale, defno come: γ = ( u α) ( ) dove: η + C u α ( η ) C α = β e β = j j se u α η + C alrmen L U [( g g )(, g g )] + mn j j j g g η C è un numero posvo (se è basso s generano fgl lonan da genor). Defn cromosom de due genor selezona nella -esma generazone, ndcao anche n precedenza, fgl genera saranno: j G e G, come G G + + = [ g = [ g + +, g, g + +,..., g,..., g + j + j,..., g,..., g + n + n ] ] cu gen sono oenu come: 7

87 Capolo 3 Gl Algorm Genec g g + j + j = 0.5 = 0.5 [( g j g j) γ g j g j ] [( g g ) + γ g g ] j j j j Nell arcolo preso n consderazone η = 0. con probablà d crossover par a 0.5, avendo pozzao che La muazone g g. + + < j j C Queso operaore è sprao alla rara varazone d elemen del genoma degl esser vven durane l evoluzone. Se l ncroco asscura l manenmeno d buon ndvdu per mglorare le soluzon, la muazone manene la dversà nella popolazone e permee d amplare l esplorazone. La muazone consse nell effeuare, con una probablà P m, una modfca del valore assuno da gen n corrspondenza d una poszone scela n modo casuale. Queso operaore nervene su nuov na e non su genor. La muazone rguarda un sngolo valore d una srnga che vene cambao n un alro valore, con una probablà prefssaa e anche n queso caso s possono adoare ecnche pù sofscae. L operaore muazone geneca, alera aleaoramene cromosom degl ndvdu (come rappresenao n fgura 3.9): la sua ulà rsede nel fao che s nroduce varablà nella popolazone. In un ambene che vara, le muazon possono generare ndvdu che meglo s adaano alle nuove condzon. Queso modo d rovare dverse soluzon non mplca nessun conrollo della drezone d rcerca, come nvece accade nelle ecnche d omzzazone basae sul meodo del gradene. Una probablà d muazone rdoa o al lme nulla, compora una convergenza de Fgura Muazone: nerpreazone grafca cromosom verso l medesmo valore, con l possble rscho d suars n un massmo locale dal quale, a causa della premaura perda d varablà geneca, non è possble allonanars per esplorare evenual alre soluzon. In [4], manenendo cosane P C e varando P m ra 0.5% e %, con un valore par a 0.7% s ha la convergenza a un valore pù elevao n un numero d erazon d quas due ordn d grandezza nferore rspeo a una P m d 0.9% ma valor molo sml nel caso d una P m par a %. S può concludere che un alo asso d muazone non sempre garansce un valore omo, perché l modello porebbe convergere a un omo locale Tpologe d muazone per BCGA Le ecnche d muazone che sono usualmene mpegae con codfca bnara [5], [6] e [7], sono: B-flp muaon: rguarda un sngolo b d una srnga che vene cambao nel valore opposo, con una probablà prefssaa. 73

88 Capolo 3 Gl Algorm Genec Fglo Fglo muao Swap muaon: n cu s camba la poszone d due b n modo casuale []. Fglo Fglo muao Tpologe d muazone per RCGA Unform muaon [7] Dao un cromosoma G, l generco gene reale g j vene selezonao e rasformao n modo casuale nel suo upper bound o nel suo lower bound. Per un dao ndvduo G = [ g, g,..., gj,..., gn ] se l elemeno g j è selezonao per la muazone, l ndvduo muao è: ~ G = [ g, g ~,..., g,..., g dove l generco gene muao è j numero casuale che può valere 0 oppure. Smple muaon [34] n ] ~ =λ +, con ~ L U g [ g, g ] e λ è un U L L gj ( g j - g j ) g j Rmpazza un numero reale d un cromosoma con un alro numero reale generao casualmene. Dynamc muaon (Non-unform muaon) [36] Queso meodo consene d effeuare un esplorazone esausva dello spazo d rcerca nelle prme erazon e d concenrare la rcerca nelle regon mglor nelle successve. Per un dao ndvduo G = g, g,..., g,..., g ] se l elemeno g è selezonao per la muazone, l ndvduo muao è: ~ G = [ g dove ~ g j g ~ j g = g j j, g ~,..., g,..., g j n ] [ è selezonao a caso ra due possbl scele: + U (, g ) j g j L (, g j gj ) seε = 0 seε = j 74 n j j j j

89 Capolo 3 Gl Algorm Genec dove ε è un numero casuale che può valere 0 oppure, menre L U g j g j e sono l lower bound e l upper bound della varable. La funzone (, y) fornsce un valore ra (0, y) ed è una funzone monoona decrescene e ende a 0 per endene a T: (, y) = y k ( T) d dove k è un numero reale casuale unformemene dsrbuo n [ 0,], T l numero massmo d generazon e d l paramero che denoa l grado d dsunformà (s può assumere par a 0.5 [3], 3 o 5 [37]). Wavele muaon [38] La eora delle onde n [39] afferma che alcun segnal ssmc possono essere modellzza combnando le raslazon e le dlaazon d una funzone oscllaora con funzon d duraa fna, chamaa onda. Una funzone empo connua ψ (x) è chamaa onda madre se soddsfa le seguen propreà:. + ψ ( x) dx = 0 : l energa posva oale d ( x) ψ ( x) ;. ψ ( x) dx< : la quanà maggore d energa d ( x) + ψ è uguale all energa negava oale d ψ è d duraa fna e lmaa. L onda Morle, proposa da Daubeches [40] è un esempo d onda madre (fgura 3.0): ψ x ( x) = e cos( 5x) perché soddsfa la prma propreà, e perché pù del 99% dell energa oale è conenua nell nervallo -.5 < x <.5. Per conrollare l ampezza e la poszone d x ψ x come: ψ ( ), s defnsce ( ) a,b x b ψ a, b ψ a a ( x) = dove l coeffcene a esprme la dlaazone e b la raslazone. S noa che: Fgura Onda Morle: nerpreazone grafca ψ,0 ( x) = ψ( x) x ψ a,0 ψ a a ( x) = Nella fgura 3. s mosra come l ampezza d ( x) paramero a. 75 ψ dmnusce all aumenare del a, 0

90 Capolo 3 Gl Algorm Genec Applcando quesa eora agl algorm genec s oene che, per ogn gene g del cromosoma G s genera un numero casuale ra 0 e e s confrona con la probablà d muazone. Il rsulao della muazone è: g ~ j dove: δ = e g = g j j + δ + δ ϕ ψ = a a U ( g g ) j j L ( gj gj ) ϕ a ξ ln + T τ ( g) ln( g) e a j se δ > 0 se δ < 0 5 ϕ cos a a = e è una funzone monoona crescene. S è ndcao con τ l erazone correne, ξ un numero par a 5 (oppure, o 0.5), g è l lme superore d a e poso par a 0000 e φ un numero generao casualmene ra [-.5,.5] n base alle consderazon preceden. Il valore del paramero a (compreso ra e 0000) vara n base al rapporo τ/t dove τ è l erazone Fgura 3. - Onda Morle: effeo della varazone Fgura 3. - Effeo del paramero d forma ξ sulla funzone a correne e T l numero oale d erazon: se τ/t aumena, a aumena e la muazone perde d sgnfcao. Il paramero d forma ξ nflusce su a e l effeo è mosrao n fgura 3.. Se δ è posvo e vcno ad, l gene muao ende all upper bound del gene d parenza, menre se è negavo e ende a -, l gene muao ende al lower bound del gene d parenza. Il valore massmo d δ è quando φ = 0 e qund a =. Random muaon Dao un cromosoma G l generco gene reale g j vene selezonao e rasformao n modo casuale n un valore compreso ra l suo upper bound e l suo lower bound. Per un dao ndvduo G = g, g,..., g,..., g ], se l elemeno muazone, l ndvduo muao è: [ j n g è selezonao per la j ~ G = [ g, g ~,..., g,..., g j n ], dove g ~ è un numero reale casuale scelo ra g, g ]. j L U [ j j Power muaon [4] Vene generao un numero casuale con dsrbuzone unforme s [ 0,] G = [ g, g,..., gj,..., g n ], se l elemeno. Per un dao ndvduo g j è selezonao per la muazone, l ndvduo 76

91 Capolo 3 Gl Algorm Genec muao è: ~ G = [ g dove g~ j dove g ~ j g = g j j, g ~,..., g,..., g j n ] è selezonao a caso ra due possbl scele: s + s L ( g j g j ) U ( g j g j) L ( g j g j ) U L ( g j g j ) < r r =, menre L U g j e g j sono l lower bound e l upper bound della varable decsonale ed r è un numero casuale unformemene dsrbuo n [0,]. Polynomal muaon [35] Inzalmene s genera un numero casuale u [ 0,] δ come: δ = dove: φ = ηm+ ηm+ [ u+ ( u) ( φ) ] ηm+ [ ( u) + ( u 0.5) ( φ) ] mn L U [( g j g j)(, g j g j) ] U L ( g g ) j j ηm+. Successvamene s deermna l paramero se u 0.5 alrmen Per un dao ndvduo G = g, g,..., g,..., g ], se l elemeno [ muazone, l ndvduo rsulane è: j n g j è selezonao per la ~ G = [ g dove, g ~,..., g,..., g j g~ j è dao da: n U L ( g g ) ~ = δ g j g j + j j ] con η η gen (nell arcolo consderao η 00 ). m = m mn + 77 m mn = Maknen, Peraux e Tovanen Muaon (MPTM) [4] Inzalmene s genera un numero casuale con dsrbuzone unforme [ 0,] Per un dao ndvduo G = g, g,..., g,..., g ], se l elemeno [ j n r. g j è selezonao per la

92 Capolo 3 Gl Algorm Genec muazone, l ndvduo rsulane è: ~ G = [ g, g ~,..., g,..., g j n ], dove g ~ ~ è dao da = ( ) j ~ ~ L U gj g j + g j n cu: ~ = e = + r ( ) L ( g j g j ) U ( g j g j) b r b se r < se r = se r > Elsmo Se la probablà che un ndvduo sa selezonao per la rproduzone è proporzonale al valore della sua funzone fness (se f è l valore d fness d una soluzone e F la somma de valor d fness d ua la popolazone, la probablà porebbe essere f/f), è probable che, n seguo a crossover, gl ndvdu mglor vengano rcombna, con la conseguene perda del cromosoma mglore. In alre parole quando s crea una nuova popolazone con crossover e muazone s ha una grande probablà d perdere l mglor cromosoma. Per evare cò, accelerando così emp d convergenza, s può clonare l ndvduo mglore d una generazone (fgura 3.3). Araverso ale ecnca, dea elsmo, manenendo un alo numero d popolazon, è possble clonare pù ndvdu nella successva generazone, menre per gl alr s procede n modo classco. 78 Fgura Elsmo: nerpreazone grafca Quesa ecnca conserva l mglor ndvduo della popolazone prma che qualsas operazone d selezone e rproduzone avvenga e lo copa nella popolazone dscendene. L elsmo può qund far crescere rapdamene le performance degl algorm genec perché eva la perda della mglore soluzone rovaa. Lo svanaggo è che s possono raggungere massm local se caraer d ale ndvduo dvenano domnan Convergenza Se l AG è correamene mplemenao, la popolazone evolverà n mole generazon n modo che la fness del mglor ndvduo e la meda n ogn generazone crescano verso l omo globale. La convergenza ndca la progressone verso la crescene unformà. L esecuzone dell algormo vene d solo nerroa alla convergenza della popolazone, ossa quando la varanza della popolazone è nulla o, equvalenemene, quando u valor

93 Capolo 3 Gl Algorm Genec d fness nella popolazone sono denc: un gene converge quando l 95% della popolazone condvde lo sesso valore e la popolazone converge quando u gen convergono. I crer d arres possono essere basa sul empo d calcolo: empo a dsposzone; numero d valuazon della funzone obevo; oppure basa sulle condzon d convergenza: nessun ncremeno d presazon nelle ulme erazon; la fness meda della popolazone concdene con fness mglore; bassa dversà nella popolazone (ndvdu pracamene u ugual). Essendo l AG un processo essenzalmene socasco, non è garana né la convergenza né l raggungmeno della soluzone oma: spesso nfa la popolazone s sablzza su om local che possono dfferre da quello assoluo; l AG è n grado d rovare soluzon buone n emp ragonevol. Le problemache che spesso occorre affronare sono dunque due: Convergenza Premaura: se un ndvduo ha fness molo maggore della meda della popolazone, ma molo mnore della massma fness possble, enderà a essere sempre selezonao e qund a generare una popolazone medocre. I gen provenen da poch ndvdu con un valore d fness comparablmene alo (ma non omale) possono rapdamene domnare la popolazone, causando la convergenza a un massmo locale. Una vola che la popolazone converge, l ablà dell AG d connuare la rcerca per una soluzone mglore è effevamene elmnaa. Il crossover d ndvdu quas denc può porare ben poch mgloramen, solo la muazone rmane per poer esplorare nuove zone, e queso semplcemene pora a una rcerca lena e casuale. La soluzone consse nel modfcare l modo con cu vengono scel gl ndvdu per la rproduzone e conrollare l numero d opporunà che ogn ndvduo rceve, n modo che non sano né roppo basse né roppo ale. Fne Lena: s manfesa dopo un cero numero d generazon, quando u gl ndvdu hanno un buon valore d fness e qund endono ad avere la sessa probablà d essere selezona: la popolazone sarà convergene, ma non avrà localzzao precsamene l massmo locale. Il fness medo sarà alo, ma c sarà poca dfferenza ra la meda e l mglor ndvduo: c sarà un nsuffcene gradene nella funzone fness, per spngere l AG verso l massmo. Le sesse ecnche usae per combaere la convergenza premaura combaono anche queso problema. 79

94 Capolo 3 Gl Algorm Genec 3.5. Vanagg e svanagg Gl AG vengono applca n un ampo spero d problemache: da problem d naura preamene conrollsca per gasdo, alforn e la guda d mssl erra-ara, a problem d naura omzzaora, come quello del commesso vaggaore e quell ben pù vas d schedulng, da problem d ngegnerzzazone come la progeazone d urbne e par aerodnamche d velvol, alla modellazone d merca fnanzar elemac. Gl AG hanno qund ques pun d forza: possblà d rsolvere problem compless senza conoscere l precso meodo d soluzone; capacà d auo-modfcazone n base al muameno del problema; capacà d smulare alcun fenomen daa una sruura e modalà operave somorfe con quelle dell evoluzone bologca; per applcare un AG non è necessaro mporre né pozzare che la funzone obevo soddsf prerequs pc delle ecnche d omzzazone convessa basae sul calcolo de graden. In alre parole, è possble applcare un AG a problem d cu s conosce ben poco sulla forma della funzone obevo, cosa che rende ques algorm esremamene versal; la scrura d un AG è parcolarmene semplce, perlomeno rspeo a mole alre ecnche d omzzazone socasca d paragonable effcaca. gl AG sono mplcamene parallel: a ogn generazone, s ndaga n parallelo su pun dvers. All nzo dell esecuzone, ogn soluzone nella popolazone è esremamene dversa dalle alre, e qund l algormo pare esplorando n parallelo svarae zone. In parcolare, l operaore d selezone è progeao n modo ale da drgere l esplorazone nell norno d quelle soluzon pù promeen. E opporuno usare gl AG: quando s deve rsolvere un problema d rcerca dell omo n un domno muldmensonale del quale non s hanno nformazon prelmnar; quando paramer sono d po eerogeneo (bnar, dscre, real); quando s vuole realzzare un algormo dervave-free n empo rapdo; quando s vuole rovare una soluzone omale senza parcolar resrzon sul empo d rcerca. Può essere pù effcene l rcorso ad alre ecnche d omzzazone ne seguen cas: quando lo spazo d rcerca è a poche dmenson (, ) n un reangolo connuo; quando sono necessare garanze d raggungmeno dell omo assoluo; quando è dsponble analcamene la forma della funzone obevo e la sua dervaa prma. 80

