1. METODO DELLE EQUAZIONI DI STATO

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1 IUII ON MMOIA Vngono d crcu con mmora (o crcu dnamc) qull n cu è prsn almno un componn doao d mmora (com nduor condnsaor, ma non solo); n quso caso l ssma rsoln dl crcuo ssso conn l cararsch (dffrnzal) d componn con mmora. Il alor d u l arabl crcual n un gnrco san può ssr calcolao solo dalla conoscnza dl alor dll grandzz mprss da gnraor ndpndn nl crcuo n uo l'nrallo mporal prcdn all'san consdrao, a parr da un san nzal n cu sono no l arabl d sao dl ssma (qull grandzz cu è assocaa una nrga lromagnca mmagazznaa: la nson su condnsaor la corrn ngl nduor). u mod prcdnmn dscr pr l caso d crcu pr d mmora sono applcabl a crcu con mmora, ma porano a scrr un ssma d quazon algbrco - dffrnzal. Ad smpo, pr quano rguarda l'anals d ablau, l quazon cosu dall K K rmangono un ssma d quazon algbrch lnar ch n prò complao dall cararsch d componn n cu compaono rmn dffrnzal. a maggor par d mod d anals, sa sa ch numrc, prsuppongono ch l ssma da rsolr sa n forma normal (o canonca) n cu l dra sono splca. A al fn s può ulzzar l modo dll quazon d sao, ch prm d onr un ssma dffrnzal n forma normal d quazon dffrnzal dl prmo ordn.. MODO D QUAZIONI DI SAO S consdr un crcuo n cu gl unc componn doa d mmora sano nduor condnsaor. È possbl prnr con un procdmno auomaco ad un ssma rsoln cosuo da an quazon dffrnzal ordnar dl prmo ordn quan sono condnsaor gl nduor prsn nl crcuo (quazon d sao), d n cu l ncogn sono l arabl d sao dl crcuo, coè l nson ra rmnal d condnsaor l corrn ararso gl nduor. S procda com sgu:. Dfnr l cararsch d nduor condnsaor, splcando l dra d d ;. Nl crcuo (con mmora) sosur nduor condnsaor con, rspamn, gnraor ndpndn d corrn d nson (grandzz mprss par all arabl d sao d ). solr l crcuo (pro d mmora) rsulan pr drmnar l arabl complmnar ( );. Sosur nll cararsch pr onr l quazon d sao. S consdr ad smpo l crcuo lnar llusrao nlla fgura.a. cararsch dl condnsaor dll'nduor porano a scrr l sgun quazon, n cu sono splca l dra dll arabl d sao: d d, () d d Pr onr un ssma d du quazon (pr cosruzon dffrnzal dl prmo ordn) n du arabl (l arabl d sao d ) è ncssaro drmnar la corrn ararso l condnsaor la nson a cap dll'nduor n funzon d d. A al fn s può procdr supponndo (formalmn) no l arabl d sao. In quso modo l condnsaor può ssr sosuo, nl crcuo, con un gnraor d nson a nson mprssa l nduor con un gnraor d corrn a corrn mprssa Fgura.a. ulà d qusa sosuzon è doua al fao ch l crcuo ch s on, llusrao nlla fgura.b, è pro d mmora qund può ssr rsolo, con una qualsas dll modolog gà s, pr drmnar la nson la corrn. B A lrocnca Indusral rcu con d mmora -

2 In parcolar, la soluzon dl crcuo d fgura.b può ssr onua applcando l orma d Mllman (la sr rssor - gnraor d corrn è qualn al solo gnraor d corrn:.): B BA BA BA () A Fgura.b È qund possbl sprmr la corrn la nson n funzon dll arabl d sao dll grandzz mprss da gnraor ndpndn (n quso caso, ): BA BA () Sosundo la () nlla () nroducndo pr smplcà d noazon l conduanz s ha: a sosuzon dll (4) nll () fornsc qund l rsulao oluo, oro un ssma dffrnzal n forma normal: GG G G G G G