Introduzione. Sorgenti magnetiche (fittizie) Priinciipiio dii equiivallenza deii campii

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1 ppunti di ntnn Cpitolo 4 ntnn d ptu (II) PRINCIPIO DI QUIVLN DI CMPI... Intoduzion... Sognti gntich (fittizi)... Pincipio di quivlnz di cpi... 3 ppliczion ll idizion dll ntnn d ptu... 9 Ossvzion... 4 Guid d ond ttngol tonct... 5 ntnn tob... -pln hon ntnns... 3 ntnn tob piidl... 3 Piinciipiio dii quiivllnz dii cpii Intoduzion Nonostnt l tcnic dll tsfot di Foui consnt clcoli tutto soto fcili p l dtinzion dl cpo idito d un ptu (illuint d un cpo lttico noto) su un pino, ss isult olto no dtt ni csi in cui l ptu è ptict su un supfici non pin, co d spio qull di un cilindo o di un sf. Risult pciò ncssio pns d lti todi p studi l dizion dll ptu d è qullo di cui voglio occupci dsso. Sognti gntich (fittizi) Coincio col ost pidnt ch è convnint util intodu conti gntich cich fittizi co tcnic p gvol l nlisi dll idizion d un ptu. L conti gntich l cich ρ possono ss intodott nll quzioni di Mwll in pftt nlogi qunto si f p l conti lttich l cich ρ : jωb H jωd + B ρ D ρ

2 ppunti di ntnn Cpitolo 4 (pt II) Qundo ntbi i tipi di sognti sono psnti, il cpo isultnt è chint l sovpposizion di qullo podotto dll sognti lttich qullo podotto dll sognti gntich, co s ciscun coppi giss sptnt. In pticol: il cpo podotto dll sognti lttich è notoint dtinbil usndo il potnzil vtto di tipo lttico, ch indicho d o in poi con non più con co bbio ftto in pcdnz; in odo dl tutto nlogo, il cpo podotto dll sognti gntich può ss dtinto usndo il potnzil vtto di tipo gntico, ch indicho con. Si pocd nl odo sgunt: p pi cos si dtinno i du potnzili vtto ppn citti, isolvndo l sgunti du quzioni diffnzili di tipo oi bn noto: ( + ) µ ( + ) ε in scondo luogo, di potnzili vtto si isl i ispttivi cpi, tit l sgunti spssioni: ( ) H + jω + µ jωµ ε ( ) + jω + jωµ ε ε In ntb qust ulti spssioni, fccio ossv ch l pi pntsi indic il contibuto l cpo d pt dl potnzil vtto lttico, così co bbio pint visto in pcdnz, nt invc l scond pntsi indic il contibuto l cpo d pt dl potnzil vtto gntico intodotto poco f. Si not iditnt l pftt dulità di vi tini. Possio nch scnd in ggioi dttgli. Inftti, possio subito icodci ch l quzion p il potnzil vtto lttico d l sgunt soluzion (vlid solo p il cpo lontno): j µ j ( ' ) (P) π (P') dv' 4 V' llo, sfuttndo nco un volt l pftt dulità, scivio iditnt ch l spssion gnl dl potnzil vtto gntico è l sgunt: ε (P) j j (P') V' Dobbio o nd sostitui qust spssioni in qull dl cpo lttico dl cpo gntico. S considio tli cpi solo nll gion lontn, sppio ch, p qunto igud il contibuto l cpo dovuto l potnzil vtto lttico (cioè ll sognti lttich), si tovno i sgunti isultti: ( ' ) dv' uto: Sndo Ptizzlli

3 ntnn d ptu: uso dl pincipio di quivlnz di cpi H H,, + + H,, jω,, jω, +, jω, jω, Possio llo bnlnt sfutt nco un volt l dulità sciv ch il cpo dovuto ll sognti gntich isult ss il sgunt: H H,, + + H,, jω,, + jω +,, jω, jω Possio dunqu pplic l sovpposizion dgli fftti sciv ch il cpo totl, in zon lontn, ssu l sgunt spssion: H jω ( + ) jω( ),,, +,,,, Pincipio di quivlnz di cpi l fin di intodu i conctti fondntli ch sono ll bs dl cosiddtto pincipio di quivlnz di cpi, coincio d un splic spio di cpo lttosttico, gnto cioè d cich sttich. Considio in pticol un cic lttic puntifo q situt nll oigin di un sist di ifinto ctsino Oz: q ε q z noto ch il cpo lttico sttico podotto d tl cic h spssion q ε Considio dsso un supfici sfic di ggio cntt nll cic q. pplicndo il to di Guss, possio fcilnt ddu ch è possibil ottn lo stsso cpo lttico nll gion > (quindi stnnt ll sf) 3 uto: Sndo Ptizzlli

