s F(s) f(0 ) nel dominio della pulsazione complessa. Per determinare le e at sen(ωt +ϕ) u(t) e at cos(ωt +ϕ) u(t)

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1 A TASFOMATA D APAE E A SUA APPAZONE A UT NEA ON MEMOA. DEFNZONE E POPETÀ a raformaa d aplace d una funzone f( è defna dalla eguene relazone: [ f (] f ( e F ( dove F( è dea raformaa d aplace della funzone f(, è una varable complea dea pulazone complea ed ndca l operaore d aplace che permee d paare da f( ad F(. a relazone ra una funzone f( e la ua raformaa F( è bunvoca e c lma alla clae delle funzon nulle per <. e condzon uffcen (* affnché una funzone a raformable econdo aplace ono che ea a: connua a ra; d ordne eponenzale, coè f( < Αe α, > con A e α coan. Alcune propreà della raformaa d aplace ono raune nella Tabella. Tal propreà, che poono eere faclmene Tabella. Operazon compabl con la raformaa d aplace verfcae applcando la defnzone (, permeono d raformare equazon (o em d equazon dfferenzal f( F( lnear nel domno del empo n equazon (o em d equazon f ( f ( F ( F ( algebrche nel domno della pulazone complea, k f( k F( conenendone una pù agevole oluzone. olvendo le e- d quazon raformae deermnano le oluzon raformae f ( F( f( nel domno della pulazone complea. Per deermnare le oluzon nel domno del empo baa an-raformare. Alcune raformae d aplace per funzon elemenar ono f ( g( F( G( raune nella Tabella. operazone d an-raformazone, ndcaa con l mbolo [F(], cone nel deermnare, a parre da una funzone F(, la funzone f( la cu raformaa d aplace è F(. Ee un negrale d nverone, ma la ua applcazone convolge conocenze nel campo della eora delle funzon d varable complea che eulano dagl cop della eora de crcu. nfa, graze alla bunvocà della raformaa è poble ulzzare le corrpondenze morae n Tabella a per raformare (da nra vero dera a per an-raformare (da dera vero nra. Queo compora uava che, daa una funzone F( da an-raformare, è necearo comporla nella omma d ermn elemenar rconducbl a ca rpora n Tabella. Qund l problema della anraformazone cone prncpalmene nella compozone n par abulae. Tabella. - Traformae d aplace d funzon elemenar (o f( F( δ( u( / n u( n!/ n e a u( /( a en(ω u( ω/( ω co(ω u( /( ω e a en(ω ϕ u( e a co(ω ϕ u( ( a en ( a ϕ ω coϕ ( a co ( a ω ϕ ω en ϕ ω (* Eono effevamene funzon raformabl che non ono d ordne eponenzale. Ad eempo la funzone / non è d ordne eponenzale (n quano dverge nell orgne ma è aplace - raformable, con raformaa (π/. (o Ulzzando la raformaa d aplace rulano ul la funzone a gradno unara u( (d Heavde e l mpulo unaro δ( (dela d Drac. a funzone a gradno unara è defna da u(, e < ed u(, e ed. mpulo unaro è defnble come δ( lm u( u( /. S no che ( δ, da cu l nome d mpulo unaro. E charo che la dela non è una funzone nel eno uuale (è nfna nell orgne e zero alrove: vene ulzzaa per rappreenare appromavamene fenomen come pcch (al e localzza d alcune funzon o le dconnuà. Eleroecnca T a raformaa d aplace -