95 Capolo 3 Gl Algorm Genec 3.6. Bblografa [] E.P. Box George, N.R. Draper, Evoluonary operaon: sascal mehod for process mprovemen, John Wley & Sons, 969. [] H.J. Bremermann, Opmzaon hrough evoluon and recombnaon, Deparmen of Mahemacs, Unversy of Calforna Berkeley, Calforna, Sparan Books, Washngon D. C., 96. [3] L.J. Fogel, A.J. Owens, M.J. Walsh, Arfcal nellgence hrough smulaed evoluon, John Wley & Sons, New York, 966. [4] J.H. Holland, Adapaon n naural and arfcal sysem, Unversy of Mchgan Press, Ann Arbor, 975. [5] I. Rechenberg, Evoluonssraege: opmerung echnscher syseme nach prnzpen der bologschen evoluon, Frommann-Holzboog Verlag, Sugar, 973. [6] S.R. Sngresu, Engneerng opmzaon, heory and pracce, Wley Inerscence, 996. [7] Z. Mchalewcz, Genec algorhms, daa srucures, evoluon programs 3 rd edon, New York, Sprnger, pp. -, 996. [8] G. Wner, J. Peraux, M. Galan, P. Cuesa, Genec algorhms n engneerng and compuer scence, John Wley Sons, New York, 995. [9] D. E. Goldberg, Genec algorhms, Addson Wesley Longman, 997. [0] A. Berzz, C. Bovo, The use of genec algorhms for he localzaon and szng of passve flers, n Proc. 9 h Inernaonal Conference On Harmonc and Qualy of Power, Orlando (USA), 000. [] A.K. Jan, M. N. Muryand, P. Flynn, Daa cluserng: a revew, ACM Compung Surveys, pp , 999. [] E.H.L. Aars, A.E.Eben, K.M. vanhee, A general heory of genec algorhms, Tech. Rep. 89/08, Enndhoven Unversy of Thechnology, 989. [3] D. E. Goldberg, Genec algorhms n search, opmzaon and machne learnng, Addson-Wesley Longman Publshng Co., Inc., Boson, MA, 989. [4] K. J. Park, The applcaon of real-coded genec algorhm for smulaon opmzaon, Inernaonal Journal of Global Busness, (), pp. 4-36, 008. [5] D.B. Fogel, Evoluonary compuaon: oward a new phlosophy of machne nellgency, IEEE Press, NewYork, 995. [6] J.R Koza, Genec programmng: on he programmng of compuers by means of naural selecon, MIT Press, Cambrdge, MA, 99. [7] A.H. Wrgh, Genec algorhms for real parameer opmzaon, n G.J.E. Rawlns (Ed.), Foundaons of genec algorhms I, Morgan Kaufmann, San Maeo, pp. 05 8, 99. [8] G. Syswerda, Unform crossover n genec algorhms, n Proceedngs of he 3 rd Inernaonal Conference on Genec Algorhms. J.D. Sehaffer, Eds.,. CA Morgan Kaufmann Publshers, San Maeo, pp. -9, 989. [9] L.J. Eshelman, R.A. Carum, J.D. Schoffer, Bases n he crossover landscape, n Proceedngs of he 3 rd. Inernaonal Conference on Genec Algorhms. CA Morgan Kauf, pp. 0-9, 989. [0] W.M. Spears, K.A. De Long, On he vrues of paramerzed unform crossover, n Proceedngs of he 4 h Inernaonal Conference on Genec Algorlhm. CA Morgan Kaufmam Publshers, San Maeo, pp , 99. [] T. Hguch, S. Tsusu, M. Yamamura, Theorecal analyss of smplex crossover for RCGA, n M. Schoenauer e al., edor, Parallel problem solvng from naure, Sprnger,

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97 4. Descrzone dell Algormo Inroduzone Lo scopo d queso lavoro d es è analzzare possbl comporamen sraegc delle soceà d produzone d energa elerca nel momeno n cu presenano, al gesore del mercao elerco, le propre offere. Il lavoro prende spuno da [], [] e [3] n cu s propone un modello basao su SFE per sudare una borsa elerca, n presenza d vncol d rasmssone, per merca olgopolsc. L mpego de modell SFE pora a problem alamene non lnear con l rscho d deermnare soluzon local e non global del problema. Per ale movo, nel lavoro qu presenao, s adoa un approcco basao su un algormo co-evoluvo per deermnare pun d equlbro del mercao elerco. In parcolare, ques pun sono deermna araverso l mpego d un algormo geneco. In queso capolo vene descra la sruura dell algormo ulzzao per la smulazone. Parcolare enfas sarà posa sull nerazone ra le sraege adoae dalle soceà d produzone, rame una deaglaa anals sulle ecnche adoabl all nerno del mondo degl algorm genec, sarà rporaa una sneca descrzone degl operaor mplemena, defnendone paramer omal e analzzando vanagg e gl svanagg d cascuna. 4.. Descrzone del modello Il modello d seguo rporao rappresena un valdo srumeno per gesre e quanfcare rsch dervan dalla scela delle sraege d offera adoabl sul mercao elerco. L obevo che c s pone è, dunque, quello d comprendere le modalà con cu le soceà d generazone possono formulare le propre sraege, fnalzzae alla massmzzazone de propr prof, ndvduando possbl abus d poere d mercao e deermnare, se esse, l offera che por a un equlbro d Nash del mercao. Lo sudo s concenra sulla varable sraegca µ fh, la quale rappresena l mark-up dell offera del generaore h dell azenda f nella zona : l obevo è d deermnare l puno d equlbro, se esse, d quesa varable, affnché la soceà presa n consderazone possa massmzzare l propro profo. Queso perché l offera d ogn generaore h, d propreà dell azenda f, nella zona, può essere formulaa come: bd fh =µ fh MC fh dove MC fh è l coso margnale del generaore h, dell azenda f, nella zona. Tuo cò è possble poché s è pozzao che le curve d offera, presenae dalle soceà d generazone sraegche, sano offere semplc, ndcan coè una sngola coppa quanàprezzo. I valor assun dalla varable sraegca dervano da consderazon d po economco: quando una soceà s rova a compeere n un mercao perfeamene concorrenzale, per non perdere la propra quoa d mercao, dovrà offrre la propra energa a un prezzo par al coso margnale, e dunque µ fh = ; se nvece s manfesa la suazone compleamene opposa, 83

98 Capolo 4 Descrzone dell Algormo ovvero d monopolo, l prezzo d venda sarà lmao dal prce cap mposo dal Regolaore (nell poes d domanda perfeamene anelasca). Nel modello da cu è nzao queso lavoro s è supposo, per semplcà, che l mark-up adoao da un operaore d mercao sa lo sesso per u propr mpan apparenen alla medesma zona e, soprauo, ndpendene dalla ecnologa dell mpano d produzone e qund dal coso d produzone. Per deermnare la sraega oma d mercao, ale che possa rappresenare un equlbro d Nash, d una soceà d produzone, s ulzza un algormo geneco co-evoluvo: n queso modo è possble omzzare la sraega d un operaore, rappresenaa dalla varable µ fh, medane la massmzzazone del propro profo, pozzando che le sraege degl alr concorren rmangano fsse. Successvamene, s procede a omzzare la sraega d mercao d un alro soggeo, manenendo fssa la sraega dell operaore che è saa appena omzzaa. Il processo verrà po erao. In queso lavoro s suppone che solo due soceà d produzone sano sraegche (d seguo ndcae come S e S), menre ue le alre sono modellzzae come prce-aker: per quese ulme, non s procederà a omzzare la sraega d mercao, ma s assumerà un prezzo d venda par al coso margnale. Gl mpan possedu dalle soceà che rcevono l prezzo, e non lo deermnano, saranno dspacca solo se l prezzo rconoscuo dalla Borsa è superore al loro coso margnale. Queso derva da consderazon presenae successvamene, secondo cu le soceà che hanno una noevole nfluenza sul prezzo d mercao sono due, per effeo della poenza nsallaa ne propr mpan (e qund hanno un poere d mercao neamene superore alle soceà d generazone che rcevono l prezzo). Per mov compuazonal, l mercao del gorno prma è sao rappresenao medane re zone: Nord, Sud e Sardegna. Per omzzare l mark-up µ fh d ogn soceà sraegca per la zona Nord (µ fnord ) e per la zona Sud (µ fsud ) s è rcorso agl algorm genec. Il mark-up relavo alla Sardegna è fssao par a poché le soceà sraegche non hanno un sgnfcavo poere d mercao n quesa zona. Tale semplfcazone rova rsconro nel fao che l numero d zone n cu medamene s è dvso l connene ha occao nel 008 l suo mnmo sorco d,35, segnalando una condzone d crescene omogeneà nella sruura e ne comporamen d offera ra Nord e Sud del Paese. Tale ndcaore è n calo sensble anche a lvello complessvo, pur senza raggungere lvell del 006, con l Iala medamene dvsa n,44 zone. Un ulerore conferma d cò vene dal sensble aumeno della percenuale d ore n cu l connene non ha mosrao congeson nerne, salo al massmo sorco del 68%, menre l ssema nel suo complesso s è mosrao uno nel 7% delle ore [4]. Soo quese poes, le varabl del problema sono: µ, µ, µ, µ. S _ NORD S_ SUD S _ NORD S _ SUD L omzzazone della sraega d ogn soceà è effeuaa, qund, medane un algormo geneco: poché l omzzazone del profo d una soceà, rchede la conoscenza del markup delle alre compagne, ogn eso rsene della sraega adoaa dalle alre soceà concorren. Nasce qund l esgenza d deermnare un puno d parenza della procedura. In parcolare esso è deermnao ponendo µ= per ogn compagna sraegca (equvalene al caso d concorrenza perfea). A parre da queso rsulao, ogn soceà adoa una sraega a seconda delle prevson che farà rguardo alla concorrene. S supponga che, nzalmene, la soceà denomnaa S compea proponendo µ S =. La soceà concorrene, denomnaa S, ponendos come obevo la massmzzazone del propro 84

99 Capolo 4 Descrzone dell Algormo profo, reagsce a quesa azone proponendo un µ S n generale dverso da quello proposo da S: queso µ S rappresena qund la scela omale d S n rsposa all azone d S. Durane quesa fase, la sraega dell azenda rvale rmane fssaa al valore correne mglore, e solo una sraega vene omzzaa. Dopo d che sarà omzzaa la varable sraegca per S, ponendo quella d S al valore omo prma deermnao. In queso modo S modfcherà la sraega adoaa nzalmene modfcando l prezzo d venda, allo scopo d massmzzare l propro profo. All azone d S corrsponde una reazone d S, la quale propone un nuovo µ S. Queso cclo porebbe connuare all nfno, oppure porebbe ermnare quando s manfesa una convergenza della soluzone. In queso caso s dce che le due soceà hanno ragguno l equlbro: nessuna delle due soceà sarà n grado d rarre ulerore profo devando unlaeralmene da quesa soluzone. Cò rappresena un equlbro d Nash. L algormo evoluvo può essere qund schemazzao come segue: Sep - Condzone nzale (concorrenza perfea), erazone r = 0 : µ µ S_ NORD,0 S_ SUD,0 = = µ µ S _ NORD,0 S _ SUD,0 = = Sep - Cclo for r = o r = rmax Sep 3 - S fssa: µ S _ NORD, r = µ S _ NORD, r e µ S _ SUD, r = µ S _ SUD, r ; Sep 4 - Omzzazone, medane algormo geneco (cclo for Ngen = o Ngen= Ngen max ), dell offera d S, oenendo: µ S _ NORD, r e µ S_ SUD, r ; Sep 5 - S fssa: µ e µ ; S _ NORD, r S_ SUD, r Sep 6 - Omzzazone, medane algormo geneco (cclo for Ngen = o Ngen= Ngen max ), dell offera d S, oenendo: µ S _ NORD, r e µ S _ SUD, r ; Sep 7 - Go o Sep. Per deermnare la soluzone degl Sep 4 e 6 s è fao uso degl algorm genec: n un ecossema composo da un cero numero d ndvdu con caraersche dverse, la popolazone nzale evolverà e s adaerà all ambene secondo le noe legg d ncroco e d muazone (con una cera probablà). Ad ogn ndvduo genore vene assocaa una probablà d selezone, proporzonale al valore della sua funzone fness (n queso caso l profo): poché gl ndvdu con valore della funzone fness pù alo hanno maggore probablà d essere selezona, e le ecnche adoae permeono d ramandare alla generazone successva le caraersche preponderan, ogn ndvduo fglo che sarà generao possederà le caraersche degl ndvdu genor. Inolre, con la ecnca dell elsmo, n ogn generazone s preserva l mglor ndvduo, ovvero l µ che deermna l profo massmo, copandolo nella generazone successva. Dopo un cero numero d generazon s avrà una convergenza delle caraersche degl ndvdu nzal verso la caraersca domnane, ovvero quella con profo pù elevao. Ulzzando gl AG s asscura che queso puno d massmo sa globale, a dfferenza d alre ecnche che possono ncorrere n om local. 85

100 Capolo 4 Descrzone dell Algormo Nel modello da cu s è par per svluppare queso lavoro, l algormo geneco adoava una codfca delle varabl d po bnaro, n cu cascuna offera, faa da una soceà, era caraerzzaa da due valor d µ, uno per cascuna zona d mercao. Ognuna d quese varabl era codfcaa con 7 b, per cu ogn offera era caraerzzaa da un cromosoma d lunghezza par a 4 b, come rappresenao n fgura 4.: µ f _ NORD µ f _ SUD Fgura 4. - Sruura del cromosoma nella codfca bnara La popolazone nzale d ndvdu vene generaa n modo casuale: ovvamene, aumenando l numero degl ndvdu s asscura una maggore vareà delle caraersche, e qund una maggore probablà d rovare l omo n un mnor numero d generazon. Dopo svarae prove, s è verfcao che, una composzone d 00 elemen asscura un buon compromesso ra vareà delle caraersche e duraa della smulazone. Dopo aver defno la popolazone s procede alla selezone degl ndvdu genor: la probablà d selezone è proporzonale al valore della funzone fness. Essono dverse ecnche che consenono la selezone. Ne successv paragraf sono ndcae le caraersche, vanagg e gl svanagg d ogn ecnca esaa. Una vola selezona genor, s procede con l ncroco: s pozza che due ndvdu s ncrocno con una cera probablà P C (fssaa a 0.8) per generare due ndvdu fgl. Le ecnche d ncroco adoabl sono dverse, ma un anals condoa nzalmene per rcercare la ecnca mglore, n ermn d velocà d convergenza e d valore massmo oenuo, ha permesso d sceglere le ecnche pù adae allo sudo. Nel seguo sono rpora gl andamen del profo a seconda della ecnca mpegaa. Le medesme osservazon possono essere rpeue per quano rguarda le ecnche d muazone. La probablà assocaa, P m, è fssaa a In base alle probablà sopracae e all elsmo, dopo una generazone s avrà una popolazone d ndvdu pù o meno dversa dalla popolazone nzale. Nelle smulazon s è assuno Ngen = 00, n quano rappresena un buon compromesso ra convergenza e duraa della smulazone. Al ermne delle generazon s avrà dunque un valore d µ che sarà omo dal puno d vsa della massmzzazone del profo. Con queso valore s rsolve l problema d omzzazone del benessere socale, l cu eso deermnerà le unà e le relave poenze che verranno dspaccae e l prezzo d mercao, come pure l valore del profo dell azenda. L algormo geneco vene po rpeuo per la seconda soceà d produzone, con consderazon perfeamene analoghe, ad eccezone d un parcolare: per asscurare l rasfermeno dell ndvduo mglore, la nuova popolazone vene neramene generaa casualmene, escludendo due elemen, uno che rappresena l mglor ndvduo per S e l alro che rappresena l mglor ndvduo per S, oenu nell erazone precedene. L obevo d queso lavoro è d nrodurre alcune modfche al modello sopracao. Innanzuo, n luogo alla codfca bnara s è decso d esare la codfca reale. Le varabl sraegche sono qund rappresenae da un cromosoma caraerzzao da due valor real, uno per ogn zona d mercao, come n fgura