4 ppunti di ntnn Cpitolo 4 (pt II) q sostitundo l cic q con un dnsità spzil di cic ρ S distibuit unifont sull sf stss: qust dnsità di cic fonisc l oppotun tinzion p l lin di foz ssocit l cpo sull supfici. ρ S q q ε z Tuttvi, l du situzioni (qull con q qull con ρ S) non sono pfttnt quivlnti: lo sono snz lto p qunto igud il cpo stno ll sf, nt invc diffiscono p qunto igud il cpo intno ll sf, ch, nl cso di ρ S, è idnticnt nullo in ogni punto. Dicio quindi ch l quivlnz t i du tipi di sognti vl solo p il cpo stno ll sf. Qusto è un pio splic spio dl pincipio di quivlnz di cpi. dsso, odifichio ultiont l situzion, lscindo invito il cpo ll stno dll sf postulndo invc l sistnz di un cpo unifo ll intno dll sf. P ottn un distibuzion di cpo di qusto tipo, dobbio ncssint utilizz l sgunti sognti: in bs qunto visto pi, p ottn il cpo ll stno dll sf q bbio bisogno di un dnsità spzil di cic ρ S distibuit sull supfici stn dll sf stss; in scondo luogo, p f in odo ch il cpo non intvng odific il suddtto cpo, dobbio ncssint zz l su coponnt nol ll supfici dll sf: qusto lo ottnio sistndo un nuov dnsità spzil di cic sull sf, ch in bs l to di Guss dv vl ρ ε ε ε ε sin cos ( ) ' S nco, dobbio nch zz il cpo lttico tngnzil ll intno dll sf qusto lo possio ottn ponndo uno stto di cont gntic sttic sull supfici dll sf. Un supfici su cui sco uno stto di cont lttic con dnsità s dtin notoint un discontinuità dll coponnt tngnzil dl cpo gntico scondo l lzion n ( H H ) s ; llo, sfuttndo l solit dulità, l coispondnt spssion p l discontinuità dl cpo lttico tngnzil dovut d un foglio di cont con dnsità non può ch ss n ( ) ; in pticol, nl nosto cso l nol è d inolt il cpo stno (qullo uto: Sndo Ptizzlli 4

5 ntnn d ptu: uso dl pincipio di quivlnz di cpi con il pdic ) non psnt coponnt tngnzil (inftti è solo dil). Di consgunz, scivio ch l dnsità di cont gntic ch ci sv è n + n n n ( n ) ( sin + coscos ) In dfinitiv, ptndo dll situzion l inizil in cui un cic puntifo q è post nll oigin dl nosto sist di ifinto, sio giunti d un nuov situzion, in cui un cpo lttico unifo è psnt ll intno dll q sf di ggio d un cpo dil è psnt l di fuoi dll ε stss sf; qust distibuzion di cpo è stt ottnut usndo du sognti: un cic lttic sttic sull sf, con dnsità spzil coplssiv dt d q ρ ε sin cos un foglio di cont gntic sull supfici dll sf con dnsità supficil sin + coscos ( ) In gnl, dunqu, bbio utilizzto du nuov sognti (un cic lttic sttic d un dnsità di cont gntic) ch poducono lo stsso cpo inizil p qunto igud l gion stn ll sf d un cpo ll intno dll sf stss. Di tl cpo bbio solo postulto l sistnz, snz f considzioni sull su sognti. Si può vific fcilnt ch l distibuzion di cic di cpo ch bbio lizzto soddisf l quzioni di Mwll: d spio, in ogni punto, cctto ch su, isultno nulli il oto l divgnz dl cpo lttico. qusto punto, nssuno ci vit, d spio, di ipo ch il cpo lttico ll intno dll sf si nullo, il ch quivl consid un sf di til pfttnt condutto (tllo), snz p qusto odific il cpo ll stno dll sf stss. L conclusion d pot vidnzi in qusto spio è ch ci sono divs distibuzioni di sognti quivlnti ch possono ss dispost su un supfici chius ch cicond un dt sognt pu ntnndo invito, isptto ll situzion di ptnz, il cpo lttico l di fuoi dll supfici stss. Qusti stssi conctti possono nch ss pplicti l cso di cpi lttogntici vibili nl tpo, co intndio f vd dsso. Considio un sist di sognti lttich, ρ contnut in un volu V dliitto d un supfici chius S. Indichio con, H il coispondnt cpo lttogntico idito: 5 uto: Sndo Ptizzlli

6 ppunti di ntnn Cpitolo 4 (pt II), H n, H, ρ S dsso supponio di iuov l sognti, ρ postulio l sistnz di un cpo, H ll intno di S nco dl cpo, H ll stno di S. Qusto cpo lttico coplssivo postulto è un vlid soluzion solo s i du cpi sono popint ccoppiti in coispondnz dll supfici S ch li sp. Qusto signific ch i du cpi dvono soddisf l sgunti condizioni l contono ltiv ll ispttiv coponnti tngnzili su S: s n n ( H H ) ( ) Qust spssioni ppsntno dunqu l condizioni l contono cui dvono soddisf i cpi tngnzili in coispondnz dll supfici S: l discontinuità dl cpo gntico tngnzil ipon l psnz di un foglio di cont lttic con dnsità s ; l discontinuità dl cpo lttico tngnzil ipon invc l psnz di un foglio di cont gntic con dnsità. popio qusto quisito ch giustific l intoduzion dll conti gntich ch bbio ftto in pcdnz. n ( H ) s H, H n, H n ( ) S L insi di cpi, H, H dll conti s, costituisc un vlid soluzion dll quzioni di Mwll in ciscun punto dl volu considto. Dto ch l soluzion di tl quzion è unic, qundo vo iposto ch tutt l condizioni l contono sino soddisftt poto ff ch sicunt l conti s, idino i cpi postulti. llo, s supponio di intssci solo qullo ch succd l di fuoi dll supfici S, l conti s, sono dl tutto quivlnti ll insi inizil di sognti ρ., uto: Sndo Ptizzlli 6

