Università Carlo Cattaneo Ingegneria gestionale Analisi matematica a.a. 2017/2018 INTEGRALI GENERALIZZATI
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- Antonio Berti
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1 Univrsità Carlo Cattano Inggnria gstional Analisi matmatia a.a. 7/8 INTEGRALI GENERALIZZATI ESERCIZI CON SOLUZIONE ) Disutr la onvrgnza o mno di sgunti intgrali gnralizzati: a) d ; b) ln d ; ) d ; d) ) d. d ; a) Si tratta di un intgral di prima spi: d lim d lim lim l intgral divrg quindi la funzion non è intgrabil in snso gnralizzato. (ossrviamo h la funzion intgranda pr è un infinito di ordin ) b) Si ha: ln d lim ln d lim ln lim ln, la funzion è intgrabil in snso gnralizzato. (ossrviamo h la funzion intgranda pr tnd a zro quindi è intgrabil nll intrvallo, ) ) Si tratta di un intgral di sonda spi:
2 lim d lim d lim (ossrviamo h la funzion intgranda pr prtanto l intgral divrg) d) Si ha:, l intgral divrg. è un infinitsimo di ordin / lim ln d lim d lim ln l intgral divrg (la funzion intgranda pr è infinitsima di ordin ). ) Pr l intgral d, quindi: d d funzion è ontinua. Prodiamo on la dfinizion: lim d lim dobbiamo ontrollar la onvrgnza sia pr sia pr d lim d lim lim d ssndo un punto in ui la lim, l intgral onvrg. ) Utilizzando i ritri noti, disutr la onvrgnza o mno di sgunti intgrali: a) ( 5) d ; b) ) 9 d ; d ; ln sin d) d ; os a) Pr la funzion intgranda è asintotia a h tnd a. L intgral divrg. b) Il problma si pon pr, in tal aso pr il ritrio dl onfronto asintotio, la funzion intgranda risulta ssr un infinito di ordin, 9 6 prtanto l intgral onvrg. ) Pr. La funzion asintotia non è intgrabil in ln snso gnralizzato quindi anh qulla di partnza non lo è l intgral divrg.
3 d) Utilizziamo di nuovo il onfronto asintotio: pr sin os, 5/ qust ultimo risulta ssr un infinito di ordin 5. L intgral divrg. ) Calolar l ara dlimitata dall ass dll dalla funzion y nl tratto. La funzion nll intrvallo onsidrato è smpr positiva, dunqu pr alolar l ara oorr alolar il sgunt intgral: A d lim lim lim d 5) Disutr la onvrgnza pr iasuno di sgunti intgrali: a) d ; b) d ; ( ) ) d. a) Pr la funzion intgranda risulta ssr un infinitsimo di ordin maggior di qualunqu potnza di, infatti sappiamo h pr o n, quindi l intgral onvrg. b) Analogo ragionamnto ma pr. La funzion intgranda tnd a zro on ordin maggior di qualunqu potnza di. L intgral onvrg. ) Dobbiamo analizzar la onvrgnza pr, pr pr. Pr infinitsimo di ordin, l intgral onvrg. Allo stsso modo pr dov l intgral onvrg di nuovo. Infin, pr,, l intgral onvrg. Quindi l intgral dato onvrg.
4 5) Motivar s il sgunt intgral onvrg o divrg: d. os La funzion intgranda non è ontinua in ; pr os quindi la funzion è intgrabil in snso gnralizzato, l intgral onvrg. 6) Motivar s il sgunt intgral onvrg o divrg: d. Pr utilizziamo il ritrio dl onfronto asintotio: h è un infinito di ordin quindi intgrabil. Anh pr utilizziamo il ritrio dl onfronto asintotio: / h è un infinitsimo di ordin quindi intgrabil. L intgral onvrg. os 7) Disutr la onvrgnza dll intgral: sin d. / Pr applihiamo il ritrio dl onfronto asintotio ottniamo os sin os sin un infinito di ordin h è intgrabil in snso / / gnralizzato. Pr applihiamo il ritrio di assoluta onvrgnza ottniamo os sin / /, la funzion maggiorant pr è un infinitsimo di ordin quindi intgrabil in snso gnralizzato, l intgral onvrg. L intgral dato prtanto onvrg assolutamnt di onsgunza smplimnt. 8) Disutr la onvrgnza dl sgunt intgral: d. Nll intrvallo, la funzion intgranda è disontinua nl punti,,.
5 Analizziamo pr iasuno di ssi l vntual onvrgnza. Pr, la funzion intgranda / infinito di ordin ; l intgral divrg pr. A qusto punto possiamo onludr h l intgral dato divrg (indipndntmnt da vntuali onvrgnz in altri intorni)., risulta dunqu un 8) Disutr la onvrgnza o mno di sgunti intgrali dsrivndo il ragionamnto sguito: a) sin d ; b) sin d. a) Pr la funzion intgranda sin quindi è intgrabil in snso gnralizzato; pr, inv, sin quindi non è intgrabil. L intgral dato non onvrg. b) Pr la funzion intgranda sin quindi è intgrabil in snso gnralizzato; pr, inv, sin, si tratta di un infinitsimo di ordin quindi è intgrabil in snso gnralizzato. L intgral dato onvrg. 9) Disutr al variar dl paramtro ral la onvrgnza di sgunti intgrali: a) b) d. d ; a) Nll intrvallo di intgrazion dobbiamo ontrollar la onvrgnza dll intgral pr pr. Pr, h onvrg s da ui.
6 Pr, h onvrg s da ui. Dunqu l intgral onvrg s. b) La funzion intgranda non è ontinua ni punti, prtanto nll intrvallo di intgrazion dobbiamo ontrollar la onvrgnza dll intgral pr, pr pr., Pr., () / h onvrg pr ogni valor di Pr, h onvrg pr ogni valor di in quanto la funzion intgranda pr onvrg a., Pr () ssndo un infinitsimo di ordin. 6 Dduiamo h l intgral onvrg pr ogni valor di. h onvrg pr ogni valor di
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