101 Capolo 4 Descrzone dell Algormo Fgura 4. - Sruura del cromosoma nella codfca reale Dao che l lavoro orgnale adoava ecnche d selezone, ncroco e muazone, relave alla codfca bnara, u ques operaor sono sa radaa alla nuova codfca. Inolre, l modello bnaro adoava un mark-up ndpendene dalla ecnologa dell mpano d produzone: nel modello qu presenao, nvece, l mark-up rsula dfferenzao per re dverse ecnologe d produzone. In parcolare grupp denfca sono rassun nella abella 4.. Denomnazone po Denomnazone µ Tecnologa d produzone adoaa Coso [ /MWh] Tpo µ Carbone 50 C < 65 Tpo µ Gas 65 C < 80 Tpo 3 µ 3 Alro C 80 Tabella 4. - Suddvsone per ecnologa ulzzaa µ f _ NORD µ f _ SUD Cos margnal nferor a 50 /MWh non sono oggeo d quesa classfcazone poché s suppone che relav mpan (n quesa smulazone mpan droelerc e mporazon dall esero) vengano offer con un µ=. Quesa produzone avvene con cos mnor rspeo a quell sosenu per la produzone ermoelerca: alla produzone droelerca nazonale è assocao un coso margnale par a 5 /MWh, menre a generaor che rappresenano l mporazone dalle zone esere è assocao un coso margnale par a 0 /MWh. Cò non sgnfca che l coso d produzone sa effevamene rappresenao da ques valor, uava consene d avere la cerezza che quese offere sano acceae dal Gesore del Mercao. Come conseguenza, s avrà che l ndvduo genore non sarà pù cosuo da una srnga reale d due numer, ma da una srnga reale d se numer, come mosrao dalla fgura 4.3. Fgura Sruura del cromosoma nella codfca reale con µ dfferenzao Le ecnche d ncroco e d muazone dovranno essere modfcae perché ora dovranno rguardare sngol gen e non le sngole zone (s vedano le fgure 4.4 e 4.5). Fgura Incroco 87

102 Capolo 4 Descrzone dell Algormo Fgura Muazone E mporane noare che, se n una zona non è presene una deermnaa pologa d mpano d produzone, occorre elmnare l gene corrspondene, oppure porlo par a zero. All nerno dell algormo sarà ndspensable modfcare le relave varabl, ndczzandole n base al po corrspondene. Inolre, sarà necessaro modfcare l equazone che governa l calcolo dell equlbro del mercao, andando a consderare le somme parzal per ecnologa corrspondene. Il modello è sao po mplemenao n General Algebrc Modellng Sysem (GAMS) [5], ulzzando l solver d dafaul. 4.. Modello del mercao Prma della descrzone maemaca del modello è necessaro nrodurre la seguene noazone: Indc: - F : nseme delle soceà d generazone; - f F : soceà d generazone; - H : nseme degl mpan delle soceà d generazone; - h H : mpano d generazone della soceà d generazone; - K : nseme de collegamen ra le zone della RTN; - I : nseme delle zone della ree rlevane. Varabl: - q fh : poenza generaa dall mpano h della soceà f, connesso al nodo [MW]; - y : poenza consegnaa dalla zona d saldo alla zona dall operaore d ssema [MW]; - µ fh : mark-up dell mpano h della soceà f, connesso al nodo ; - p : prezzo dell energa elerca nella zona [ /MWh]; - π f : profo della soceà d generazone f [ ]. Paramer: - D : domanda d poenza nella zona [MW]; - G fh : capacà d generazone massma dell mpano h della soceà f nella zona [MW]; - MC fh : coso margnale dell mpano h della soceà f nella zona [ /MWh]; - PTDF k : faore d parecpazone della poenza (rappresena la quoa pare d poenza ransane sul collegameno nerzonale k, per un prelevo unaro nel nodo ); 88

103 Capolo 4 Descrzone dell Algormo - T k : capacà d rasmssone massma del collegameno nerzonale k [MW]. A queso puno è possble nrodurre l modello del mercao elerco. Assumendo una domanda anelasca e sapendo che l Gesore del Mercao Elerco (GME) selezona le offere d venda pù economche, nel rspeo de vncol d blanco (ra domanda e offera) e d ranso, garanendo la massmzzazone del benessere socale, l problema può essere anche formulao come mnmzzazone della spesa per acqusare energa al fne d soddsfare l carco elerco, ovvero: [ ( MC fh fh) q fh] Mn µ f h L poes d renere la domanda perfeamene anelasca rova fondameno dopo aver analzzao le offere d acquso presenae sul mercao del gorno prma nel 008 [4] nonosane l ncremeno delle offere d acquso con ndcazone d prezzo, gune a 0,8 TWh (d cu 8,8 TWh afferen alla macro zona Esero), che rappresenano l 5,9% del oale (+3,7 p.p.), a lvello macrozonale l elascà assume valor rlevan nella sola macro zona Esero, dove sale all 8,5% (+7,8 p.p.), confermandos pù che modesa sul connene (0,5%) e nelle sole (,5-,9%). Il funzonameno del ssema elerco è soggeo a vncol ecnc, molo srngen. Anzuo rchede un blancameno sananeo e connuo ra la quanà d energa mmessa n cascun nodo della ree e quella prelevaa nello sesso nodo, enuo cono degl scamb ne d energa con alr nod e delle perde d rasporo (che s suppongono rascurabl). I vncol che ne conseguono sono vncol d blanco zonale: y = DI q f h fh e l vncolo d blanco globale: y = 0 Inolre, è necessaro che fluss d energa, su ogn sngolo collegameno nerzonale, non superno lm massm d ranso ammssbl sul collegameno sesso. Ne consegue l vncolo su lm d rasmssone: PTDF k y T k k Infne, dae le capacà lmae degl mpan d produzone, s nroducono lm d generazone: q q fh fh G 0 fh f,h, Queso consene d deermnare l eso del mercao elerco, ovvero l prezzo dell energa Con mercao elerco s nende l mercao del gorno prma. 89

104 Capolo 4 Descrzone dell Algormo elerca nella generca zona, p, n funzone delle offere presenae e qund de valor d µ fh adoa dalle soceà d generazone. Per analzzare l comporameno sraegco delle soceà d generazone occorre consderare l profo che ognuna oene dopo la defnzone del prezzo d mercao. La massmzzazone del profo è oenuo massmzzando la quanà: π f = [ ( p MC fh) q fh] h In quesa formulazone non compare esplcamene l mark-up, uava l suo effeo emerge da q fh e p, che sono sa deermna rsolvendo l problema d massmzzazone del benessere socale, la cu soluzone dpende propro da µ fh. In modo pù sneco, s può formulare l problema d massmzzazone del profo propro d una soceà d generazone nel seguene modo: Max π f soggeo a: max µ f µ f 4.3. Tecnca per mglorare la convergenza Rporando n un grafco la funzone fness del mglor elemeno d ogn popolazone n funzone del numero d generazon (Ngen), s può osservare l andameno rappresenao n fgura Profo Fgura Andameno del profo con sagnazone Il percolo, come anche descro n precedenza, è che l algormo possa rovare un omo locale, l che ha come conseguenza una convergenza premaura ad un omo che non è globale. La ecnca consse nell osservare l andameno della mglore funzone fness per ogn generazone e sosure, dopo un cero numero d generazon n cu quesa non mglora, un cero numero d ndvdu genera casualmene (fgura 4.7). 90

105 Capolo 4 Descrzone dell Algormo Fgura Rappresenazone del procedmeno d sosuzone Dopo aver eseguo la sosuzone dovrà essere reseguo l calcolo della funzone fness per ques nuov ndvdu. In rfermeno al caso rappresenao n precedenza, l nuovo andameno che s oene, mplemenando quesa ecnca è rappresenao n fgura Profo Fgura Andameno del profo senza sagnazone Per mplemenare n GAMS ale procedura s seguono seguen pass: calcolo della funzone fness per la popolazone nzale e ndvduazone del mglor ndvduo; defnzone della varable che cona l numero d generazon n cu l profo non mglora e defnzonee della varable rappresenava del numero d ndvdu da sosure; ordnameno della popolazone per valore d fness decrescene; generazone della nuova popolazone; sosuzone degl ndvdu con valore d fness peggore con alrean ndvdu della popolazone generaa casualmene; calcolo del profo assocao a ques nuov elemen; applcazone delle ecnche d selezone, ncroco e muazone a quesa nuova popolazone. 9

106 Capolo 4 Descrzone dell Algormo 4.4. Tpologe d selezone de genor Con l ssema della roulee, se gl ndvdu hanno la sessa probablà d essere selezona, s asscura una cera vareà de fgl esra. Vceversa, se un ndvduo presena una probablà d essere selezonao molo maggore rspeo agl alr, s deermna quas scuramene una generazone d fgl molo smle al genore selezonao. Enrambe quese suazon possono compromeere la capacà dell algormo d ndvduare un omo globale. Infa, nel prmo caso s può rallenare l raggungmeno della convergenza, menre nel secondo s può perdere l nformazone assocaa agl ndvdu caraerzza da una bassa probablà, che magar nel corso delle generazon porebbero conrbure a generare la soluzone oma. Per rmedare a cò s può adoare un alra ecnca d selezone, chamaa fness rankng. Con queso meodo, gl ndvdu vengono ordna n un veore con valore d fness decrescene e a cascuno vene assocaa una nuova funzone chamaa fness rankng, FR, (che può essere relnea, lneare, quadraca, ). In base al valore d quesa funzone, ad ogn ndvduo vene assocaa una cera probablà d selezone, defna come: p = FR FR S suppone d avere 5 ndvdu caraerzza da valor d fness molo sml (caso ). Applcando la ecnca della roulee s oengono le seguen probablà d selezone. Fness Probablà Indvduo % Indvduo % Indvduo % Indvduo % Indvduo % 0% 8% % % 9% Toale % Tabella 4. - Valore delle probablà per ndvdu con fness sml con selezone d po Roulee Wheel Fgura Valore delle probablà assegnae a cascun ndvduo con fness sml con selezone d po Roulee Wheel Indvduo Indvduo Indvduo 3 Indvduo 4 Indvduo 5 Se un ndvduo è caraerzzao da un valore d fness molo maggore d ue gl alr (caso ) s deermnano problem analzza n precedenza, come s può vedere da valor rpora nella abella

107 Capolo 4 Descrzone dell Algormo Fness Probablà Indvduo % Indvduo % Indvduo % Indvduo % Indvduo % Toale % Tabella Valore delle probablà per ndvdu con fness molo dverse con selezone d po Roulee Wheel Fgura Valore delle probablà assegnae a cascun ndvduo con fness molo dverse con selezone d po Roulee Wheel 5% 5% 5% 5% 80% Indvduo Indvduo Indvduo 3 Indvduo 4 Indvduo 5 Applcando la ecnca del fness rankng agl ndvdu caraerzza da valor d fness come nel caso, ess vengono rordna per valor d fness decrescen, a parà d α = 0 e β = 00. Se la funzone è d po lneare (caso 3), ndcando con pos la poszone del generco elemeno a seguo dell ordnameno, FR assume la seguene espressone, cu valor sono rpora n abella 4.4, dove è anche ndcaa la probablà d selezone per cascun ndvduo: FR = α + β pos FR Probablà Pos. (nd.3) % Pos. (nd.) % Pos.3 (nd.4) % Pos.4 (nd.) % Pos.5 (nd.5) % 0.78%.57% 5.57%.56% 39.5% Toale % Tabella Valore delle probablà per ndvdu con fness qualsas con selezone d po fness rankng relneo Poszone Poszone Poszone 3 Poszone 4 Poszone 5 Fgura 4. - Valore delle probablà assegnae a cascun ndvduo con fness qualsas con selezone d po fness rankng relneo Applcando una funzone d po lneare e nverendo l ordne degl elemen (caso 4): FR= α + β pos s oene: 93

108 Capolo 4 Descrzone dell Algormo FR Probablà Pos. (nd.5) % Pos. (nd.) % Pos.3 (nd.4) % Pos.4 (nd.) % Pos.5 (nd.3) % Toale % Tabella Valore delle probablà per ndvdu con fness qualsas con selezone d po fness rankng lneare Fgura 4. - Valore delle probablà assegnae a cascun ndvduo con fness qualsas con selezone d po fness rankng lneare Applcando una funzone d po quadraca, nverendo l ordne degl elemen (caso 5): FR = α + β pos s oene: FR Probablà Pos. (nd.5) % Pos. (nd.) % Pos.3 (nd.4) % Pos.4 (nd.) % Pos.5 (nd.3) % 45.3%.98% 7.39% 6.40% 9.0% Toale % Tabella Valore delle probablà per ndvdu con fness qualsas con selezone d po fness rankng quadraco Fgura Valore delle probablà assegnae a cascun ndvduo con fness qualsas con selezone d po fness rankng quadraco Poszone Poszone Poszone 3 Poszone 4 Poszone 5 Ovvamene, varando due paramer α e β è possble aumenare o dmnure la pressone d selezone: per α >> β le probablà endono, n queso caso, al 0%, menre per α << β aumena la probablà dell elemeno con valore d fness maggore d essere selezonao. In ques ulmo caso però le probablà non superano l valore d 43.80% nel caso 3, 33.33% nel caso 4 e 45.45% nel caso 5. Inolre, la probablà d selezone de prm re ndvdu vale 75% nel caso 3, 78% nel caso 4 e 9% nel caso 5: la probablà sono abbasanza sml, ma camba la loro dsrbuzone, perché gl ndvdu pres sngolarmene hanno probablà molo dverse. Per mplemenare n GAMS al procedure s seguono seguen pass: 94

109 Capolo 4 Descrzone dell Algormo ordnameno crescene degl elemen della popolazone n funzone del profo; defnzone de paramer α e β; calcolo del fness rankng per ogn ndvduo; calcolo della probablà d selezone per ogn ndvduo; s connua come nel caso d roulee wheel selecon. La ecnca d selezone ulzzaa nell algormo svluppao n queso sudo è rcavaa dalle anals effeuae a parà d alr paramer. In parcolare: domanda = 0%; r =, Ngen = 00, Npop = 00; pologa d ncroco =, con probablà P C = 0.8; pologa d muazone =, con probablà P m = 0.03; Rporando n un grafco l andameno del profo al ermne della prma erazone, s noa che effevamene la ecnca d selezone pù effcace rsula la fness rankng. Besprof [Mglaa ] Lnear F.R. Quadrac F.R. Roulee W Ngen Fgura Confrono ra le dverse ecnche d selezone de genor Un anals pù deaglaa, rporaa n fgura 4.5, permee d concludere che la ecnca d po rankng lneare raggunge una soluzone alla 4 ma erazone con un andameno molo pù graduale rspeo alle alre, la ecnca d po rankng quadraco raggunge la sessa soluzone n un numero d erazon mnore (3), ma meno gradualmene. Infne la ecnca d po roulee raggunge comunque la medesma soluzone, n un numero d erazon nermedo (7), ma molo meno gradualmene rspeo al rankng lneare. Per ques mov s è scelo d adoare come ecnca d selezone prncpale la fness rankng lneare. 95