7 ntnn d ptu: uso dl pincipio di quivlnz di cpi Non solo, il cpo, H è nost coplt d biti sclt, p cui possio suppo ch sso si nullo: in qusto cso, scivio pciò ch l dnsità di cont quivlnti sono dt d s n H n H n, H s n H n S L conclusion cui sio pvnuti è dunqu qull p cui, i fini dl cpo idito nll gion stn d un gnic supfici chius S ch bbcci un dtinto sist, ρ di sognti, si possono sostitui tli sognti ch dll sognti quivlnti, coispondnti conti ch scoono sull supfici S s stss. L ulti du quzioni ppsntno l foulzion ttic dl cosiddtto pincipio di Hugn sono not co pincipio di quivlnz di cpi di Lov. L conti s, idino nllo spzio libo d il cpo idito può quindi ss clcolto usndo il todo gnl ipotto in pcdnz, bsto sull dtinzion di potnzili vtto di tipo lttico di tipo gntico: si tttà cioè di us l lzioni j µ j ( ' ) (P) π (P') dv' 4 V' ε (P) j j (P') V' dsso considio du csi pticoli: ( ' ) s iponio ch il cpo lttogntico si nullo ll intno di S, possio lizz S co un supfici lttic pftt: in qusto cso, in bs ll popità di conduttoi pftti, l conti lttich s sono cotocicuitt non idino più; di consgunz, il cpo idito stnnt d S povin solo dll conti gntich n post su S; tuttvi, dt l psnz di un supfici tllic, non sio più nllo spzio libo quindi non possio più us l spssioni dl potnzil vtto ichit poco f; dv' 7 uto: Sndo Ptizzlli

8 ppunti di ntnn Cpitolo 4 (pt II) in ltntiv, possio nch sostitui S co un supfici gntic pftt: in qusto cso, sono l conti gntich d ss cotocicuitt quindi il cpo idito povin solo dll conti lttich s n H su S stss. nch in qusto cso, pò, non sio più in spzio libo quindi l spssion dl potnzil vtto (in qunto cso qullo lttico) non più qull splic pi ichit). condutto lttico pftto H n, H condutto gntico pftto H n, H s n H n S S L dcision s consid S tllizzt o no dipnd ssnzilnt dll situzion gotic: s è fvovol, scglio S tllizzt (d spio l fin di pplic il pincipio dll igini p liin il tllo, ch si copot d ifltto, iconduci nco ll idizion nllo spzio libo), ltinti scglio divsnt. ipotnt not ch non è ncssio ipo lcun condizion l contono sull coponnti noli di cpi in coispondnz di S: inftti, ptto di v iposto l oppotun condizioni l contono sull coponnti tngnzili, ci pnsno l quzioni di Mwll gnti ch l coponnti noli bbio l oppotun configuzion su S. P l ppliczioni ch intndio ttt ni possii pgfi ch sono ltiv ll idizion dll ntnn d ptu, l quzioni ch ci intssno sono sostnzilnt qull ch individuno l dnsità di cont quivlnti: s n n ( H H) ( ) scond di csi, uso nch l pticolizzzion di qust quzioni l cso in cui il cpo, H intno d S isult nullo. Inolt, icodio ch qull lzioni sono vlid solo sui punti di S, dov S è un supfici gotic (quindi non l) ch poto scgli di volt in volt nl odo p noi più coodo. L unico quisito cui S dv soddisf è qullo di bbcci copltnt l sognti li dl cpo. uto: Sndo Ptizzlli 8

9 ntnn d ptu: uso dl pincipio di quivlnz di cpi ppliczion ll idizion dll ntnn d ptu Considio nuovnt un ptu di fo gnic ptict in un pino condutto, di stnsion indfinit posto in coispondnz di z, co ipotto nll figu sgunt: z S Indichio con, H il cpo in coispondnz di tl ptu, supposto noto tngnzil (quindi con coponnti solo sul pino z). D not ch il cpo lttico è nullo in punti dl pino z non pptnnti ll ptu, nt invc, in gnl, il cpo gntico non è ncssint nullo in tli punti. Usndo i discosi ftti nl pcdnt pgfo, possio consid il cpo idito d qust pticol sognt considndo l conti s n H n ch fluiscono in coispondnz dll ptu. Possio inolt ipizz l ptu con un condutto pftto, in odo quindi d tov il cpo podotto dll sol conti gntich n. Non solo, possio succssivnt liin il pino condutto pplic il pincipio dll igini, in bs l qul il cpo totl è qullo idito d conti n ch scoono sull supfici (dsso tllic) dll ptu idino nllo spzio libo. ltntivnt, possio ipizz il pino z tit un pino coposto d condutto gntico pftto, nl qul cso l unich sognti idinti sono l conti lttich n H ; poto così vlut il cpo in z> iuovndo lo scho gntico considndo conti n ch idino nllo spzio libo. s H Pocdio, d spio, considndo l conti gntich quivlnti n ch idino nllo spzio libo. P iv ll spssion dl cpo, sppio ch il pio psso è qullo di clcol il potnzil vtto gntico, l cui spssion gnl è l sgunt: s () ε j V' j (P') ( ' ) dv' 9 uto: Sndo Ptizzlli