d GG d G d G d GG G G G G G G G G G G ( G ) ( G G ) ( G G ) ( ) G G G G ( G G ) G G G G (4) (5) In forma oral l ssma (5) s scr com: d d GG G G G ( G ) ( G G ) ( G ) G G G GG G G G ( G ) ( ) G Il ssma dffrnzal a cu s prn ulzzando l modo dll quazon d sao è smpr (*) sml al (6), s l crcuo nzal è lnar (s l crcuo non è lnar l modo è comunqu applcabl, ma può ssr noolmn pù dffcl drmnar l arabl complmnar all arabl d sao). Indcando con x l or dll arabl d sao, con [A] la marc d coffcn (marc d sao) con b l or dgl ngrss (così chamao n quano compaono l grandzz mprss da gnraor ndpndn), s on qund un ssma d quazon dffrnzal lnar dl prmo ordn a coffcn cosan n forma normal (quazon d sao): dx A d [ ] x b ordn dl ssma è par al numro d quazon ch lo cosuscono (ad smpo, l ssma (6) è dl scondo ordn) ch, pr cosruzon, è ugual al numro d arabl d sao, coè al numro d nduor condnsaor prsn nl crcuo. a dfnzon d ordn s snd anch a crcu (6) (7) (*) Qusa affrmazon s basa uncamn sulla ffa possblà d rsolr l crcuo pro d mmora onuo dalla sosuzon d nduor condnsaor con gnraor ndpndn d corrn nson, rspamn. sono cas n cu al crcuo non è unocamn solubl (ad smpo crcu connn agl cosu solo da nduor o magl solo d condnsaor). Il modo è ancora applcabl, ma l ssma dffrnzal d ssr accompagnao da uno (o pù) ncol ra l arabl d sao, ch n complcano la soluzon. lrocnca Indusral rcu con d mmora -

3 con mmora, ndcando com dl prmo ordn crcu con un solo nduor o condnsaor, dl scondo ordn crcu con du componn con mmora, ccra. S da dl problma sono V,.5 Ω,.5 Ω, 5 Ω, µf, mh, dalla (6) s on, sosundo: d d Pr quano rguarda l unà d msura d alor numrc prsn n [A] b, un modo smplc pr ddurl è ffuar un anals dmnsonal d ar rmn dll quazon (8). Ad smpo l mn 5 molplcao pr [V] d ar la sssa dmnson dlla draa d [V/s] qund ha com unà d msura [s - ]. Analogamn l mn.5 molplcao pr [A] d ar la sssa dmnson dlla draa d [V/s] qund ha com unà d msura [Ω/s]. Qund, la marc d sao dl crcuo llusrao nlla fgura.a (con l unà d msura) è: 5 s.5 Ω / s [ ] A (9).66 S/ s.75 s (a marc d sao, com s drà nl sguo è suffcn a drmnar s l crcuo è sabl d l mpo ncssaro n quso caso pr raggungr l rgm.) a soluzon dl ssma d quazon dffrnzal ordnar dl prmo ordn (7) può ssr onua, nualmn pr a numrca, a parr dall san nzal n cu sono no alor d dll arabl d sao (condzon nzal o sao nzal): 5 4 ( ) ( ) a dfnzon dll san nzal, connzonalmn, può anr n drs mod, uaa d solo s ha nrss a sudar crcu n cu nrn una sanana arazon dlla opologa, ossa crcu n cu sono prsn nrruor dal ch s aprono s chudono sananamn (com mosrao n fgura ). Quando l nrruor dal è apro sso qual ad un crcuo apro qund la corrn ch lo ararsa è nulla ( ). Vcrsa quando l nrruor è chuso sso qual ad un coro crcuo la nson a suo cap è nulla ( ) (#). san n cu l nrruor s apr o s chud rapprsna n quso caso la scla usual pr dfnr l san nzal. Inrruor dal apro (s chud a ) Inrruor dal chuso (s apr a ) (8) (), s < (crcuo apro), s > (corocrcuo) Fgura. Inrruor dal. Pr drmnar alor dll arabl d sao nll san nzal ( ), ossa nll san n cu s modfca la opologa dl crcuo nza l ransoro, s ulzza l posulao d connuà dll nrga: l nrga non può subr dsconnuà