Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: LI02 SCIENTIFICO LI03 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE Tema di matematica

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1 Nicol D Ros Murià Esm di so di isruzion scondri suprior Indirizzi: LI SCIENIFICO LI - SCIENIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICAE m di mmic Il cndido risolv uno di du problmi rispond qusii dl qusionrio PROBLEMA Si sgundo un corso, nll'mbio dll'orinmno univrsirio, pr l prprzion gli sudi di Mdicin. Il docn inroduc l lzion dicndo ch un mdico bn prpro dv disporr di conoscnz, nch mmich, ch prmno di cosruir modlli d inrprr i di ch diniscono lo so di slu l siuzion clinic di pzini. Al uo gruppo di lvoro vin ssgno il compio di prprr un lzion sul m: "com vri nl mpo l concnrzion di un rmco nl sngu?". S il rmco vin somminisro pr vi ndovnos, si ipoizz pr smplicià ch l concnrzion dl rmco nl sngu rggiung subio il vlor mssimo ch immdimn inizi diminuir, in modo proporzionl ll concnrzion sss; nl cso ch il docn i h chiso di discur, pr ogni or ch pss l concnrzion diminuisc di / dl vlor ch vv nll or prcdn.. Individu l unzion ( ) ch prsn l ndmno richiso, ipoizzndo un concnrzion g inizil () = (microgrmmi milliliro) rpprsnl gricmn in un pino crsino ml g vn in sciss il mpo sprsso in or in ordin l concnrzion sprss in. ml S invc l somminisrzion vvin pr vi inrmuscolr, il rmco vin dpprim inio nl muscolo progrssivmn pss nl sngu. Si ipoizz prno ch l su concnrzion nl sngu umni pr un cro mpo, rggiung un mssimo poi inizi diminuir con un ndmno simil qullo risconro nl cso dll somminisrzion pr vi ndovnos.. Scgli r l sguni unzioni qull ch riini più d pr rpprsnr l ndmno dscrio pr il cso dll somminisrzion pr vi inrmuscolr, giusiicndo l u scl: y y sin y y. rcci il grico dll unzion scl in un pino crsino vn in sciss il mpo sprsso in g or in ordin l concnrzion y sprss in dscrivi l su crrisich principli, in ml rpporo l grico dll unzion rliv ll somminisrzion pr vi ndovnos. Pr vir dnni gli orgni ni quli il rmco si ccumul è ncssrio nr soo conrollo l concnrzion dl rmco nl sngu. Supponndo ch in un orgno il rmco si ccumuli con un g vlocià v, sprss in (microgrmmi milliliro ll or), proporzionl ll su concnrzion ml h nl sngu:

2 Nicol D Ros Murià v. Drmin l qunià ol di rmco ccumul nll orgno nl cso dll somminisrzion ndovnos di qull inrmuscolr sudi in prcdnz. In qul dll du l ccumulo srà mggior? y

3 Nicol D Ros Murià SVOLGIMENO cur di Nicol D Ros con N. Scrivimo l squnz di vlori y, y, y,, y y y y y y y y y y y y y y y Quindi y y d imponndo y si ricv y, N L unzion y, N il suo grico pr d y ndrà pr. non è lro ch un unzion ponz con bs,, prno.. Al ndr di l unzion di somminisrzion inrmuscolr dv vvicinrsi qull ndovnos, prno: L unzion y v scr in quno pr L unzion y oscil nch s pr L unzion y y ss nd y sin v scr in quno ssum nl mpo un ndmno ss nd y v scr in quno pr ss nd L unzion y pr sclusion è qull ccbil; d lrond y ss nd y pr

4 Nicol D Ros Murià y è dini posiiv pr si nnull pr. L su. L unzion ' d è posiiv driv prim è y s y è srmn ; di consgunz crscn in, srmn dcrscn in, prno è sciss di mssimo rlivo d ssoluo. L driv scond è y '' d è posiiv s y ; di consgunz volg concvià vrso il bsso in, vrso l lo dcrscn in, prno è sciss di lsso. Di sguio il grico.. L qunià di rmco nll inrvllo mporl [, ] è pri v d y ol è pri l vlor dl i v d y d. Nl cso di somminisrzion ndovnos si h: d ; l qunià

5 Nicol D Ros Murià ml g,9 d d d v Nl cso di somminisrzion inrmuscolr si h: ml g d d v In conclusion l ccumulo mggior si h nl cso di somminisrzion inrmuscolr.