10 ppunti di ntnn Cpitolo 4 (pt II) Sostitundo l spssion n dll distibuzion di cont ( ) considndo ch tl cont sco solo in coispondnz dll supfici S dll ptu (p cui l intgl non è più gnicnt di volu, di supfici), scivio qunto sgu: ε () j S j j ( ) ε ' j ( ' ) ( n ) ds' n (', ') S d'd' Nl nosto cso, l nol d consid coincid con il vso dll ss z, inolt, il gnico punto potnzint P si tov sul pino [,], p cui il vtto ' ch lo individu isptto ll oigin dl sist di ifinto nc dll coponnt z (cioè ' ' + ' ). Scivio pciò ch ε () j S (', ') j ( ' + ' ) d'd' sgundo dsso i du podotti scli psnti nll sponnzil ll intno dll intgl, ottnio ' + ' Scivio pciò ch ' + ' 'sin cos + 'sin sin ε () j S (', ') j ( 'sin cos + 'sin sin ) d'd' qusto punto, possio confont qust spssion con un di qull icvt usndo l tcnic dll tsfot di Foui, in pticol, qull ch lg il cpo lttico nll ptu con l funzion ch bbio indicto con f t (, ) : j j f (, ) (, ) dd t S vidntnt, l intgl ch cop nll spssion di (), pscind di noi ttibuiti ll vibili di intgzion ( l posto di l posto di ), coispond popio ll funzion f t (, ) (cioè ll tsfot di Foui bidinsionl dl cpo nll ptu) ptto di po sin cos sin sin Sottolinio ch l uso dl tin oltiplictivo coispond l ftto ch stio iplicitnt pplicndo il pincipio dll igini, in bs l qul bbio liinto il pino tllico bbio considto l su zion di iflssion ddoppindo l ntità dll conti. Solo fcndo qust ipotsi è possibil us l spssion ppn ichit dl potnzil vtto, ch è vlid solo p idizion nllo spzio libo (olt ch in zon lontn). uto: Sndo Ptizzlli

11 ntnn d ptu: uso dl pincipio di quivlnz di cpi Possio pciò sciv ch il potnzil vtto gntico vl j ε () f t ( sin cos, sin sin ) dsso, icodioci ch f t (, ) è l coponnt tngnzil dll funzion f (, ), il ch signific ch ss è splicnt costituit dll coponnt dll coponnt : quindi f t (, ) f (, sguio llo il podotto vttoil con, spindo il tutto in coodint sfich: f f t ( f + f ) f ) ( sin sin + cossin cos ) f ( sin cos + coscos sin ) + f Quindi, in bs i pssggi ppn svolti, notio ch il vtto f t (, ) psnt, in gnl, tutt l coponnti: + f f ( f, j ε [ ()] [ f sin f cos ] j ε [ ()] [ f sin f cos ] j ε [ ()] [ f cos + f sin ] ) sin cos dov icodio ch bisogn sp po gli gonti di f f pi sin cos sin sin. Tuttvi, noi intss solo l idizion in zon lontn sppio ch qust è cttizzt d un cpo pivo dll coponnt dil, scondo l sgunti lzioni (citt ll inizio): H jω,, + jω + Di consgunz, liitndoci consid l coponnti dl potnzil vtto, ossi dll funzion f t (, ), usndo l lzioni ppn ichit, scivio ch il potnzil vtto in zon lontn è il sgunt:,, uto: Sndo Ptizzlli

12 ppunti di ntnn Cpitolo 4 (pt II) jω ε jω ω ε j π j j, + jω, [ f cos + f sin ] jω [ f sin f cos] [( f cos + f sin ) + ( f cos f sin ) cos ] ε j cos Ossvndo ch ω ε, si vd iditnt ch qust è sttnt l stss spssion dl cpo lttico lontno tovt con l tcnic di Foui, ultio tstioninz dl ftto ch l sognti quivlnti sono un util cotto stunto di nlisi: [( f cos + f sin ) + ( f cos f sin ) cos ] j π j Possio dsso fcilnt ipt il discoso considndo l conti lttich quivlnti: dobbio cioè ipotizz ch il cpo si idito dll sognti s n H ch idino nllo spzio libo. P pi cos, pplicndo l dfinizion gnl di potnzil vtto lttico, dobbio sciv ch j µ j ( ' ) (P) π s (P') dv' 4 V' In odo nlogo qunto ftto pi, considndo ch l sognti sono distibuit su un supfici, l intgl divnt un intgl di supfici, iptndo gli stssi discosi ftti pi, bbio in pticol ch µ (P) µ π j n j S S s (', ') H (', ') j j j µ d'd' j µ d'd' π ( ' ) j ( ' ) S d'd' ( ' ) j ( 'sin cos + 'sin sin ) S n H H (', ') d'd' qusto punto, dt l pftt nlogi con qunto bbio ftto nl cso dll sognti gntich, possio ispici ultioi pssggi nlitici ipot dittnt il isultto finl: diftti, ponndo g t (, ) S H (', ') j ( 'sin cos + 'sin sin ) d'd' sin cos sin sin è intuitivo copnd ch il cpo lttico idito in zon lontn (considndo pciò solo l coponnti ) dll conti lttich s n H ssu l sgunt spssion: uto: Sndo Ptizzlli

