MODELLI DEI SISTEMI ELETTROMECCANICI

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1 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici MODELLI DEI SISTEMI ELETTROMECCANICI Nl sguito ci occupio dll odllzion di sisti ibridi ch cobinno sisti lttrici con sisti ccnici, d in prticolr di otori in corrnt continu L iportnz di odlli di qusti sisti è dovut l tto ch qusti sono spsso prsnti co coponnti ngli utotisi in cui l oggtto dl controllo si l ovintzion di un orgno ccnico MOTORE ELETTRICO IN CORRENTE CONTINUA Un clssico spio di sist lttroccnico è il otor in corrnt continu (cc) Si trtt di un dispositivo ch trsor nrgi lttric in nrgi rotzionl ttrvrso l intrzion tr un cpo gntico stzionrio to cpo isso (gnrto d un gnt prnnt to circuito di ccitzion o di cpo o nch sttor) un cpo gntico prodotto d un circuito (to circuito di rtur o rotor) libro di uovrsi, ch quindi ruot pr vi dll intrzion tr i du cpi gntici L nrgi rotzionl prodott prtt di uovr un crico solidl ll ss dl otor, pr cui qusto è spsso chito ttutor Un ltro pplltivo coun è qullo di srvoccniso di posizion (di vlocità) poiché l su uscit è l posizion ngolr (l vlocità ngolr) Oltr ll rotzion dll lbro otor dovut ll ccoppinto di du cpi gntici isso in rotzion, un otor in cc è intrssto d un ltro nono isico: il conduttor ch si uov nl cpo gntico prnnt gnr i suoi cpi un tnsion indott t orz lttrootric Nll scrittur dll quzioni ch dscrivono il otor in cc si trscurno gli tti di scondo ordin quli l istrsi l cdut di tnsion tr l spzzol (ttrito di Coulob) In un srvoccniso si idntiicno in gnr tr vribili di ingrsso principli: l tnsion pplict l circuito di ccitzion (oppur l corrnt), l tnsion pplict l circuito di rtur (o l corrnt) l coppi di crico (ingrsso non nipolbil) Gnrlnt i srvootori sono pilotti ntnndo costnt un dll du vribili nipolbili d gndo sull ltr co unico ingrsso (nipolbil) Fissndo d spio l tnsion ( quindi l corrnt) di rtur il srvoccniso si dic pilotto in ccitzion; vicvrs, s si iss l tnsion ( quindi l corrnt) di ccitzion il srvoccniso si dic pilotto in rtur Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt

2 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici Pr un otor in corrnt continu counqu pilotto vlgono l sgunti lggi ) L coppi otric vl: C (t) = ϕ (t)i (t) ssndo un costnt costruttiv dl otor, φ il lusso di ccitzion i l corrnt di rtur ) Il lusso di ccitzion dipnd gnrlnt in odo non linr dll corrnt di ccitzion, in pri pprossizion si può rr ch tl rlzion si di proporzionlità dirtt (ossi si linr): ϕ (t) = i (t) ssndo un costnt crttristic dl otor i l corrnt di ccitzion 3) L orz lttrootric () o tnsion isurt i cpi dl rotor vl: d θ(t) (t) = ϕ(t) ω (t) = ϕ (t) ssndo l costnt costruttiv già introdott l punto (nch s dinsionlnt si trtt di du prtri dirnti) θ ω rispttivnt l posizion ngolr l vlocità ngolr dl otor MODELLO DI UN MOTORE IN CC PILOTATO IN ECCITAZIONE v(t) R i(t) L i=cost J ω θ Cr ω θ Cr Jc Cr c Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt

3 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici Nl sguito si vuol rinr un odllo ttico dl sist in igur, costituito d un otor in corrnt continu lintto con corrnt di rtur costnt pilotto dll tnsion v pplict l circuito di ccitzion Il rotor dl otor possid un onto di inrzi J un coicint di ttrito viscoso Inoltr l lbro dl otor si collgto d un riduttor di giri A su volt il riduttor trscin un crico ch h onto di inrzi Jc coicint di ttrito viscoso c È prsnt un coppi rsistnt Cr ch gisc co disturbo dl sist Si vuol dscrivr l vribil di uscit, costituit dll posizion ngolr θ dll lbro otor su cui è clttto il crico Idntiichio innnzitutto l vribili di ingrsso Nturlnt un di ss è l tnsion pplict l circuito di ccitzion dl otor v Un ltr vribil indipndnt ch inlunz l dinic dl sist è l coppi rsistnt Cr Prciò il nostro sist possid du ingrssi (di cui uno è un vribil nipolbil l ltro è un disturbo) un unic uscit θ Esinio or in tglio l rlzioni ch lgno l vribili dl sist Pr il circuito di ccitzion si h l lgg di Kircho dll tnsioni: di (t) v(t) = Ri(t) L Scrivio poi l quilibrio ccnico ll lbro otor, spndo ch l coppi otric sviluppt dl otor è proporzionl l lusso di ccitzion ll corrnt di rtur: C (t) = ϕ (t)i (t) Il lusso dipnd dll corrnt di ccitzion Supponndo tl dipndnz di dirtt proporzionlità (ipotsi vlid s il otor è lontno dll sturzion) ricordndo ch l corrnt di rtur è costnt, si h in dinitiv: C (t) = ' i (t) L coppi rsistnti ll lbro dl otor sono l coppi di inrzi, l coppi di ttrito l coppi rsistnt riportt ont dl riduttor Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt 3

4 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici N consgu ch l quilibrio ccnico ll lbro otor si scriv co sgu: d ω(t) ' i (t) = J ω (t) C r(t) Esinio or il riduttor, l cui quzion è: ossi θ (t) = rθ (t), ω (t) = rω (t) con < (trttndosi di un riduttor) Inoltr l quilibrio dll coppi ll ingrnggio si scriv: C r(t) C r(t) = Ancor, è possibil scrivr l quilibrio ccnico l crico considrndo ch l coppi Cr è pri ll so dll coppi di inrzi dl crico, dll coppi di ttrito dll coppi rsistnt strn Cr (si trtt di un coppi rsistnt non controllbil quindi intrprtbil co un disturbo): d ω(t) C r(t) = Jc cω (t) C r(t) L divrs quzioni di quilibrio dll coppi possono ssr trsort in un unic rlzion In prticolr, sostitundo qust ulti rlzion ll quilibrio dll coppi ll lbro otor tnndo conto dll quzion dll ingrnggio si h: d ω(t) d ω(t) ' i (t) = J ω (t) Jc cω (t) C r(t) tnndo conto dll rlzion sull vlocità ngolri si h: d ω(t) ' i (t) = (J J c) ( c) ω (t) C r(t) Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt 4

5 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici Posto or J= J Jc, = c si ottin: d ω(t) ' i (t) = J ω (t) C r(t) ch co è noto spri l inrzi l ttrito coplssivi riportti ll lbro dl otor, ont dl riduttor Trsorndo scondo Lplc l quilibrio lttrico rltivo l circuito di ccitzion l quilibrio ccnico ll lbro otor si hnno l du quzioni: V(s) = (R Ls)I(s) ' I (s) = (Js ) Ω (s) C r(s) Ricvio dll ulti quzion l trsort di Lplc dll vlocità ngolr dl otor sostituio quindi l trsort di Lplc dll ingrsso V: ' Ω r (s) = I (s) C r(s), (Js ) (Js ) ' Ω r (s) = V (s) C r(s) (Js )(Ls R ) (Js ) Ricordndo poi ch l posizion ngolr è l intgrl dll vlocità ngolr, ossi, nl doinio dll rqunz coplss s: ch pr l prsnz dl riduttor si h: Ω Θ = s Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt 5