110 Capolo 4 Descrzone dell Algormo Besprof [Mglaa ] Lnear F.R. Quadrac F.R. Roulee W Ngen Fgura Ingrandmeno delle prme generazon 4.5. Tpologe d ncroco (crossover) Per meglo analzzare gl effe dell applcazone degl algorm genec a queso po d sudo, s sono prese n consderazone vare pologe d crossover. Se l operaore d crossover produce un fglo l cu valore supera lm consen, a queso porà essere assegnao un valore casuale compreso ra suo lm, oppure, come ne cas suda, un valore par all upper buond se eccede l valore massmo, oppure al lower bound se eccede l valore mnmo. Dopo aver mplemenao le pù noe ecnche d crossover, s è nrodoa nel codce la possblà d sceglere quale ecnca ulzzare. Le ecnche svluppae sono le seguen:. Average Crossover: s è poso w = 0. 3 [6]. a G ( G + G ) + [( µ + ) ( w ) + ( G + G ) w ] + max µ mn = G = a a. BLX-α Crossover: l valore d alpha, n [7] è sao scelo par a 0.5, rcavando però che l valore d che preserva la varablà de genor è S è decso d porre alpha=0.5. [ ] + G I alpha, G + I alpha G = max{ G G } G + = mn max, 96

111 Capolo 4 Descrzone dell Algormo 3. Laplace Crossover: come nella ecnca orgnale, s è poso a = 0 e b = 0.5 [8]. f a b ln = a+ b ln ( λ) ( λ ) γ 0.5 γ > 0.5 G G + + = g = g j j + f g j + f g j g g j j 4. Heursc Crossover: ( ) + G G + G G = max{ G G } + G = lambda, 5. Arhmec crossover: adoando la ecnca orgnale s è poso w a = w a = 0. 3 [6] (oppure 0.33 [9]). Ma è anche possble sceglere d generare casualmene le due varabl [0]. + ( w ) G G = w G + ( w ) G + G = wa G + a a a 6. Bound Crossover: adoando la ecnca orgnale s è poso w = G + ( wb) + Gmax wb G = µ mn ( wb) + Gmn wb + = µ max I meod sopraca vengono confrona a parà d alr paramer, n parcolare: domanda = 0%; r =, Ngen = 00; eregual = 5, senewnd = 50, Npop = 00; pologa d selezone = ; probablà d ncroco P C = ; probablà d muazone P M = 0. Rporando n un grafco l andameno del profo al ermne della prma erazone, come s vede n fgura 4.6, è possble fare qualche consderazone. b Besprof [Mglaa ] Average Cr. -BLX-a Cr Laplace Cr Heursc Cr. 5-Arhmec Cr. 6-Bound Cr. Ngen Fgura Confrono ra le dverse ecnche d ncroco 97

112 Capolo 4 Descrzone dell Algormo A parà d ecnca d selezone de genor e non applcando la muazone, meod d 000 ncroco analzza hanno un effeo abbasanza dverso sul profo. S osserva che l meodo d ncroco d po converge 950 ad una soluzone d valore molo nferore alle alre ecnche, così come succede per l po 5, che mosra la sessa velocà d 900 convergenza, ma un valore fnale leggermene superore. Le ecnche ndcae -Average Cr. con, 4 e 6 convergono alla sessa 850 -BLX-a Cr. soluzone n un numero d erazon molo mnore alle preceden, rspevamene n 6, 3-Laplace Cr. 800 e 8 erazon. Infne la ecnca ndcaa 4-Heursc Cr. con 3 converge ad una soluzone comune Arhmec Cr. alle preceden, qund s può consderare come soluzone omale, e soprauo, n 6-Bound Cr. un numero d erazon nermedo alle preceden, esplora un elevao numero d possbl valor del profo: n queso modo è possble escludere una maggor pare d 650 valor, senza rschare d ncorrere n suazon d omo locale. Dall anals d ques andamen s è decso 600 d consderare le ecnche d po 3, e 6. Besprof [Mglaa ] Ngen Fgura Ingrandmeno delle prme generazon 4.6. Tpologe d muazone Anche per la muazone sono sae mplemenae dverse ecnche, d seguo descre:. Power muaon L G ( ) s G G < r G ~ L ( G G ) = con = G + ) U L s G G r ( G ) U G. Unform muaon L L ( G ) U G G ~ G =λ + 3. Non-unform muaon: s è poso p = 3. (, y) = y k ( T) p a 98

113 ~ G G = G + (, G ) U G L (, G G ) Capolo 4 Descrzone dell Algormo seε = 0 seε = 4. Wavele muaon: s è poso g = e eps = 5. ~ G G = G + dela + dela wm wm U ( G G ) L ( G G ) se dela se dela wm wm > 0 < 0 dela wm = flu a ϕ ψ = a a a wm e 5 flu cos awm e a wm = e eps τ ( g) ln( g) ln + T I meod sopraca vengono confrona a parà d alr paramer, n parcolare: domanda = 0%; r =, Ngen = 00; eregual= 5, senewnd = 50; Npop = 00; pologa d selezone = ; probablà d ncroco P C = 0; probablà d muazone P M =. Rporando n un grafco l andameno del profo al ermne della prma erazone, come s vede n fgura 4.8, è possble fare qualche consderazone. Come per le ecnche d ncroco, anche le ecnche d muazone hanno un effeo dverso sul profo. Analzzando l valore a cu convergono le dverse soluzon, s può affermare che le ecnche d muazone e 3 sono le mglor: l valore ragguno è l medesmo, ma la ecnca esplora una maggore quanà d valor prma d convergere, per cu s esclude l evenuale possblà d sagnazone su om local. Parcolare aenzone è rservaa alla ecnca 4: a frone d una velocà d convergenza molo bassa, l andameno è, però, sempre crescene. Per analzzarla meglo è saa effeuaa una modfca su paramer che caraerzzano quesa ecnca: l valore della soluzone è nversamene proporzonale a g e dreamene proporzonale a eps. 99

114 Capolo 4 Descrzone dell Algormo Besprof [Mglaa ] Power Mu. -Unform Mu 3-Non Unform Mu. 4-Wavele Mu Ngen Fgura Confrono ra le dverse ecnche d muazone Ponendo g = 0 ed eps = 5000, s deermna l andameno rappresenao n fgura 4.9. Besprof [Mglaa ] g=0000,eps=0.5 g=0,eps=5000 Ngen Fgura Wavele Muaon: nfluenza de paramer g ed eps Rsula qund che le ecnche mglor, consderae n quese smulazon, sono l po, e 4 con nuov paramer. Pur rsulando preferbl sngolarmene, le ecnche ulzzae nelle smulazon possono essere dverse da quelle sopra ndcae, perché nsere n un coneso come quello degl AG, le cu presazon sono dverse se s consderano le ecnche a lvello globale. 00

115 Capolo 4 Descrzone dell Algormo 4.7. Bblografa [] A.M.A.K. Abeygunawardana, C. Bovo, A. Berzz, Applcazone al mercao elerco d modell SFE medane GA, pp. -6, n Convegno Nazonale AEIT, 9 seembre 009, Caana, Ialy. [] A.M.A.K. Abeygunawardana,C. Bovo, A. Berzz, Analyss of Impacs of Carbon Prces on he Ialan Elecrcy Marke usng a Supply Funcon Equlbrum Model, pp. - 8, n The 9h WSEAS Inernaonal Conference on POWER 09, 7-9 oobre 009, Genova, Ialy. [3] A.M.A.K. Abeygunawardana,C. Bovo, A. Berzz, Marke Power Analyss n he Ialan Elecrcy Marke usng a Supply Funcon Equlbrum Model, pp. - 5, n UPEC09, Glasgow, Scoland, 009. [4] GME, Relazone annuale, 008, dsponble n: hp:// ale008.pdf [5] GAMS developmen Corporaon (GDC), General Algebrac Modelng Sysem, Washngon DC, 008, dsponble n: [6] N. Amjady, H. Nasr-Rad, Nonconvex economc dspach wh AC consrans by a new real coded genec algorhm, Publshed n IET Generaon, Transmsson & Dsrbuon Receved on 8h Aprl 008. [7] M. Takahash, H. Ka, A crossover operaor usng ndependen componen analyss for real-coded genec algorhms, Proceedng of he 00 IEEE Congress on Evoluonary Compuaon Seoul, May 7-30, 00. [8] S. Kumar, M. Thakur, B. Raman, N. Sukavan, Sereo camera calbraon usng RCGA, Proceedngs of IEEE TENCON- 008, Hyderabad, INDIA, pp. -5, Nov 8-, 008. [9] N. Amjady H. Nasr-Rad, Economc dspach usng an effcen real-coded genec algorhm, n Generaon, Transmsson & Dsrbuon, IET, vol. 3, ssue 3 pp , 009. [0] N. Kumarappan, M. R. Mohan, Lambda based mnmum emsson dspach usng hybrd genec algorhm for uly sysem, n Transmsson and Dsrbuon Conference and Exposon, IEEE PES, vol., pp ,

116 0

117 5. I Da d Ingresso Inroduzone L algormo descro nel capolo precedene è sao applcao allo scenaro elerco alano relavo all anno 008. In parcolare, l modello d mercao s rfersce ad una sngola ora del mercao del gorno prma, n corrspondenza d dvers valor del carco. Per rappresenare n modo correo la suazone alana, come ngresso alle smulazon è necessaro defnre una sere d paramer: la sruura zonale correne n cu è saa suddvsa la RTN; l elenco delle cenral elerche dreamene collegae alla Ree d Trasmssone Nazonale 0/380 kv, con ndcazone della poenza nsallaa, del coso d produzone e della zona d apparenenza; la domanda d energa elerca per ogn zona, rfera a lvell d ensone ndca nel puno precedene. 5.. La sruura zonale La suddvsone n zone geografche s ha quando l equlbro sananeo ra domanda e offera, deermna rans su collegamen zonal che eccedono valor consen: quando queso accade s parla d congeson d ree. La presenza d vncol alla rasmssone dell energa elerca sulla ree, deermna la possble separazone del mercao, n cu produor compeono, n zone d dmensone nferore (merca zonal). In presenza d congeson, e dunque d separazone zonale, la dfferenza ra l valore monearo dell energa elerca che ransa ra le medesme zone, per ch compra e per ch vende, è msuraa dal dfferenzale d prezzo ra due merca zonal. In assenza d congeson, l equlbro del mercao s sposerebbe, consenendo la realzzazone d ue le ransazon fno al puno n cu l prezzo, che l consumaore è dsposo a pagare, uguagla l prezzo che l produore chede per una deermnaa quanà. Conseguenemene, l prezzo d prelevo (pagao dalla domanda) e l prezzo d mmssone (rcevuo dall offera) sarebbero concden n u pun della ree. Il dfferenzale d prezzo ra due zone sulla ree d rasmssone, rappresena anche una msura del benefco assocao ad un ncremeno della capacà d rasporo ra zone medesme. La procedura d funzonameno del mercao elerco alano (come pure quello mplemenao nel modello), prevede che le offere d acquso e d venda d energa sano acceae massmzzando l benessere socale, enendo cono de vncol d rasmssone, per mezzo d una rappresenazone zonale della ree rlevane. Nel seguo s specfca l modo n cu le zone geografche e vrual, ndvduae da Terna, sono descre nell ambo della procedura d acceazone delle offere d venda e acquso dell energa. Una zona della ree rlevane è una porzone d RTN per la quale essono, a fn della scurezza del ssema elerco, lm fsc d scambo dell energa con alre zone confnan. 03

118 Capolo 5 I Da d Ingresso Tal lm sono deermna rcorrendo a un modello d calcolo basao sul blanco ra generazone e consum []. Il processo d ndvduazone delle zone della ree rlevane, ene cono del pano d svluppo rennale della RTN, ed è effeuao sulla base de seguen crer: la capacà d rasporo d energa elerca ra zone congue deve rsulare lmaa nelle suazon osservae d funzonameno pù frequen, nel rspeo de crer d scurezza prevs per l eserczo della RTN; l auazone de programm d mmssone e prelevo d energa elerca non deve, n generale, provocare congeson sgnfcave al varare delle mmsson e de prelev d energa elerca all nerno d cascuna zona geografca, con la corrspondene ree negra e sulla base degl sess crer d scurezza d cu al puno precedene; la dslocazone poenzale delle mmsson e de prelev d energa elerca all nerno d cascuna zona non devono, n generale, avere sgnfcava nfluenza sulla capacà d rasporo ra le zone. Le zone della ree rlevane possono corrspondere ad aree geografche fsche, essere delle zone vrual (ovvero senza un dreo corrspondene fsco), oppure essere de pol d produzone lmaa (ques ulm cosuscono anch ess delle zone vrual la cu produzone rsula affea da vncol per la gesone n scurezza del ssema elerco). La ree è arcolaa n 6 zone geografche e 6 zone vrual esere, n agguna sono presen le zone vrual, ovvero zone con elevaa capacà d produzone, che se fosse mmessa neramene creerebbe congeson. Con la delbera ARG/el n.6/08 [], l Auorà ha parzalmene approvao la proposa d Terna d suddvsone della ree rlevane n zone per l perodo 009-0, così come prevso dall ar. 5 della delbera n. /06. La nuova suddvsone della ree rlevane è enraa n vgore dal gennao 009 e s dsngue da quella n vgore fno a uo l 008 essenzalmene per l elmnazone della zona Calabra. La delbera nolre ha prescro a Terna l nvo all Auorà, per l approvazone, enro l 30 gugno 009, d una proposa d aggornameno della suddvsone della ree rlevane n zone per l perodo 00-0 relava alla sola porzone d ree rlevane compresa nell auale zona Nord, ma cò non è sao approvao. Sulle sezon crche è saa posa l aenzone per la suddvsone della ree rlevane n zone, che, sulla base de crer ndvdua da Terna, sono rsulae le seguen: zona Franca (vruale); zona Svzzera (vruale); zona Corsca (vruale); zona Corsca AC (vruale); zona Ausra (vruale); zona Slovena (vruale); zona Greca (vruale): collegaa con l Iala rame l cavo a 400 kv n correne connua. zona Monfalcone (vruale con polo d produzone lmaa); zona Nord cosua dalle regon Valle D Aosa, Pemone, Lgura, Lombarda, Trenno, Veneo, Frul Veneza Gula, Emla Romagna; zona Cenro Nord cosua dalle regon Toscana, Umbra e Marche; 04

