Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

Transcript

1 Pag. / Sssion ordinaria 7 Sconda prova scria Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PIANO NAZIONALE INFORMATICA Tma di: MATEMATICA Il candidao risolva uno di du problmi risponda a 5 di qusii dl qusionario. PROBLEMA Sia a un numro ral maggior di zro sia g la funzion dfinia, pr ogni R, da: g( a a.. Si dimosri ch, s a, g è sramn crscn pr > sramn dcrscn pr <.. Poso a, si disgni il grafico dlla funzion f ( si disgni alrsì il grafico dlla funzion. f (. Si calcoli d ; succssivamn, s n rovi il limi pr si inrpri f ( gomricamn il risulao.. Vrificao ch il risulao dl limi di cui al puno prcdn è π, si illusri una procdura numrica ch consna di approssimar al valor. PROBLEMA Si considrino i riangoli la cui bas è AB il cui vric C varia in modo ch l angolo C A ˆ B si mannga doppio dll angolo A B ˆ C.. Rifrio il piano ad un convnin sisma di coordina, si drmini l quazion dl luogo gomrico γ dscrio da C.. Si rapprsni γ, nndo cono, ovviamn, dll prscri condizioni gomrich.. Si drmini l ampizza dll angolo A B ˆ C ch rnd massima la somma di quadrai dll alzz rlaiv ai lai AC BC, con l aiuo di una calcolaric, s n dia un valor approssimao in gradi primi (sssagsimali.. Si provi ch s ˆ 5 A BC 6 allora è AC.

2 Pag. / Sssion ordinaria 7 Sconda prova scria QUESTIONARIO Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PIANO NAZIONALE INFORMATICA Tma di: MATEMATICA. Si spighi in ch cosa consisa il problma dlla quadraura dl crchio s, in ch snso, si rai di un problma risolubil o mno.. La rgion dl piano racchiusa ra il grafico dlla funzion ln l ass, con, è la bas di un solido S l cui szioni, onu agliando S con piani prpndicolari all ass, sono u rangoli avni l alzza ripla dlla bas. Si calcoli il volum di S s n dia un valor approssimao a mno di -.. Si dimosri ch l insim dll omoi con cnro O fissao è un gruppo.. Si considri la funzion: ( μ σ ( f σ π S n spighi l imporanza nll applicazioni dlla mamaica illusrando il significao di μ, σ, σ com ali paramri influnzino il grafico di f(. 5. Si considri il orma: «la somma dgli angoli inrni di un riangolo è un angolo piao» si spighi prché sso non è valido in un conso di gomria non-uclida. Quali l formulazioni nlla gomria iprbolica in qulla lliica? Si accompagni la spigazion con il disgno. 6. Si sclga a caso un puno P all inrno di un riangolo quilaro il cui lao ha lunghzza. Si drmini la probabilià ch la disanza di P da ogni vric sia maggior di. 7. Si drmini l quazion dl luogo gomrico di cnri dll circonfrnz dl piano angni alla parabola nl puno (,. 8. A Lonardo Eulro (77-78, di cui qus anno ricorr il rzo cnnario dlla nascia, si dv il sgun problma: «Tr gniluomini giocano insim: nlla prima paria il primo prd, a favor dgli alri du, ano dnaro quano n possid ciascuno di loro. Nlla succssiva, il scondo gniluomo prd a favor di ciascuno dgli alri du ano dnaro quano ssi già n possidono. Da ulimo, nlla rza paria, il primo il scondo guadagnano ciascuno dal rzo gniluomo ano dnaro quano n avvano prima. A quso puno smono rovano ch ciascuno ha la sssa somma, cioè luigi. Si domanda con quano dnaro ciascuno si sd a giocar». 9. Si dimosri ch l quazion 6 6 ha un unica radic ral si rovi il suo valor con una prcision di du cifr significaiv.. Pr orinarsi sulla Trra si fa rifrimno a mridiani a parallli, a laiudini a longiudini. Supponndo ch la Trra sia una sfra S ch l ass di roazion rrsr sia una ra r passan pr il cnro di S, com si può procdr pr dfinir in rmini gomrici mridiani parallli inrodurr un sisma di coordina gografich rrsri? Duraa massima dlla prova: 6 or. È consnio solano l uso di calcolarici non programmabili. Non è consnio lasciar l Isiuo prima ch siano rascors or dalla daura dl ma.