13 ntnn d ptu: uso dl pincipio di quivlnz di cpi [( g cos g sin ) cos ( g cos + g sin ) ] j π j dov ntulnt g (, ) g (, ) sono l du coponnti ctsin dll funzion g t (, ) vnno iplicitnt clcolt con l spssioni ipott poco f di. Infin, l ultio cso d consid è qullo in cui giscono contponnt si l conti gntich si qull lttich: in qusto cso, non dobbio dunqu us lcun pino tllico, il ch signific ch non v nnch pplicto il pincipio dll igini quindi ch l sognti dinti sono s n H n. Sfuttndo nch in qusto cso l nlogi con i du csi pcdnti, possio iditnt ddu i isultti finli. In pticol, scopo ipilogtivo, ipotio l singol coponnti dl cpo lttico p tutti t i csi psi in considzion: s n H n,, j j j j [( f cos + f sin ) + ( g cos g sin ) cos] [( f cos f sin ) cos ( g cos + g sin ) ] n,, j π j π j j ( f cos + f sin ) ( f cos f sin ) cos n s H,, j j π j j π ( g cos g sin ) cos ( g cos + g sin ) Si può not fcilnt ch l pi soluzion, qull in psnz di conti si lttich si gntich, è splicnt l so dll lt du soluzioni. S il cpo nll ptu è noto con sttzz, llo tutt t l soluzioni ( ltiv pocdu) sono vlid dnno lo stsso cpo finl. l contio, qundo il cpo nll ptu è noto solo con un ct ppossizion, llo in gnl l t soluzioni dnno isultti divsi. In qusti csi, è vidnt ch convin us o l soluzion ltiv ll sol conti gntich o qull ltiv ll sol conti lttich, in qunto nll un cso nll lto bst conosc solo il cpo lttico o qullo gntico non ntbi. Vicvs, ci sono csi in cui il pincipio dll igini non è pplicbil (d spio qundo l ptu è ptict su un supfici cuv) quindi è obbligtoio scgli l soluzion con ntb l conti optiv. 3 uto: Sndo Ptizzlli

14 ppunti di ntnn Cpitolo 4 (pt II) Ossvziion bbio in pcdnz ichito l ttnzion sul ftto ch, un volt individut l sognti dl cpo d clcol in tini di conti (li o quivlnti), il pio psso, vso l vlutzion dl cpo, è sp il clcolo di potnzili vttoi, scondo l lzioni µ (P) j j s (P') V' ( ' ) dv' dov s n H ε (P) j j (P') V' ( ' ) dv' dov n Nl cso di dnsità di cont di tipo supficil, i du intgli d clcol sono intgli di supfici: llo, qust du lzioni ostno sostnzilnt ch un gnico lnto di supfici ds, con nol uniti n, sul qul è loclizzto un cpo (),H (), fonisc un contibuto i potnzili vtto dto d j µ j d (P) n H (') j ε j d (P) n (') llo, il clcolo dl cpo idito d un ptu ptict su un supfici d spio di un cilindo o di un sf isult più difficil di qullo ltivo d un ptu su un pino condutto. L foulzion ust di solito è qullo di chiud l ptu con un condutto pftto po su di sso un foglio di cont gntic con dnsità n. Il cpo idito può ss tovto in bs tl foglio di cont, dv nch ispond l quisito p cui il tin n dv ss nullo sull supfici conduttiv. ( ' ) ds' ( ' ) ds' uto: Sndo Ptizzlli 4

15 ntnn d ptu: uso dl pincipio di quivlnz di cpi Guid d ond ttngol tonct L guid d ond tonct, cicoli o ttngoli, non sono nolnt ust co ntnn di p s stss in qunto hnno dittività olto bss. Tuttvi, ss sono spsso ust co lintzion pii p illuin un ifltto pbolico, p cui vl counqu l pn studi l loo cttistich di dizion. L figu sgunt ost un guid ttngol, di dinsioni b, ch tin con l popi ptu sul pino z dl sist di ifinto psclto: b z In un guid di qusto tipo, il odo di popgzion doinnt isult ss il T (tvso lttico), ch psnt l coponnt dl cpo lttico l coponnti z dl gntico. Nl pino otogonl ll dizion di popgzion (ss z), bbio pciò du coponnti di cpo, lttico lungo gntico lungo. In pticol, l ispttiv spssioni isultno ss l sgunti: jβz (,z) cos H (,z) cos W jβz π dov l costnt di popgzion dl odo è β, nt invc l ipdnz d ond dl odo considto è dt d W. β S ndio llo consid tli coponnti di cpo in coispondnz di z, ossi in coispondnz dll ptu, ottnio vidntnt (,) cos H (,) cos ntbi qusti cpi hnno vidntnt un ndnto cosinusoidl lungo, nt sono indipndnti d. Dobbio o chidci s qust sono l unich coponnti dl cpo in coispondnz dll ptu (ossi quindi il cpo ch bbio sp indicto con W 5 uto: Sndo Ptizzlli

