Classe 4 G dicembre 2010.

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1 Clsse 4 G dicembe Legge di Newton pe il ffeddmento (iscldmento). Due copi tempetu diffeente se posti in conttto temico si scmbino cloe. L'ossevzione speimentle indic che essi si potno d un tempetu T c comune (tempetu di equilibio). Tle ossevzione si issume nell legge che indic l quntità di cloe scmbit Q: Q = m c (T c - T o ) =m c! T dove m indic l mss del copo, T o l su tempetu inizile e c il suo cloe specifico ( pessione costnte). Nello scmbio ci sono lmeno due copi in conttto temico ed il secondo pe effetto dell quntità di cloe icevut (o pedut) vi nch'esso l su tempetu m di un dives quntità (pechè è dives l su tempetu inizile e può essee dives l su mss e/o il suo cloe specifico). Inftti detti 1 e 2 i due copi si h: m 1 c 1 T c - T 1 = m 2 c 2 T c - T 2 Nel cso in cui uno dei copi, pe esempio il secondo, non vi sostnzilmente l su tempetu (pechè o m 2 o c 2 sono ispettivmente molto mggioi di m 1 e c 1 ), si h T 2 ~T c ed il pimo copo tende d cquiste l tempetu del secondo. Il secondo copo si compot llo come un temostto e non vi sostnzilmente l su tempetu, (che d'o in poi veà indict come tempetu mbiente T ). E' espeienz comune che l cessione o ssobimento del cloe t copi non è un fenomeno istntneo. Si veific speimentlmente che l velocità con cui vviene lo scmbio (definit come l quntità di cloe scmbit nell'unità di tempo) : e' diettmente popozionle ll diffeenz di tempetu t il copo in esme e l'mbiente con cui vviene tle scmbio dipende dl tipo di conttto temico t il copo e l'mbiente dipende dll estensione dell supeficie di conttto coinvolge qusi sempe, in mggioe o minoe gdo, tutti i meccnismi di tsfeimento di cloe (iggimento, conduzione, convezione). 1

2 Queste ossevzioni si compendino nell legge di tsfeimento di cloe (dett di solito legge di Newton del ffeddmento, in qunto viene pevlentemente ust pe studie i ffeddmenti) Q =! hs ( T ( t)! ) dove t è il tempo, S l supeficie di conttto, e T(t) l tempetu del copo che cede cloe l tempo t e h è un coefficiente, chimto di tspoto o di conducibilità esten, che dipende dll ntu del copo e dell'mbiente, dllo stto delle supeficie di conttto, e dlle condizioni dell'mbiente (cmbi pe esempio nel cso di un bcinell d'cqu cld mess ll'peto se vi è ventilzione, i fem, umidità, ecc.). Il segno meno indic che si h cessione di cloe ll'mbiente se T(t) > T, ovveo si h un diminuzione di enegi temic del copo, e viceves se T(t) < T. T L cessione o l'ssobimento di cloe non è un funzione linee nel tempo: tnto mggioe è l diffeenz di tempetu, tnto minoe è il tempo impiegto pe cedee (o ssobie) l stess quntità di cloe, o nche, pità di tempo, mno mno che il copo si ffedd (o si iscld) l cessione (o ssobimento) di cloe diminuisce. D quest deiv l'equzione che egol come vi l tempetu in funzione del tempo mn mno che il copo cede cloe. Vizione nel tempo dell tempetu di ffeddmento. Le equzioni pecedentemente nlizzte (che si ifeiscono llo scmbio di cloe), pe intevlli di tempo molto piccoli, infinitesimi, si possono scivee: Q dq =! hs( T ( t) ) =! hs( T ( t) ) Q = mc! T dq = mc dt Combinndo le due equzioni si può scivee l'equzione pe le vizioni di tempetu del copo che si ffedd (o si iscld) in pesenz del "temostto" tempetu T come 2

