Università Carlo Cattaneo Ingegneria gestionale Analisi matematica a.a. 2017/2018 PRIMITIVE E INTEGRALI DEFINITI

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1 Univrsià Carlo Caano Inggnria gsional nalisi mamaia aa 7/8 PRIMITIVE E INTEGRLI DEFINITI ESERCIZI CON SOLUZIONE Calolar i sguni ingrali indfinii: ) d ; ) d ; ) d ; ) os sin d ; 6 ) d SOLUZIONI ) La funzion di ui vogliamo alolar l ingral è somma algbria di funzioni lmnari Riordiamo h una dll proprià dll ingral è la linarià, dunqu aloliamo gli ingrali om somma dgli ingrali dll singol funzioni La prim du sono funzioni ponza usiamo quindi la rgola: a a d a a ) mnr la rza è una osan riordiamo h kd k ), quindi: d d d d ) Com prima si raa dlla somma di funzioni lmnari, di ui la prima una funzion ponza Riordando h d ln d, risolviamo l ingral indfinio: d d d d ln ln 9

2 ) Ossrviamo h la funzion da ingrar è una funzion razional, prima di prodr on la soluzion possiamo dividr ogni singolo rmin dl numraor pr il dnominaor: d d quso puno si raa di una somma di funzioni lmnari, quindi risula: d d d d ) Prodiamo om fao prdnmn riordando h sin d os os d sin : os sin d os d sin d sin os ) Si raa anh qui di una somma di funzioni lmnari quindi: 6 d 6 d d d Calolar i sguni ingrali indfinii, spigando il prodimno sguio: 7 d ; ) d ; ) d 6 9 ) 6 d ; ) d ) ; ; 6) sin os d ; 7) d ; 8) d ; ln 9) d ; ) d ;

3 sin ) d SOLUZIONI Gli ingrali di quso smpio sono ui rionduibili a ingrali immdiai, vnualmn uilizzando pioli aorgimni, in quano ali failmn risolubili ) La funzion di ui vogliamo alolar l ingral si prsna om ponza di una funzion lmnar, quindi, riordando la gnralizzazion dll ingral indfinio pr l funzioni ponza f ) a f ' ) d f ) a a d d a, si ha: ) Com prima si raa di un polinomio lvao a ponza on f ) f ' ) ; risolviamo l ingral indfinio: d d 6 ) Ossrviamo h il rinomio al dnominaor non è alro h lo sviluppo dl quadrao di binomio quindi possiamo risrivr l ingral nlla sgun manira: d d d 6 9 Com prima si raa di una funzion ponza: d f ' ) ) Riordiamo h d ln f ) : f ) d d ln ) Si raa di un ingral om qullo fao al puno prdn on al numraor la drivaa dl dnominaor: f ) f ' ), quindi d ln 6 6 6) Risriviamo la funzion nl sgun modo: sin os d sin os d si raa nuovamn di una funzion ponza on quindi f ) os f ' ) sin,

4 os sin os d os 7) Ossrviamo h al numraor abbiamo, a mno di una osan, la drivaa dl dnominaor f ) f ' ) ) quindi: d d ln Poihé l argomno dl logarimo è smpr posiivo, possiamo risrivr il risulao nl sgun modo: ln 8) Risriviamo l ingranda om sgu: d d ln ln Ossrviamo h si raa dll ingral di una funzion dl ipo d ln ln ln f ' ), quindi: f ) 9) L ingral può ssr risrio nl sgun modo: d d si raa anora una vola di una funzion ponza on f ) f ' ) d 8 f ) f ) ) Riordando h f ' ) d, in quso aso quindi: d 6 6 d 6 f ) f ' ) 6, sin ) analogamn ) Poihé f ) f ' ) d os f f ) f ' ) d sinf os ) ), in quso aso f ) sin d sin d sin d os Calolar i sguni ingral indfinii: ) ln d ; f ' ) :

