Vettori e scalari. Scalari: sono completamente definite quando se ne conosce la sola misura (es. tempo, massa, temperatura, GRANDEZZE FISICHE

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1 Vettoi e scli GRNDEZZE FISICHE Scli: sono completmente definite qundo se ne conosce l sol misu (es. tempo, mss, tempetu, volume ) Vettoili: ichiedono un mggio contenuto infomtivo (es. velocità, cceleione, fo ) Domenic sono ndto in iciclett pe due oe L infomione sul tempo è complet? Il tempo è un esempio di quntità scle: sono sufficienti un numeo e l ispettiv unità di misu pe ctteilo completmente. Quindi infomione sul tempo è complet. Romeo Fisic I - Vettoi 1

2 Vettoi e scli Domenic ho ftto venti chilometi in iciclett L infomione sullo spostmento è complet? No, ne conosco solo l entità. Domenic ho ftto venti chilometi in iciclett lungo l Vl d dige ho ggiunto infomione sull mi dieione. Domenic ho ftto venti chilometi in iciclett lungo l Vl d dige veso Tento questo dto complet l infomione sul veso del mio spostmento. Un gnde fisic è un vettoe qundo pe definil completmente è necessio fonie un modulo ( l entità), un dieione e un veso. VETTORE modulo dieione veso. Romeo Fisic I - Vettoi

3 Rppesentione gfic Un vettoe può essee ppesentto gficmente d un segmento oientto. L punt dell fecci indic il veso. si chim modulo L lunghe dell fecci indic il modulo. L ett su cui gice l fecci indic l dieione. CD. Romeo Fisic I - Vettoi 3

4 Rppesentione gfic Definiione: Un vettoe nel pino o nello spio è definito come l insieme di tutti i segmenti oientti venti uguli dieione, veso e modulo. () () Segmenti oientti ppesenttivi di uno stesso vettoe. Segmenti oientti plleli concodi () ed opposti ().. Romeo Fisic I - Vettoi 4

5 Somm di vettoi c c. Romeo Fisic I - Vettoi 5

6 Somm di vettoi Definiione: L somm di due vettoi e è un vettoe c l cui dieione e veso si ottengono nel modo seguente: si fiss il vettoe e, ptie dl suo punto estemo, si tcci il vettoe. Il vettoe che unisce l'oigine di con l'estemo di fonisce l somm c. L somm di due vettoi può essee clcolt nche utilindo l egol del pllelogmm: L somm di due vettoi non collinei è dt dl vettoe ppesentto dll digonle del pllelogmm costuito pe meo dei segmenti oientti ppesenttivi dei due vettoi e disposti in modo d vee l oigine in comune. Popietà commuttiv: Popietà ssocitiv: ( ) c ( c). Romeo Fisic I - Vettoi 6

7 Diffeen di vettoi - c - (-) - c c - (-). Romeo Fisic I - Vettoi 7

8 Diffeen di vettoi Definiione: Il vettoe opposto d è. I moduli di e sono uguli, l dieione è l medesim e i vesi sono opposti. O Definiione: L diffeen di due vettoi è l somm del vettoe con l opposto del vettoe, ossi: ( ) - C Notimo che se, sull se di e di disposti con l medesim oigine O, si costuisce un pllelogmm, llo l lunghe dell digonle uscente d O espime l lunghe di mente l lunghe dell'lt digonle è pi ll lunghe del vettoe.. Romeo Fisic I - Vettoi 8

9 Moltiplicione scle-vettoe Definiione: L moltiplicione α (o α) di un vettoe con il numeo ele α è un vettoe α, collinee d, di modulo α e veso coincidente con quello di se α > 0, opposto quello di se α < 0. Nel cso che si α 0 o 0, il vettoe 0. Popietà: 1. α(β) (αβ αβ). (α β) α β 3. α( ) α α -3. Romeo Fisic I - Vettoi 9

10 Componenti ctesine Il vettoe può essee individuto nche tmite le sue componenti lungo un sistem di ssi ctesini. Il modulo del vettoe può essee espesso in funione delle componenti θ (teoem di Pitgo): Le componenti, loo volt, sono legte l modulo dlle elioni (tigonometi): cos θ nche l ngolo θ può essee espesso in funione delle componenti: tn θ L somm dei vettoi e dà il vettoe, di cui e sono i vettoi componenti.. Romeo Fisic I - Vettoi 10 sen θ