119 Capolo 5 I Da d Ingresso zona Cenro Sud cosua dalle regon Lazo, Abruzzo e Campana, esclusa la sazone d Gss; zona Sud cosua dalle regon Molse, Pugla, Baslcaa e Calabra, nclusa la sazone d Gss; zona Fogga (vruale con polo d produzone lmaa); zona Rossano (vruale con polo d produzone lmaa); zona Brnds (vruale con polo d produzone lmaa); zona Scla; zona Prolo (vruale con polo d produzone lmaa); zona Sardegna. I pol d produzone lmaa sono rappresena da seguen mpan d produzone: la zona d Monfalcone corrsponde ad un polo a produzone lmaa delle cenral d Monfalcone e Torvscosa. Nel polo non v è carco, non s hanno qund sovraccarch sulle lnee n ngresso; la zona d Fogga corrsponde a un polo a produzone lmaa delle cenral d Candela, Termol e Gss. Nel polo non v è carco, non s hanno qund sovraccarch sulle lnee n ngresso; la zona d Brnds corrsponde a un polo a produzone lmaa delle cenral d Brnds Cerano, Brnds Nord, Brnds Enpower, IseTarano e Modugno quando enrerà n servzo. Il lme d scambo Brnds-Sud, ne normal asse d produzone n scurezza N-, è par a 500 MW; la zona Rossano corrsponde a un polo a produzone lmaa delle cenral d Rossano, Alomone, Scandale e Smer Crch quando enrerà n funzone; la zona d Prolo corrsponde a un polo a produzone lmaa delle cenral d Prolo. Aualmene la ree d rasmssone nazonale è suddvsa qund n 6 zone e prevede 5 pol d produzone lmaa. La sruura zonale ulzzaa dal modello è la pù recene defna da TERNA [3]: le recen modfche hanno condoo alla suddvsone rappresenaa n fgura 5.. Fgura 5. - Conformazone delle zone e de pol lma della ree rlevane Per quano rguarda lm d ranso, s può anche far rfermeno a [4] e defnre la sruura rappresenaa n fgura

120 Capolo 5 I Da d Ingresso Fgura 5. - Zone ree rlevane e lm d scambo, caso nvernale (durno=hp, nourno=hv), ra parenes valor senza dsposv d ele dsacco 5.. Gl mpan d produzone A frone del modeso aumeno degl acqus, rspeo all anno precedene, l offera d energa nel ssema ha regsrao un ncremeno pù marcao, raggungendo 495 TWh (+.9%). L aumeno è sao sosenuo dall offera nazonale, che ha ragguno 443 TWh (+4.%) soo la spna dell aumeno della capacà nsallaa e dell elevaa draulcà regsraa durane l anno. In parcolare l ncremeno è sao fore sul connene (+4.% nella macrozona Nord, +5.4% nella macrozona Sud) e s è concenrao soprauo nel prmo semesre, menre sulle sole l dao è rmaso sosanzalmene sable e n parcolare, n Scla ha fao regsrare valor mnm assolu a parre dal mese d aprle, conrbuendo con cò a deermnare gl eleva prezz regsra nel corso dell anno 008. Per conro, l offera esera ha regsrao una fore conrazone scendendo soo 53 TWh (-6%), l valore pù basso degl ulm quaro ann, a causa d una sensble rduzone del dfferenzale d prezzo con l esero [4]. La fgura 5.3 [5] rpora le quoe d generazone de prncpal operaor nel 008, confronae con quelle del 007. Rspeo a quano avvenuo negl ann preceden, s arresa la conrazone della quoa d mercao del gruppo Enel (3.8%), che rmane sosanzalmene sable rspeo al valore regsrao nel 007 (par al 3.7%). 06

121 Capolo 5 I Da d Ingresso I quaro prncpal concorren, Edson, En, Edpower ed E.On, rporano nvece una rduzone delle propre quoe d mercao, a vanaggo d alr operaor (con cu s nendono gl mpan d propreà d Green Nework, Hera, Energec Source e Axpo group) d mede dmenson (per esempo EGL) o de produor d dmensone nferore. Fgura Conrbuo de prncpal operaor alla produzone nazonale lorda La fgura 5.4 [5] rpora le quoe percenual dell energa desnaa al consumo prodoa da maggor operaor nazonal. Il calcolo delle quoe è sao effeuao al neo dell energa CIP6 cedua dal Gesore de servz elerc (GSE) al mercao, nonché dell energa desnaa a pompagg e alle esporazon. Rspeo all anno precedene, l gruppo Enel manene sosanzalmene sable la propra poszone, menre grupp En ed E.On regsrano enramb una conrazone (superore all %) della propra quoa, a favore d alr operaor ra cu, n parcolare, la soceà EGL, la cu quoa d mercao rsula essere par nel 008 a crca l.8%. Nel complesso, l grado d concenrazone del mercao della generazone desnaa al consumo rsula essers rdoo rspeo al 007, n lnea con quano regsrao negl ulm ann. Fgura Conrbuo de prncpal operaor alla produzone d energa elerca desnaa al consumo, 008 La abella 5. rpora l conrbuo percenuale de prncpal grupp alla generazone ermoelerca nazonale, con rfermeno a prncpal combusbl convenzonal [5]. Enel s 07

122 Capolo 5 I Da d Ingresso conferma l prmo produore d energa elerca da fon convenzonal, con una presenza molo elevaa nella generazone da carbone (70,3% del oale) e sgnfcava nella generazone da gas naurale e da prodo perolfer. Seguono grupp Edson ed En, che confermano la propra poszone d prncpal concorren d Enel, con una presenza parcolarmene mporane nella generazone da gas derva. Carbone Prodo perolfer Gas naurale Alre fon Gruppo Enel 70,3% 4,9% 9,4% 0,0% Gruppo Edson 0,0%,9% 6,9% 39,% Gruppo En 0,0%,0% 3,% 3,3% Edpower 6,8% 8,% 9,% 0,0% E.On (ex Endesa Iala),8% 7,9% 8,0% 0,0% Trreno Power 9,3% 0,3% 5,4% 0,0% EGL AG 0,0% 0,0% 4,3% 0,0% AA 0,8% 0,0%,9% 0,0% Elecrabel/Acea 0,0% 0,0%,7% 0,0% CIR (Sorgena) 0,0% 0,0%,7% 0,0% Gruppo Saras 0,0% 8,4% 0,8% 0,0% Irde 0,0% 0,%,8% 0,0% Alr operaor 0,0% 6,% 3,7% 0,0% Toale 00,0% 00,0% 00,0% 00,0% Tabella 5. - Conrbuo % de prncpal operaor nazonal alla generazone ermoelerca per fone, 008 Dopo aver analzzao ques da, è possble slare l elenco degl operaor presen sul erroro nazonale che occorre enere n consderazone per l funzonameno dell algormo. Mole d quese soceà possedono parecpazon n alre, per cu è nule consderarle come sogge ndpenden. S è qund pozzao che le soceà che presenano qualche parecpazone, roveranno non convenene adoare comporamen che possano danneggare le soceà alleae, meendo n ao comporamen concord con la flosofa del gruppo d apparenenza, defn nella abella 5.. Prce Maker Soceà assocae Prce Taker Soceà assocae S Enel S3 Endesa [8], SET [9] Edpower [6], Edson [7], Enpower [0] S S4 AA [8], Irde [7] S5 Sorgena [], Acea-Elecrabel [], Trreno Power [] S6 Saras-Sarlux [3] S7 Erg [4], Isab Energy [4] S8 EGL [5] Tabella 5. - Suddvsone delle soceà d produzone per accord e/o parecpazon Dall anals del Pano d Svluppo della Ree Elerca d Trasmssone Nazonale forno da Terna s esrapolano le cenral ermoelerche connesse alla ree 0/380 kv, suddvdendole per zona d apparenenza. Nel modello non s consdera la produzone da pare degl mpan d generazone conness a lvell d ensone nferor, poché è rsulao parcolarmene complesso deermnare un Daa Base degl mpan che conenga anche quell non conness alla RTN. A queso puno, araverso una vasa documenazone forna da Terna [6, 7], da s web delle vare compagne d produzone [8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8] e dalle 08

123 Capolo 5 I Da d Ingresso dcharazon EMAS, è possble defnre la poenza delle cenral ndcae. L ulma colonna rappresena l coso assegnao ad ogn mpano d produzone: ogn mpano presena cos d produzone dvers a seconda della ecnologa mpegaa (abella 5.3). Cenrale ermoelerca Prov Macrozona Zona Poenza [MW] Proprearo Gruppo Carburane Coso [ /MWh] FusnaCarbone VE Nord I Enel S Carbone 50 FusnaOlo VE Nord I03 60 Enel S Olo 80 La Casella PC Nord I Enel S Gas 65 LaSpezaCarb SP Nord I Enel S Carbone 50 LaSpezaGas SP Nord I Enel S Gas 65 Poro Corsn RA Nord I Enel S Gas 65 Poro Marghera VE Nord I03 40 Enel S Carbone 50 Poro Tolle RO Nord I Enel S Olo 80 Lvorno M. LI Cenro-Nord I05 30 Enel S Olo 80 Perafa PG Cenro-Nord I05 7 Enel S Gas 65 Pombno LI Cenro-Nord I05 80 Enel S Olo 80 S. Barbara AR Cenro-Nord I05 50 Enel S Gas 65 Poroscuso CA Sardegna I06 30 Enel S Olo 80 Sulcs CA Sardegna I Enel S Carbone 50 Monalo d Casro VT Cenro-Sud I Enel S Gas (rp.) 80 Torrevaldalga Nord RM Cenro-Sud I Enel S Carbone 50 Brnds Sud BR Sud I 640 Enel S Carbone 50 Rossano Calabro CS Sud I3 736 Enel S Gas 80 Termn Imerese PA Scla I4 340 Enel S Gas (rp.) 70 Prolo Gargallo SR Scla I5 750 Enel S Gas 70 Cassano d Adda MI Nord I AA S Gas 65 Chvasso TO Nord I03 7 Edpower S Gas (rp.) 70 Marghera Azoa VE Nord I03 3 Edson S Gas 70 Marghera Levane VE Nord I Edson S Gas (rp.) 70 Moncaler TO Nord I Irde S Gas 65 Moncaler TO Nord I Irde S Gas (rp.) 70 Pacenza PC Nord I Edson S Gas (rp.) 70 Pon sul Mnco MN Nord I AA S Gas 65 Sarmao PC Nord I03 8 Edson S Gas (rp.) 70 Sermde MN Nord I03 40 Edpower S Gas (rp.) 70 Turbgo MI Nord I Edpower S Gas (rad.) 80 Turbgo MI Nord I Edpower S Gas 65 MonfalconeCarb UD Nord I AA S Carbone 50 MonfalconeOlo UD Nord I AA S Olo 80 Torvscosa UD Nord I Edson S Gas 65 Candela FG Sud I0 380 Edson S Gas 65 Gss CH Sud I0 800 AA S Gas 65 Brnds Nord BR Sud I 640 Edpower S Carbone 50 Tarano TA Sud I 480 Edson S Gas 70 Alomone CS Sud I3 800 Edson S Gas 65 Scandale CZ Sud I3 800 AA S Gas 65 San Flppo Del Mela ME Scla I4 960 Edpower S Olo 80 Sparanse CE Cenro-Sud I EGL S8 Gas 65 Ferrara FE Nord I Enpower S4 Gas 65 Ferrara Erbognone PV Nord I Enpower S4 Gas 65 Manova MN Nord I Enpower S4 Gas 65 Ravenna RA Nord I03 97 Enpower S4 Gas 65 Lvorno LI Cenro-Nord I05 03 Enpower S4 Gas 65 Oana NU Sardegna I06 40 Oana Energa S4 Olo 80 Poro Torres SS Sardegna I06 80 Polm.Europa S4 Olo 80 Brnds BR Sud I 70 Enpower S4 Gas 65 Lvorno Ferrars VC Nord I E.On S3 Gas 65 Aggregazone d zone geografche e/o vrual defna convenzonalmene a fn della produzone d ndc sasc del mercao e caraerzzaa da una bassa frequenza d separazon e da un omogeneo andameno de prezz d venda. 09

124 Capolo 5 I Da d Ingresso Osgla MN Nord I03 48 E.On S3 Gas (rp.) 70 Tavazzano LO Nord I E.On S3 Gas (rp.) 70 FumesanoCarbone SS Sardegna I E.On S3 Carbone 50 FumesanoGas SS Sardegna I06 80 E.On S3 Gas 00 FumesanoOlo SS Sardegna I06 30 E.On S3 Olo 80 CET Teverola CE Cenro-Sud I08 43 E.On S3 Gas 70 SET Teverola CE Cenro-Sud I SET S3 Gas (rp.) 70 Trapan TP Scla I4 70 E.On S3 Gas (urbo) 00 ISAB Prolo SR Scla I5 650 ERG S7 Gas 70 Sarroch Sarlux CA Sardegna I Sarlux S6 Gas 65 Lenì TO Nord I03 39 AceaElecrabel S5 Gas 65 VadoLgureCarb SV Nord I Trreno Power S5 Carbone 50 VadoLgureGas SV Nord I Trreno Power S5 Gas (rp.) 70 Voghera PV Nord I AceaElecrabel S5 Gas 65 Roselecra LI Cenro-Nord I AceaElecrabel S5 Gas 65 Rosen LI Cenro-Nord I AceaElecrabel S5 Gas 65 Napol Levane NA Cenro-Sud I Trreno Power S5 Gas (rp.) 65 Torrevaldalga Sud RM Cenro-Sud I08 00 Trreno Power S5 Gas (rp.) 65 Torrevaldalga Sud RM Cenro-Sud I08 30 Trreno Power S5 Gas (rad.) 80 Termol CB Sud I0 770 Sorgena S5 Gas 65 Tabella Caraersche delle cenral ermoelerche n servzo, 009 La fgura 5.5 mosra la suddvsone della poenza prodoa da grupp che sono sa defn n precedenza. E possble, ra ques, ndvduare grupp d produzone che svolgono l ruolo d prce-maker nel duopolo che caraerzza l mercao elerco alano, e grupp d produzone che svolgono l ruolo d prce-aker (la suddvsone è saaa faa n base alla quanà d poenza d cu ogn produore dspone). Con una quoa d mercao par a crca l 66% s può qund affermare che grupp S e S svolgono effevamenee un ruolo sraegco nella deermnazone del prezzo d mercao..0%.5%.34% Poenza S: 938 [MW] 9.4% 9.89% 40.53% Poenza S: 4874 [MW] Poenza S3: 5875 [MW] 0.38% Poenza S4: 533 [MW] Poenza S5: 5597 [MW] 6.8% Poenza S6: 575 [MW] Poenza S7: 650 [MW] Poenza S8: 760 [MW] Fgura Rparzone della capacà nsallaa per produore Un ulerore suddvsone rguarda la poenza nsallaa suddvsa per zone geografche. Aggregando pol d produzone lmaa alle zone geografche a cu apparengono, s oengono le dsrbuzon rappresenae n fgura