nl mpo. Una dsconnuà dll nrga n un nrallo d mpo nfnsmo quarrbb nfa all nrno d una sorgn d ponza nfna, l ch non è fscamn accabl. a dmosrazon dl posulao è basaa qund sull pos ch pr ogn componn la ponza assorba sa lmaa, coè ch p() < p max,. Infa, consd- (#) Può capar ch l nrruor dal por a nconssnz (ad smpo s s crca d aprr un nrruor n sr ad un nduor prcorso da corrn). In al caso è ncssaro nrodurr un modllo crcual dll nrruor ral ch nga cono dgl ff parass ch sono prncpalmn cosu da una rssnza d conao (n sr all nrruor dal), una rssnza d solamno (n paralllo, non-lnar) una capacà n paralllo., s < (corocrcuo), s > (crcuo apro) lrocnca Indusral rcu con d mmora -

4 rando un componn con mmora s ha p dw/d, do W è l nrga mmagazznaa nl componn. Ingrando al rlazon (poso < ) s ha: W ( ) W( ) p( ) d W( ) W( ) p( ) d p( ) d < pmaxd pmax Al lm pr s on, pr l orma dl confrono: W( ) W( ),. D consgunza s ha ch l arabl d sao sono funzon connu dl mpo, n parcolar, ch: la corrn n un nduor non può subr dsconnuà, oro ( ) ( ), ; la nson su un condnsaor non può subr dsconnuà, oro ( ) ( ),. Qund, d fao, la drmnazon dll condzon nzal n ffuaa analzzando l crcuo all nsan, prma ch l nrruor s apra o s chuda. anals all nsan è smplfcaa dal fao ch, solamn, s suppon ch l crcuo sa a rgm. [Quso consn anch d rsolr l crcuo all san a parr dalla conoscnza d alor dll arabl d sao all san, ad smpo pr rmnar qual sono componn pù sollca n prm san dopo l aprura o la chusura d un nrruor. A al fn l condnsaor può ssr sosuo, nl crcuo all san, con un gnraor d nson a nson mprssa ( ) l nduor con un gnraor d corrn a corrn mprssa ( ). Il crcuo qualn ch s on, all san, è qund pro d mmora.] S consdr ad smpo l crcuo rapprsnao nlla fgura, n cu è prsn l nrruor dal ch s chud sananamn all san. All san, coè un san prma ch l nrruor s chuda, l crcuo s roa n rgm sazonaro; la corrn è nulla qund è nulla anch la nson a cap dll nduor dl rssor. Un san dopo ch l nrruor s è chuso ( ) l grandzz dl crcuo hanno gnralmn, ssndo cambaa n manra dsconnua la opologa dl crcuo, alor drs da qull rla all san. Ad smpo, la nson a cap dlla sr, nulla all san rsula par ad all san. Non rsula prò cambao l alor dlla corrn (arabl d sao dll nduor) a cu è assocaa l nrga W ½. Pr l posulao d connuà dll nrga ½ ( ) W( ) W( ) ½ ( ), qund ( ) ( ). om smpo d crcuo dl ordn, s consdr l crcuo rapprsnao n fgura 4.a, nll condzon dfn dalla chusura dll nrruor. Pr calcolar l condzon nzal (coè all san, mmdaamn succsso alla chusura d ) è suffcn consdrar l crcuo (a rgm) prma dlla chusura dll nrruor ( < ). Pr < ( qund anch pr ) s suppon ch l crcuo sa a rgm (n quso caso sazonaro, s è cosan). In qusa condzon d funzonamno, mosraa n fgura 4.b, è charo ch l corrn sono u null qund ( ). Inolr, dao l rso sclo pr la nson sul condnsaor, s ha ( ). Ulzzando ora l posulao d connuà dll nrga è possbl affrmar ch ( ) ch ( ). Il ssma (8) n qund complao dall condzon nzal può ssr rsolo: d d d d ( ), ( ) () B Fgura. rcuo con nrruor dal. Fgura 4.a B A Fgura 4.b rcuo qualn pr < (D) A lrocnca Indusral rcu con d mmora - 4

