Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prima prova in itinere. Novembre 2018 A.A. 2018/2019. Prof. M. Bramanti Tema A

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1 Esam di Mtodi Matmatici pr l Inggnria Prima prova in itinr. Novmbr 2018 A.A. 2018/2019. Prof. M. Bramanti Tma A Cognom: Nom N matr. o cod. prsona: Dom 1 Dom 2 Dom 3 Es 1 Es 2 Es 3 Tot. Punti Domand di toria (rispondr a 3 domand su 4, a propria sclta) A. (6 punti). Enunciar con prcision il torma sulla drivabilità dl limit di una succssion di funzioni drivabili mostrar con opportuni contrsmpi la ncssità dll ipotsi. Dimostrar quindi com consgunza di qusto torma il fatto ch lo spazio C 1 a, b], con la sua norma natural, è complto. B. (6 punti). Dopo avr richiamato la dfinizion di sri di potnz nl campo complsso, nunciar dimostrar il Torma di Abl. Quindi dar la dfinizion di raggio di convrgnza crchio di convrgnza nunciar (snza dimostrazion) i risultati studiati ch riguardano la convrgnza o mno dlla sri in rlazion al crchio di convrgnza, la dtrminazion dl raggio di convrgnza, illustrandoli con smpi. C. (6 punti). Enunciar con prcision dimostrar la prima formula intgral di Cauchy. D. (6 punti). Dar con prcision l dfinizioni di: singolarità isolata di una funzion olomorfa, singolarità liminabil, polo di ordin n, singolarità ssnzial. Illustrar con smpi ognuno di qusti conctti. Quindi, nunciar il torma di classificazion dll singolarità isolat mdiant la sri bilatra (snza dimostrazion). 1

2 Svolgr i sgunti srcizi 1. (5 punti). Dtrminar l armonica coniugata v (x, y) dlla sgunt funzion u (x, y), armonica in tutto il piano: u (x, y) y (x sin x + y cos x). Quindi, riconoscr la funzion f (x + iy) u (x, y)+iv (x, y) com funzion dlla variabil complssa z x + iy ( non solo com funzion di x, y). 2. (5 punti). Si calcoli il sgunt intgral di lina nl campo complsso, giustificando il procdimnto sguito. Si richid di NON usar il torma di rsidui, ma altri risultati visti nl corso]. γ 3/2 (2i) iz2 z (z 2 + 9) 2 dz. 3. (5 punti). Calcolar il sgunt intgral col mtodo di rsidui, giustificando brvmnt il procdimnto sguito. (x 2 + 2x + 5) (x 2 dx pr k > 0. 2

3 Esam di Mtodi Matmatici pr l Inggnria Prima prova in itinr. Novmbr 2018 A.A. 2018/2019. Prof. M. Bramanti Tma B Cognom: Nom N matr. o cod. prsona: Dom 1 Dom 2 Dom 3 Es 1 Es 2 Es 3 Tot. Punti Domand di toria (rispondr a 3 domand su 4, a propria sclta) A. (6 punti). Dopo avr dato la dfinizion di convrgnza puntual uniform pr una succssion di funzioni f n : a, b], si diano, pr la sri di funzioni n0 f n (x), l dfinizioni di: convrgnza puntual, assoluta, uniform, total, si dicano quali implicazioni valgono quali non valgono tra qust proprità. In particolar, si dimostri ch una sri di funzioni convrgnt totalmnt convrg anch uniformmnt. Si nuncino infin (snza dimostrazion) i tormi ch riguardano la continuità la drivabilità dlla somma di una sri di funzioni. B. (6 punti). Dopo avr dato la dfinizion di funzion armonica, nunciar con prcision dimostrar il risultato ch prmtt di ottnr funzioni armonich a partir da funzioni olomorf. Spigar quindi in cosa consist il problma dlla dtrminazion dll armonica coniugata; nunciar dimostrar un risultato prciso di sistnza dll armonica coniugata. C. (6 punti). Dopo avr dato la dfinizion di arco di curva continua, smplic, chiusa, rgolar, rgolar a tratti, nl campo complsso, dar con prcision la dfinizion di intgral di lina nl campo complsso. Confrontar qusto conctto con i conctti di intgrali di lina di prima spci di sconda spci, ch si introducono pr funzioni, scalari o vttoriali, di du variabili rali. Quindi nunciar con prcision dimostrar il torma di Cauchy dll intgral nullo. D. (6 punti). Dopo avr dato la dfinizion di rsiduo, nunciar con prcision dimostrar il torma di rsidui. Quindi, nunciar dimostrar l formul pr il calcolo dl rsiduo in un polo dl prim ordin o di ordin n. 3

