capacità si può partire dalla sua definizione: C = e dalla relazione fra la differenza di potenziale ed il campo elettrico: V

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1 secizio (ll ppello 6/7/4) n conenstoe pino è costituito ue mtue qute i lto b septe un istnz. Il conenstoe viene completmente cicto ll tensione e poi scollegto ll bttei ust pe ciclo, così est isolto ll esteno. n lst qut i lto b, costnte ielettic, e spessoe pi l 5% ell istnz t le mtue è inseit centlmente t le mtue el conenstoe (vei figu). Si etemini, opo l inseimento ell lst nel conenstoe: ) l su cpcità; b) l enegi immgzzint l suo inteno (ttenzione il sistem è sempe isolto e scollegto ll bttei). Si noti che in questo poblem l bttei viene scollegt pim i cmbie l cpcità el sistem, quini l cic pesente sulle mtue non può ne nessun pte; questo è un pocesso cic costnte. Se vessimo tenuto collegt l bttei invece vemmo vuto un pocesso potenzile costnte in cui sebbe stt l cic sulle mtue vie. Inizimo il conto consieno, come chiee il poblem, un conenstoe vuoto. Pe il clcolo ell cpcità si può ptie ll su efinizione: e ll elzione f l iffeenz i potenzile e il cmpo elettico: x. In effetti l cic pesente nelle mtue el conenstoe ipene l potenzile pplicto, così come il cmpo elettico. uini se iesco espimee il potenzile in funzione ell cic ttveso il cmpo elettico, posso spee i potel semplifice con il numetoe. In questo moo ottengo un cpcità non ipenente l potenzile pplicto, quini ipenente solo lle ctteistiche geometiche e fisiche el conenstoe, come eve essee. eimo unque come espimee il potenzile in funzione ell cic. Supponeno che quest vlg llo pplico il teoem i Guss e peno un cilino con sse pepenicole ll pist supeioe e supefici sop e sotto i ess. In questo moo posso tove il cmpo elettico ll inteno el conenstoe: 3 n volt tovto il cmpo pplico l efinizione i potenzile cpcità come: Mente l enegi vle: x e posso così espimee l

2 O inseisco il ielettico e pe cpie che succee mi evo icoe come si compot un mteile el genee quno viene posto in un egione see i un cmpo elettico: le sue molecole si polizzno cecno i nnulle il cmpo esteno. n po come fnno i conuttoi, m non veno elettoni completmente libei è meno efficiente e non iesce nnulle completmente il cmpo l suo inteno, m solo iminuilo i un fttoe. Inolte come pe le lste el conenstoe possimo consiee le ue supefici polizzte el blocchetto come ue pini infiniti. pplicno Guss tovimo che il loo contibuto l cmpo totle è iveso zeo solo nell egione i spzio che st f loo, mente il contibuto è nullo fuoi l ielettico. In questo moo bbimo suiviso lo spzio ento il conenstoe in 3 egioni: quell supeioe e quell infeioe in cui conoscimo già qunto vle il cmpo elettico peché non cmbi ispetto l cso el conenstoe nco vuoto e l egione ento il ielettico in cui il cmpo quini vle: onosceno il vloe el cmpo elettico lungo tutto il pecoso f le ue lste, possimo use nco l efinizione i iffeenz i potenzile: 3 qui ottenimo pe l cpcità: ( ) he un un enegi finle: ( ) ( ) Ricono che è sempe mggioe i, possimo veee csi limite: se sostituimo nell espessione sop ottenimo cioè sebbe come non ve inseito niente. Se nell lto limite è molto gne o meglio tene un vloe infinito si ottiene un. In effetti quest ultimo cso equivle inseie un conuttoe e questo tsfom il conenstoe inizile in ue conenstoi in seie con istnze f le mtue uguli.

3 secizio Due conenstoi hnno l stess e elle mtue 4* -4 m, l istnz f le lste el pimo è -3 m. Il secono è iempito con ielettico i 3. e igiità ielettic 6 volts/m. Se collego i ue conenstoi in seie, clcole l istnz minim f le mtue el secono conenstoe in moo che il sistem poss soppote un iffeenz i potenzile i 4 senz che si istugg il ielettico. lcole inolte l enegi immgzzint nel sistem in quest conizione. L igiità ielettic i un mteile è il mssimo cmpo che può soppote pim che si geneino sciche elettiche con l su conseguente istuzione. Pe isolvee il poblem possimo esempio tove il cmpo cui è sottoposto il secono conenstoe in funzione ell istnz f le sue mtue, polo ugule ll igiità ielettic e invetie l fomul pe itove tle istnz. Ptimo con l cpcità ei ue conenstoi in seie: O ossevimo che l cic sulle mtue el pimo conenstoe sà ugule quell sul secono e ess si può espimee in funzione ell cpcità ell seie e ell iffeenz i potenzile totle: Il cmpo ll inteno el secono conenstoe si può tove pplicno il teoem i Guss con il solito cilino pepenicole un elle ue mtue, fceno ttenzione che o ll inteno el conenstoe non bbimo il vuoto m un ielettico, quini bisogn sostituie con : uesto è il cmpo pesente nel secono conenstoe e obbimo fe in moo che si infeioe ll su igiità ielettic: > < < <