5 dx Indcando con x lo sao nzal (o condzon nzal) con la noazon dlla (7), s ha qund: [ A] x b d () x( ) x Il ssma lnar () è solubl ram ar mod (rasformaa d aplac, sponnzal d marc, cc.) ch porano oamn alla mdsma soluzon. Il modo d soluzon pù smplc sfrua la lnarà dll quazon d sao pr drmnar l ngral gnral dl ssma d quazon dffrnzal lnar com la somma d un ngral parcolar (soluzon d rgm, s l rgm ss oro s l crcuo è sabl) dll ngral gnral dl ssma omogno assocao (soluzon ransora): x() x p () x om (). S l or dgl ngrss b (rmn noo) è cosan, pr calcolar l ngral parcolar è suffcn ( * ) annullar l dra qund rsolr l ssma [A] x p b. Pr quano rguarda l ngral gnral dl ssma omogno assocao (coè con b ), sso a smpr crcao nlla forma d un sponnzal ral o mmagnaro. a sosuzon dlla soluzon sponnzal c u λ (con c λ cosan scalar d u or cosan) nl ssma omogno assocao al () pora a scrr d d λ λ λ λ ( cu ) [ A] ( cu ) λc [ A] ( cu ) u λu [ A ] u ([ A ] λ[ ] ) u Qund λ d u sono rspamn gl auoalor gl auoor dlla marc d sao [A]. quazon cararsca d([a] λ[]) prm d drmnar gl auoalor ([] è la marc dnà). Dao ch [A] è una marc M M a coffcn ral (M è l ordn dl crcuo), l polnomo cararsco è a coffcn ral d grado M. Pr l orma fondamnal dll algbra, gl M zr dl polnomo sono qund ral o complss conuga possono ssr rapprsna nlla forma ( ** ) λ k /τ k j Ω k con k,..., M. cosan τ k Ω k prndono l nom d cosan d mpo pulsazon naural dl crcuo. Ammsso pr smplcà ch gl auoalor sano dsn (o), la drmnazon dgl auoor u k dlla marc d sao prm qund d sablr pr sorapposzon (graz alla lnarà) l ngral gnral dl ssma omogno assocao: x om () c u λ c M u M λ Μ. cosan c,, c M possono qund ssr calcola mponndo la condzon nzal, oro x p () x om () x, ch è un ssma lnar d M quazon nll M ncogn c k. Gl auoalor d [A] sono parcolarmn rlan nllo sudo dlla sablà dll r lnar (Un crcuo s dc sabl s pr ogn ccazon lmaa ha una rsposa ch rman lmaa). Infa, l ngral gnral dl ssma omogno assocao mosra mmdaamn ch un crcuo ( * ) Nl caso n cu l b sa funzon dl mpo è ncssaro usar alr mod (ad smpo l modo dlla arazon dll cosan o la rasformaa d aplac). Nl caso parcolar n cu l grandzz mprss da gnraor sano funzon snusodal dl mpo è possbl ulzzar l mod smbolco [dfno nl sguo] pr drmnar l ngral parcolar. S può n ogn caso dmosrar ch s b è lmao (coè sono lma l grandzz mprss da gnraor ndpndn) anch x p è lmaa. ( ** ) Al fn d ar possbl franndmn è consuudn n lrocnca, a dffrnza d quano accad usualmn, ndcar con la lra j l unà mmagnara (j ), rsrando l smbolo pr l corrn. (o) S suppon qund ch u l soluzon dl polnomo cararsco sano drs fra loro, coè sono sclus gl auoalor mulpl. Oamn è possbl rsolr l quazon d sao anch nl caso n cu sano prsn auoalor mulpl. uaa, n praca, gl auoalor rsulano smpr dsn. a ragon nua è ch l ssnza d soluzon mulpl è lgaa a prcs condzon ra alor d coffcn dl polnomo cararsco dlla marc d sao. Qus uaa sono onu sulla bas d paramr d componn ral ch cosuscono l crcuo sono qund sogg ad una ollranza (rror rlao sul alor nomnal). In ff è possbl dmosrar ch Pr ogn marc quadraa a coffcn ral a j ss una marc quadraa a coffcn ral b j con auoalor dsn al ch a j b j < ε, ε > poso (, j). Ad smpo s consdr la marc dnà, ch ha un solo auoalor doppo, par ad. S s ara d ε uno d rmn sulla dagonal prncpal gl auoalor dnano dsn ( d ε). Allo ssso modo s s arano d ε rmn sulla dagonal scondara gl auoalor dnano dsn ( ± ε). lrocnca Indusral rcu con d mmora - 5