2 n parcolare, e c lma allo udo d crcu a coan concenrae lnear e empo nvaran, hanno da an-raformare olo funzon razonal a coeffcen real. Quea conaazone emplfca noevolmene l problema n quano ogn funzone razonale può eere unvocamene compoa n fra emplc. Poo F( N(/D(, dove N( e D( ono polnom n a coeffcen real ed l grado d D è maggore d quello d N, le oluzon dell equazone D( ( no che al oluzon poono eere olo real o complee conugae e n numero par al grado d D ndcae con p ono dee pol della funzone F. Se u pol ono emplc (D(p, D'(p,, la compozone n fra emplc è daa da (o : n N ( k F D p ( Una vola deermnaa la compozone, l an-raformaa d F è mmedaamene deducble. Ad eempo, e u pol ono emplc, l an-raformaa è eprmble nel modo eguene: f n ( [ ( ] p F k e u( k p n S conder, ad eempo, l crcuo n fgura, che è un crcuo del ordne, coè un crcuo caraerzzao da un equazone dfferenzale del prmo ordne (coè conenene un olo elemeno con memora. S è gà vo come oenere l equazone d ao e la condzone nzale. andameno emporale della correne ( vene calcolao, eguendo l meodo della raformaa d aplace, applcando la raformaa all equazone dfferenzale, rolvendo l equazone algebrca coì oenua ed an-raformando. d Eu ( ( ( equazone per la varable raformaa ( è algebrca e può eere rola eplcamene: E ( E E ( E Fgura E ( u( e u( e u( rcuo Ovvamene la ( concde con la oluzone gà oenua rolvendo l equazone d ao per > nel domno del empo. S vuole ora udare l evoluzone nel empo delle varabl d ao nel crcuo del econdo ordne rappreenao n fgura. S è gà vo come oenere l equazone d ao e le condzon nzal. Supponendo, T ad eempo, che da del problema ano: E,. Ω,. Ω, Ω, µf, mh, oene: dv v (. (. E d.66 v (.7 (.86 ( v v v (. ( Fgura E T v ( (o Se N e D ono polnom n, è uuale rappreenare la funzone razonale F n ermn d pol (le oluzon dell equazone D( e d zer (le oluzon dell equazone N( dao che la conocenza della pozone d pol e zer equvale a conocere F (a meno d un faore d cala molplcavo. Pol e zer ono uualmene rappreena ul pano compleo ulzzando mbol e, rpevamene. Eleroecnca T a raformaa d aplace -

3 Applcando la raformaa d aplace al ema ( d equazon dfferenzal lnear del prmo ordne a coeffcen coan (valdo per >, oene: v v (. (.66.7 ( (. c ( ( olvendo queo ema lneare oengono le eguen epreon eplce per ( e (: ( ( a oluzone nel domno del empo del ema ( oene perano an-raformando le (7: ( (6 ( ( (.6e.6e u( ( ( 6.e 6.e u( (8 v l rulao oenuo concde ovvamene con la oluzone drea del ema (. n generale, la oluzone rame raformaa d aplace delle equazon d ao procede empre nel modo eguene: dx [ A] x b( X x [ A] X B (9 x( x E qund nel domno della pulazone complea oene: X ( [ A] [ ] x ([ A] [ ] B ( a compozone n fra emplc d ([A] [] - può eere effeuaa per pezone o rame la deermnazone degl auovalor e degl auoveor della marce d ao [A]. ome noo l equazone caraerca de([a] λ[] permee d deermnare gl auovalor (con [] è ndcaa la marce denà. Dao che [A] è una marce reale, l equazone caraerca è un polnomo a coeffcen real d grado par all ordne del ema. Gl zer del polnomo (λ k, con k nero defno da a N, dove N è l ordne del crcuo ovvero la dmenone della marce d ao ono perano real o comple conuga Ammeo per emplcà che gl auovalor ano dn, l auoveore u k della marce d ao deermna rolvendo l ema lneare ([A] λ k [] u. Defnendo la marce [U] [u,..., u k,..., u N ], le cu colonne ono gl auoveor, e la marce [Λ] dag{λ,..., λ k,..., λ N } nulla ovunque ranne che ulla dagonale che conene gl auovalor, poono rappreenare le N relazon [A] u k λ k u k, come una ola relazone: [A][U] [U][Λ]. S ha qund: ([A] [] [U] ([Λ] [][U] - [U] (dag{λ,..., λ k,..., λ N }[U] - Da cu: ([A] [] - [U] (dag{/(λ,..., /(λ k,..., /(λ N }[U] - Eleroecnca T a raformaa d aplace -