4 Nel cso bbi il vloe limite tovto o, l enegi immgzzint isult: secizio 3 Due conenstoi i cpcità e vengono cicti con l stess iffeenz i potenzile. n volt cichi sono scollegti ll p e collegti f loo in moo invetie le polità. lcole l cic finle sulle loo mtue e l enegi inizile e finle el sistem. uno cico i ue conenstoi su ognuno v un cet cic in bse ll su cpcità: uini l enegi totle el sistem è: ( ) O stcco i conenstoi, quini l cic totle pesente sul mio sistem non può più cmbie. ollegnoli con le polità ovescite, si và un iistibuzione ell cic. Se chimimo T l cic complessiv pesente su un lto comune ei conenstoi, il potenzile finle comune cui giungono e e le ciche finli su ciscun lto ei conenstoi, possimo scivee il seguente sistem i equzioni: T T isolveno il sistem si ottiene: ( ) ( ) e un enegi:

5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uini si h un enegi finle ives zeo solo se le ue cpcità sono ivese loo. In effetti se peno ue conenstoi uguli, li cico con l stess p e poi li collego l ovescio loo hnno esttmente l stess cic sulle mtue m mess con il segno opposto; l momento el conttto ess si iistibuisce e tutto ton come se non li vessi cicti. D note che l enegi finle è minoe i quell inizile. In effetti noi ci stimo occupno solo ello stto inizile e finle e non i come ci si iv. omunque l enegi che mnc se ne è nt pe effetti issiptivi come il cloe fomto pe effetto Joule unte il pssggio i cic un conenstoe ll lto. secizio 4 (ll ppello 6/7/4 B) ) n conenstoe pino è costituito ue mtue qute i lto septe un istnz 4. Il conenstoe viene completmente cicto ll tensione tmite un bttei e est collegto quest ultim. n lst conuttice qut i lto e spessoe pi l 5% ell istnz t le mtue è inseit centlmente t le mtue metà st el conenstoe (vei figu). Si etemini opo l inseimento ell lst nel conenstoe: ) l su cpcità; b) l enegi immgzzint l suo inteno (ttenzione: il conenstoe è sempe collegto ll bttei). Inizilmente l cpcità el conenstoe vle: 4 Inseisco l lst teneno l bttei collegt, questo vuol ie che il suo potenzile non cmbi m ci sà uno spostmento i ciche. ll fine ottengo un egione i spzio nell qule pe spostmi ll mtu potenzile negtivo quell potenzile positivo, posso scegliee f ue pecosi: quello che pss ttveso l lst i metllo e quello che pss nel vuoto. uesto vuol ie che ho che fe con ue conenstoi in pllelo. lcolimo le cpcità i entmbi. Pe quello contenente solo il vuoto si pplic iettmente l fomul clssic ell cpcità, stno ttenti consiee l supeficie giust, cioè * (se vi est ifficile veee quest supeficie povte isegne il sistem el conenstoe con l lst infilt fino metà lto, visti ll lto: le mtue iventno ei quti i lto ) :

6 8 4 Pe clcole l cpcità ell lt metà contenente il metllo si può use il metoo i espimee il potenzile in funzione el cmpo elettico e quest ultimo in funzione ell cic. Intnto clcolimo il cmpo elettico nelle ivese egioni ll inteno ei quest zon: pplicno il teoem i Guss su un cilino con sse pepenicole ll lst supeioe el conenstoe e supefici i ue lti i questo, si tov: S S uesto cmpo è lo stesso si nell pte i spzio sop l lst i metllo inseit nel conenstoe che in quell sotto. ll inteno ell lst il cmpo è nullo peché ppunto si ttt i un metllo. O ll efinizione i potenzile si può scivee: q q x quini l cpcità i questo conenstoe sà: q 6 ll fine l cpcità isultnte sà: mente l su enegi sà: 48 7 In questo cso esseno l cpcità finle mggioe, nche l enegi finle el sistem è mggioe.