3 dove o dt hs =! ( T ( t) ) =! k ( T ( t) ) 1 mc hs k = e l condizione inizile è T(t=0)= T o. mc Possimo ottenee un soluzione numeic di tle equzione ppossimndo l deivt dt dt " T T ( t + )! T ( t) con il suo ppoto incementle : # = =! k ( T ( t)! )! T = " k ) ( T ( t " T ) t e V =! k ( T t)! T )! (. T e quindi Dividimo l'intevllo di tempo totle in cui si vuole clcole il vloe dell tempetu in m intevlli di tempo Dt tutti uguli. Ad esempio si Dt = 10 s, isulteà: t 0 = 0s, t 1 = 10 s = 1 Dt, t 2 = 20 s = 2 Dt, ecc. Indichimo con T i =T(t i ) l tempetu l tempo t i = i Dt ( i=0,1,2...m) e con V (i) = -k (T i -T) l velocità di ffeddmento coispondente. Ottenimo il seguente insieme di equzioni : t i = i "! t ( T T ) V ( i) =! k! i! T = V ( i) "! t e quindi T = T + V ( i i + 1 i )! Pe successive itezioni si h l seguente tbell: i=0 t 0 =0 T=T 0 V (0)= -k (T 0 -T) i=1 t 1 =Dt T 1 = T 0 +V (0) Dt V (1)= -k (T 1 -T) i=2 t 2 =2Dt T 2 = T 1 +V (1) Dt V (2)= -k (T 2 -T)... i+1 t i+1 =(i+1)dt T i+1 = T i +V (i) Dt V (i+1)= -k (T i+1 -T) 1 L legge di ffeddmento (o iscldmento) di Newton è quindi egolt d un equzione diffeenzile odini del 1 o odine pe l vibile dipendente tempetu T in funzione dell vibile indipendente tempo t. 3

4 Esecitzione in Excel : ffeddmento di un sostnz. Clsse 4 G dicembe 2010! Impost un foglio Excel, che chimei Legge di Newton, nel modo seguente: Dti T inizile 80 C T mbente 20 C K 6*10-3 s -1!t = 10s N. t i T i V (i) ,36 dove N. indic il numeo dell itezione, t i il tempo ll i-esim itezione, T i l tempetu ll i-esim itezione, V (i) l velocità di ffeddmento ll i-esim itezione.! Us i seguenti dti inizili : T 0 = 80 C, t 0 = 0 s, T mbiente = 20 C, k = 6!10-3 s -1, Dt = 10 s.! Ope un numeo sufficiente di itezioni, d esempio 90, e fi il gfico dell tempetu in funzione del tempo.! Esmin il gfico ottenuto: o è quello che ti spettvi? Peché? o Descivilo. o A qule vloe tende? o Esmin l pendenz del gfico l tscoee del tempo. Vi o è costnte?! Aggiungi un colonn con le diffeenze t l tempetu T i e T mbiente. E fi un gfico mettendo in sciss il tempo t e in odint le diffeenze (T i T mbiente ). o Qule tsfomzione leg i due gfici? o Qule tipo di ndmento pensi bbi quest cuv? o Veific le tue ipotesi cecndo un degut line di tendenz e ipot l su equzione.! Aggiungi un ulteioe colonn in cui ipotei i vloi del ln (T i -T ). Fi un gfico mettendo in sciss il tempo t e in odint ln(t i T ). o Qule tipo di dipendenz c è t queste due gndezze? o Veific le tue ipotesi cecndo un degut line di tendenz e ipot l su equzione. Clcolo dell espessione nlitic dell legge di Newton. 4

5 È possibile ottenee l espessione nlitic dell legge usndo l elzione che fonisce l dipendenz linee del logitmo dell diffeenz di tempetu dl tempo. Si ( T ( t) ) = mt + q Risolvo quest equzione in T : ln. mt+ q ( T T ) = e! e, spendo che pe t=0, T = T 0 si và: e quindi, sostituendo: T! T = e 0 q ( T T ) e mt T = T + 0!. 5