4 E dunque [ ([A] [] - ] [U] (dag{e λ,..., e λ k,..., e λ N }[U] - [U] e [Λ] [U] - dove è poo (* : e [Λ] dag{e λ,..., e λ k,..., e λ N }. nfne an-raformando la ( ha: x ( [ ] [ ] Λ [ ] [ ] [ Λ ]( U e U x U e [ U] b( Dove per l econdo ermne è ulzzaa la propreà dell negrale d convoluzone (ved ulma rga della Tabella. a ( è la oluzone delle equazon d ao nel domno del empo (**. (. METODO SMBOO E OMPONENT Procedendo come fnora decro lavora nel domno del empo fnché non arrva alla deermnazone del ema d equazon d ao. S può uava effeuare l anal d un crcuo lneare procedendo n dall nzo nel domno della pulazone complea (o domno d aplace. Queo è poble perché l ema rolvene oene ulzzando le egg d Krchhoff e le relazon couve degl elemen che, eendo lnear, poono eere raformae econdo aplace. Domno del empo Domno d aplace K r ( r r(am r(am KT vr ( r r(am r(am e legg d Krchhoff vengono rpeae anche dalle grandezze crcual raformae. D coneguenza è poble applcare la raformaa d aplace dreamene a lvello d crcuo. e relazon couve de componen lnear vengono raformae n relazon algebrche ra le grandezze raformae econdo l eguene chema ( componen non-lnear non poono nvece eere raforma nel domno d aplace. corrponden elemen nel domno d aplace non hanno gnfcao fco, poché ono nerea da grandezze raformae. loro paramer pc conervano le dmenon orgnare, ma vengono nomna dveramene per rcordare che ono rfer al domno raformao. n generale parla d mpedenza quando condera una quanà a dmenone Ohm [Ω] e d ammeenza quando condera una quanà a dmenone Semen [S]. Generaore d enone l generaore ndpendene d enone ha n generale una enone mprea e g ( dpendene dal empo. Nel domno d aplace ulzza lo eo mbolo uao nel domno del empo, n cu ono ndca dreamene le raformae della enone d ramo, della correne d ramo e della enone mprea E g (. l ermnale conraegnao dal egno ndca l ermnale povo della enone mprea. Domno del empo Domno d aplace Fgura e g ( ( v( (a E g ( ( ( Generaore d enone ndpendene: (a nel domno del empo, (b nel domno d aplace. (b (* S no che e [Λ] dag{,...,,..., } [] e che d e [ Λ] λ λ λ { } [ ] [ ] dag λ e, K, λ e, K, λ Eleroecnca T a raformaa d aplace - k N Λ k N e Λ e (** a verfca è mmedaa: ( [ ][ ] [ Λ ] [ ] [ ][ ] [ Λ ]( Λ Λ [ ] ( [ ] [ Λ ] x& U e U x U e U b U e [ U] b( [ ][ ] [ Λ ] [ ] [ ][ ] [ Λ ]( A U e U x A U e [ U] b( b( [ A] x( b(. nolre ( [ ] [ Λ ] x U e [ U] x x

5 on rfermeno a ver pov delle grandezze ndca nella fgura.a, la caraerca del generaore d enone ndpendene nel domno del empo è la eguene: Ulzzando la raformaa d aplace, la caraerca del generaore d enone ndpendene nel domno d aplace è qund la eguene: v( e g ( ( ( E g ( ( S no che la ( è oenble dreamene dal crcuo.b, ulzzando le ole convenzon u ver d rfermeno. Anche per generaor d enone ploa lnear (GTPT e GTP procede allo eo modo: nel domno d aplace ulzza lo eo mbolo e ue le varabl crcual ono oue dalle rpeve raformae. Generaore d correne Fgura ( Domno del empo g ( v( (a Generaore d correne ndpendene: (a nel domno del empo, (b nel domno d aplace. l generaore ndpendene d correne ha n generale una correne mprea g ( dpendene dal empo. Nel domno d aplace ulzza lo eo mbolo uao nel domno del empo, n cu ono ndca dreamene le raformae della enone d ramo, della correne d ramo e della correne mprea g (. a frecca ndca l vero povo della correne mprea. on rfermeno a ver pov delle grandezze ndca nella fgura.a, la caraerca del generaore d correne ndpendene nel domno del empo è la eguene: Ulzzando la raformaa d aplace, la caraerca del generaore d correne ndpendene nel domno d aplace è qund la eguene: Domno d aplace ( g ( ( ( g ( ( S no che la ( è oenble dreamene dal crcuo.b, ulzzando le ole convenzon u ver d rfermeno. Anche per generaor d correne ploa lnear (GPT e GP procede allo eo modo: nel domno d aplace ulzza lo eo mbolo e ue le varabl crcual ono oue dalle rpeve raformae. Traformaore deale l raformaore deale è defno nel domno del empo dalle v ( K v ( (6.a eguen relazon lnear: ( K ( (6.b Ulzzando la raformaa d aplace, le (6 raformano nel ( K ( (7.a domno d aplace come egue: ( K ( (7.b ome per generaor, nel domno d aplace manene lo eo mbolo e ue le varabl crcual ono oue dalle rpeve raformae. eore l reore lneare ha come caraerca nel domno del empo: v( ( [oppure ( G v(, dove G /] (8 ( ( g ( (b Eleroecnca T a raformaa d aplace -