11 Vesoi e componenti ctesine Esistono dei vettoi specili, detti vesoi, che possono essee utiliti pe ctteie tutti gli lti vettoi. I vesoi hnno queste ctteistiche: hnno modulo 1; sono dietti lungo gli ssi ctesini; indicno il veso positivo degli ssi ctesini i k j Un qulunque vettoe può essee espesso pe meo delle sue componenti (che chimeemo, e ) e dei vesoi i, j e k (indicili nche con l notione î, ĵ, kˆ i j k î ˆj kˆ o θ ϕ P(,,) con: sin θcos ϕ sin θsin ϕ cos θ. Romeo Fisic I - Vettoi 11

12 Vesoi e componenti ctesine (, ), ϕ θ (,, ) î ĵ Le componenti di un vettoe qulsisi si ottengono nche dll diffeen delle coispondenti coodinte dell'estemo finle con quelle del estemo iniile, ossi: kˆ ( ) î ( ) ĵ ( )kˆ Il modulo espesso tmite le sue componenti sà dunque dto d: ( ) ( ) ( ). Romeo Fisic I - Vettoi 1

13 . Romeo Fisic I - Vettoi 13 In te dimensioni: Le opeioni fino intodotte possono essee scitte in un nuov fom: Componenti ctesine kˆ ĵ î k j i )kˆ ( )ĵ ( )î ( )kˆ ( )ĵ ( )î ( kˆ ĵ î α α α α v kˆ ĵ î k j i

14 Esempio Qunto vlgono l somm e l diffeen di due vettoi di componenti -, 1 e 5,? Clcole il modulo dei vettoi somm e diffeen. î ĵ 5î ĵ c (- 5)î (1 )ĵ 3î 3ĵ c c c d (- 5)î (1 )ĵ 7î ĵ d d d Romeo Fisic I - Vettoi 14

15 Eseciio Dti i vettoi 5 i 3j e -3 i j, detemine il modulo, l dieione ed il veso di c Sol.: c (5-3) i (3)j i 5j Modulo: c c c , 4 L dieione è individut dll ngolo θ che il vettoe c fom con l sse c 5 tn θ, 5 θ ctn, 5 68, c. Romeo Fisic I - Vettoi 15 c O θ c

16 Podotto scle Si ttt di un opeione che ssoci d un coppi di vettoi uno scle. Definiione: Si dice podotto scle di due vettoi e il numeo ele dto d: cos θ dove θ è l ngolo compeso t e. Popietà 1. Vle l popietà commuttiv. α( ) (α ) (α ) cos 0 3. Il podotto scle di un vettoe pe se stesso è pi l qudto del suo modulo 4. Il podotto scle di due vettoe pependicoli è nullo cos90 Se il podotto scle di due vettoi è nullo, llo o uno dei due vettoi coincide con il vettoe nullo oppue i due vettoi sono pependicoli.. Romeo Fisic I - Vettoi 16 0 θ

17 Podotto scle in componenti Il podotto scle può nche essee espesso come l somm dei podotti delle componenti omonime (cioè eltive gli stessi ssi); in simoli: Dimostione: ( î ĵ kˆ ) ( î ĵ kˆ ) î î ĵ î kˆ î Si nnullno i temini in cui compe il podotto scle di vesoi pependicoli, e si ottiene Il podotto scle di un vettoe pe se stesso in componenti:. Romeo Fisic I - Vettoi 17 î ĵ kˆ ĵ ĵ ĵ î kˆ ĵ kˆ kˆ kˆ

18 Esecii 1. Un uomo pecoe 3 km veso Est e poi 4 km 60 Nod ispetto Est. Qul è lo spostmento isultnte?. Si tovino modulo e dieione oientt dei vettoi che hnno le seguenti componenti: () 5 m, 3 m; () 10 m/s, - 7 m/s; (c) C - m, C -3 m. 3. Qunto vlgono l somm e l diffeen di due vettoi di componenti -, 1, 3 e 5,, 0? Clcole il modulo dei vettoi somm e diffeen. 4. Dti i vettoi i 3j e 3/4 i 1/j, clcole il podotto scle. 5. Rppesente sul pino ctesino i vettoi e di componenti: - m m e m, m. Clcole il modulo e l dieione oientt dei vettoi, e C essendo C l somm di e. Romeo Fisic I - Vettoi 18