6 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici Θ = Θ si dduc ch l trsort dll uscit vl Ponio or r ' r Θ r (s) = V (s) C r(s) s(js )(Ls R ) s(js ) J L τ =, ' τ =, r =, R R c r = Si ottin quindi Θ (s) = V (s) C (s) c r s( τ s)( τ s) s( τs) L prcdnt sprssion dscriv l rlzion tr i du ingrssi l uscit nl doinio dll rqunz coplss s Si ossrv ch l unzion di trsrinto rltiv ll ingrsso in tnsion coprnd un polo nll origin, dovuto ll sclt co uscit dll posizion ngolr, un polo ccnico ch dipnd dll crttristich costruttiv dl otor dl crico, un polo lttrico ch dipnd dl circuito di ccitzion Invc l unzion di trsrinto rltiv l disturbo (l coppi rsistnt) coprnd un polo nll origin, dovuto ll sclt co uscit dll posizion ngolr, il polo ccnico dovuto l otor l crico c s( τ s) V(s) s( τ s)( τ s) Θ(s) Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt 6

7 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici Il digr blocchi quivlnt dl sist è rpprsntto nll igur prcdnt Si ossrv ch l du unzioni di trsrinto vrbbro potuto ssr ddott un ll volt, considrndo singolrnt i du ingrssi pplicndo il principio di sovrpposizion dgli tti, vlido pr l ipotsi di linrità di sisti Un odo ltrntivo pr rinr l du unzioni di trsrinto vist è qullo di dscrivr l divrs rlzioni dl sist dint uno sch blocchi, in cui ciscun blocco spri un dll rlzioni vist in prcdnz Applicndo quindi l lgbr di sisti blocchi è possibil prvnir d un sist inio co qullo dll igur prcdnt Risinio in tl snso l rlzioni già scritt, oprndo dirttnt con l trsort di Lplc, introducndo i corrispondnti blocchi Pr il circuito di ccitzion si h il sgunt blocco R I (s) = V (s) ( τ s) V(s) R ( τ s) I(s) Pr l quilibrio ccnico ll lbro dl otor si h il blocco ch sgu C (s) = ' I (s) I(s) C(s) Pssio or d sinr l rlzion tr coppi otric coppi rsistnt ll lbro otor C (s) = (Js ) Ω (s) C r(s) C (s) C r(s) Ω (s) = (J s ) C(s) J s Ω(s) Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt 7

8 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici Vdio or il riduttor, ch ornisc du quzioni du corrispondnti schi blocchi Cr(s) Ω (s) = rω (s), Ω(s) Ω(s) C r(s) = C r(s) Esinio poi l quilibrio ll lbro dl crico C r(s) = (Jcs c) Ω (s) C r(s) Ω(s) Js c c Cr(s) Scrivio poi il lg di intgrzion sistnt tr l vlocità ngolr l posizion ngolr ll lbro dl crico: Ω(s) Θ (s) = s Ω(s) s Θ(s) Aggrghio quindi tutti i blocchi Cr(s) Js c c V(s) R ( τs) I(s) C(s) J s Ω(s) Ω(s) s Θ(s) Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt 8

9 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici Portio l scond giunzion sont ont dll pri ttuio l sri tr du blocchi (Js r c ) c V(s) ' R τ s J s Ω(s) s Θ(s) Risolvio or l nllo di rtrozion V(s) ' R τ s r r c c (J s ) (J s ) s Θ(s) Ponio co pri: r c J= J J, J = c, τ = Si ottin: Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt 9

10 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici V(s) ' R τ s s( τ s) Θ(s) Inin, portndo vll l giunzion sont si ottin il digr blocchi riportto di sguito, dopo vr posto: ' = r, R c r = c s( τ s) V(s) s( τ s)( τ s) Θ(s) Evidntnt si ottin lo stsso risultto ottnuto con il prio todo Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt 0