5 ) sin ) d ; os d SOLUZIONI Pr il alolo di r ingrali riordiamo il modo di ingrazion pr pari, h sabilis: ) g ) d f ) g ) f ' f ) g' ) d ) In quso aso f ' ), da ui si riava h f ) ; dunqu: ln d ln d ln d ln ) Pr alolar l ingral sin om la drivaa dlla funzion pari oniamo: sin d os os d, pnsiamo sin om faor diffrnzial ioè os, appliando il modo di ingrazion pr Dobbiamo appliar anora una vola il modo pr pari: sin d os os os sin sin d os sin os ) In quso aso onsidriamo os d os sin Di nuovo: d d om faor diffrnzial, oniamo: d os d os sin d sin os os d Di onsgunza: os d os sin k Infin: os sin os d Calolar il sgun ingral dfinio: d Iniziamo on la rira di una primiiva dlla funzion L ingral si risolv on il modo di sosiuzion

6 Poniamo, da ui quindi d d, sosiundo i valori onui riaviamo: d d d d d d ) aran ) aran Quindi: ) aran d aran) aran) Daa la funzion ) f, rovar una sua primiiva passan pr il puno, Crhiamo prima l insim dll primiiv dlla funzion, alolando il sgun ingral: d Ossrviamo h si raa di una funzion razional on al dnominaor un rinomio di sondo grado avn radii rali disin sappiamo già h l primiiv sono funzioni logarimih Possiamo risrivr la funzion ingranda nl sgun modo: ) ) h vogliamo somporr om somma di du frazioni più failmn ingrabili: ) ) Da ui: ) ) ) ) ) ) ) ) ) affinhé si vrifihi l idnià, è nssario imporr h: risolvndo il sisma oniamo i sguni valori Possiamo risrivr l ingral di parnza nl sgun modo:

7 d ln ln d d d Dunqu l insim dll primiiv è G ) ln ln Imponiamo il passaggio pr il puno, oniamo: ln ln, da ui ln6 La primiiva raa è infin: G ) ln ln ln6 6 Calolar il sgun ingral indfinio: d Ossrviamo h si raa di una funzion razional on al dnominaor un rinomio di sondo grado on du radii rali oinidni nlla primiiva omparirà una funzion razional olr a qulla logarimia In quso aso è possibil risrivr la funzion ingranda aravrso la sgun somposizion: Da ui: ffinhé si vrifihi l idnià, è nssario imporr h: da ui Infin aloliamo l ingral: d d d ln ) 7 Trovar una primiiva dlla funzion: f ) Si noa h si raa di una funzion razional on al dnominaor un rinomio di sondo grado on radii omplss oniuga qui la primiiva sarà dfinia da un aroangn Quindi è nssario rionduri alla forma:

8 f ' ) d aran ) f ) Prodiamo: d d f d aran d Dunqu una primiiva dlla funzion daa si oin dando a un qualsiasi valor, ad smpio si oin: G ) aran sin 8 Calolar d os os ; SOLUZIONI L funzioni ingrand di ui gli ingrali proposi si prsnano om funzioni razionali di funzioni rigonomrih; qus prvdono, aso pr aso, sosiuzioni adgua In quso aso basa sguir la sosiuzion os pr onr l ingral di una funzion razional, prodiamo: os, sin d d, si ha d d d ln ln Conludndo si ha: sin d ln os ln os os os Daa la funzion f ), alolar l ara omprsa ra f ) l ass dll nll inrvallo, La funzion è posiiva nll inrvallo onsidrao, quindi pr alolar l ara è suffiin risolvr l ingral dfinio: d d d d d Noiamo h il risulao è posiivo Calolar l ara dlla rgion di piano finia omprsa ra i grafii dll du funzioni y y

9 L ara dlla rgion di piano da alolar è la sgun: Caloliamo l inrszioni ra l du funzioni: y, da ui y Ossrvando il grafio noiamo h la ra è ua al di sopra dlla parabola nll inrvallo onsidrao, quindi l ara è ugual a: d d d Calolar il sgun ingral dfinio: d ; in al aso l ingral si La funzion ingranda si prsna om funzion razional di risolv on la sosiuzion, ponndo, da ui ln d d Con qusa sosiuzion, nl nosro aso, si oin: d d d ) d d ln ln Riornando al nosro ingral dfinio: ln ln ln d ln ln ln ln

10 ln ln Calolar il sgun ingral: d Cominiamo ol rirar l primiiv aravrso l ingrazion pr pari: d d d poihé è la drivaa prima di d quso puno possiamo alolar l ingral: d In alro modo pova ssr uil porr, prima di alolar l ingral, da ui d d Con al sosiuzion, sosiundo anh gli srmi, l ingral divna: d