6 Ulzzando la raformaa d aplace, le (8 raformano nel domno d aplace come egue: ( ( [oppure ( G (, dove G /] (9 Nel domno d aplace l reore ndca come n fgura.b, pecfcando l valore d reenza (o d conduanza, e ouendo le varabl crcual con le rpeve raformae. nduore v( ( (a (b Fgura eore lneare: (a nel domno del empo, (b nel domno d aplace. d v ( nduore lneare ha come caraerca nel domno del empo: ( ( Ulzzando la raformaa d aplace, la ( raforma nel domno d aplace come egue: ( ( ( [oppure ( (/( (/] ( Nel domno d aplace l crcuo equvalene dell nduore ndca come n fgura 6.b, pecfcando l valore d mpedenza e la enone mprea (, e ouendo le varabl crcual con le rpeve raformae. ondenaore d ( l condenaore lneare ha come caraerca nel domno del empo: ( v( Ulzzando la raformaa d aplace, la ( raforma nel domno d aplace come egue: ( ( v( [oppure ( ( /( v(/] ( Nel domno d aplace l crcuo equvalene del condenaore ndca come n fgura 7.b, pecfcando l valore d mpedenza / e la correne mprea v(, e ouendo le varabl crcual con le rpeve raformae. ( ( Domno del empo Domno del empo Domno del empo Domno d aplace / v( ( v( (a (b Fgura 7 ondenaore lneare: (a nel domno del empo, (b nel domno d aplace. ( Domno d aplace Domno d aplace ( ( ( v( ( (a (b Fgura 6 nduore lneare: (a nel domno del empo, (b nel domno d aplace. ( Eleroecnca T a raformaa d aplace - 6

7 aumendo, no come nel domno d aplace le K ano formalmene denche alle K nel domno del empo per crcu prv d memora (o n regme azonaro alvo l fao che n luogo delle grandezze enon e corren compaono le loro raformae. Anche le caraerche de generaor, a ndpenden a ploa, del raformaore deale e del reore nel domno d aplace ono formalmene denche alle rpeve caraerche nel domno del empo per crcu n regme azonaro alvo l fao che n luogo delle grandezze enon e corren compaono le loro raformae. nfne nduore e condenaore poono eere unfca nel domno d aplace con un unco componene lneare che formalmene è un generaore reale. Quee oervazon permeono d affermare che u meod d oluzone applcabl a crcu prv d memora (o n regme azonaro nel domno del empo poono eere applca anche a crcu nel domno d aplace, alvo l mpego delle varabl raformae. algono nolre u eorem e le equvalenze ulle re prve d memora (ere, parallelo, raformazon ella-rangolo, Teorem d Thevenn, d Noron, d Mllman, ec. con le dee modfche. Quano deo mora anche come non a necearo, ogn vola che rolve un crcuo, procedere alla raformazone delle equazon, poendo crvere dreamene quee ulme nel domno d aplace. n defnva qund l operazone d raformazone è d regola effeuaa dreamene ullo chema crcuale. Per llurare come a poble applcare la raformaa d aplace dreamene a lvello d crcuo conder nuovamene l crcuo llurao n fgura.a, per >. Souendo ad ogn elemeno crcuale nel domno del empo l corrpondene componene o crcuo equvalene nel domno d aplace oene l crcuo raformao nel domno d aplace (ved fgura.b. Al crcuo raformao è poble applcare u meod v per l anal de crcu prv d memora. B B E v A Fgura.a - rcuo nel domno del empo Fgura.b - rcuo nel domno d aplace a oluzone del crcuo d fgura.b può eere oenua calcolando prma la enone : ( E E e qund eprmendo la correne ( e la enone ( n funzone d (: v ( ( Poo E,. Ω, Ω, µf, mh dalla ( oene: menre dalla ( oene: v E / v ( ( (.. (6 A / ( Eleroecnca T a raformaa d aplace - 7