19 Eseciio Un uomo pecoe 3 km veso Est e poi 4 km 60 Nod ispetto Est. Qul è lo spostmento isultnte? Nod ( ) î ( ) ĵ Ovest Sud α 60 (C) C (C) Est C C ( C) î ( C) ( C) î ( C) ĵ ( C) ( ) ( C) ( 3 4cos60 ) km (3 ) ( C) ( ) ( C) ( 0 4sin 60 ) km 3.46 km ĵ km 5 km C ( C) ( C) 5 ( 3.46) km ( C) ( C) 3.46 tnα 0.69 α Romeo Fisic I - Vettoi 19

20 c Il podotto vettoile O θ Definiione Si consideino due vettoi e Si definisce podotto vettoile c il vettoe vente le seguenti popietà: dieione: pependicole l pino individuto di pimi due; modulo: podotto dei moduli dei due vettoi moltiplicto pe il seno dell ngolo convesso θ d questi fomto c senθ veso: quello secondo il qule si deve dispoe un ossevtoe con i piedi nel punto O d pplicione dei due vettoi ffinché poss vede uote il vettoe in senso ntioio peché si sovppong l vettoe Regol ptic pe il veso: "Regol dell mno dest": si dispone l mno dest in line col vettoe (pimo vettoe del podotto ctesino) e si f uote l mno come pe pote sop (secondo vettoe del podotto ctesino, il pollice teso punt nel veso di c.. Romeo Fisic I - Vettoi 0

21 Eseciio: podotto scle e vettoile Dti i due vettoi e di componenti ;, 3 3 ;,, 0; 0 clcole: ) il podotto scle 1) Podotto scle utilino le componenti: ) Podotto scle utilindo l fomul: cos α cosθ1 0,5 θ α cos θ θ Romeo Fisic I - Vettoi 1 Individue l ngolo compeso α θ θ 1 θ 1 θ cos

22 Eseciio: podotto scle e vettoile Dti i due vettoi e di componenti ;, 3 3 ;,, 0; 0 clcole: ) il podotto scle ) Podotto vettoile c Modulo c senθ 4 4 sen ,5 8 3 Dieione: quell dell sse, ovveo pependicole l pino - dove gicciono i due vettoi Veso: pplicndo l egol dell mno dest, isult entnte nel pino dell pgin. Romeo Fisic I - Vettoi θ 1 θ

23 Deivt di un vettoe Si dto un vettoe dipendente dl tempo: ( t) ( t) ( t) î ( t) ĵ ( t)kˆ e si suppong che in un intevllo di tempo t il vettoe suisc un incemento ( t t) -(t) ( t) con ( t) ( t) î ( t) ĵ ( t) kˆ (t) ( t) O ( t t) Se si vuole icve l velocità dell viione di (t), si può costuie il ppoto: t ( t) ( t t) t -(t) t ( t) ( t) ( t) ( t) kˆ t î t ĵ t. Romeo Fisic I - Vettoi 3

24 Deivt di un vettoe Si definisce deivt di un vettoe ispetto ll viile t, l quntità: d ( t) ( t t) -(t) lim lim dt t 0 t t 0 t NOT: l deivt di un vettoe è nco un vettoe in qunto l opeione di deivione equivle l podotto di un vettoe d pe uno scle 1/dt d dt lim t 0 t ( t) ( t) ( t) ( t) kˆ lim t 0 t In componenti: î lim t 0 t ĵ lim t 0 t d dt ( t) d ( t) d ( t) d ( t) kˆ î ĵ dt dt. Romeo Fisic I - Vettoi 4 dt

25 Deivt di un vesoe Dl momento che un vesoe è pe definiione un vettoe di modulo unitio, ciò che può cmie in funione di t è solo l dieione. In un tempo t il vesoe può compiee solo un otione di un ceto ngolo θ. u ( t t) -u(t) u( t) u ( t) u (t) θ u ( t t ) Pe t 0, u tende d infinitesimo du, pependicole d u(t), il cui modulo si confonde con l co: modulo: Vettoe: du Rdθ u(t) dθ du dθ u N con Si definisce deivt di un vesoe u(t) u. Romeo Fisic I - Vettoi 5 N R u(t) 1 : vesoe pependicole u(t) du dt dθ dt u N