16 ppunti di ntnn Cpitolo 4 (pt II), H in pcdnz), oppu c è d consid qulcos lto. L ispost è intuitiv: il ftto di v toncto l guid in z dtin l nscit di un odo doinnt iflsso olt ch di ultioi odi di ino pizz. Ipotizzndo di iusci d zz tutti qusti odi indsidti d ipotizzndo inolt ch, l di là dll ptu, l coponnti d di cpo sino tscubili, possio in pi ppossizion ff ch qullo pi ipotto si popio il cpo, H : () H () H (,) (,) cos cos W Qust ppossizion, nll ptic, fonisc un sti sufficintnt ccttbil dl lobo pincipl di dizion, nt invc l sti pggio p qunto igud i lobi scondi. Nll ppliczioni dll guid d ond co linttoi di iflttoi pbolici, l influnz di lobi scondi vin gnlnt s in scondo pino, p cui l ipotsi ftt pi isultno gionvoli. qusto punto, quindi, possio disintssci dll psnz dll guid d ond, iconducndoci nco un volt ll psnz di un ptu ttngol sd di un cpo tngnzil, H dl tipo individuto poco f. Utilizzio il todo dll conti quivlnti, l cui spssioni gnli sono l sgunti: s n n ( H st Hint ) ( ) Coincio dll conti gntich; in pio luogo, possio scgli int, dto ch il vlo di qusto cpo è nosto coplto bitio. Ottnio pciò ch l sognt idint è n st int dov ovvint è il cpo ffttivo psnt sull supfici considt: si ttt cioè di (ch è ditto lungo ), p cui scivio ch n (,) (,) cos Con pocdinto ssolutnt nlogo, è vidnt ch l conti lttich sono dt d s n H H (,) H (,) cos Dto ch l situzion gotic in s consnt l ppliczion dl pincipio dll igini, possio scgli l un o l lto tipo di sognt co opnt d sol. Considio d spio solo l conti gntich, il ch quivl pnd un pino tllico pfttnt condutto, in odo d cotocicuit l conti lttich. liinndo tl pino tllico ddoppindo l conti, sio di nuovo in spzio libo possio pciò pplic l foul tovt nl pgfo pcdnt, ossi uto: Sndo Ptizzlli 6 W

17 ntnn d ptu: uso dl pincipio di quivlnz di cpi,, j π j π j j ( f cos + f sin ) ( f cos f sin ) cos Dobbio vidntnt clcol l du funzioni f (, ) f (, ), vndo cu poi di po i loo gonti pi sin cos sin sin. Ricodioci llo ch l suddtt funzioni sono l coponnti d dll funzion f ( t, ) S (, ) In bs qust spssion, f (, ) dipnd dll coponnt dl cpo in coispondnz dll ptu d è quindi null in qunto il suddtto cpo è ditto lungo. P qunto igud invc f (, ), ch dipnd dll coponnt dl cpo in coispondnz dll ptu, bbio qunto sgu: ch f ( Sostitundo, b / ) / S b / / f (, ) cos j j j j dd b / j / b / / dd... πb j dd cos j b sin cos b π j ( ) dd sin cos sin sin co pnnuncito, ottnio (, ) πb b sin sin sin cos b sin sin π ( sin cos) sin cos d cui quindi sctuisc ch il cpo lttico idito in zon lontn vl j π jb j j [ f sin + f coscos ] b sin sin sin cos b sin sin π sin cos ( sin cos) [ sin + coscos ] Vdio llo di studi pidnt qusto cpo ni vi pini. d spio, considio il pino [,z], coispondnt π/: è vidnt ch l coponnt scop, nt invc l coponnt ssu l spssion 7 uto: Sndo Ptizzlli

18 ppunti di ntnn Cpitolo 4 (pt II) sin b sin j, jb b sin Qust funzion è ssolutnt nlog qull dl pttn di dizion di un ptu illuint unifont d un cpo ditto lungo. l clssic b funzion nll fo sin()/: bst inftti po v sin p ottn un odulo pi b sin( v), π v Vlgono pciò l stss considzioni ftt in qul cso, poposito d spio sin v dll ptu dl fscio: inftti, dto ch l funzion psnt il suo pio zo in v±π, bbio ch π ( ) v v b sin π π sin Ψ b π sin b Dto ch π/λ, dov λ è l lunghzz d ond di lvoo, concludio ch Ψ z λ sin b S invc considio il pino [,z], coispondnt, è vidnt ch in solo l coponnt, con spssion cos sin j, jb cos π ( sin ) In qusto cso, s ponio u sin, ottnio b cos π ( u) ( u), cos bbio dunqu qulcos di divso isptto qunto si ottin p l ptu illuint unifont, dov il cpo nco popozionl d un tin dl tipo sin()/: inftti, l funzion π cos ( u) ( ) u ssoigli nch ss sin( v) v, con l diffnz pò di un lobo pincipl più pio (i pii du zi sono in ±3π/ nziché in ±π) più bsso di uno soznto più pido ntto di lobi scondi. qust funzion bisogn poi ggiung nch il ftto di uto: Sndo Ptizzlli 8