6 Nicol D Ros Murià PROBLEMA Si l unzion dini d.. Dimosr ch l unzion possid un unico puno di minimo un unico puno di lsso. Clcol l coordin dl minimo dl lsso rcci il grico dll unzion;. Dimosr ch l unzion g è simmric rispo ll ss rccirn il grico G g ;. Di P Q i puni di inrszion rispivmn dl grico dl grico G g con l ss, drmin l r A dll porzion di pino di dl sgmno PQ di grici G g ;. Si l migli di unzioni dini d, con R. Pr ogni unzion l ngn l grico nl puno di lsso inrsc l ss l ss dindo un ringolo rngolo. Drmin i vlori di pr i quli l ringolo è nch isoscl, spigndo il procdimno sguio. SVOLGIMENO. Sudimo l unzion. Ess è dini in R, inrsc l ss dll sciss in, qullo dll ordin in,, è posiiv pr, non prsn sinoi vricli prsn y com sinoo orizzonl sinisro in quno mnr. L driv prim è ' 8 prno srmn crscn in, srmn dcrscn in, prno, rlivo d ssoluo. è è minimo L driv scond è '' 8 prno volg concvià vrso l lo in, è l unico puno di lsso. Di sguio il grico., concvià vrso il bsso in, prno

7 Nicol D Ros Murià. L unzion simmric di g. Di sguio il grico G g. rispo ll ss dll ordin è

8 Nicol D Ros Murià. I puno P Q hnno coordin,,, Q P L r richis pr simmri è pri d d S. L driv prim scond di sono: '' ' Il puno, è puno di lsso. L ngn in, è pri y '.

9 Nicol D Ros Murià L r y inconr l ss dll sciss in, qullo dll ordin in,. Il ringolo è rngolo nll origin (,) d h i li pri d è isoscl s i li sono uguli ovvro s.

10 Nicol D Ros Murià QUESIONARIO. Drminr il volum dl solido gnro dll rozion orno ll r di quzion = dll rgion di pino di dll curv di quzion = + dll r sss.. Vriicr ch l unzion: h un disconinuià di prim spci ( slo ), mnr l unzion: h un disconinuià di rz spci ( inbil ).. Durn il picco mssimo di un pidmi di inlunz il % dll popolzion è cs mmlo: ) qul è l probbilià ch in un clss di lunni c n sino più di du ssni pr l inlunz? b) dscrivr l oprzioni d compir pr vriicr ch, s l inr scuol h lunni, l probbilià ch c n sino più di inlunzi è mggior dl 99%.. Nllo spzio sono di du pini α β rispivmn di quzion: α) + = β) + + = Dopo vr drmino l'quzion prmric dll r r d ssi individu vriicr ch ss pprin l pino γ di quzion + + =.. Considr l prbol di quzion =, nl primo qudrn ciscun ngn ll prbol di con gli ssi coordini un ringolo. Drminr il puno di ngnz in modo ch l r di l ringolo si minim.. Drminr l unzion dnsià di probbilià di un vribil csul coninu ch ssum vlori nll inrvllo [, ] con un disribuzion uniorm. Drminr inolr il vlor mdio, l vrinz, l dvizion sndrd di l vribil l probbilià ch si.. Clcolr il vlor mdio dll unzion nll inrvllo [, ] drminr il vlor dll in cui l unzion ssum il vlor mdio. 8. Un sr h il rggio ch umn l pssr dl mpo scondo un d unzion r(). Clcolr il rggio dll sr nll isn in cui l vlocià di crsci dll suprici sric l vlocià di crsci dl rggio sono numricmn uguli. 9. In un ririmno crsino nllo spzio Oyz, d l r r di quzioni: y z il pino P di quzion: + + =, drminr pr qul vlor di l r r il pino P sono prllli, l disnz r di ssi.. Scrivr l quzion dll circonrnz C ch h il cnro sull ss y d è ngn l grico G di ( ) = nl suo puno di lsso.

