Errori a regime per controlli in retroazione unitaria

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Angelo Galli
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1 Appunt d ontoll Autoatc Eo a g n sst n toazon Eo a g p contoll n toazon untaa... Eo a g nlla sposta al gadno (o d poszon)... Eo a g nlla sposta alla apa (o d vloctà)...3 Eo a g nlla sposta alla paabola (o d acclazon)...5 oncluson...6 Eo a g p contoll n toazon non untaa...8 Eo a g p contoll n toazon untaa Nllo studo d sst d contollo n toazon, una spcfca olto potant è l cosddtto o a g nlla sposta dl ssta stsso a sgnal canonc (gadno, apa, pulso, paabola). onsdao, p spo, un svoccanso d poszon, cu ponao n ngsso un sgnal a gadno o a apa: è ncssao ch, a g, l albo d uscta assua una poszon θ cospondnt all andanto dl sgnal n ngsso, nto lt d o pfssat. P calcola gl o a g nlla sposta a pù potant sgnal canonc (gadno, apa paabola), faccao nzalnt fnto al ssta con toazon untaa ndcato nlla fgua sgunt: (s) + E(s) G(s) (s) In qusto scha, la vaabl datant a vall dlla gunzon soant appsnta ffttvant l o (t)(t)-c(t), ntso co scostanto dlla vaabl contollata c(t) sptto al fnto posto (t). Qusto sgnfca ch, p l onto, stao supponndo ch l copotanto voluto conssta nlla ptzon satta dl sgnal d fnto (t). Vdo po

..8 Eo a g p contoll n toazon untaa Nllo studo d sst d contollo n toazon, una spcfca olto potant è l cosddtto o a g nlla sposta dl ssta stsso a sgnal canonc (gadno, apa, pulso, paabola).

2 Appunt d ontoll Autoatc n sguto cosa succd nl caso pù gnal n cu la funzon d tasfnto dl ao d toazon non è una costant d valo untao. L andanto dl tpo dlla vaabl o (t), n funzon dll ngsso (t), s ottn vdntnt anttasfoando l spsson E ( s ) ( s ) G s ( s ) ( s ) ( ) G s s ( ) ( ) G( s) ( s ) + + D tal andanto ntssa pncpalnt la pat fnal, coè l cosddtto andanto asntotco, dfnbl co toa dl valo fnal, c codao ch l ( t): applcando alloa l noto t l ( t) l se( s) t p cu sao ntssat a calcola la quanttà se(s), ond po calcolan l lt p. Eo a g nlllla sposta all gadno ((o d poszon)) Supponao d applca n ngsso al ssta un gadno d altzza, la cu tasfoata saà dunqu ( s) / s. Possao scv n qusto caso ch / s E( s) l se( s) l + G( s) + G( s) + l G( s) La quanttà l G( s) pnd l no d costant d poszon s ndca gnalnt con P: con qusta poszon, possao conclud ch + P Auto: Sando Ptzzll

fnal, coè l cosddtto andanto asntotco, dfnbl co toa dl valo fnal, c codao ch l ( t): applcando alloa l noto t l ( t) l se( s) t p cu sao ntssat a calcola la quanttà se(s), ond po calcolan l lt p.

3 Eo a g n sst n toazon E dunqu chao ch l valo d vn a dpnd da l G( s), ossa dalla funzon d tasfnto dl ssta n anllo apto. In patcola, l valo d qul lt dpnd dal tpo d ssta: s l ssta è d tpo (nssun polo nll ogn), alloa sulta P l G( s) lα ( + stk ) α + α ( + k n In qusto caso, coè, la costant d poszon è pa al guadagno statco α ; s l ssta è nvc d tpo (o supo, qund con uno o pù pol nll ogn), alloa sulta P l G( s) lα k n s ( + k ( + + P In qusto caso, qund, la costant d poszon è qund l o d poszon a g è nullo. Eo a g nlllla sposta alllla apa ((o d vlloctà)) Supponao adsso d applca n ngsso al ssta una apa d pndnza, la cu tasfoata saà dunqu ( s) / s. Possao scv n qusto caso ch / s E(s) + G(s) l se(s) l + G(s) s l s + l sg(s) l sg(s) l [( + G(s) ) s] 3 Auto: Sando Ptzzll

guadagno statco α ; s l ssta è nvc d tpo (o supo, qund con uno o pù pol nll ogn), alloa sulta P l G( s) lα k n s ( + k ( + + P In qusto caso, qund, la costant d poszon è qund l o d poszon a g

4 Appunt d ontoll Autoatc La quanttà l sg( s) pnd l no d costant d vloctà s ndca gnalnt con V : con qusta poszon, possao dunqu conclud ch l valo a g dll o val V Vdao n qusto caso co caba l valo d al vaa dl tpo dl ssta: s l ssta è d tpo, alloa l sg( s) l sα V k n ( + k ( + In qusto caso, dunqu, l o d vloctà è, l ch sgnfca ch l sgnal n uscta saà tal ch l o vada auntando all nfnto; s l ssta è nvc d tpo, alloa V l sg( s) lα ( + stk ) α ( + k n α Qusta volta, la costant d vloctà è pa al guadagno statco α, p cu l o a g s asssta su un valo costant; nfn, s l ssta è d tpo (o supo), alloa V l sg( s) lα k n s ( + k ( + Auto: Sando Ptzzll 4

sgnfca ch l sgnal n uscta saà tal ch l o vada auntando all nfnto; s l ssta è nvc d tpo, alloa V l sg( s) lα ( + stk ) α ( + k n α Qusta volta, la costant d

