Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Esercizi svolti sulle funzioni di variabile complessa (3)
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- Silvia Fumagalli
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1 Corso d Mtod Matmatc pr l Inggnra A.A. 206/207 Esrc svolt sull funon d varabl complssa 3 Marco Bramant Poltcnco d Mlano Novmbr 8, 206 Classfcaon dll sngolartà d una funon, calcolo d svlupp d Laurnt, calcolo d rsdu S studno punt sngolar dll sgunt funon dtrmnandol classfcandol, nll sngolartà solat, s calcol l rsduo n bas allo svluppo n sr d Laurnt. Salvo ngl src n cu qusto è sprssamnt rchsto, non è ncssaro scrvr pr ntro lo svluppo d Laurnt è suff cnt calcolar l coff cnt c. Esrco sn con svluppo d Laurnt. Esrco 2 Esrco 3 Esrco 4 Esrco 5 Esrco 6 sn 3 sn. 4 con svluppo d Laurnt 2. 3 sn π 2 2.
2 S studno punt sngolar dll sgunt funon dtrmnandol classfcandol, nll sngolartà solat, s calcol l rsduo utlando l formul ch consntono l suo calcolo sna passar dallo svluppo d Laurnt. Esrco 7 Esrco 8 Esrco 9 Esrco 0 Esrco sn tg. sn π 5 3. cos. Indvduar l sngolartà dll sgunt funon, classfcarl calcolar l rsduo n cascuna sngolartà, con l procdmnto d volta n volta pù convnnt. Esrco 2 Esrco 3 Esrco 4 Esrco 5 Esrco /2. /
3 Svolgmnt Esrco sn con svluppo d Laurnt. 0 è sngolartà ssnal, nfatt dallo svluppo d sn valdo n tutto C abbamo c. n 2n +! 2n+, Esrco 2 sn. 0 è sngolartà ssnal, prché lo è pr. Calcolamo l rsduo dallo svluppo. n! n m 2m+ 2m +!. m0 Il coff cnt c s ottn dalla somma d tutt prodott pr cu 2m + n, n 2m + 2, c m 2m +! 2m + 2!. m0 Esrco 3 4. La funon è 4, olomorfa n tutto C. Non c sono punt sngolar né rsdu da calcolar. Esrco 4 sn 3 con svluppo d Laurnt. Dallo svluppo d Taylor nll orgn al 3 ordn lggamo o o o 6, 3
4 prcò 0 è una sngolartà lmnabl, f, 0 0. La sua sr d Laurnt n 0 è la sr d Taylor, 3 n 2n+ 2n +! 3 n+ 2n+ 2n +! n n+ 2n 2n +! n 2n 2n + 3!. n Esrco 5 2. è una sngolartà ssnal. Poché 2 n! 2n, 2n + n! n! 2n n! 2n + n! 2n La potna s ha solo nlla prma sr, pr n, qund f,. Esrco 6 3 sn π 2 2. ±/π annullano l dnomnator, dl prm ordn; annullano prò anch l numrator, qund qust punt sono sgolartà lmnabl, n qust punt l rsduo è ro. 0 è nvc una sngolartà ssnal, nfatt: 3 sn 3 n 2n+ 2n +! n 2n 2n +! ch ha nfnt potn ngatv nllo svluppo d Laurnt; qusta funon è moltplcata pr g π 2 2, ch n un ntorno dll orgn è olomorfa non nulla, prcò anch f ha una sngolartà ssnal n 0. Poché è una funon par, l suo rsduo n 0 è nullo. Esrco 7 sn 2. 4
5 Il dnomnator s annulla dl 2 ordn pr kπ, k Z; l numrator non s annulla ma, qund qust sono tutt pol dl 2 ordn. 2 kπ sn 2, kπ kπ sn [ 2 ] kπ kπ sn kπ cos lm + 2 kπ sn sn sn 2 ; lm kπ kπ lm [D L Hosptal] kπ sn cos kπ k sn kπ cos cos cos + kπ sn sn 2 lm kπ 2 sn cos kπ lm 0 kπ 2 cos prcò sn 2, kπ kπ. Esrco 8. Il dnomnator s annulla n punt 2kπ. Sono tutt pol dl prm ordn, trann 0 n cu s annulla anch l numrator, prcò è una sngolartà lmnabl rsduo 0. Calcolamo, pr k 0,, 2kπ /2kπ /2kπ 2kπ. Esrco 9 2 tg. Punt sngolar: 0, k π 2 +kπ, prcò 0 è una sngolartà non solata. Ogn k è polo dl prm ordn, 2 sn / 2 cos /, sn / k cos / / k 2 sn / / 2 4 k sn / π / k 2 + kπ 4. 5