11 Nicol D Ros Murià SVOLGIMENO. L cubic = + l r = si inrscno ni puni,,,,, rgion di cui clcolr il volum sguio di rozion orno ll r rpprsn: l = è di sguio Viso ch il volum è invrin ll rslzioni, sguimo l sgun rslzion ch por l cubic d vr il puno di lsso (,) coincidni con l origin: Y y onndo Y con l nuov rgion d ruor orno ll r Y=. Il volum pr simmri è quindi pri :

12 Nicol D Ros Murià 9 9 d d Y V. L unzion è dini in R. Clcoo i ii dsro sinisro pr ndn zro: prno = è un disconinuià di prim spci in quno i ii dsro sinisro sono inii m divrsi. L unzion è dini in R. Clcoo i ii dsro sinisro pr ndn zro: prno = è un disconinuià di rz spci ovvro inbil in quno i ii dsro sinisro sono inii d uguli.. L disribuzion dgli mmli è un binomil di prmro p=, con disribuzion P.8.. L probbilià ch in un clss di lunni c n sino più di du ssni pr l inlunz è pri

13 Nicol D Ros Murià P P P P , % Pr n= convin pprossimr l disribuzion binomil con un gussin con mdi,, vrinz,,8, dvizion sndrd,,98. L disribuzion gussin h pd p dov l unzion ch Q,, 999 l probbilià richis è pri,98 d Q Q Q, Q, Q è bul. Ispzionndo l bll di vlori dll Q-uncion si vinc p prno è dimosro ch s l scuol h lunni l probbilià ch c n sino più di inlunzi è suprior l 99%.. Sommndo l du quzioni sguni α) + = β) + + = 8 si oin y. Sorndo l du quzioni si oin y z. Di consgunz il gnrico puno dll coppi di r è,,. Sosiundo qus uo nll quzion + + = si oin prno,, pprin ll r.. Si, con il puno di ngnz. L quzion dll ngn è pri y. l ngn inrsc l ss dll sciss in, l ss dll ordin in,. Il ringolo ormo ll ngn con gli ssi h i li ch misurno prno l r è pri S con.

14 Nicol D Ros Murià L driv prim dll unzion r è pri ' S ch è posiiv in, ngiv in, prno l r è minim pr il puno di ngnz è 8,.. Si l vribil uniorm, U. Il vlor mdio è pri d E ch coincid con il vlor mdio dll inrvllo (,). Il vlor qudrico mdio è pri d E. L vrinz è pri 9 E E. L dvizion sndrd è. L probbilià ch si è pri d p.. Il vlor mdio è pri d d V M Poiché dducimo ch l unzion è coninu drivbil in [,] prno è possibil pplicr il orm di Lgrng norm dl qul b b c b c ' :, Applicndo il orm in [,] si ricv ' :, c c poiché, ' si dduc ch il vlor ch grnisc il vlor mdio è d ricrcr in [,]. Prno, ' :, c c c c ch è ccbil.

15 Nicol D Ros Murià 8. L suprici dll sr è S r l su vlocià di vrizion è S ' 8 r r'. L vlocià di vrizion dl rggio è r' prno imponndo l uguglinz in un isn gnrico si ricv 8r r' r' r L r r è individu dl vor di componni (,,) mnr il pino + + = è individuo l vor di componni (,, -). L r d il pino sono prllli s il prodoo sclr r i vori dll componni è nullo ovvro s +-= =. Un puno dll r r è (,,) l disnz di (,,) dl pino di quzion + + = è d.. L driv scond di è '' si dduc ch, è puno di lsso. si nnull in L quzion dll r ngn è ll ngn h quzion y ; ssndo ' y prno l quzion dll norml dll inrszion dll norml con l ss dll ordin ovvro è. Il cnro dll circonrnz è do,. Il rggio dll circonrnz è pri ll disnz r il cnro il puno di lsso ovvro, di consgunz l quzion dll circonrnz è y 9 y y r