3 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 SOLUZIONE La funzion g( a a, a (, (, R è una funzion pari, coninua, drivabil smpr posiiva, ch non inrsca mai l ass dll asciss, inrsca qullo dll ordina in (, ch non prsna asinoi, né vricali, né orizzonali, né obliqui. Gli asinoi vricali non si prsnano viso ch il dominio è l inro ass ral; gli asinoi orizzonali nmmno sisono prché lim [ ] a a, a. Gli asinoi obliqui nmmno ± a a H ± ± Pr la crscnza dcrscnza vanno disini i du casi: [ ] sisono prché lim lim ln( a [ a a ], a a (, ; (, a, Caso (, a : In quso caso ssndo (, g' ( ln( a [ a a ] a allora ln( a <, pr cui [ a a ] > [ a a ] < a < a g' ( ln( a Ora ricordando ch nl caso di disquazioni sponnziali, s la bas è un numro apparnn,, il vrso dlla disquazion cambia allora si ha: all inrvallo (. a < a > > Quindi pr a (, la funzion è sramn crscn in (, (,. sramn dcrscn in

4 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Caso (, a : In quso caso ssndo (, g' ( ln( a [ a a ] a allora ln( a >, pr cui [ a a ] > [ a a ] > a > a g' ( ln( a Ora ricordando ch nl caso di disquazioni sponnziali, s la bas è un numro apparnn,, il vrso dlla disquazion non cambia allora si ha: all inrvallo ( a > a > > Quindi pr a (, la funzion è sramn crscn in (, (,. Quindi abbiamo dimosrao ch a la funzion in (, sramn dcrscn in (, Inolr. g sramn dcrscn in a a ( è sramn crscn a, g' '( ln ( a g( > R, pr cui la funzion in sam prsna un minimo rlaivo d assoluo nl puno (, prsna concavià smpr rivola vrso l alo. La funzion da discur è f (. Qusa funzion apparin alla casisica di casi a (,. L proprià di una siffaa funzion sono sa prima vidnzia, pr cui il grafico è immdiao d è di sguio riporao:

5 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Sia ora ( h ( f Qusa funzion com la sua rciproca, è dfinia coninua su uo l ass ral, non inrsca mai l ass dll asciss, inrsca qullo dll ordina in,, è smpr posiiva, non prsna asinoi, né vricali, né obliqui. Gli asinoi vricali non si prsnano viso ch il dominio è l inro ass ral; gli asinoi orizzonali sisono d in ralà a dsra sinisra coincidono. Infai lim, pr cui ± l asinoo orizzonal dsro sinisro è la ra coincidn con l ass dll asciss, cioè. Vdiamo ora la crscnza dcrscnza: h' ( > < < < < ( Cioè la funzion è sramn crscn nll inrvallo (, sramn dcrscn nll inrvallo (, d in, assum un massimo rlaivo d assoluo. Rapprsniamo i grafici di f ( d ( h in un unico ( f sisma di rifrimno:.