125 Capolo 5 I Da d Ingresso 6.84% 5.03% Poenza Nord: 738 [MW] 8.05% 5.5% 48.38% Poenza Cenro-Nord: 3505 [MW] Poenza Cenro-Sud: 8783 [MW] Poenza Sud: 06 [MW] 6.9% Poenza Scla: 3870 [MW] Poenza Sardegna: 845 [MW] Fgura Rparzone zonale aggregaa della capacà nsallaa Olre alle cenral ermoelerche, che coprono gran pare della produzone nazonale, sono presen gl mpan droelerc dreamene conness alla RTN, la cu produzone è saa smaa a parre da da sorc. Vengono rappresena con la seguene noazone, nella abella 5.4. Denomnazone Macrozona Zona Poenza Proprearo Gruppo d Coso cenrale [MW] apparenenza [ /MWh] Hydro Enel 03 Nord I Enel S 5 Hydro Enel 05 Cenro-Nord I05 00 Enel S 5 Hydro Enel 06 Sardegna I06 7 Enel S 5 Hydro Enel 08 Cenro-Sud I08 9 Enel S 5 Hydro Enel 09 Sud I Enel S 5 Hydro Enel 4 Scla I4 6 Enel S 5 Hydro Edpower 03 Nord I Edpower S 5 Hydro Edpower 05 Cenro-Nord I05 0 Edpower S 5 Hydro Edpower 09 Sud I09 Edpower S 5 Hydro EOn 05 Cenro-Nord I05 94 EOn S3 5 Hydro EOn 08 Cenro-Sud I08 5 EOn S3 5 Hydro EOn 09 Sud I09 93 EOn S3 5 Hydro ohers 03 Nord I Hydro ohers Hydro ohers 5 Hydro ohers 05 Cenro-Nord I05 7 Hydro ohers Hydro ohers 5 Hydro ohers 08 Cenro-Sud I08 4 Hydro ohers Hydro ohers 5 Tabella Caraersche delle cenral droelerche n servzo nell anno 009 Infne, nel modello sono presen anche pol d produzone eser, ndca nella abella 5.5. Denomnazone cenrale G-ENO G-ENE G-ESG G-ESC Zona I0 I0 I I07 Poenza [MW] Gruppo d apparenenza ENO ENE ESG ESC Coso [ /MWh] Tabella Caraersche de pol d produzone eser

126 Capolo 5 I Da d Ingresso 5.3. La domanda Il valore della rchesa d poenza n ogn zona è sao calcolao allo sesso lvello d ensone che ha caraerzzao la defnzone degl mpan d produzone faa n precedenza. Nel 008 la rchesa d energa elerca, par a TWh, è dmnua dello 0,% rspeo al 007. Il fabbsogno d poenza alla puna ha occao l suo massmo nel mese d luglo, quando ha ragguno 55.3 GW [9]. Per queso movo, valor d domanda rfer al 007 possono essere ulzza anche n quesa smulazone. La produzone nazonale nea ha fao regsrare un aumeno dell.9% menre l saldo esero è dmnuo rspeo all anno precedene (-3.5%). In ermn d composzone sruurale, la macro zona Nord s conferma quella a maggor rchesa d energa, assorbendo pù della meà della domanda complessva (53.7%), ben superore alla quoa rappresenaa dalla macro zona Sud (34.4%) e dalle sole (6.% la Scla e 3.7% la Sardegna). A frone della sosanzale sablà d al quoe, emerge l sgnfcavo aumeno del peso delle esporazon, raddoppao rspeo al renno precedene, e par al.% (+9.3%), n vrù d una rduzone del dfferenzale d prezzo con l esero e dal moderao aumeno dell elascà della domanda [4]. I0 = MW I0 = 0.0 MW I03 = 37.6 MW I04 = 0.0 MW I05 = MW I06 = 53. MW I07 = 0.0 MW I08 = MW I09 = MW I0 = 0.0 MW I = 0.0 MW I = 0.0 MW I3 = 0.0 MW I4 = MW I5 = 0.0 MW Fgura Rparzone zonale della poenza rchesa

127 Capolo 5 I Da d Ingresso 5.4. Bblografa [] TERNA, Indvduazone zone della ree rlevane, 008, dsponble n: hp:// mercao.aspx [] AEEG, Delbera ARG/el 6/08, Approvazone parzale della proposa d Terna d suddvsone della ree rlevane n zone per l perodo 009-0, dsponble n: hp:// [3] TERNA, Procedura per la defnzone de lm d ranso fra le zone d mercao, 009, dsponble n: hp:// valuazone_lm_e_lm_ranso.aspx [4] GME, Relazone annuale, 008, dsponble n: hp:// 008.pdf [5] AEEG, Relazone annuale sullo sao de servz e sull avà svola, 009, dsponble n: hp:// [6] hp:// [7] hp:// azon30seembre009.pdf [8] hp:// [9] hp:// [0] hp:// [] hp:// [] hp:// [3] hp:// [4] hp:// [5] hp:// [6] TERNA, Pano d svluppo, 009, dsponble n: hp:// pds_009.aspx [7] hp:// [8] hp:// [9] hp:// [0] hp:// [] hp:// [] hp:// [3] hp://mpan.sorgena./ [4] hp:// [5] hp:// [6] hp:// [7] hp:// [8] hp:// [9] AEEG, Relazone annuale alla commssone europea sullo sao de servz e sulla regolazone de seor dell energa elerca e del gas, 009, dsponble n: hp:// 3

128 4

129 6. Anals de Rsula Inroduzone In queso capolo vengono presenae le smulazon effeuae allo scopo d defnre le sraege adoae da produor d energa elerca consdera. Le smulazon, come gà specfcao, sono sae esegue con GAMS, hanno avuo una duraa meda d crca 5 ore cascuna e sono sae effeuae con un PC avene le seguen caraersche: Inel Penum Dual CPU T300@.00GHz, RAM 4GB, Dsco rgdo 9 GB Le soceà d produzone sraegche pozzae, ovvero quelle che svolgono l ruolo d prce maker, sono due e s suderà l nerazone ra ques due sogge, l cu obevo è la massmzzazone del profo: sarà queso l paramero fondamenale che verrà analzzao. Gl es delle smulazon verranno po confrona ra loro n modo da poer dscuere rsula oenu. S enga però presene che al rsula sono puramene ndcav per una sere d mov: l prncpale è l assenza, nel modello, d un regolaore, ovvero d un organo d conrollo che supervson l comporameno delle soceà d produzone. In assenza d en predspos a conrollare le sraege de produor, ques sono lber d adoare le sraege che meglo s adaano alla suazone. L unco lme che s è nrodoo è l prce cap, fssao a 500 / MWh, come dsposo dalle regole d mercao. Inolre, l modello non consdera la presenza d vncol d naura ecnca, come ad esempo la dspaccablà degl mpan, vncol d accensone e d spegnmeno e la permanenza n servzo. Infne, un alro movo è dovuo al fao d aver consderao domanda e offera d poenza relave ad un lvello d ensone par a 0/380 kv, escludendo lvell d ensone nferor, e relav mpan d generazone. Il modello proposo n queso lavoro è sao applcao a due dfferen scenar: l prmo, denomnao Unconsraned Case (nel seguo UC) dove s pozza l assenza d lm d ranso nerzonal (modellzzao ponendo lm d ranso ra le zone par a 5000 MW); menre l secondo, denomnao Consraned Case (d seguo CC), consdera la presenza d al vncol, cu valor sono sa defn nel capolo precedene. Ogn scenaro è sao applcao nel caso n cu la varable sraegca µ sa, n un caso, ndpendene dalla ecnologa dell mpano d produzone (ndcao con µ-unco) e, nell alro caso, dfferenzao per ecnologa d produzone (ndcao nel seguo con µ-dff). Per ognuna d quese smulazon sono sae adoae dverse combnazon d operaor genec, n modo da esare le presazon dell AG. In queso capolo vengono rporae le smulazon fnal, rsulan da svarae prove effeuae esando le ecnche d selezone, ncroco e muazone. Il codce mplemenao n GAMS consene d rcavare neressan nformazon: s possono calcolare rans d poenza su ogn collegameno nerzonale, l prezzo d mercao pozzao da ogn soceà sraegca, l coso oale sosenuo e la renda oale d ogn soceà e l profo guadagnao da esse. Infne, per amplare lo sudo s sono pozza cnque dvers lvell d domanda, corrsponden al 0%, 00%, 90%, 80% e 70% della domanda pozzaa nello scenaro base. 5

130 Capolo 6 Anals de rsula 6.. Rsula per lo scenaro UC L assenza d lm d ranso caraerzza uno scenaro deale per l mercao elerco alano, cosuendo così un benchmark d rfermeno per valuare successvamene gl effe della presenza d al vncol. In ale coneso, la suddvsone del mercao n zone non ha alcuna nfluenza poché s ha un unca zona nazonale: è come se la poenza prodoa da cascuna soceà conflusse n un grande hub dell energa, e vensse ncrocaa con la domanda per deermnare l prezzo unco nazonale. Il sgnfcao dell assenza de lm d rasmssone concde con l assenza d congeson e una capacà d rasmssone della Ree Nazonale llmaa. Per ogn smulazone sono sa rpora rsula oenu, qu d seguo rassun: la progressone del profo durane l evolvere dell algormo co-evoluvo, relavamene alle soceà S ed S, espresso n [ ]; la progressone del prezzo d mercao rsulane dalle sraege omzzae dalle due soceà suddee, espresso n [ /MWh]. Daa l elevaa dffcolà compuazonale delle smulazon, è sao svluppao un ulerore modello che consene d nserre manualmene valor omal de µ, rcava al ermne dell algormo geneco, per oenere nformazon pù deaglae, ra le qual: la poenza dspaccaa dagl operaor sraegc e dagl operaor prce-aker; la poenza rchesa ad ogn mpano d generazone dsponble; fluss d poenza su ogn ranso nerzonale; l coso e la renda lorda delle soceà d produzone. La fgura successva mosra la percenuale d poenza nsallaa per ecnologa d produzone e per le soceà d produzone. Avendo ndcao con Tpo la produzone a carbone, con Tpo la produzone a gas, con Tpo 3 le alre produzon, per lo pù a olo combusble, e con Tpo 4 la produzone droelerca (che n queso modello non è saa omzzaa), s noa come la maggor pare della poenza nsallaa d ogn soceà d produzone sa prodoa ulzzando come combusble l gas (vedere fgura 6.). Poenza nsallaa per ecnologa 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% S S S3 S4 S5 S6 S7 S8 Soceà d generazone Tpo 4 Tpo 3 Tpo Tpo Fgura 6. - Percenuale d poenza nsallaa, suddvsa per ecnologa e per soceà I paramer che caraerzzano l algormo sono seguen: r = 0, Ngen = 00 e Npop = 00. 6

131 Capolo 6 Anals de rsula 6... Domanda par al 0% Ier µ N µ µ-unco S µ N µ S µ N µ S µ-dff µ N 7 µ-unco µ-unco µ-dff µ-dff S µ Prof Prof Prce Prce Tabella 6. Eso smulazone, domanda 0% Dalla abella s esrapolano gl andamen de prof e de prezz per le soceà sraegche.

132 Capolo 6 Anals de rsula Fgura 6. Andameno d prof e prezz delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=0% Nel caso UC, µ-unco, come n alr cas analzza ma non rpora, s oengono pù equlbr d Nash: dopo l erazone 0, caraerzzaa da mark-up unar e qund da prof e da prezz corrsponden alla concorrenza perfea, la soceà S raggunge l profo massmo, menre S lo raggunge nell erazone successva. Tale comporameno s rpee anche nel seguo, 8

133 Capolo 6 Anals de rsula osservando che, come ad esempo nell erazone 6, oppure 7, l profo massmo d una soceà concde con l profo mnmo per l alra. Dopo sgnfcave varazon nzal, le oscllazon del profo s assesano. Una grande varablà s ha anche per prezz: dopo sgnfcave varazon nelle erazon nzal, le oscllazon s assesano a seguo dell erazone 5. L andameno presena pun che s rpeono (er. 5 e 6). Osservando che l andameno d prof e prezz nelle erazon 5, 6 e 7 s rpee anche successvamene, la coperura d cascuna soceà d produzone sraegca del carco oale, n percenuale (ndcando con l pedce a l rsulao dell omzzazone d S e con b l rsulao dell omzzazone d S) è rappresenaa n fgura 6.3 per cascun puno. Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, domanda=0%, µ-unco La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone (la produzone droelerca n queso caso e ne successv non vene rporaa, poché ua quella nsallaa vene dspaccaa) nelle erazon suddee è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura 6.4 e 6.5. Fgura Rparzone della poenza dspaccaa da S per ecnologa d produzone, d=0%, µ-unco 9

134 Capolo 6 Anals de rsula Fgura Rparzone della poenza dspaccaa da S per ecnologa d produzone, d=0%, µ-unco Come s noa da grafc sopra rpora, n concorrenza perfea la produzone vene affdaa esclusvamene ad mpan d po e, ma per S la produzone d po s rduce all 80%. Nel puno d profo massmo per S (er. 5) sono n servzo u propr mpan d po, e 3, menre nel puno d profo massmo per S (er. 6), a dfferenza d S, la produzone d po 3 s rduce al 7%. Analzzando µ-dff, gl andamen, come n alre smulazon (che non sono sae rporae per brevà), presenano meno oscllazon nel perodo consderao, abbasanza rpeve. Le oscllazon nel perodo sono re, d cu una presena un valore massmo dverso dagl alr due (fgura 6.). L andameno presena 3 pun che s rpeono (er., e 8). I medesm andamen s osservano anche n alre smulazon, effeuae modfcando gl operaor genec, che non sono sae rporae per brevà. Osservando che l andameno d prof e prezz nelle erazon,, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 s rpee anche successvamene, la coperura d cascuna soceà d produzone sraegca del carco oale, n percenuale, è rappresenaa n fgura 6.6. Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=0%, µ-dff 0

135 Capolo 6 Anals de rsula La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura 6.7. S S Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=0%, µ-dff Come s osserva dalla fgura precedene, n concorrenza perfea, rspeo al caso µ-unco, s rduce la produzone degl mpan d po a vanaggo d una modesa produzone d po 3 per la soceà S (queso s rpee anche nelle successve erazon). Il profo massmo che s raggunge, come s è vso n precedenza, è smle a quello oenuo con µ-unco per S (er. ), dove vengono dspacca u gl mpan, menre è leggermene superore per S (er. ), dove s rduce la produzone d po ma s ncremena quella d po 3. Concludendo, s può affermare che l omzzazone de mark-up suddvs per ecnologa d produzone mpegaa mplca un mglore blancameno della poenza dspaccaa ra var mpan. µ-unco µ-dff Tpo Tpo Tpo 3 Tpo Tpo Tpo 3 Ier. 5 max S 00% 00% 00% Ier. max S 00% 00% 00% Ier. 6 max S 00% 00% 7% Ier. max S 9% 00% 4%