11 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici MODELLO DI UN MOTORE IN CC PILOTATO IN ARMATURA v(t) R L i(t) i=cost L ω θ J Cr Dtrinio or il odllo ttico dl otor in corrnt continu lintto con corrnt di ccitzion costnt pilotto dll tnsion v pplict l circuito di rtur Considrio dirttnt un onto di inrzi J un coicint di ttrito viscoso ridotti ll lbro otor, dunqu coprnsivi dl crico, vntulnt collgto con un riduttor, dl otor stsso Inoltr si Cr l coppi rsistnt riportt ll lbro otor ch gisc co disturbo dl sist Si vuol dscrivr l vribil di uscit, costituit dll posizion ngolr θ dll lbro otor L vribili di ingrsso sono in qusto cso l tnsion pplict l circuito di rtur dl otor v l coppi rsistnt Cr Prciò il nostro sist possid du ingrssi (di cui uno è un vribil nipolbil l ltro è un disturbo) un unic uscit θ Costruio il odllo ttico Pr il circuito di rtur si h il sgunt blocco di (t) v (t) = Ri (t) L (t) ssndo (t) l orz lttrootric isurt i orstti dl rotor Trsorndo scondo Lplc con condizioni inizili null si h: V(s) I(s) V (s) E(s) I (s) = (R L s) E(s) Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt R L s

12 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici D ltr prt pr l orz lttrootric si h, tnuto conto ch il lusso è costnt (ssndo costnt l corrnt di ccitzion): d θ(t) (t) = ϕ(t) ω (t) = ϕ (t) = ch trsort scondo Lplc divnt d θ(t) E(s) = s Θ (s) s E(s) Pssio or d sinr l rlzion tr coppi otric coppi rsistnt ll lbro otor d θ(t) d θ(t) C (t) = J C r(t) ch trsort scondo Lplc ornisc C(s) s(js ) C (s) C r(s) Θ (s) = s(js ) Inoltr sppio ch l coppi otric è dt dll rlzion, tnuto conto ch il lusso è costnt: C (t) = ϕ (t)i (t) = '' i (t), ch trsort scondo Lplc divnt I(s) C(s) C (s) = '' I (s) Aggrghio quindi tutti i blocchi Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt

13 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici V(s) E(s) R L s I(s) C(s) s(js ) s Pr ridurr lo sch pplichio il principio di sovrpposizion dgli tti Considrio pri il disturbo Cr=0 Lo sch quivlnt è il sgunt V(s) E(s) " s(r L s)( Js) s D cui si ottin l unzion di trsrinto in ssnz dl disturbo V(s) " ((R L s)( Js) " ) s Norlnt l induttnz dl circuito di rtur è olto bss dunqu trscurbil Prciò, posto L=0 nll prcdnt unzion di trsrinto, si h: Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt 3

14 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici con " G(s) = V (s) s C ( R ( Js) " ) r = 0 " " R " = = = s s s R " ( R Js (R " )) R J s( τs) " K = ; R " RJ τ= R " In dinitiv si h un polo nll origin dovuto ll sclt dll uscit di posizion un polo rl ngtivo dovuto l otor l crico, oltr ch l circuito di rtur (è prsnt l inlunz dll rsistnz R ) Il polo lttrico rl ngtivo dovuto ll induttnz di rtur vin trscurto K V(s) K s( τs) Considrio or l tnsion V(s)=0 Lo sch quivlnt è il sgunt Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt 4

15 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici s( Js) " s (R L s) D cui si ottin l unzion di trsrinto rltiv l solo disturbo R Ls s(r Ls)( Js) " ( ) Con l stss posizioni di pri, in prticolr con L=0, si h quindi: con R G(s) = C r(s) s V ( R ( Js) " ) = 0 R R R " = = = s s s R " ( R Js (R " )) R J s( τs) Il blocco quivlnt è dunqu: R τ K' = = ; R " J RJ τ= R " K' Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt 5

16 Ing Mrigrzi Dotoli Controlli Autotici NO (9 CFU) Modlli di Sisti Elttroccnici K' s( τs) con gli stssi poli dll unzion di trsrinto ottnut pr disturbo nullo Nl coplsso si h il sgunt sch blocchi, ch coprnd du unzioni di trsrinto uguli no di un ttor oltiplictivo K' s( τs) V(s) K s( τs) Copyright 007 Mrigrzi Dotoli L utor grntisc il prsso pr l riproduzion l distribuzion dl prsnt tril pr i soggtti privti, ll condizion ch l ont originl l utor sino splicitnt 6

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