5 Eo a g n sst n toazon In qusto caso la costant d vloctà è qund l o d vloctà a g è nullo. Ossvao, n bas a quanto vsto nl paagafo pcdnt, ch n qusto caso (coè con ssta d tpo ) sultano null sa l o d vloctà appna calcolato sa qullo d poszon n sposta al gadno: qusto copota, n bas alla poptà d lnatà, ch sultà anch nullo l o a g nlla sposta ad una qualunqu cobnazon lna d un gadno d una apa. Eo a g nlllla sposta alllla paabolla ((o d accllazon)) o ulto caso, supponao d applca n ngsso al ssta una paabola d quazon ( t) t. La sua tasfoata d Laplac è vdntnt ( s) / s 3, p cu la possao scv n qusto caso ch 3 / s E( s) l se( s) l + G( s) + G( s) s l ( ) l s G( s) [( + G s ) s ] P analoga con cas consdat pa, la quanttà l s G( s) pnd l no d costant d acclazon s ndca gnalnt con a : possao dunqu conclud ch l valo a g dll o val qusta volta a Vdao co caba l valo d al vaa dl tpo dl ssta: s l ssta è d tpo, alloa l s G( s) l s α a k n ( + stk ) ( + 5 Auto: Sando Ptzzll

lnatà, ch sultà anch nullo l o a g nlla sposta ad una qualunqu cobnazon lna d un gadno d una apa.

6 Appunt d ontoll Autoatc n odo analogo, s l ssta è d tpo abbao ch l s G( s) l sα a k n ( + stk ) ( + s l ssta è d tpo, alloa a l s G( s) lα ( + stk ) α ( + k n α In qusto caso la costant d acclazon è pa al guadagno statco qund l o d acclazon a g s antn su un valo costant. nfn, s l ssta è d tpo 3 (o supo), alloa a l s G( s) lα k n s ( + k ( + In qusto caso la costant d acclazon è qund l o d acclazon a g è nullo (co anch qullo d poszon n sposta al gadno qullo d vloctà n sposta alla apa). onclluson I sultat cu sao pvnut sono assunt nlla tablla sgunt: Tpo d ssta P V a Eo d poszon Eo d vloctà Eo d acclazon α /(+α ) α /α α /α Auto: Sando Ptzzll 6

nfn, s l ssta è d tpo 3 (o supo), alloa a l s G( s) lα k n s ( + k ( + In qusto caso la costant d acclazon è qund l o d acclazon a g è nullo (co anch qullo d

7 Eo a g n sst n toazon Qust sultat spono l cosddtto pncpo dl odllo ntno: affnché sa nutalzzato (con o nullo a g) un odo cospondnt ad un polo nll ogn d odn µ, occo gna lo stsso odo nl golato, ch qund dv av un polo nll ogn pu d odn µ o supo, ossa dv contn un odllo dl ssta lnta /s µ ch gna qul odo. Possao nolt affa ch la pcson aunta all aunta dl tpo dl ssta, s s tatta d tpo (sposta al gadno) o d tpo (sposta alla apa) o d tpo (sposta alla paabola), all aunta dl guadagno statco α. P aunta qust ulto paato, è ncssao ag sugl aplfcato nst, nlla catna d contollo, a ont dl ssta contollato G P(s). P quanto guada, nvc, l tpo, p ottn un suo aunto (coè p aunta l nuo d pol d G(s) nll ogn), l pncpo dl odllo ntno appna nuncato affa ch dv ss l contollo ad av uno o pù pol nll ogn a sconda dll stuazon. D alta pat, un ssta d tpo lvato psnta notvol dffcoltà alzzatv p cò ch guada la stabltà: sst d tpo, co gà dtto, sono puttosto a, pché, co sultà chao nl sguto, sono d dffcl stablzzazon; l loo pgo è gustfcato solo n sst d poszonanto nsgunto d altssa pcson. 7 Auto: Sando Ptzzll

Possao nolt affa ch la pcson aunta all aunta dl tpo dl ssta, s s tatta d tpo (sposta al gadno) o d tpo (sposta alla apa) o d tpo (sposta alla paabola), all aunta dl guadagno statco α.