19 ntnn d ptu: uso dl pincipio di quivlnz di cpi odulzion cos : sso f si ch, d spio, nl pino z (coispondnt π/), l coponnt dl cpo scopi. nziché scnd ni dttgli nlitici dll ndnto dl cpo, ipotio i isultti più ipotnti. P flo, tnio conto ch l ptu b di un guid d ond ttngol è gnlnt piccol in tini di lunghzz d ond. P spio, nll cosiddtt bnd (ch v d 8 GHz), l lunghzz d ond vi t.5 c 3.75 c, nt l guid d ond stndd WR-9 hnno dinsioni.9 c b. c. In consgunz di ciò, l pizz dl lobo pincipl è lvt l dittività è piccol. Considio d spio λ3c (coispondnt GHz): nl pino π/, in pticol, nllo spzio dl visibil ltivo tl pino, sin v non cd nssuno zo dll funzion, conf dll lvt pizz dl fscio; nlognt, nl pino, in pticol, nl suo spzio dl visibil, il pio zo dll funzion λ>/3. π cos ( u) ( ) u ( ) v, ch si tov in ±3π/, cop solo s ndio o vlut l dittività dll ntnn. P f qusto, coincio clcol l potnz totl idit, ch in qusto cso possio coodnt clcol intgndo il vtto di Ponting dittnt sull ptu (il ch ci consnt di us l spssioni dl cpo sull ptu stss, ch sono snz lto più splici di qull dl cpo idito distnz gnic ): bbio ch P i / b / / b / W cos dd... b 4 W L intnsità si di dizion (cioè l si potnz dit p unità di ngolo solido) lungo l dizion dll ss z isult invc pi I, ( b)... π 4 dov ntulnt bbio utilizzto l spssion di cpi iditi non di qulli sull ptu, visto ch dsso sio distnz gnic dll ptu stss. In tl odo, possio conclud ch l dittività vl I D P i ( b) π b 4 W W λπ ( b) P un guid d ond WR-9 p un lunghzz d ond di 3 c, si ottin D uto: Sndo Ptizzlli

20 ppunti di ntnn Cpitolo 4 (pt II) ntnn tob L guid d ond tonct dscitt nl pgfo pcdnt psnt un fscio non olto sttto. l fin di stinglo, si può pns di odific lggnt l guid d ond, llgndol, in un o ntb l dizioni dl pino [,] otogonl l suo ss, nll su pt finl, lizzndo l cosiddtt ntnn tob (hon ntnns). scond di qul dizion vng sclt p l llgnto, si hnno t tipi divsi di ntnn tob. d spio, nll figu sgunt è ipotto ciò ch si ottin llgndo l guid lungo l ss, ossi pssndo d un dinsion d un dinsion > lungo l suddtt dizion: z b ' Qust è un cosiddtt H-pln hon ntnn, in qunto l llgnto è vvnuto lungo l dizion plll l cpo gntico guidto dll stuttu. Il cpo lttogntico in coispondnz di z, ossi ll stità dll pt ttngol, è nco ppossitivnt qullo dscitto nl pgfo pcdnt: dto ch, in gnl, ll intno dll guid isult jβz (,z) cos H (,z) cos W jβz il cpo in coispondnz di z è vidntnt dto d (,) cos H (,) cos In bs qust spssioni, in coispondnz dll ptu il cpo h odulo vibil solo lungo, nt invc l fs è ovunqu costnt null. Più in gnl, i fonti fs costnt sono pini otogonli ll ss z, ossi pllli l pino [,] su cui si tov l ptu. S dsso pò considio il cpo ll intno dll pt llgt, in pticol, in coispondnz dll nuov ptu, l cos cbino: W uto: Sndo Ptizzlli

21 ntnn d ptu: uso dl pincipio di quivlnz di cpi R ' ψ z Font d'ond cilindico R L nuov configuzion dll stuttu guidnt f sì ch i fonti fs costnt non sino più di pini otogonli ll ss, dgli chi di ciconfnz, co illustto nll figu (si pl di fonti d ond cilindici). Di consgunz, nl pino dll ptu non bbio più un cpo fs costnt, un cpo fs vibil. Possio llo fcilnt vlut l diffnz di fs t i du punti sti dll ptu, cioè t / - /. d spio, con ifinto ll figu ppn disgnt, possio vlut l vizion di fs co ( R ) R dov si è tnuto conto ch l popgzion dl cpo vvin scondo il clssico j tin. qusto punto, p v sull ptu un cpo fs pticnt costnt, dobbio ipo ch qull vizion di fs si l più piccol possibil. In pticol, si è tovto ch il gudgno il pttn di dizion dll ntnn sono olto siili qulli dll ptu illuint unifont ptto ch qull vizion di fs non si supio π/4: l condizion d ipo è dunqu π 4 Sostitundo l spssion di nonché qull di pplicndo lcun splici considzioni gotich l fin di splicit R d R in funzion di dll ngolo ψ, bbio qunto sgu: π π ( R R ) R R 4 λ ψ cos 4 π ' ψ λ cos ψ 8 sin Con ultioi nipolzioni lgbich, si icv ch qust condizion quivl più splicnt ψ λ tn 4 4' dov ovvint λ è l fqunz cntl di lvoo. uto: Sndo Ptizzlli