6 lnar è sabl s (λ), pr ogn λ auoalor dlla marc d sao (n caso conraro x om () drgrbb sponnzalmn pr mp crscn) ( *** ). Nl sguo ngono llusra alcun smp d soluzon d crcu con mmora. Il problma ch s uol rsolr è l sgun: assgnao l crcuo lrco l grandzz mprss d gnraor ndpndn prsn, s uol calcolar l'andamno mporal dll corrn d ramo dll nson d ramo. S suppon pr smplcà ch u componn sano d bpol, pondos rcondurr all'pos mdan l'nroduzon d crcu qualn d componn a pù d du rmnal. S consdr, ad smpo, l crcuo n fgura, ch è un crcuo dl ordn (coè connn un solo lmno con mmora). Applcando la K pr > (coè dopo la chusura d d () dll nrruor ), s on: d d a soluzon crcaa è la somma d un ngral parcolar p () dll ngral gnral dll quazon omogna assocaa om (): () p () om (). S s assum ch sa cosan, pr calcolar l ngral parcolar è suffcn annullar la draa: p () /. Pr quano rguarda l ngral gnral dll quazon omogna assocaa, sso a smpr crcao nlla forma d un sponnzal ral o mmagnaro. a sosuzon dll sponnzal λ nlla omogna assocaa dlla () pora a scrr l quazon cararsca: λ / () / I / a drmnazon dlla cosan I può ssr ffuaa s è noo l alor nzal: ( ). Pr calcolar al alor nzal è suffcn consdrar l crcuo d fgura prma dlla chusura dll nrruor ( < ). È dn ch ( ), so ch l nrruor è apro. Ulzzando ora l posulao d connuà dll nrga è possbl affrmar ch ( ). sula qund: / I I / In concluson, l andamno mporal dlla corrn (), mosrao n fgura 5, è sao calcolao (pr > ) ram la soluzon dlla sgun quazon dffrnzal lnar dl prmo ordn a coffcn cosan con l alor nzal d corrn nulla. Il paramro τ / è la cosan d mpo dl crcuo. Nll sponnzal /τ la cosan d mpo τ spcfca la duraa dl fnomno ransoro: dopo un mpo par a 5τ la soluzon ha ragguno l 99% dl suo alor d rgm (*), coè dl alor lm pr. d d () ( ) Fgura 5 S consdr ora l crcuo rapprsnao nlla fgura 6.a n cu è prsn l nrruor dal ch s chud sananamn all san. Pr > dalla K sulla magla s ha: d (4) d.a: ( *** ) Ad smpo dalla marc d sao (4) s può drmnar la sablà l cosan d mpo dl crcuo d fgura 5 λ.5 d [ A] λ[ ] λ 5 ( ) ( 5 λ)(.75 λ) 4.5 Sluppando l prodoo s on l polnomo d scondo grado λ 6.75 λ , cu zr (ral) sono λ 4.86 λ.88 (a cu corrspondono l cosan d mpo τ.6 ms τ.5 ms). Dao ch nramb gl auoalor sono nga, l crcuo d fgura.a è sabl. Quso po d anals può ssr rpua pr ogn crcuo lnar, uaa pr crcu d ordn supror al scondo è ncssara la soluzon numrca dl polnomo. S s è nrssa nc solano alla sablà dl crcuo, qusa anals s può ar pr u crcu lnar non connn gnraor ploa ch, s può dmosrar, sono sabl. (*) o ssso ragonamno è applcabl ad ognuno dgl sponnzal dlla soluzon ransora d un crcuo lnar d ordn qualsas, purché sabl. Dao ch ogn sponnzal dcad con la sua cosan d mpo, l rgm s consdra ragguno pr > 5τ max, do τ max è la maggor dll cosan d mpo. τ / lrocnca Indusral rcu con d mmora - 6