136 Capolo 6 Anals de rsula Pù n deaglo, s possono osservare le cenral dspaccae, ndcando con U l caso µ-unco e con D l caso µ-dff, come s osserva nella abella successva. In concorrenza perfea (er. 0) gl mpan s dsrbuscono abbasanza unformemene ra le dverse soceà d produzone. Per sogge prce aker s dmosra l comporameno defno precedenemene, ovvero la possblà d dspaccare u gl mpan quando l prezzo rsula elevao e qund superore a cos margnal, menre n concorrenza perfea la loro quoa ovvamene s rduce, essendo prezz decsamene pù bass. U U U U U D D D D D D D U U U U U D D D D D D D U U U U U D D D D D D D a b a b 0 a b a b a b 0 a b a b 0 a b a b a b 0 a b a b 0 a b a b a b Cenrale Gss x x x x x x x x Oana x x x x x x x x x x Brnds Sud x x x x x x Marghera Azo. x x x x x x x x Poro Torres x x x x x x x x x x FusnaCarbone x x x x x x x x x x Marghera Lev. x x x x x x x x Brnds x x x x x x x x x x x x FusnaOlo Moncaler x x x x x x x x x x Lvorno x x x x x x x x x x x x La Casella x x x x x x x Moncaler x x x x x x x x Ravenna x x x x x x x x x x x x LaSpezaCarb x x x x x x x x x x x MonfalconeCarb x x x x x x x x x Ferrara x x x x x x x x x x x x LaSpezaGas x x x x x x MonfalconeOlo x x x x x Ferrera E. x x x x x x x x x x x x Lvorno M. x x Pacenza x x x x x x x x Manova x x x x x x x x x x x x Monalo d C. x x Pon sul Mnco x x x x x x x x x x Sarroch x x x x x x x x x x x x Perafa x x x x x x x San Flppo D.M. x x x x x Lenì x x x x x x x x x x x x Pombno Sarmao x x x x x x x x Voghera x x x x x x x x x x x x Poro Corsn x x x x x x x Scandale x x x x x x x x Rosen x x x x x x x x x x x x Poro Marghera x x x x x x x x x x Sermde x x x x x x Roselecra x x x x x x x x x x x x Poro Tolle Tarano x x x x x x x Termol x x x x x x x x x x x x Prolo Gargallo x x x x x x x Torvscosa x x x x x x x x x VadoL. C. x x x x x x x x x x x x Rossano Calabro Turbgo x x x x x VadoL. G. x x x x x x x x x x S. Barbara x x x x x x x Turbgo x x x x x x x x x Torrev. S x x x x x x x x x x x x Termn Imerese x x x x x Lvorno F. x x x x x x x x x x x x Torrev. S x x x x x x x x x x Torrevaldalga N. x x x x x x x Osgla x x x x x x x x x x Napol L. x x x x x x x x x x x x Sulcs x x x x x x x x x x x x Tavazzano x x x x x x x x x x x x ISAB Prolo x x x x x x x x x x Poroscuso x x x x x x x x x x Trapan x x x x x x x x x x Sparanse x x x x x x x x x x x x Alomone x x x x x x x x x Fumesano O. x x x x x x x x x x Brnds Nord x x x x x x x x x x Fumesano C. x x x x x x x x x x x x Candela x x x x x x x x x Fumesano G. x x x x x x x x x x Cassano d A. x x x x x x x x CET x x x x x x x x x x Chvasso x x x x x x x SET x x x x x x x x x x Tabella 6. Impan n servzo, domanda=0%

137 Capolo 6 Anals de rsula 6... Domanda par al 00% Ier µ N µ µ-unco S µ N µ S µ N µ S µ-dff µ N 3 µ-unco µ-unco µ-dff µ-dff S µ Prof Prof Prce Prce Tabella 6.3 Eso smulazone, domanda 00% Dalla abella s esrapolano gl andamen de prof e de prezz per le soceà sraegche.

138 Capolo 6 Anals de rsula Fgura 6.8 Andameno d prof e prezz delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=00% Analzzando l andameno del profo e del prezzo nel caso µ-unco, s osserva che le due soceà rpeono le medesme sraege nell arco d empo. Osservando che l andameno d prof e prezz nelle erazon 6, 7, 8, 9, 0 s rpee anche successvamene, la coperura d cascuna soceà d produzone sraegca del carco 4

139 Capolo 6 Anals de rsula oale, n percenuale è rappresenaa n fgura 6.9. Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=00%, µ-unco La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura 6.0. S S Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=00%, µ-unco 5

140 Capolo 6 Anals de rsula Anche nel caso µ-dff gl andamen s rpeono (fgura 6.8). Osservando che l andameno d prof e prezz nelle erazon 6, 7, 8, 9, 0, e s rpee anche successvamene, la coperura d cascuna soceà d produzone sraegca del carco oale, n percenuale, è rappresenaa n fgura 6.. Fgura 6. - Percenuale d poenza dspaccaa, d=00%, µ-dff La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura 6.. S S Fgura 6. - Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=00%, µ-dff 6

141 Capolo 6 Anals de rsula Pù n deaglo, s possono osservare le cenral dspaccae, come s osserva nella abella successva. U U U U U U U U U U D D D D D D U U U U U U U U U U D D D D D D U U U a b a b 3 a 3 b 5 a 5 b 0 6 a 6 b 7 a 7 b a b 0 a b a b 3 a 3 b 5 a 5 b 0 6 a 6 b 7 a 7 b a b 0 0 Cenrale Gss x x x x x x x x Oana Brnds Sud x x x x x x x x x x x x x Marghera Azo. x x x x x x x Poro Torres FusnaCarbone x x x x x x x x x x x x x Marghera Lev. x x x x x Brnds x x x FusnaOlo x Moncaler x x x x x x x x x x Lvorno x x x La Casella x x x x x x Moncaler x x x x x Ravenna x x x LaSpezaCarb x x x x x x x x x x MonfalconeCarb x x x x x x x x x x x x x x x Ferrara x x x LaSpezaGas x x x x x x x x x MonfalconeOlo Ferrera E. x x x Lvorno M. Pacenza x x x x x x Manova x x x Monalo d C. Pon sul Mnco x x x x x x x x x x x x Sarroch x x x Perafa x x x x x x x x x San Flppo D.M. x x x x Lenì x x x Pombno Sarmao x x x x x x x Voghera x x x Poro Corsn x x x x x x Scandale x x x x x x x x x Rosen x x x Poro Marghera x x x x x x x x x x x x x Sermde x x Roselecra x x x Poro Tolle x Tarano x x x x x x x Termol x x x Prolo Gargallo x x x Torvscosa x x x x x x x x VadoL. C. x x x Rossano Calabro Turbgo VadoL. G. x S. Barbara x x x x x x x x x Turbgo x x x x x x x x x x Torrev. S x x x Termn Imerese x x x x Lvorno F. x x x Torrev. S x Torrevaldalga N. x x x x x x x x x x x x x Osgla x Napol L. x x x Sulcs x x x x x x x x x x x x x x x x Tavazzano x ISAB Prolo Poroscuso x x x x x x x x x x x x Trapan Sparanse x x x Alomone x x x x x x x x Fumesano O. Brnds Nord x x x x x x x x x x x x x x Fumesano C. x x x Candela x x x x x x x x x Fumesano G. Cassano d A. x x x x x x x x CET x Chvasso x x x x SET x Tabella 6.4 Impan n servzo, domanda=00% Osservando la rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, n concorrenza perfea non c è alcuna sgnfcava dfferenza ra due modell ulzza. Nel caso µ-dff l profo massmo d S è leggermene nferore, ma due modell rspondono sosanzalmene con gl sess rsula. µ-unco µ-dff Tpo Tpo Tpo 3 Tpo Tpo Tpo 3 Ier. 7 max S 00% 69% 0% Ier. 7 max S 00% 69% 0% Ier. 8 max S 00% 69% 4% Ier. 7 max S 00% 65% 4% x a b x 7

142 Capolo 6 Anals de rsula Domanda par al 90% Ier µ N µ S µ-unco µ N µ S µ N µ S µ-dff µ N 8 µ-unco µ-unco µ-dff µ-dff S µ Prof Prof Prce Prce Tabella 6.5 Eso smulazone, domanda=90% Dalla abella s esrapolano gl andamen de prof e de prezz per le soceà sraegche.

143 Capolo 6 Anals de rsula Fgura 6.3 Andameno d prof e prezz delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=90% Nel caso UC, µ-unco, prof d enrambe le soceà rmangono cosan a valor d poco superor a quell d concorrenza perfea, per po raggungere loro massm all erazone 5 per S e 4 per S. Successvamene valor rmangono pù o meno sabl. Gl andamen de 9

144 Capolo 6 Anals de rsula prezz sono pracamene denc, norno a 70 /MWh nelle prme erazon (er. 0) e a 30 /MWh n quelle fnal (er. 0). Dao che l andameno de prof e de prezz è parcolarmene neressane, olre che al ermne della smulazone, nelle erazon 0,, e 3, s rpora la poenza dspaccaa n quese erazon, rappresenaa n fgura 6.4. Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=90%, µ-unco La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà, rappresenaa n fgura 6.5. S S S 30 Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=90%, µ-unco

145 Capolo 6 Anals de rsula Nel caso µ-dff, rspeo al caso con µ-unco, s noano dfferenze nelle prme erazon: le soceà raggungono rapdamene l massmo (sa del profo che del prezzo) all erazone per S e 3 per S, per po decrescere alreano rapdamene, e sablzzars nfne al valore massmo oenuo nzalmene. I prezz rsulano, al ermne della smulazone, gl sess del caso µ-unco, menre seguono la sessa varazone rsconraa nell andameno nzale del profo (fgura 6.3). Osservando che l andameno delle prme erazon s rpee anche al ermne, s rporano le percenual della poenza dspaccaa per quese ulme, n fgura 6.6. Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=90%, µ-dff La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura 6.7 e 6.8. Fgura Rparzone della poenza dspaccaa da S per ecnologa d produzone, d=90%, µ-dff 3

146 Capolo 6 Anals de rsula Fgura Rparzone della poenza dspaccaa da S per ecnologa d produzone, d=90%, µ-dff Pù n deaglo, s possono osservare le cenral dspaccae, come s osserva nella abella successva. U U U D D D U U U D D D U U U D D D a b 0 a b 0 a b 0 a b 0 a b 0 a b Cenrale Gss x x x x x Oana x x x x Brnds Sud x x Marghera Azo. Poro Torres x x x x FusnaCarbone x x x Marghera Lev. Brnds x x x x x x FusnaOlo Moncaler x x x x x x Lvorno x x x x x x La Casella x x x Moncaler Ravenna x x x x x x LaSpezaCarb x x x MonfalconeCarb x x x x x Ferrara x x x x x x LaSpezaGas x x x MonfalconeOlo Ferrera E. x x x x x x Lvorno M. Pacenza Manova x x x x x x Monalo d C. Pon sul Mnco x x x x x x Sarroch x x x x x x Perafa x x San Flppo D.M. Lenì x x x x x x Pombno Sarmao Voghera x x x x x x Poro Corsn x x x Scandale x x x x x Rosen x x x x x x Poro Marghera x x x Sermde Roselecra x x x x x x Poro Tolle Tarano x Termol x x x x Prolo Gargallo Torvscosa x x x x x x VadoL. C. x x x x x x Rossano Calabro Turbgo VadoL. G. x x x x S. Barbara x x Turbgo x x x x x x Torrev. S x x x x Termn Imerese Lvorno F. x x x x x x Torrev. S x x x x Torrevaldalga N. x x Osgla x x x x Napol L. x x x x Sulcs x x x x x x Tavazzano x x x x ISAB Prolo x x x x Poroscuso x x x x Trapan x x x x Sparanse x x x x Alomone x x x x x Fumesano O. x x x x Brnds Nord x x x x x Fumesano C. x x x x x x Candela x x x x x Fumesano G. x x x x Cassano d A. x x x x x x CET x x x x Chvasso SET x x x x Tabella 6.6 Impan n servzo, domanda=90% Osservando la rparzone della poenza dspaccaa, ne pun d massmo profo (che con l modello µ-dff sono leggermene superor) s ha, con dfferenzazone della produzone, un maggore blancameno ra gl mpan n servzo. µ-unco µ-dff Tpo Tpo Tpo 3 Tpo Tpo Tpo 3 Ier. 3 max S 00% 0% 0% Ier. max S 98% 5% 0% Ier. 4 max S 98% 0% 4% Ier. max S 00% 8% 4% 3

147 Capolo 6 Anals de rsula Domanda par al 80% Ier µ N µ µ-unco S µ N µ S µ N µ S µ-dff µ N 33 µ-unco µ-unco µ-dff µ-dff S µ Prof Prof Prce Prce Tabella 6.7 Eso smulazone, domanda 80% Dalla abella s esrapolano gl andamen de prof e de prezz per le soceà sraegche.

148 Capolo 6 Anals de rsula Fgura 6.9 Andameno d prof e prezz delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=80% Come s può noare dagl andamen rpora, nel caso µ-unco ue le smulazon effeuae hanno oenuo gl sess valor. 34

149 Capolo 6 Anals de rsula Osservando un andameno pressoché lneare del profo, le poenze dspaccae rsulano n fgura 6.0. Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=80%, µ-unco La percenuale della poenza dspaccaa è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura 6.. S S Fgura 6. - Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=80%, µ-unco 35

150 Capolo 6 Anals de rsula L andameno del profo sopra rporao (fgura 6.9), nel caso µ-dff raggunge molo rapdamene un pcco nzale (er. e ), per po decrescere molo lenamene (er. 0). Dall andameno del profo, dopo l pcco nzale s osserva una lena dmnuzone, per cu la poenza dspaccaa, nelle relave erazon, è rappresenaa n fgura 6.. Fgura 6. - Percenuale d poenza dspaccaa, d=80%, µ-dff La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà, rappresenaa n fgura 6.3. S S 36 Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=80%, µ-dff

151 Capolo 6 Anals de rsula Pù n deaglo, s possono osservare le cenral dspaccae, come s osserva nella abella successva. U U U D D D D D D D U U U D D D D D D D U U U D D D D D D D a b 0 a b a b a b 0 a b 0 a b a b a b 0 a b 0 a b a b a b Cenrale Gss x x x x Oana x x x x x x x x x Brnds Sud x x x x Marghera Azo. x Poro Torres x x x x x x x x x FusnaCarbone x x x x x x x x Marghera Lev. Brnds x x x x x x x x x x FusnaOlo Moncaler x x x Lvorno x x x x x x x x x x La Casella x x Moncaler Ravenna x x x x x x x x x x LaSpezaCarb x x x x x x x x MonfalconeCarb x x x x x x x x x Ferrara x x x x x x x x x x LaSpezaGas x x MonfalconeOlo Ferrera E. x x x x x x x x x Lvorno M. Pacenza Manova x x x x x x x x x Monalo d C. Pon sul Mnco x x x x Sarroch x x x x x x x x x Perafa x x x x San Flppo D.M. Lenì x x x x x x x x x Pombno Sarmao Voghera x x x x x x x x x Poro Corsn x x Scandale x x x x Rosen x x x x x x x x x Poro Marghera x x x x x x x x Sermde Roselecra x x x x x x x x x Poro Tolle Tarano Termol x x x x x x x x x Prolo Gargallo Torvscosa x x VadoL. C. x x x x x x x x x x Rossano Calabro Turbgo VadoL. G. x x x x x x x S. Barbara x x x x Turbgo x x Torrev. S x x x x x x x x x Termn Imerese Lvorno F. x x x x Torrev. S x x x x x x x Torrevaldalga N. x x x x x x Osgla Napol L. x x x x x x x x x Sulcs x x x x x x x x x x Tavazzano ISAB Prolo x x x x x x x Poroscuso x x x x x x Trapan Sparanse x x x x x x x x x Alomone x x x Fumesano O. Brnds Nord x x x x x x x x x x Fumesano C. x x x x x x x x x x Candela x x x x x x Fumesano G. x x x x x x Cassano d A. x x CET x x x x x x Chvasso SET x x x x x x Tabella 6.8 Impan n servzo, domanda=80% Menre n concorrenza perfea ra due modell non s rcava alcuna sosanzale dfferenza ra due modell, ne pun n cu prof porebbero convergere (ndca con conv.) l modello µ-dff produce prof maggor, anche se la produzone d po per S rsula noevolmene rdoa a vanaggo della produzone d mpan d po 3. Inolre, menre con µ-unco la produzone rmane cosane per ue le pologe durane le erazon fnal, con µ-dff queso non s verfca. 37

152 Capolo 6 Anals de rsula Domanda par al 70% Ier µ N µ µ-unco S µ N µ S µ N µ S µ-dff µ N 38 µ-unco µ-unco µ-dff µ-dff S µ Prof Prof Prce Prce Tabella 6.9 Eso smulazone, domanda 70% Dalla abella s esrapolano gl andamen de prof e de prezz per le soceà sraegche.