8 Appunt d ontoll Autoatc Eo a g p contoll n toazon non untaa Tutt l consdazon fatt n paagaf pcdnt a poposto dll o a g sono stat ft al caso d un ssta d contollo n toazon untaa, tal coè ch la funzon d tasfnto dl ao d toazon (coè dl tasdutto d sua) sa pa ad. Voglao alloa stnd tal consdazon a sst con toazon non untaa, l cu scha gnal è potato nlla fgua sgunt: (s) + E(s) G(s) (s) H(s) P pa cosa, dobbao adsso fc ad una dfnzon pù gnal dll o: ndcho alloa con (t) l o p l sgnal a vall dlla gunzon soant, nt uso sbolo (t) d u (t) p ndca, spttvant, l o fto all ngsso (dtto anch o d ssta) l o fto all uscta, spss n lazon ad un dato copotanto dal. S l obbttvo dl contollo è l nsgunto d l copotanto dal è dsctto dalla quazon c( t) ( t), abbao ntanto quanto sgu: o fto all'ngsso o fto all'uscta ( t) c( t) ( t) ( t) ( t) c( t) ( t) u Qust du lazon suggscono anch un todo patco p la sua d (t) d u(t); tal todo è assunto nl sgunt scha a blocch, ch non è alto ch una odfca d qullo pcdntnt potato: Auto: Sando Ptzzll 8

Voglao alloa stnd tal consdazon a sst con toazon non untaa, l cu scha gnal è potato nlla fgua sgunt: (s) + E(s) G(s) (s) H(s) P pa cosa, dobbao adsso fc ad una dfnzon pù gnal dll o: ndcho alloa con

9 Eo a g n sst n toazon E u (s) (s) + E(s) G(s) (s) H(s) Adsso calcolao la tasfoata d Laplac dll o fto all ngsso: E G( s) s s s H s G s ( s ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s) ( s) ( s) + + H( s) G( s) G( s) / + H( s) G( s) ( s) G( s) ( + H( s) G( s) ) ( s) In bas a qusta spsson s pon G ( s) G( s) + G( s) H( s) ( ) n odo tal da pot scv ch E ( s) + G s ( ( ) s ) La funzon G (s) pnd l no d funzon d tasfnto dll o d è vdntnt funzon d G(s), H(s). Volndo fs ad uno scha a blocch, possao dunqu appsnta E(s) nl odo sgunt: 9 Auto: Sando Ptzzll

spsson s pon G ( s) G( s) + G( s) H( s) ( ) n odo tal da pot scv ch E ( s) + G s ( ( ) s ) La funzon G (s) pnd l no d funzon d

10 Appunt d ontoll Autoatc (s) + E (s) G (s) (s)/ Volndo po tn conto dlla stuttua dlla stssa G (s), s possono ffttua l laboazon ndcat nlla fgua sgunt (a b c): Tonando adsso all spsson analtca (nl dono d Laplac) dll o fto all ngsso, avvao tovato ch E ( s) + G s ( ( ) s ) No sao ntssat a ch l ( t) l se ( s), p cu abbao ch t ls + G s ( ( ) s ) onsdao alloa, ad spo, l o nlla sposta al gadno untao (s)/s: abbao ch Auto: Sando Ptzzll

fto all ngsso, avvao tovato ch E ( s) + G s ( ( ) s ) No sao ntssat a ch l ( t) l se ( s), p cu abbao ch t

11 Eo a g n sst n toazon l + G ( s) + l G ( s) La quanttà l G ( s) pnd l no d costant d poszon s ndca ancoa una volta con P : possao dunqu conclud ch + P ch è la stssa spsson tovata nl caso dlla toazon untaa, con la dffnza ch, qusta volta, la funzon d tasfnto convolta non è qulla dl ssta, bnsì qulla dll o. Passao adsso all o fto all uscta, abbao quanto sgu: ( t) ( t) E ( s) u u + G s ( ( ) s ) Intptando anch qusta lazon dant uno scha a blocch, abbao quanto sgu: (s) + E u (s) G (s) (s) Adsso vdao co cabano l cos nl caso n cu l tasdutto d toazon s possa consda puant algbco, ossa caattzzato da una funzon d tasfnto dl tpo H( s) h. S l ssta ha un lvato guadagno statco d anllo oppu è d tpo o, p ngss costant o lntant vaabl sulta c ( t ) h ( t) qund sulta logco assu / h. osì facndo, s ottn G ( s ) G ( s ) h qund c s conduc, p l calcolo dll o fto all ngsso, dttant al caso d un ssta con toazon untaa, n cu al posto dlla funzon d tasfnto dl pcoso d sgnal dtto s consda l nto guadagno d anllo Auto: Sando Ptzzll

Passao adsso all o fto all uscta, abbao quanto sgu: ( t) ( t) E ( s) u u + G s ( ( ) s ) Intptando anch qusta lazon dant uno scha a blocch, abbao quanto sgu: (s) + E u (s) G (s) (s) Adsso vdao co

12 Appunt d ontoll Autoatc H(s)H(s)G(s)h. In qusto caso patcola vdntnt sulta (t)(t) u(t)(t)/h. In alcun sst n toazon, l copotanto dal non consst nll nsgunto dl sgnal d ngsso, a nlla laboazon d tal sgnal scondo una data funzon d tasfnto W(s): n qust cas, p l calcolo dgl o s possono ancoa utlzza l lazon pcdnt, sosttundov pò W(s) a. Auto: Sando Ptzzll -al: sandy@ol.t sto psonal: Auto: Sando Ptzzll

sgnal scondo una data funzon d tasfnto W(s): n qust cas, p l calcolo dgl o s possono ancoa utlzza l

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