6 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Il calcolo dll ingral ( Pr cui I I d lo si ffua rami prvniva sosiuzion: d ( d [ arcan( ] arcan( arcan( arcan( d d π Ora lim I π ( lim arcan( lim arcan( π π π π E quso limi gomricamn rapprsna l ara sosa dalla curva nll inrvallo (,. h ( Pr il calcolo di π si possono sguir diffrni srad, ch prsniamo di sguio. Uilizzo dllo sviluppo di Talor dlla funzion arcan( : scondo quso sviluppo possiamo scrivr la funzion arcan( in quso modo: arcan( k ( k k k Pr cui π arcan( k ( h ( lim h k k k k k E cioè il valor lo si calcola com somma di valori numrici dl ipo h. π Uilizzo dlla rlazion pr cui d Si può uilizzar l approssimazion pr rangoli, ch si raduc in: h ( k k k al ndr di

7 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 b a b a f L n ( d [ f ( f ( f ( ] n Nl nosro caso uilizzrmo n rangoli con inrvalli uguali com vidnzia la figura soosan: Pr cui d.85 Valor ch si avvicina smpr più al valor ffivo al crscr dgli inrvalli considrai. Procdura numrica al calcolaor. Dal calcolo fao in prcdnza sappiamo ch I ( d arcan( π. L rror ch si π può commr approssimando il valor di con l ingral ( arcan d ( π π ( arcan( π I è π arcan. Supponiamo ora di far variar il paramro nl campo dgli inri, cioè i possibili valori assumibili da sono,,,,l L. Qusa assunzion è fondamnal pr por applicar la procdura iraiva ch illusrrmo. La procdura sguia è una procdura iraiva ch ad ogni irazion minimizza l rror compiuo nll approssimar il valor di π con l ingral ( arcan ( π I d. La mrica uilizzaa va a minimizzar il valor, al variar di ngli inri rispo ad una soglia di rror fissaa in parnza.

8 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Pr ssr più chiari la procdura così funziona: Paramri di ingrsso:. Elaborazioni ffua: π π π.si calcola arcan( arcan( ;.Si fa il confrono con la soglia: s < allora acciamo com valor di approssimazion la procdura rmina alrimni:..la procdura inizia daccapo col valor aggiornao di. ERR Ecco la procdura scondo uno schma a blocchi:

9 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Considriamo la sgun figura: SOLUZIONE Il puno C ha coordina gnrich C (,. Ma il riangolo AHC è rangolo pr cui an( α. Ora applicando il orma di sni al riangolo ABC si ha: AC AB sin( α sin( π α sin(α sin( α sin( α AC sin(α sin(α α sin( α sin(α cos( α cos(α sin( α sin( α sin( α cos( [ cos ( α cos(α ] [ cos ( α ] [ α ]

10 Ma val anch ch: [ ] AC AH cos( cos( cos( cos( α α α α Quindi abbiamo du condizioni: cos( sin( cos( α α α Ricordando la rlazion fondamnal ( ( cos ( sin α α Pr cui si ha: : γ Pr capir di ch curva si raa riscriviamola in quso modo: ( ( 9 9 Ora s ffuiamo una raslazion lungo l ass dll asciss cioè ffuiamo la rasformazion ' ' la curva divna: ( ( 9 ' ' ': ' 9 : γ γ Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7

11 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 cioè oniamo la classica iprbol con asinoi ±. Pr cui la nosra curva è una iprbol raslaa con asinoi ± Il problma impon prò dll limiazioni gomrich. Innanziuo dv ssr α 6. Ora poiché il cosno in quso inrvallo è dcrscn allora Ma α 6 α cos( cos(α cos( cos(α cos(α, > < Inolr pr com inrodoo il sisma di rifrimno dv avrsi, quindi il nosro problma va discusso pr Ricaviamo ora la funzion f ( dalla curva γ :. Si ha: ± Ma con la limiazion la soluzion da prndr è qulla posiiva pr cui la nosra funzion è

12 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Sudiamo allora la funzion con la limiazion Dominio: ( ( ch con la limiazion com dominio, ; Inrszioni ass asciss: limiazion l unica inrszion è impon, con la ; Inrszioni ass dll ordina: ; Posiivià: nl dominio la funzion è smpr posiiva viso ch si raa di una funzion radic; Asinoi vricali: non c n sono; Asinoi orizzonali: non c n sono. Infai lim ; Asinoi obliqui: m q m q lim lim lim lim lim lim [ ] pr cui l asinoo è unico d è pari a abbiamo calcolao rirovao prché abbiamo la limiazion com già anicipao. L alro asinoo non lo