4 Svolgr i sgunti srcizi 1. (5 punti). Si calcoli il sgunt intgral di lina nl campo complsso, giustificando il procdimnto sguito: ( I z 2 + z + 1 ) dz z γ + 3 (0) z dov γ 3 + (0), in bas all convnzioni standard, indica la smicirconfrnza di cntro 0 raggio 3, posta nl smipiano Im z > 0 prcorsa in vrso antiorario. 2. (5 punti). Classificar l singolarità dlla sgunt funzion, calcolar il rsiduo ngli vntuali poli dl prim ordin. f (z) 1 z+2 ( z 1) (z 2 2 sin (iπz). 3. (5 punti). Calcolar il sgunt intgral col mtodo di rsidui, giustificando brvmnt il procdimnto sguito. (x 2 + 2x + 5) (x 2 dx pr k < 0. 4

5 Esam di Mtodi Matmatici pr l Inggnria Prima prova in itinr. Novmbr 2018 A.A. 2018/2019. Prof. M. Bramanti Svolgimnto Tma A Dom 1 Dom 2 Dom 3 Es 1 Es 2 Es 3 Tot. Punti Domand di toria (rispondr a 3 domand su 4, a propria sclta) A. (6 punti). Enunciar con prcision il torma sulla drivabilità dl limit di una succssion di funzioni drivabili mostrar con opportuni contrsmpi la ncssità dll ipotsi. Dimostrar quindi com consgunza di qusto torma il fatto ch lo spazio C 1 a, b], con la sua norma natural, è complto. isposta: v. libro di tsto, B. (6 punti). Dopo avr richiamato la dfinizion di sri di potnz nl campo complsso, nunciar dimostrar il Torma di Abl. Quindi dar la dfinizion di raggio di convrgnza crchio di convrgnza nunciar (snza dimostrazion) i risultati studiati ch riguardano la convrgnza o mno dlla sri in rlazion al crchio di convrgnza, la dtrminazion dl raggio di convrgnza, illustrandoli con smpi. isposta: v. libro di tsto, C. (6 punti). Enunciar con prcision dimostrar la prima formula intgral di Cauchy. isposta: v. libro di tsto, D. (6 punti). Dar con prcision l dfinizioni di: singolarità isolata di una funzion olomorfa, singolarità liminabil, polo di ordin n, singolarità ssnzial. Illustrar con smpi ognuno di qusti conctti. Quindi, nunciar il torma di classificazion dll singolarità isolat mdiant la sri bilatra (snza dimostrazion). isposta: v. libro di tsto,

6 Svolgr i sgunti srcizi 1. (5 punti). Dtrminar l armonica coniugata v (x, y) dlla sgunt funzion u (x, y), armonica in tutto il piano: u (x, y) y (x sin x + y cos x). Quindi, riconoscr la funzion f (x + iy) u (x, y)+iv (x, y) com funzion dlla variabil complssa z x + iy ( non solo com funzion di x, y). In bas all quazioni di Cauchy-imann dobbiamo crcar v (x, y) pr cui sia: { vx u y v y u x. v x (x, y) u y y ( y (x sin x + y cos x) ) x sin x y + cos x (y 1) y x v (x, y) sin x y + cos x (y 1) y] dx y x sin xdx + (y 1) y cos xdx y (sin x x cos x) + (y 1) y sin x + g (y) y y sin x x cos x] + g (y) v y (x, y) y (1 y) sin x + x cos x] + g (y) u x (x, y) y (sin x + x cos x y sin x) v y (x, y) u x (x, y) g (y) 0, prciò l armonica coniugata è v (x, y) y y sin x x cos x] + c la funzion olomorfa è (a mno di costant additiva) Pr y 0 si ha f (x + iy) y (x sin x + y cos x) + i y y sin x x cos x]. f (x) x sin x + i ( x cos x) x (sin x i cos x) ix (cos x + i sin x) ix ix pr ogni x, prciò pr il principio di idntità dll funzioni analitich, f (z) iz iz pr ogni z C. 2. (5 punti). Si calcoli il sgunt intgral di lina nl campo complsso, giustificando il procdimnto sguito. Si richid di NON usar il torma di 6