8 v ( ( l ema (7 è del uo denco al ema ( che era ao oenuo per alra va. l meodo d anal ora llurao vene chamao Meodo mbolco d anal nel domno d aplace. È mporane noare che l crcuo raformao è un crcuo fzo, coè prvo d gnfcao fco, ed è prvo d memora. Un mporane vanaggo del meodo mbolco u quell dfferenzal è rappreenao dal fao che le condzon nzal ono rappreenae da generaor ndpenden all nerno del crcuo raformao, l che compora una noevole emplfcazone nella conderazone delle condzon nzal. (7. FUNZON D ETE Nel domno d aplace oengono crcu decr da equazon algebrche. Perano, analogamene a quano accade per crcu prv d memora nel domno del empo, quala rpoa è proporzonale alla caua che l ha generaa, upponendo nulle ue le condzon nzal. unca dfferenza è che nel domno d aplace l faore d proporzonalà è n generale dpendene da. Qund, dea X ou ( la rpoa del crcuo ed X n ( la caua che l ha generaa, può crvere: X ou ( H( X n ( (8 dove l faore d proporzonalà H( vene deo funzone d ree (o funzone d rafermeno. n parcolare, e c lma allo udo d crcu a coan concenrae lnear e empo nvaran, le funzon d ree ono empre funzon razonal a coeffcen real. a rpoa (o uca X ou e l eccazone (o ngreo X n poono eere una quala coppa d varabl elerche del crcuo n eame (*. È mporane oolneare che una funzone d ree non è la raformaa d aplace d una grandezza elerca preene nel crcuo, ma è un rapporo d raformae. Ea dvena la raformaa d una grandezza crcuale olo nel cao parcolare n cu la raformaa dell eccazone è unara, coè l eccazone nel domno del empo è un mpulo unaro. n al cao ha nfa: x n ( δ( X n ( X ou ( H( x ou ( h(. an-raformaa d una funzone d ree è qund uguale alla rpoa ad un mpulo unaro e vene dea percò rpoa mpulva. a conocenza della rpoa mpulva, che n lnea d prncpo è anche murable, permee d deermnare la rpoa ad una eccazone quala (**. È uffcene a queo copo conderare la propreà dell negrale d convoluzone (ved ulma rga della Tabella : x ou ( [ X ] [ H X ] h( x ( ou n n (9 S poono defnre analoghe funzon d ree anche per crcu n A nel domno mbolco. Tuava l anal nel domno d aplace permee d unfcare due conce. nfa, dao che le condzon nzal ono nulle, è uffcene conderare le funzon d ree come funzon d jω nvece che d. ò è dovuo al fao che le caraerche d reore, nduore, condenaore, raformaore deale e generaor ploa nel domno d aplace concdono, per jω con le caraerche degl e componen nel domno mbolco (oenue rame la raformaa d Senmez. (* Poché a l ngreo che l uca poono eere una correne oppure una enone, n un qualunque puno del crcuo, eono quaro pobl p d funzone d rafermeno: ( ou (/ n ( guadagno d enone, ( ou (/ n ( guadagno d correne, ( ou (/ n ( mpedenza, ( ou (/ n ( ammeenza. mpedenze ed ammeenze ono uualmene ndcae rame mbol Z ed Y, rpevamene, analogamene a quano fa n regme A. (** n parcolare, l uca corrpondene a un ngreo x n ( u( con condzon nzal nulle, prende l nome d rpoa al gradno unaro. Evdenemene ha ( [ H / ] h( x ou d, oa la rpoa al gradno unaro è par all negrale della rpoa all mpulo (ovvero la rpoa all mpulo è la dervaa della rpoa al gradno. Eleroecnca T a raformaa d aplace - 8

9 B B v n ( v Fgura 6.a - rcuo nel domno del empo Fgura 6.b - rcuo nel domno d aplace, upponendo nulle le condzon nzal. A olo d eempo conder nuovamene l crcuo llurao n fgura 6.a n cu nende deermnare l guadagno d enone / n e l ammeenza d rafermeno / n. Paando al domno d aplace e upponendo nulle le condzon nzal, oene l crcuo d fgura 6.b. e mpedenze ul ramo cenrale ono n ere e qund equvalen ad una unca mpedenza /. Analogamene ul ramo d dera ha una unca mpedenza equvalene ere par a. ram al cenro e a dera ono n parallelo, qund oubl con una ola mpedenza equvalene parallelo par a: ( / (. 7.. Z// /. Poo. Ω, Ω, µf, mh, la correne è qund daa da: n. n Z.7. a enone ra nod B ed A è qund: //. 7.. Z// n.7. a enone ul condenaore e la correne ull nduore ono qund mmedaamene deducbl: ; / Da cu oengono le funzon d ree rchee: H Y n n n n. 7.. ( ( ( (.7. S vuole ora deermnare la rpoa all mpulo unaro h( corrpondene ad H(, ovvero l an-raformaa d H. S effeua qund la compozone n fra emplc noando che pol d H ono p 88, p 866 e p, menre gl zer ono z e z 666. Semplfcando l faore comune ( ha qund: ( ( 666 H ( ( pol ono emplc e con pare reale negava, qund la rpoa all mpulo unaro arà la omma d eponenzal decrecen. a compozone cercaa è nella forma: ( H k p ( k p Dao che pol ono emplc, l modo pù rapdo per oenere le coan k e k (redu ne pol è molplcare enramb membr della ( per ( p e, dopo la emplfcazone con l denomnaore d H, valuarl nel polo (coè per p, oenendo [( p H(] p k (con,. S oengono qund k 6, k 6. An-raformando la ( oene nfne: A v h ( ( 6e 86e u( n ( ( / A ( Eleroecnca T a raformaa d aplace - 9