6 Esrco 0 sn π 5 3 sn π 3 2, punt sngolar 0, ±. Poché sn π s annulla n 0,, sn π π cos π non s annulla, punt ± sono sngolartà lmnabl qund l rsduo è ro, mntr 0 è polo dl scond ordn. Poché la funon è par, f, 0 0. Esrco cos. Punt sngolar: 0; noltr punt pr cu è: π 2 + kπ, k π 2 + kπ Poché k 0, 0 è sngolartà non solata. I punt k sono pol dl ordn prché l dnomnator s annulla dl prm ordn. cos / /, k cos / k sn 2 / k sn k π 2 + kπ. / k Esrco 2 2. ± pol dl ordn. 2, ± 2 2 /± /± { 2 2 Esrco polo dl 3 ordn. + 3, / 2 / / 2. 6
7 Esrco 4 /2. 0 sngolartà ssnal. Scrvamo lo svluppo d Laurnt: c. n n! 2n n n! 2n Esrco 5 /4. 0 sngolartà ssnal. Poché f è par, l rsduo è nullo. Esrco 6 L tr radc sono pol dl prm ordn, k 2 π 3 + 2kπ 3 2 +, k / k / k f, f, f, / k
Soluzioni. 1. Data la funzione. a) trova il dominio di f
Soluzon Data la funzon a) trova l domno d f f ( ) + b) ndca qual sono gl ntrvall n cu f() rsulta postva qull n cu rsulta ngatva c) dtrmna l vntual ntrszon con gl ass d) studa l comportamnto dlla funzon
S O L U Z I O N I + 100
S O L U Z I O N I Nl 00 un farmaco vnva vnduto a 70 a) Nll pots ch ogn anno l przzo aumnt dl 3% rsptto all anno prcdnt quanto vrrbb a costar lo stsso farmaco nl 0? b) Supponamo ch l przzo dl farmaco nl
LE SOLUZIONI. [Per definizione la concentrazione di una soluzione è il rapporto
LE SOLUZIONI. Una soluzon (d un crto soluto n un crto solvnt dl pso d kg è concntrata al 0%. Calcolar la quanttà d solvnt (n kg ch s dv aggungr alla soluzon pr ottnr una nuova soluzon, concntrata al 0%.
SOLUZIONI. risparmio totale = D altra parte la traccia di dice anche che: e 64 L = produzione. Pertanto si ha: Quindi si ha un risparmio del 9,902%.
SOLUZIONI. Il costo d un farmaco da banco pr un dtrmnato prncpo attvo è così suddvso: l 7,% pr la confzon, l 7,% pr la produzon d l rstant % pr l IVA. Dlla quota rlatva alla produzon, l 3% è dovuto all
L soluzon Data la funzon ln( ) f ( ) 3 a trova l domno d f b scrv, splctamnt pr stso, qual sono gl ntrvall n cu f() rsulta postva qull n cu rsulta ngatva c dtrmna l vntual ntrszon con gl ass d studa l
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Soluzioni 3.1. n(n 1) (n k + 1) z n k! k + 1 n k. lim k
(1) La sere bnomale è B n (z) = k=0 Con l metodo del rapporto s ottene R = lm k Soluzon 3.1 n(n 1) (n k + 1) z n k! c k c k+1 = lm k k + 1 n k lm k c k z k. k=0 1 + 1 k 1 n k = 1 (2) La multfunzone f(z)
θ 2 i r 2 r La multifunzione f (z) = z z i
1-19 1.4 1.4.1. La multfunone f () = + 1 3 è l prodotto d 2 multfunon Z Z e W 3 W. È qund ragonevole supporre che Z =, coè = 1 e W =, coè = sano punt d dramaone d f. Con rfermento alla fgura a lato, e
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srcz d conomtra: sr srczo Costrur un smpo d varabl casual d tal ch Cov(,), ma d sano dpndnt. Soluzon Dobbamo vrcar l sgunt condzon: σ [ ] [ ] [ ] covaranza nulla ) ( ) ( ) dpndnza non lnar Prma cosa da
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z 2 9 = 0 4z 2 12iz 10 i = 0 z = 3i + 4 2e i 9 8 π 2 Im f 1 = ] 2, 1] [4, 7] Im f 2 = [0, 25].
![z 2 9 = 0 4z 2 12iz 10 i = 0 z = 3i + 4 2e i 9 8 π 2 Im f 1 = ] 2, 1] [4, 7] Im f 2 = [0, 25].](/thumbs/102/153396213.jpg "z 2 9 = 0 4z 2 12iz 10 i = 0 z = 3i + 4 2e i 9 8 π 2 Im f 1 = ] 2, 1] [4, 7] Im f 2 = [0, 25].")
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