7 Dalla (4) s on mmdaamn l ngral parcolar: p (). Inolr a sosuzon dll sponnzal λ nlla omogna assocaa dlla (4) pora a scrr l quazon cararsca: λ / () A / (5) do τ è la cosan d mpo dl crcuo. Pr la drmnazon dlla cosan A s consdra l alor nzal, (ch s mann ugual a a pr l posulao d connuà dll nrga) s scr la (5) pr : τ, τ ( ) A ( ) ( ) ( ) (6),, Il grafco dlla (6) è mosrao n fgura 6.b. S no ch anch n quso caso pr > 5τ s può assumr ch l ransoro sa sauro ch s sa ragguna la soluzon d rgm ( ). Fgura 6.a Fgura 6.b om s è do, crcu connn gnraor ploa non sono ncssaramn sabl. A olo d smpo s consdr l crcuo d fgura 7.a, n cu l nrruor s chud all san s rapr all san. S suppon ch l crcuo sa a rgm (D) pr <. andamno mporal dlla corrn, pr, è calcolabl rsolndo l sgun ssma, con l alor nzal d corrn nulla (supponndo k ). d d ( ) τ ( ) k ( ) (, )/ (7) k k Fgura 7.a ( ) Fgura 7.b andamno mporal dlla corrn, pr, è d k k calcolabl rsolndo l sgun ssma, con l ( ) ( ) alor nzal d corrn ( ) ( d (8) ) dducbl ( ) dalla (7): a (8) mosra ch l crcuo è sabl solo s k. Nl caso conraro la corrn crsc sponnzalmn. Prano, s l crcuo d fgura 7 rapprsna l modllo un dsposo fsco, al crscr dlla s raggungranno lm opra dl dsposo (ch s guasrà), oppur s raggungranno lm dl modllo lnar sarà ncssaro modfcar la sruura dl crcuo.. AOO D OSANI DI MPO Ngl smp prcdn s ra nrssa alla drmnazon dll nson dll corrn n crcu n funzon dl mpo. Pù spsso uaa s è nrssa solo al calcolo dll cosan d mpo (oro alla sablà dl crcuo). In al caso, pr crcu dl prmo ordn s possono ulzzar orm d hnn Noron com sgu. Nl caso n cu un nduor sa connsso al bpolo lnar (ch s suppon conrollao n corrn) l applcazon dl orma d hnn (al lrocnca Indusral rcu con d mmora - 7

8 bpolo ) pora ad un crcuo gà analzzao, la cu cosan d mpo è τ / q. S no ch non è ncssaro calcolar la q. q q τ / q a sssa procdura è applcabl anch nl caso n cu un condnsaor sa connsso al bpolo lnar (ch s suppon conrollao n nson) l applcazon dl orma d Noron (al bpolo ) pora ad un crcuo cosuo dal paralllo dl gnraor ndpndn d corrn qualn, dlla rssnza qualn dl condnsaor. Ulzzando l qualnza ra gnraor ral s on un crcuo gà analzzao, la cu cosan d mpo è τ q. S no ch non è ncssaro calcolar la I q. I q q q q I q τ q Nl caso d crcu d ordn supror al prmo, s s è nrssa solo a drmnar l cosan d mpo dl crcuo, è suffcn drmnar la marc d sao [A]. Infa gl auoalor d [A] non dpndono da b, oro da alor assun dall grandzz mprss da gnraor ndpndn. È possbl qund sudar l crcuo con gnraor ndpndn spn (sosundo a gnraor d nson ndpndn d corocrcu d a gnraor d corrn ndpndn d crcu apr). Ad smpo, s s azzra nl crcuo d fgura.b s azzra d consgunza l or dgl ngrss nlla (6), snza ch la marc d sao camb. Una ola drmna gl auoalor dlla marc d sao rsolndo l polnomo d([a] λ[]), è smpr possbl ddurr da ogn auoalor λ la rspa cosan d mpo ulzzando la rlazon λ /τ j Ω s l auoalor è complsso, oro la rlazon λ /τ s l auoalor è ral. om caso lm d sablà, s consdr l crcuo dl ordn llusrao n fgura 8. Pr < (D), s ha: /,,. Dopo l aprura dll nrruor, pr >, l crcuo è cosuo dal paralllo dll nduor con l condnsaor. Prano,, l quazon d sao è daa da: con l condzon nzal (), () /. Dall quazon cararsca d([a] λ[]) s on qund la rlazon λ /. Poso ω /, s ongono l du radc, puramn mmagnar, λ ± j ω. S no