22 ppunti di ntnn Cpitolo 4 (pt II) In bs qust spssion, possio nd studi l ndnto dl sio vlo tollbil p l ngolo ψ in funzion dl ppoto /λ. Un siil studio ost ch, p v un ptu lg (cioè >>λ), l ngolo ψ dv ss piccolo, il ch si tduc nll v un ntnn olto lung. Popio qusto ftto liit l ppliczion di qusto tipo di ntnn qui csi in cui è ichisto un odsto gudgno, p i quli è gnlnt sufficint v un vlo di dll odin di un dcis di lunghzz d ond. d ogni odo, qundo l vizion di fs dl cpo nll ptu vin s piccol, l distibuzion dl cpo sull ptu stss può ss itnut coincidnt con qull dl odo T dll guid d ond di ingsso, il ch signific ipotizz nco un volt ch () cos H () cos W /, b/ (qust spssioni sono vlid nll ipotsi ch il pino z coincid con il pino dll ptu, p cui bbio iplicitnt copiuto un cbio dl sist di ifinto isptto ll figu pi considt). Di consgunz, nch il cpo idito in zon lontn è lo stsso visto p l guid ttngol, con ovvint l diffnz di sostitui con : scivio pciò ch il cpo lttico in zon lontn vl j π j'b j j [ f sin + f coscos ] b sin sin sin cos b sin sin π ' sin cos ( sin cos' ) [ sin + coscos ] In bs qust spssion dl cpo, si tov ch l dittività dll ntnn è I D P i. ( ' b) λ Qust spssion ost nco un volt l oppotunità di v un ptu qunto più sts possibil, olt il ftto ch l dittività diinuisc ll unt dll lunghzz d ond. Inolt, si tov ch il gudgno dittivo dll ntnn è sostnzilnt coincidnt con l dittività (ch è il sio vlo dl gudgno), considndo t l lto ch l pdit di potnz sono gnlnt piccol. Fccio o not ch, un volt fisst l lunghzz dll ntnn tob, si può ottn un vlo ggio dl gudgno untndo l ngolo ψ, p conto, tollndo un o di fs sull ptu più gnd: qusto pché l unto dll stnsion dll ptu copns pint l diinuzion dl gudgno divnt dl ggio vlo di. nlizzndo nl dttglio gli fftti sul gudgno d pt di un vlo ggio di, si è tovto ch, p un pfisst lunghzz, il sio gudgno si ottin incntndo l dinsion fin qundo l o di fs isult infio.75π. uto: Sndo Ptizzlli

23 ntnn d ptu: uso dl pincipio di quivlnz di cpi --plln hon ntnns I discosi dl pgfo pcdnt sono ltivi d un ntnn tob l cui pt finl è stt llgt, isptto l sto dll stuttu, solo lungo l dizion. S invc l llgnto coinvolg solo l dizion, llo di pl di -pln hon ntnn, in qunto l dizion è qull lungo cui è disposto il cpo lttico guidto dll stuttu. P qusto tipo di ntnn vlgono sttnt l stss considzioni dl pcdnt pgfo, ptto ovvint di dulizz oppotunnt il discoso: d spio, il cpo lttico idito in zon lontn è j π j' b j j [ f sin + f coscos ] b' sin sin sin cos b' sin sin π sin cos ( sin cos ) [ sin + coscos ] dov ovvint bbio considto l dinsioni (lungo ) b >b (lungo ). S l lunghzz dll ntnn è fisst, il sio gudgno è ottnuto untndo b fin qundo l o di fs dl cpo sull ptu non sup il vlo.5π. L o sio di fs tollbil p qusto tipo di ntnn isult pò ggio isptto qull dscitt nl pgfo pcdnt: il otivo è splicnt ch il cpo sull ptu v in qusto cso zo i bodi dll ptu stss nl pino H, nt invc pi sso isultv costnt nl pino. ntnn tob piiiidll Il cso più gnl possibil di ntnn tob è qullo in cui l llgnto dll stuttu guidnt vin ftto si lungo si lungo, nl qul cso di ottin l ntnn tob piidl: b' z ' 3 uto: Sndo Ptizzlli

24 ppunti di ntnn Cpitolo 4 (pt II) nch qui vlgono ovvint l stss considzioni di du pgfi pcdnti: d spio, l fin di v un piccolo o di fs nl cpo sull ptu, gli ngoli ψ ψ ch individuno l ptu stss dvono soddisf ψ λ ntbi ll condizion tn. 4 4' Il cpo lttico idito in zon lontn è vidntnt j π j'b j j [ f sin + f coscos ] b' sin sin sin cos b' sin sin π ' sin cos ( sin cos' ) [ sin + coscos ] P un pfisst lunghzz, il sio gudgno è ottnuto incntndo i du suddtti ngoli ψ ψ in odo ch l o di fs dl cpo sull ptu non supi il vlo.75π nl pino H.5π nl pino. P un stuttu pogttt con qusti citi, l dittività isult ss I D P i 6.4 ( ' b' ) λ Qust foul è ottnut d qull tovt p l H-pln hon ntnn oltiplicndol p un ftto.63. uto: Sndo Ptizzlli -il: snd@iol.it sito psonl: succusl: uto: Sndo Ptizzlli 4