7 rsidui, ma altri risultati visti nl corso]. La funzion intgranda γ 3/2 (2i) iz2 z (z 2 + 9) 2 iz2 z (z 2 + 9) 2 dz. iz 2 z (z + 3i) 2 (z 3i) 2 è olomorfa in C privato di punti z 0, z ±3i. Il crchio B 3/2 (2i) contin solo il punto 3i, tra qusti. Prciò iz2 f (z) z (z + 3i) 2 è olomorfa in B 3/2 (2i), l intgral si può calcolar con la sconda formula intgral di Cauchy, riscrivndolo com Poiché γ 3/2 (2i) γ 3/2 (2i) iz2 z (z 2 + 9) 2 dz f (z) γ 1(3i) (z 3i) 2 dz 2πif (3i). f (z) iz ( ) iz2 2iz 2 (z + 3i) 2 (z + 3i) 2 2z (z + 3i) z 2 (z + 3i) 4 2 ( 2iz 2 (z + 3i) (z + 3i) 2z ) z 2 (z + 3i) 3, f (3i) 9i ( 18i (6i) (6i) 6i) 9 (6i) 3 9i ( 9i 1) 9 (18) iz2 2πi 9i z (z 2 + 9) 2 dz ( 9i 1) 9 (18) π 9i (9 i) (5 punti). Calcolar il sgunt intgral col mtodo di rsidui, giustificando brvmnt il procdimnto sguito. (x 2 + 2x + 5) (x 2 dx pr k > 0. (x 2 + 2x + 5) (x 2 dx pr k > 0. ( z 2 + 2z + 5 ) ( z ) 0 pr z 1 ± 2i, z ±i 7

8 poli dl prim ordin pr la funzion f (z) ikz (z 2 +2z+5)(z 2 +1). Poiché l intgranda è dl tipo (x) con (x) quozint di polinomi con dnominator mai nullo pr x ral (x) tnd a zro all infinito, pr il torma di rsidui il lmma dl grand crchio si ha, pr k > 0: (x 2 + 2x + 5) (x 2 dx 2πi {s (f (z), i) + s (f (z), 1 + 2i)}. Trattandosi di poli dl 1 ordin, il rsiduo si calcola così: ikz ] s (f (z), i) (z 2 + 2z + 5) 1 (z 2 /zi ikz ] k 2z (z 2 + 2z + 5) 2i (4 + 2i). /zi s (f (z), 1 + 2i) ikz ] (2z + 2) (z 2 ] ikz (z 2 1 (z 2 + 2z + 5) /z 1+2i /z 1+2i ik 2k 4i ( 2 4i). { k (x 2 + 2x + 5) (x 2 dx 2πi 2i (4 + 2i) + ik 2k } 4i ( 2 4i) π { k i ik 2k } i 8

9 Esam di Mtodi Matmatici pr l Inggnria Prima prova in itinr. Novmbr 2018 A.A. 2018/2019. Prof. M. Bramanti Svolgimnto Tma B Dom 1 Dom 2 Dom 3 Es 1 Es 2 Es 3 Tot. Punti Domand di toria (rispondr a 3 domand su 4, a propria sclta) A. (6 punti). Dopo avr dato la dfinizion di convrgnza puntual uniform pr una succssion di funzioni f n : a, b], si diano, pr la sri di funzioni n0 f n (x), l dfinizioni di: convrgnza puntual, assoluta, uniform, total, si dicano quali implicazioni valgono quali non valgono tra qust proprità. In particolar, si dimostri ch una sri di funzioni convrgnt totalmnt convrg anch uniformmnt. Si nuncino infin (snza dimostrazion) i tormi ch riguardano la continuità la drivabilità dlla somma di una sri di funzioni. isposta: v. libro di tsto, B. (6 punti). Dopo avr dato la dfinizion di funzion armonica, nunciar con prcision dimostrar il risultato ch prmtt di ottnr funzioni armonich a partir da funzioni olomorf. Spigar quindi in cosa consist il problma dlla dtrminazion dll armonica coniugata; nunciar dimostrar un risultato prciso di sistnza dll armonica coniugata. isposta: v. libro di tsto, C. (6 punti). Dopo avr dato la dfinizion di arco di curva continua, smplic, chiusa, rgolar, rgolar a tratti, nl campo complsso, dar con prcision la dfinizion di intgral di lina nl campo complsso. Confrontar qusto conctto con i conctti di intgrali di lina di prima spci di sconda spci, ch si introducono pr funzioni, scalari o vttoriali, di du variabili rali. Quindi nunciar con prcision dimostrar il torma di Cauchy dll intgral nullo. isposta: v. libro di tsto, 6.1.5, 6.5.1, D. (6 punti). Dopo avr dato la dfinizion di rsiduo, nunciar con prcision dimostrar il torma di rsidui. Quindi, nunciar dimostrar l formul pr il calcolo dl rsiduo in un polo dl prim ordin o di ordin n. isposta: v. libro di tsto, 6.6.3,