qund ch (λ) dunqu l arabl d sao non ndono a zro, né drgono, ma sono oscllan. Pr drmnar la soluzon s no nano ch la soluzon parcolar è nulla. Pr drmnar la soluzon dll omogna assocaa alla (9) (ch concd con l quazon sssa) s calcolano gl auoor corrspondn agl auoalor, rsolndo ([A] λ[]) u. d d / Fgura 8 / Pr l auoor u corrspondn jω u /, all auoalor λ j ω s ha: / jω u, du rgh dlla marc sono proporzonal (l drmnan è nullo) qund, consdrando la prma rga, s può porr u, d u, j ω (o una qualunqu alra coppa proporzonal a qusa). Analogamn, pr l scondo auoor s on u, d u, j ω. B A (9) lrocnca Indusral rcu con d mmora - 8

9 Indcando con k k l cosan d ngrazon s ha qund: Pr drmnar la cosan d ngrazon s ulzzano l condzon nzal all san ( ): Sosundo s ha qund: ( ) ( ) k u jω k u jω k k / kjω k jω jω jω jω jω k k jω kjω k jω jω jω jω jω jω k k ω jω / / jω jω ( jω) ( jω ) S rconoscono nfn l dfnzon dll funzon sn() cos() n campo complsso (oppur s può procdr sosundo l dnà d ulro, jx cos(x) j sn(x)) s on la soluzon: ( ) cos( ω), ( ) sn( ω) Nl crcuo s nsaura qund un rgm prodco con un prodo π/ω, oro un rgm snusodal (o) alla frqunza f / ω /π. In praca uaa nduor condnsaor ral hanno smpr ff parass dsspa (pcamn l nduor ral è una sr - d l condnsaor ral un paralllo -) ch anuano sponnzalmn l oscllazon, porando a zro l arabl d sao. I crcu n fas ransora possono ssr ulzza pr gnrar alor d nson o d corrn molo maggor d qull onbl a rgm dallo ssso crcuo. om smpo applcao s consdr l crcuo d accnson classco pr un moor a combuson nrna a bnzna, mosrao Ω n fgura. Il problma n quso caso è gnrar ra gl lrod dlla 5 mh candla (posa nlla camra d combuson) una nson suffcnmn laa da nnscar la scarca ( scnlla ) nlla mscla V ara-bnzna (almno kv) pur ando a dsposzon un gnraor a nson mprssa molo mnor (bara da V). a mscla s può consdrar com un maral lrcamn solan fno alla nson d scarca (corrn nulla, qund un crcuo apro). Olr : qul alor prm l passaggo dlla corrn s può rapprsnar com un rssor non-lnar. µf Il crcuo llusrao n fgura basa l suo funzonamno su una nduanza (aolgmno prmaro dlla bobna d'accnson) ch, quando è collgaa al gnraor (nrruor chuso) raggung l rgm sazonaro nro qualch mllscondo (a rgm la nson sull nduor è nulla, mnr la corrn raggung un alor d qualch Ampr. Quando è ncssaro gnrar la scnlla, la bobna prmara n scollgaa dalla bara (aprndo l nrruor) posa n sr al condnsaor. a nson a rmnal dll'nduanza raggung rapdamn un alor d qualch cnnao d Vol. a nson ra gl lrod dlla candla ( rmnal dl scondaro dl rasformaor, dmnsonao con un rapporo d rasformazon d crca ) crsc qund fno a qualch dcna d klovol, suffcn a gnrar la scnlla n camra d combuson l accnson dlla mscla. Dopo la scarca l nrruor è rchuso, causando la scarca rapda dl condnsaor (sanana s s consdra l nrruor chuso qualn a un corocrcuo, la cosan d mpo dpnd j jω (o) Un crcuo è n rgm snusodal (o rgm A Alrnang urrn ) s u l arabl crcual sono funzon snusodal dl mpo con lo ssso prodo (o la sssa frqunza). S n un crcuo lnar sabl l grandzz mprss da gnraor ndpndn prsn sono funzon snusodal sofrqunzal dl mpo, dopo un ransoro d duraa dpndn da paramr dl crcuo ssso, s raggung