153 Capolo 6 Anals de rsula Fgura 6.4 Andameno d prof e prezz delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=70% Nel caso UC, µ-unco, le oscllazon sono ancora meno marcae rspeo al caso con domanda all 80%, con prof e prezz, al ermne delle erazon, poco dsan da rsula d concorrenza perfea. 39

154 Capolo 6 Anals de rsula Osservando un andameno pressoché cosane, le poenze dspaccae rsulano, n percenuale alla poenza nsallaa, ndcae n fgura 6.5. Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=70%, µ-unco La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà, rappresenaa n fgura 6.6. S S 40 Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=70%, µ-unco Gl andamen nel caso d µ-dff sono molo sml a quell d µ-unco, le unche dfferenze sono le pccole varazon che s rsconrano al ermne delle erazon, seppur rascurabl.

155 Capolo 6 Anals de rsula Tal valor sono abbasanza sabl, per cu è possble, qu, defnre un unco Equlbro d Nash (er. 0). Osservando un andameno pressoché cosane, le poenze dspaccae rsulano, n percenuale alla poenza nsallaa, n fgura % 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% μ-dff Poenza dspaccaa - soceà sraegche 0 a b a b 3a 3b 9a 9b 0a 0b S S Ier. Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=70%, µ-dff La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per la soceà S, rappresenaa n fgura 6.8. S S 4 Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=70%, µ-dff

156 Capolo 6 Anals de rsula Pù n deaglo, s possono osservare le cenral dspaccae, come s osserva nella abella successva. U U U D D D U U U D D D U U U D D D a b 0 a b 0 a b 0 a b 0 a b 0 a b Cenrale Gss x x Oana Brnds Sud x x x x x x Marghera Azo. Poro Torres FusnaCarbone x x Marghera Lev. Brnds x x x x FusnaOlo Moncaler x x Lvorno x x x x La Casella x x Moncaler Ravenna x x x x LaSpezaCarb x x MonfalconeCarb x x x x x x Ferrara x x x x LaSpezaGas x x MonfalconeOlo Ferrera E. x x x x Lvorno M. Pacenza Manova x x x x Monalo d C. Pon sul Mnco x x Sarroch x x x x Perafa x x San Flppo D.M. Lenì x x x x Pombno Sarmao Voghera x x x x Poro Corsn x x Scandale x x Rosen x x x x Poro Marghera x x x x Sermde Roselecra x x x x Poro Tolle Tarano Termol x x x x Prolo Gargallo Torvscosa x x VadoL. C. x x x x x x Rossano Calabro Turbgo VadoL. G. S. Barbara x x Turbgo x Torrev. S x x x x Termn Imerese Lvorno F. x x x x Torrev. S Torrevaldalga N. x x x x x x Osgla Napol L. x x x x Sulcs x x x x x x Tavazzano ISAB Prolo Poroscuso Trapan Sparanse x x x x Alomone x x Fumesano O. Brnds Nord x x x x x x Fumesano C. x x x x x x Candela x x Fumesano G. Cassano d A. x x CET Chvasso SET Tabella 6.0 Impan n servzo, domanda=70% Con un così basso lvello d domanda due modell deermnano la sessa soluzone, ovvero che la produzone d poenza vene affdaa neramene agl mpan d po, a carbone, meno cosos degl alr. Menre n condzon d concorrenza perfea la produzone vene suddvsa ra mpan d po e d po. µ-unco µ-dff Tpo Tpo Tpo 3 Tpo Tpo Tpo 3 Ier. 0 conv.s 00% 0% 0% Ier. 0 conv.s 7% 0% 0% Ier. 0 conv.s 7% 0% 0% Ier. 0 conv.s 77% 0% 0% 6.. Consderazon conclusve relave al caso UC Come dmosrao dall andameno del profo e del prezzo nel caso d domanda par al 0%, le due soceà sraegche esercano un elevao poere d mercao. Facendo rfermeno ad un prezzo medo, n condzon d concorrenza perfea (d seguo CP), par a 70 /MWh, prezz osserva a var lvell d domanda sono molo superor. In parcolare cò s realzza con al lvell d domanda (0%, 00% e 90% d quella pozzaa), n cu prezz raggungono anche 357 /MWh. Osservando la poenza dspaccaa dalle soceà d produzone, n condzon d CP, s noa che n ermn relav la poenza dspaccaa da S e S rsula molo maggore d quella dspaccaa dalle alre (per queso esse sono consderae sraegche), ma se s consdera la poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa, s osserva che s manfesa una condzone d CP, n cu quas ue le soceà modellzzae hanno un elevao valore percenuale d poenza dspaccaa (come s vede n fgura 6.9): n alre parole, nonosane S e S abbamo una sgnfcava poenza nsallaa, le alre dspaccano la maggor quanà d poenza possble. 4

157 Capolo 6 Anals de rsula La caraersca comune d u lvell d domanda pozza è che, n CP, come s mosra nella prma erazone, la produzone d po 3 è sempre nulla, con poenza prodoa e prof relav a S maggor d quell d S. Con l aumeno de prezz, le soceà prce aker fornscono mola pù poenza rspeo a quella forna n CP: queso dmosra l fao che, avendo rcevuo l prezzo, ques sogge raggono maggor profo quando l prezzo è elevao. Le sesse consderazon valgono per gl alr lvell d domanda pozza. Con domanda maggoraa del 0%, ne pun d equlbro fnal, quando l profo d S è maggore del profo d S, l dvaro è deermnao dalla Fgura Poenza dspaccaa dalle soceà nel caso d CP massma produzone d S e dalla, relavamene rdoa, produzone da pare degl mpan d S. Nel caso µ- dff prof d S superano sempre quell d S e s può osservare che quando s omzza la sraega d una soceà, quesa cerca d massmzzare la propra produzone a dscapo della produzone dell alra soceà. µ-unco Con l lvello peno d domanda pozzaa (00%), nel caso µ-unco, alle erazon 6, 7 e 8, l profo aumena per effeo dell aumeno della poenza dspaccaa. Il profo massmo d S (n corrspondenza dell er. 7b) è deermnaa dalla massma poenza dspaccaa da S ed n parcolare prodoa, olre che da mpan d po, da mpan d po. Medesme consderazon µ-dff Fgura Confrono ra prof massm e mnm, µ-unco e µ-dff valgono per la soceà S, e successvamene al caso µ-dff. 43

158 Capolo 6 Anals de rsula Con domanda par al 90% della rchesa oale, sa nel caso µ-unco che nel caso µ-dff, l aumeno del profo non è deermnao dall aumeno della poenza dspaccaa, ma da un aumeno del prezzo d venda, causao dalla rduzone della poenza prodoa e dspaccaa da mpan d po e da un moderao aumeno della poenza prodoa e dspaccaa da mpan d po 3. Con una domanda rdoa del 0%, la dmnuzone de prezz d venda dell energa è deermnaa dalla rduzone della produzone da pare degl mpan pù cosos (po 3), sa nel caso µ-unco che nel caso µ-dff. Olre alla rduzone della poenza degl mpan d po 3, dmnusce anche la poenza prodoa dagl mpan d po, che s manene cosane nelle erazon fnal, e un aumeno della produzone degl mpan d po. In parcolare, nel caso µ-dff, S manene una pccola produzone da mpan d po 3 a dscapo d quella da mpan d po, menre S fa quas esclusvamene affdameno alla produzone d po. Con domanda par al 70% della rchesa oale, modell µ-unco e µ-dff producono un eso comune, ovvero caraerzzao da una poenza dspaccaa da S maggore d quella d S. Poché v è poca dfferenza nella produzone d po, e 3, l dfferenzale è deermnao dalla poenza producble dagl mpan droelerc. Infne, come s osserva da grafc sopra rpora, ulzzare un µ dversfcao per ecnologa d produzone deermna prof maggor per le soceà d produzone sraegche, sa n ermn d valor massm che d valor mnm. 44

159 Capolo 6 Anals de rsula 6.3. Rsula per lo scenaro CC Domanda par al 0% Ier µ N µ S µ-unco µ N µ S µ N µ S 45 µ-dff µ N µ-unco µ-dff S µ Prof Prof Tabella 6. Eso smulazone, domanda 0%

160 Capolo 6 Anals de rsula Dalla abella s esrapolano gl andamen de prof per le soceà sraegche. Fgura 6.3 Andameno de prof delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=0% S rpora n un grafco (fgura 6.3) la quanà d poenza nsallaa per zona geografca e l relavo fabbsogno elerco. Fgura Confrono ra domanda ed offera zonale, domanda=0% Nel caso µ-unco, l andameno presena 3 pun che s rpeono (er. 4, 5 e 6). Poché, per effeo della presenza de lm d ranso nerzonal, prezz d venda sono n generale dvers per ogn zona, se ne rpora l andameno nelle erazon sopra defne (fgura 6.33). 46

161 Capolo 6 Anals de rsula Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda= =0%, µ-unco La coperura d cascuna soceà d produzone sraegca del carco oale, n percenuale, è ndcaa n fgura Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=0%, µ-unco La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa, per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura

162 Capolo 6 Anals de rsula S S S S Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, d=0%, µ-unco 48

163 Capolo 6 Anals de rsula Analzzando l caso µ-dff (fgura 6.3), s osserva che l andameno d prof e prezz nelle erazon,, 3, 4, 5 e 6 s rpee anche successvamene. L andameno del prezzo zonale è rappresenaa n fgura Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=0%, µ-dff La coperura d cascuna soceà d produzone sraegca del carco oale, n percenuale, è rappresenaa n fgura Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, domanda=0%, µ-dff 49

164 Capolo 6 Anals de rsula La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà sraegche rappresenaa n fgura S S Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=0%, µ-dff Osservando le fgure sopra rporae, come dmosrao anche nel caso UC, n condzon concorrenzal due modell producono soluzon denche. Inolre, anche prof massm oenu dalle due soceà sraegche sono analogh. L algormo µ-dff deermna una produzone maggore per gl mpan d po 3, come s vede nella abella seguene. µ-unco µ-dff Tpo Tpo Tpo 3 Tpo Tpo Tpo 3 Ier. 4 max S 00% 00% 98% Ier. max S 00% 00% 98% Ier. 5 max S 00% 9% 45% Ier. max S 7% 0% 5% 50

165 Capolo 6 Anals de rsula Domanda par al 00% Ier µ N µ S µ-unco µ N µ S µ N µ S 5 µ-dff µ N µ-unco µ-dff S µ Prof Prof Tabella 6. Eso smulazone, domanda 00% Dalla abella s esrapolano gl andamen de prof per le soceà sraegche.

166 Capolo 6 Anals de rsula Fgura 6.39 Andameno de prof delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=00% S rpora n un grafco la quanà d poenza nsallaa per zona geografca e l relavo fabbsogno elerco (fgura 6.40). Fgura Confrono ra domanda ed offera zonale, domanda=00% Nel caso µ-unco, osservando che l andameno d prof e prezz nelle erazon 9, 0,,, 3, 4 e 5 s rpee anche successvamene, l andameno del prezzo zonale è rappresenao n fgura

167 Capolo 6 Anals de rsula Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=00%, µ-unco La coperura d cascuna soceà d produzone sraegca del carco oale, n percenuale, è rappresenaa n fgura 6.4. Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, domanda=00%, µ-unco 53

168 Capolo 6 Anals de rsula La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura S S S Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=00%, µ-unco Nel caso µ-dff è dffcle ndvduare pun che s rpeono, per cu s consderano ue le erazon da e 6 (fgura 6.39). La coperura d cascuna soceà d produzone sraegca del carco oale, n percenuale, è rappresenaa n fgura

169 Capolo 6 Anals de rsula Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, domanda=00%, µ-dff La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura S S Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=00%, µ-dff 55

170 Capolo 6 Anals de rsula Domanda par al 90% Ier µ N µ S µ-unco µ N µ S µ N µ S 56 µ-dff µ N µ-unco µ-dff S µ Prof Prof Tabella 6.3 Eso smulazone, domanda 90% Dalla abella s esrapolano gl andamen de prof per le soceà sraegche.

171 Capolo 6 Anals de rsula Fgura 6.46 Andameno de prof delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=90% S rpora n un grafco la quanà d poenza nsallaa per zona geografca e l relavo fabbsogno elerco (fgura 6.47). Fgura Confrono ra domanda ed offera zonale, domanda=90% Nel caso µ-unco s genera un unco equlbro d Nash, corrspondene all erazone 0. Osservando che l andameno d prof e prezz, dopo la relava cresca nzale, rmane pressoché cosane, l prezzo d venda rsula n fgura

172 Capolo 6 Anals de rsula Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=90%, µ-unco La coperura d cascuna soceà d produzone sraegca del carco oale, n percenuale è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=90%, µ-unco 58

173 Capolo 6 Anals de rsula La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà sraegche rappresenaa n fgura S S Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=90%, µ-unco 59

174 Capolo 6 Anals de rsula Nel caso µ-dff s osserva come nel perodo consderao c sano due oscllazon (fgura 6.46). Consderando l prmo pcco del profo, pù alo, e l successvo puno d mnmo, prezz d venda zonal sono rappresena n fgura 6.5. Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=90%, µ-dff La coperura d cascuna soceà d produzone sraegca del carco oale, n percenuale è, per le due soceà sraegche rappresenaa n fgura 6.5. Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=90%, µ-dff 60

175 Capolo 6 Anals de rsula La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura S S Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=90%, µ-dff Poché l andameno de prof nel modello µ-unco non è confronable con l eso del modello µ-dff, non è possble effeuare un confrono ra gl mpan dspacca. 6

176 Capolo 6 Anals de rsula Domanda par al 80% Ier µ N µ S µ-unco µ N µ S µ N 6 µ S µ-dff µ N µ-unco µ-dff S µ Prof Prof Tabella 6.4 Eso smulazone, domanda 80% Dalla abella s esrapolano gl andamen de prof per le soceà sraegche.

177 Capolo 6 Anals de rsula Fgura 6.54 Andameno de prof delle soceà sraegche n funzone delle erazon, d=80% S rpora n un grafco la quanà d poenza nsallaa per zona geografca e l relavo fabbsogno elerco (fgura 6.55). Fgura Confrono ra domanda ed offera zonale, domanda=80% 63

178 Capolo 6 Anals de rsula Nel caso µ-unco, osservando che l andameno d prof e prezz s manene pressoché cosane nel perodo consderao, l prezzo d venda è rappresenao n fgura Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=80%, µ-unco La coperura d cascuna soceà d produzone sraegca del carco oale, n percenuale è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=80%, µ-unco 64

179 Capolo 6 Anals de rsula La percenuale della poenza dspaccaa rspeo alla poenza nsallaa per le 3 pologe d produzone nelle erazon suddee è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura S S Fgura Rparzone della poenza dspaccaa per ecnologa d produzone, domanda=80%, µ-unco 65

180 Capolo 6 Anals de rsula Nel caso µ-dff s osserva come nel perodo consderao c sano due oscllazon (fg.6.54). Consderando l prmo pcco del profo, pù alo, e l successvo puno d mnmo, l prezzo d venda zonale rsula n fgura Fgura Andameno del prezzo zonale nelle erazon suddee, domanda=80%, µ-dff La coperura d cascuna soceà d produzone sraegca del carco oale, n percenuale è, per le due soceà sraegche, rappresenaa n fgura Fgura Percenuale d poenza dspaccaa, d=80%, µ-dff 66