10 Svolgr i sgunti srcizi 1. (5 punti). Si calcoli il sgunt intgral di lina nl campo complsso, giustificando il procdimnto sguito: ( I z 2 + z + 1 ) dz z γ + 3 (0) z dov γ 3 + (0), in bas all convnzioni standard, indica la smicirconfrnza di cntro 0 raggio 3, posta nl smipiano Im z > 0 prcorsa in vrso antiorario. ( I z z 2 + z + 1 ) dz z 2 zdz + z z z dz + γ + 3 (0) z γ + 3 (0) γ + 3 (0) γ + 3 (0) z dz I 1 + I 2 + I 3. I 1 9 zdz γ + 3 (0) calcolando l intgral in bas alla dfinizion, z 3 it, t 0, π], z 3 it, dz i3 it dt 9 π 0 3 it i3 it dt 81i π Poiché l intgranda di I 2 possid una primitiva, z z dz z (z 1), 0 dt 81πi. I 2 si può calcolar col torma fondamntal dl calcolo intgral; gli strmi di γ 3 + (0) sono 3, 3, prciò I 2 z (z 1) /z 3 z (z 1) /z Calcolando I 3 in bas alla dfinizion, I 3 π Complssivamnt, 0 3 it 3 it i3it dt π 0 3i 3it dt 3it] π 0 3iπ 1 2. I 81πi (5 punti). Classificar l singolarità dlla sgunt funzion, calcolar il rsiduo ngli vntuali poli dl prim ordin. f (z) 1 z+2 ( z 1) (z 2 2 sin (iπz). 10

11 I punti da saminar sono: z 2 (dnominator di 1 z+2 ); z ±i (dnominator ( z ) 2 ) z ki pr k Z (dnominator sin (iπz)). z 2 è singolarità ssnzial prché la funzion 1 z+2 ha infinit potnz ( ngativ nl suo sviluppo di Laurnt, mntr la funzion z 1) è rgolar (z 2 +1) 2 sin(iπz) in un intorno di qul punto. Pr z 0, Pr z ±i, Pr z ki con k 0, 1, 1, f (z) 1 2 z iπz , quindi f (z) iπ iπ z 0 singolarità liminabil. 1 z+2 ( z 1) 0 ( z ) 2 si annulla dl 2 ordin sin (iπz) si annulla dl 1 ordin, z ±i poli dl 3 ordin. 1 z+2 ( z 1) (z 2 2 0, sin (iπz) si annulla dl 1 ordin, z ki, k 0, 1, 1 poli dl 1 ordin. Pr k 0, 1, 1, ] 1 z+2 ( z 1) 1 s (f (z), ki) (z 2 2 (sin (iπz)) /zki /zki 1 ( ki+2 ki 1 ) ] 1 (1 k 2 ) 2 (iπ cos (iπz)) /zki 1 ( ki+2 ki 1 ) ] (1 k 2 ) 2 1 (iπ cos ( kπ)) 1 ki+2 ( ki 1 ) ] (1 k 2 ) 2 ( 1) k iπ. 3. (5 punti). Calcolar il sgunt intgral col mtodo di rsidui, giustificando brvmnt il procdimnto sguito. (x 2 + 2x + 5) (x 2 dx pr k < 0. 11

12 (x 2 + 2x + 5) (x 2 dx pr k < 0. ( z 2 + 2z + 5 ) ( z ) 0 pr z 1 ± 2i, z ±i poli dl prim ordin pr la funzion f (z) ikz (z 2 +2z+5)(z 2 +1). Poiché l intgranda è dl tipo (x) con (x) quozint di polinomi con dnominator mai nullo pr x ral (x) tnd a zro all infinito, pr il torma di rsidui il lmma dl grand crchio si ha, pr k < 0: (x 2 + 2x + 5) (x 2 dx 2πi {s (f (z), i) + s (f (z), 1 2i)}. Trattandosi di poli dl 1 ordin, il rsiduo si calcola così: ikz ] s (f (z), i) (z 2 + 2z + 5) 1 (z 2 /z i ikz ] k 2z (z 2 + 2z + 5) 2i (4 2i). /z i s (f (z), 1 2i) ikz ] (2z + 2) (z 2 ] ikz (z 2 1 (z 2 + 2z + 5) /z 1 2i /z 1 2i { (x 2 + 2x + 5) (x 2 dx 2πi { k π 2 ik 2k 4i ( 2 + 4i). k 2i (4 2i) + ik 2k } 4i ( 2 + 4i) }. 2 i + ik 2k 2 + 4i 12