una soluzon d rgm A n cu u l grandzz dl crcuo sono funzon snusodal sofrqunzal dl mpo, con frqunza par a qulla d gnraor. Infa, ammsso ch la soluzon ransora s annull (qund (λ) <, λ auoalor d [A]), quso sgnfca mosrar ch, s l or dgl ngrss è snusodal, anch la soluzon parcolar (ch qund è la soluzon d rgm) è snusodal. A al fn è suffcn supporr b() b cos(ω) b sn(ω), sosur nll quazon d sao, crcar una soluzon parcolar nlla forma x p () x cos(ω) x sn(ω). aggruppando rmn n sn(ω) cos(ω) annullandon coffcn (dao ch sono funzon ndpndn) s prn a un ssma lnar ch è solubl solo s l drmnan dlla marc d coffcn ([A] ω []) è non nullo. Indcando con j l unà mmagnara (j ) s ha uaa d([a] ω []) d([a] jω[]) d([a] jω[]) qund l drmnan è nullo solo s almno uno dgl auoalor dlla marc d sao concd con ± jω, ma quso è mpossbl graz all pos (λ) <, λ. lrocnca Indusral rcu con d mmora - 9

10 dalla rssnza parassa sulla magla formaa dal condnsaor dall nrruor) d l rprsno dlla corrn d rgm sull nduor. Qusa anals qualaa dl crcuo d accnson mosra com cò ch nrssa è drmnar l alor massmo dlla nson l san d mpo n cu quso s rfca. Pr > l nrruor è apro. cararsch dll'nduor : dl condnsaor, n cu sono splca l dra dll arabl d sao, sono: Ω d /d / d /d / 5 Supponndo (formalmn) no l arabl d sao, l condnsaor può ssr sosuo, nl crcuo, con un gnraor d nson a nson mprssa l nduor con un gnraor d corrn a corrn mprssa. Il scondaro dl rasformaor è collgao ad un crcuo apro (corrn nulla) qund anch la corrn sul prmaro è nulla. Applcando la K a uno d rmnal dll nduor, s dduc ch. Inolr, s ha (l sgno mno è douo alla scla dl rso d ). Inolr, pr drmnar è suffcn applcar la K sulla magla a prmaro pr onr:. ( qund ). Infn, sosundo nll cararsch dll'nduor dl condnsaor s ongono l quazon d sao: d d condzon nzal s drmnano sudando l crcuo pr (n rgm D). In qusa condzon d funzonamno (nrruor chuso, nduor qualn ad un corocrcuo, condnsaor qualn ad un crcuo apro), ch è mosraa n fgura, è charo ch ( ) 6 d ( ). Ulzzando l posulao d connuà dll nrga s ha qund ( ) 6 d ( ). Dao ch l rmn noo è cosan, la soluzon parcolar è cosan. Annullando l dra s ha:,p A,p V. Gl auoalor dlla marc d sao s ongono dagl zr dl polnomo cararsco (4 λ) λ 7, pr cu λ 447j d λ 447j. Gl auoalor cono complss conuga (s ha qund una sola cosan d mpo, τ / 5 ms) la soluzon sarà oscllan. Gl auoor corrspondn sono u {λ, 5 } d u {λ, 5 }. Indcando con k k l cosan d ngrazon s ha qund: Pr drmnar la cosan d ngrazon s ulzzano l condzon nzal n : Sosundo ( ulzzando l dnà d ulro, jx cos(x),p,p ku λ k u 6 kλ k λ 5 k k λ 5 λ λ kλ k λ 5 λ k k k k λ j6.68 j6.68 j sn(x)) s on la soluzon (alda pr > ): ( ) 6 cos( 447).68 sn( 447) ( ) cos( 447).9 sn( 447) Infn dunqu (pr > ) s ha: () 44 sn(447) [V] om mosrao a lao () ha un andamno oscllan smorzao. poszon d massm d mnm s ongono rsolndo d/d. uaa poché 447 >> s può assumr ch l prmo massmo concda crca con l prmo massmo dl sno, oro pr 447 π/. Qund all san.5 ms s ha max.5 kv. a soluzon roaa è oamn alda sno a quando non s nnsca la scarca; pr mp maggor, l crcuo, l quazon d sao la loro soluzon sono dffrn. V V Ω 6 A V 4 4 lrocnca Indusral rcu con d mmora -