Lezione 3. F. Previdi - Automatica - Lez. 3 1

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Annunziata Antonella
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1 Lzon 3. Movmno Equlbro F. Prv - Auomaca - Lz. 3 1

2 Schma lla lzon 1. Movmno ll usca un ssma LTI SISO. Movmno lbro movmno forzao 3. Equlbro un ssma LTI SISO 4. Guaagno saco un ssma LTI SISO F. Prv - Auomaca - Lz. 3

3 1. Movmno ll usca un ssma LTI SISO u () ( ) S n α m ( ) u( ) β ; 1,; L ; n 1, Assgnao un anamno ll ngrsso u() ( )[la forzan ] assgna l conzon nzal, è possbl ngrar l quazon ffrnzal onr l anamno ( ), movmno ll usca F. Prv - Auomaca - Lz. 3 3

4 Esmpo u ( ) poraa volumrca n ngrsso (m 3 /s) h( ) ( ) kh( ) lvllo poraa volumrca n usca (m 3 /s) k & A k A ( ) + ( ) u ( ) A 1 m m k 1 s & ( ) + ( ) u ( ) F. Prv - Auomaca - Lz. 3 4

5 con lvllo nzal Sa assgnao l ngrsso u ( ), h( ) 5 Pr rovar l movmno ll usca, parno a 5 m rogano una poraacosan m 3 /s, bsogna rsolvr l quazon ffrnzal lnar l prmo orn con la conzon nzal Innanzuo s rcor ch: & ( ) + ( ) ( ) kh( ) 5 [ ( )] () ( ) Qun, s molplchno nramb mmbr ll quazon pr & () + () ( ()) F. Prv - Auomaca - Lz. 3 5

orn con la conzon nzal Innanzuo s rcor ch: & ( ) + ( ) ( ) kh( ) 5 [ ( )] () ( )

6 Ingrano nramb mmbr s on () ( ) () ( ) ( ) + ( ) 5 Sfruano la conzon nzal: () ( ) [ ] ( ) ( ), 3 + Il movmno ll usca movmno ll usca è F. Prv - Auomaca - Lz. 3 6

( ) 3 5 1 5 5 + + + + ( ), 3 + Il movmno ll

7 . Movmno lbro movmno forzao u () ( ) S n α m ( ) u( ) β ; 1,; L ; n 1, S consr l movmno ll usca ch s on n corrsponnza u() con conzon nzal assgna ; 1,; L ; n 1, [è la soluzon ll quazon omogna assocaa]. Tal amovmno os c c Movmno lbro ll usca Alrnavamn, s consr l movmno ll usca ch s on n corrsponnza conzon nzal null 1, n1, con u() assgnao. Tal movmno s c Movmno forzao ll usca F. Prv - Auomaca - Lz. 3

8 Movmno lbro Il movmno lbro ll usca s on ngrano l quazon ffrnzal n ( ) α con c.. ; 1,; L ; n 1, La sua soluzon passa aravrso la rcrca ll soluzon ll quazon quazon cararsca assocaa, auovalor: n n1 ( s ) s + αn 1 s + L+ α ϕ n1 ( ) ov ϕ s è l polnomo cararsco. Noa Bn Con un pccolo abuso, s parlrà auovalor l ssma polnomo cararsco l ssma F. Prv - Auomaca - Lz. 3 8

cararsca assocaa, auovalor: n n1 ( s ) s + αn 1 s + L+ α ϕ n1 ( ) ov ϕ s è l polnomo

9 S gl auovalor s sono ral sn l soluzon parzal s ll quazon ffrnzal sono l po la soluzon gnral è aa alla loro combnazon lnar n () 1 c s S gl auovalor sono complss conuga sn (a copp), coès s σ ±jω, l soluzon parzal ll quazonquazon ffrnzal sono l po σ sn ( ω), σ cos( ω ) la soluzon gnral è aa alla loro combnazon lnar n () σ ( ) + ( ) σ sn ω cos ω 1 c I valor coffcn lla combnazon lnar s calcolano mponno l rspo vncol mpos all conzon nzal. L soluzon parzal s cono mo l ssma namco LTI. F. Prv - Auomaca - Lz. 3 9

ω), σ cos( ω ) la soluzon gnral è aa alla loro combnazon lnar n () σ ( ) + ( ) σ sn ω cos ω 1 c I valor coffcn lla combnazon

10 L cos s complcano un po s l rac ll quazon cararsca non sono sn. In parcolar, s un auovalor ha molplcà algbrca ugual alla sua molplcà gomrca connuano a valr rsula prma. In caso conraro s hanno mo l po s, s,l sn ω, σ ) ( ) σ σ σ cos ( ω ), sn ( ω ), cos ( ω ), L La ponza pn alla fcnza molplcà. F. Prv - Auomaca - Lz. 3 1

11 3. Equlbro un ssma LTI SISO S fnsc usca qulbro un ssma namco lnar mpo-nvaran l valor cosan ll usca ( ) (s ss) ch s on n corrsponnza un assgnao u u, valor cosan ll ngrsso ( ) Opravamn s raa annullar l rva ll ngrsso ll usca nll quazon ffrnzal. F. Prv - Auomaca - Lz. 3 11

un assgnao u u, valor cosan ll ngrsso ( ) Opravamn s raa annullar l

12 Esmpo ( ) + ( ) u( ) & 3 Calcolar l usca qulbro n corrsponnza ll ngrsso cosan u, Bsogna rsolvr l quazon algbrca 3 3 Usca qulbro (pr u u ) ( ) Ossrvazon L usca qulbro è vrsa pr vrs valor cosan ll ngrsso, pr quso s soolna n corrsponnza. F. Prv - Auomaca - Lz. 3 1

(pr u u ) ( ) Ossrvazon L usca qulbro è vrsa pr vrs valor cosan

13 Ossrvazon Non è smpr o ch ssa o sa unca l usca qulbro. Pr s. l ssma namco LTI () + & ( ) u( ) & Non amm alcuna usca qulbro n corrsponnza valor cosan ll ngrsso non null u Torma Un ssma LTI SISO può avr (n corrsponnza un ao u ): una sola usca qulbro nfn usc qulbro nssuna usca qulbro F. Prv - Auomaca - Lz. 3 13

valor cosan ll ngrsso non null u Torma Un ssma LTI SISO può avr (n

14 4. Guaagno saco un ssma LTI SISO Dao un ssma LTI SISO ch amm un unca usca qulbro n corrsponnza un ngrsso cosan assgnao u, s c guaagno saco l ssma l rapporo ra l usca qulbro l corrsponn ngrsso cosan: μ u F. Prv - Auomaca - Lz. 3 14

assgnao u, s c guaagno saco l ssma l rapporo ra l usca

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