13 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Crscnza dcrscnza:. Calcoliamo l driva: '( > (, nndo cono dl dominio di dfinizion. Pr cui la funzion è crscn nll inrvallo (, dcrscn alrov. Poiché abbiamo la limiazion gomrica allora la nosra funzion è smpr dcrscn. Inolr ssa non è drivabil in Il grafico è soo prsnao: prché lim '( lim '(. In ralà va faa una ulrior considrazion. S scgliamo il sisma di rifrimno in modo da avr il riangolo col vric ch spazia nl rzo quaro quadran oniamo l alra soluzion, prcdnmn scaraa. Cioè oniamo ch il luogo in qul caso è dscrio dall quazion

14 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 ch è la simmrica di rispo all ass dll asciss. In al caso è imporan conrollar ch l asinoo vrical abbia quazion dll iprbol. Ed infai com ddoo dall quazion m q m lim lim lim lim [ ] lim lim q pr cui l asinoo è unico d è pari a com già anicipao. In conclusion in al caso il grafico è:

15 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 S miamo assim i du grafici oniamo il ramo di iprbol onuo dal sisma ( com sin dall inizio vidnziao. Abbiamo prfrio far ui i calcoli prché ra l unica srada da prsguir s non ci si accorgva ch con una smplic raslazion onvamo una iprbol. E sao un modo pr confrmar i risulai da un alro puno di visa. - Considrando la figura di parnza si ha: AM ABsin( α sin( α BN AB sin(α sin(α Pr cui la funzion da massimizzar è S ( α sin ( α sin (α.

16 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Calcoliamo l driva: S' ( α sin( αcos( α sin(α cos(α sin(α S' '( α cos(α 8cos(α [ cos(α ] Il sgno lo si discu smpr discundo singolarmn ogni faor, ricordando la limiazion α 6 : π sin(α > kπ < α < kπ cos(α > kπ < α < ar cos kπ π ar cos kπ < < π kπ limiandoci in α 6 si ha: S' ( α > < α < ar cos S' ' ar cos < pr cui il valor ch massimizza la funzion S ( α sin ( α sin (α è α ar cos 5 ' Pr dimosrar l ulima qusion ci srviamo di rlazioni rigonomrich fondamnali: sin(7 sin(6 cos(6 sin(6 sin(8 cos(8 cos(6 sin (8 sin(7 sin(9 8 cos(8 Da qus ricaviamo: sin(8 cos(8 [ sin (8 ] cos(8 sin(8 [ sin (8 ]

17 Poniamo ora 8 sin(, allora: [ ] ( ( 5, 8 ( (8 sin sin(8 ± Ora la soluzion non è accabil prché a il sno val. Inolr la soluzion 5 va scaraa prché riguarda un angolo ch non si rova nl primo quadran, in cui si rova invc 8. Pr cui in conclusion si ha 5 sin(8 Ora [ ] [ ] ( [ ] ( [ ] (8 sin (8 sin (8 cos (*8 cos (6 cos AC Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7

18 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Soluzion Il problma dlla quadraur dl crchio consis nl rovar con riga compasso solamn un quadrao avn la sssa ara di un dao crchio. Quso quival a cosruir un quadrao di lao l πr r π. Ma quso non è possibil viso ch, com ha dimosrao Lindrmann nl 88, il numro π ( quindi la sua radic è un numro rascndn. Soluzion Il rangolo avrà alzza riplo dlla bas quindi pari a ln( A ln (, da cui il suo volum sarà:, pr cui la sua ara sarà V ln ( d ln ( d Ora applicando du vol conscuiv il orma di ingrazion pr pari si ha: d d ln ( ln ( ln( ln ( ln( d ln ( ln( k Pr cui V ln ( d ln ( d [ ln ( ln( ] [ ] 6 Un valor approssimao con du cifr significaiv è: V (.7 6. Soluzion Un omoia di cnro O fissao non è alro ch un applicazion T λ ch dao un puno P disan da O di una quanià d, manda quso ssso puno in un puno Q giacn sulla sssa smira OP disan λd dal cnro O. L insim dll omoi di cnro O λ > è un gruppo. Infai god dll sguni proprià:

19 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Associaiva: λ Infai la rasformazion ( T T λ ( Tλ * T ( λ T λ T λ T, λ, λ >, T λ * λ T porrà il puno P disan d dal cnro O prima ad una λ * λ disanza λ λ d poi ad una disanza λ λ λ d in un puno Q giacn sulla sssa smira OP. Analogamn dicasi pr la rasformazion ( T T Esisnza lmno nuro: Tal lmno è λ, infai dao µ > si ha T * λ λ. T T µ Tµ T Tµ In quano la rasformazion T manda il puno P in s ssso. Esisnza dll invrsa. L invrsa di T λ è la rasformazion T, infai T T T T Id λ λ λ λ λ con I l applicazion idnica, dal momno ch la rasformazion T λ pora P ad una disanza λd dal cnro O la rasformazion T lo pora ad una disanza ( d λ d λ λ. In paricolar si dimosra ch quso gruppo è abliano. Un ulrior modo pr dimosrar quano appna dimosrao è noar ch la omoia di cnro O fissao (supponiamo di sar nl piano di prndr O(, snza ldr la gnralià dlla, nl puno Q ( ', ' ( λ, λ dimosrazion manda un puno P dl piano di coordina ( cioè ffua la rasformazion maricial in quso modo: ' λ. Qusa rasformazion può ssr mssa in forma ' λ ' λ ' λ λ In cui la maric di rasformazion è T d è diagonal. λ Ora il prodoo di du marici diagonali è ancora una maric diagonal, la maric idnià è l lmno nuro λ, T λ. Abbiamo così di nuovo dimosrao ch l insim dll λ omoi di cnro fissao O è un gruppo.

20 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Soluzion La funzion prsnaa non è alro ch una dnsià di probabilià noissima; infai ssa rapprsna la dnsià di probabilià di una variabil alaoria gaussiana o normal di mdia µ varianza σ. σ Essndo una dnsià di probabilià ssa avrà ara sosa nulla cioè d. Qusa σ π funzion vin più vol rifria com campana di Gauss visa la sua forma a campana: ( µ Una al funzion, viso il suo vasissimo uso è gabllaa numricamn. In paricolar sisono abll ch R conngono i valori dll ingral Q( ( µ σ d. Quso ingral non è σ π alro ch la probabilià ch una variabil alaoria gaussiana X N( µ, σ assuma valori maggiori di, cioè Q( σ ( µ σ d Pr( X π. Una al dnsià di probabilià prsna com paramri cararisici la mdia µ, la varianza σ la dviazion sandard σ dfinia com la radic quadraa dlla varianza. Discuiamo ora il significao dlla mdia µ dlla varianza al variar dll una fissaa l alra. Fissaa la varianza σ, al variar dlla mdia µ la forma dlla campana non mua, ma rasla lungo l ass dll asciss. Infai µ è ass di simmria pr la dnsià d in corrispondnza di µ la dnsià assum valor massimo pari a. σ π

21 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Fissaa la mdia µ, al variar dlla varianza σ, la dnsià cambia forma. Infai al dcrscr dlla varianza σ ( quindi di σ la campana si rsring smpr più, il massimo raggiuno pr µ aumna, la campana nd a divnar una dla di Dirac cnraa in µ quando σ. Vicvrsa al crscr di σ ( quindi di σ la campana si allarga smpr più, il suo massimo diminuisc, fino a ch la dnsià nd a coincidr con l ass dll asciss s σ. Infai in al caso il valor massimo è nullo. Quso ci fa pnsar ch la dviazion sandard la varianza siano dgli indici di com si disribuiscono i valori inorno alla mdia. Soluzion Nlla gomria uclida, l assro è dimosrabil sfruando la proprià ch pr un puno passa una sola ra parallla ad una ra daa:

22 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Pr i ormi sull uguaglianza di angoli alrni inrni pr r paralll, si ha l uguaglianza dgli angoli in figura da cui α β γ 8. In un conso non uclido si possono avr du possibilià: Gomria lliica: la parallla dal vric non sis la somma dgli angoli inrni è maggior dll angolo piao, d i lai non sono sgmni ma archi di circonfrnza: Gomria iprbolica: la parallla dal vric sis non è unica, la somma dgli angoli inrni è minor dll angolo piao, d i lai non sono sgmni ma archi di iprboli prpndicolari al crchio srno:

23 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Soluzion La probabilià in qusion possiamo calcolarla, visa la scla casual dl puno P, com rapporo ra l ara dlla rgion in cui in puno P dv sar pr ssr disan più di da ogni vric l ara oal dl riangolo quilaro. L ara dl riangolo quilaro è l ara di inrss considriamo la figura sgun: 9. Pr calcolar π Il puno P non dv rovarsi in uno di r sori circolari di raggio d aprura angolar. π L ara copra da ogni sor angolar suddo è, pr cui l ara copra da ui r sori è 6 π π. La probabilià richisa è allora: 6 Pr{ d P 9 π 9 > da ogni vric} 9 π Soluzion La parabola la circonfrnza in sam sono angni nl puno (, pr cui hanno la ra angn in (, comun. Il sgmno connn il cnro dlla circonfrnza è prpndicolar alla ra angn in (,, pr cui il luogo di puni in qusion non è alro ch la ra normal nl puno (, cioè la ra prpndicolar alla ra angn in (,.

24 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 La ra angn alla parabola in (, ha cofficin angolar m f '( pr cui la normal avrà cofficin angolar m ' pr cui il luogo richiso è γ : ( γ : 5 Soluzion Chiamiamo i r gniluomini Nicola, Pasqual Fabrizio. La siuazion inizial dopo l gioca ffua è vidnziaa nlla ablla soosan: Pasqual Nicola Fabrizio Soldi iniziali A B C a Soldi dopo giocaa A-B-C B C a Soldi dopo giocaa (A-B-C B-(A-B-C-C-AB-C C a Soldi dopo giocaa (A-B-C (-AB-C C-(A-B-C- (-AB-C -A-B7C Va risolo allora il sisma: ( A B C A B C 6 ( A B C A B C 7 A B C A B 7C A B C

25 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Soluzion La funzion 6 6 è una funzion dfinia, coninua drivabil in uo R. Inolr lim, lim. La sua drivaa è ' 6( > R, pr cui la nosra funzion è smpr crscn. L considrazioni sui limii a ± sulla crscnza, ci porano a dir ch! R : f (. Tal valor lo calcoliamo aravrso il modo di biszion. Pariamo dall inrvallo [,]. Si ha: ( 5 <, ( 6 >. Ora prosgundo si ha: > pr cui prndiamo in considrazion l inrvallo, < pr cui prndiamo in considrazion l inrvallo, > pr cui prndiamo in considrazion l inrvallo 8 56, < pr cui prndiamo in considrazion l inrvallo 6 8, < pr cui prndiamo in considrazion l inrvallo 6 8, 6 8 > pr cui prndiamo in considrazion l inrvallo 68, > pr cui lo zro si rovrà nll inrvallo 8 975,. 6 8 Ma < pr cui lo zro si rovrà nll inrvallo 87 86, [.679,.67] 8 8 Pr cui lo zro ha com valor numrico con du cifr significaiv. 67.

26 Nicola D Rosa Lico scinifico PNI 7 Soluzion