LIBRO DI TESTO S.Melone, F.Rustichelli Introduzione alla Fisica Biomedica Libreria Scientifica Ragni Ancona, 1998

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1 LIBRO DI TESTO S.Melone, F.Rustichelli Intoduzione alla Fisica Biomedica Libeia Scientifica Ragni Ancona, 1998 TESTO DI CONSULTAZIONE E WEB F.Bosa, D.Scannicchio Fisica con Applicazioni in Biologia e Medicina Unicopli, Milano, Modalità d esame Ogni appello d esame è aticolato in una pova scitta e in una pova oale. Sono peviste te pove scitte pe itinee, ispettivamente su agomenti di meccanica, temodinamica/fluidodinamica ed elettomagnetismo. Il supeamento delle pove pe itinee (almeno su 3) pemette di accedee diettamente alla pova oale. 1

2 ALCUNI RICHIAMI DI MATEMATICA Potenze di 10 Potenze di 10 Sappiamo che: 1=10 0, 10= 10 1, 100=10, 1000=10 3, 10000=10 4, e anche 0.1=10-1, 0.01=10 -, 0.001=10-3, =10-4, Ne consegue che possiamo espimee qualunque numeo mediante le potenze di 10. Ad esempio: = = = = = = = = Conviene usae questa notazione, anche detta notazione scientifica, specie quando si ha a che fae con numei molto gandi o molto piccoli 3 Funzioni Si definisce funzione la elazione che fa coispondee al valoe di una vaiabile quello di un alta vaiabile y. Si dice quindi che y è funzione di (o che y dipende da ) e si scive y = y() (oppue y = f() ) 4

3 Es. 1: y = 3-5 Gafico della funzione (etta): y y = Equazione di di una etta y = m + q m = pendenza q = intecetta 5 Es. : y = - 1 Gafico della funzione (paabola): y y = Equazione di di una paabola y = a + b + c 6 3

4 Esponenziali e logaitmi: y = a = log a y (a > 0, y > 0) Il logaitmo in base a di y è l esponente al quale bisogna elevae a pe ottenee y a = 10: y = 10 ; = log 10 y = Log y (logaitmo decimale) a = e =.7188 (numeo di Nepeo): y = e ; = log e y = = log y = ln y (logaitmo natuale) 7 Alcune popietà dei logaitmi: log a ( y) = log a + log a y log a (/y) = log a - log a y log a ( y ) = y log a Es.: log a = log a ( 1/ ) = (1/) log a 8 4

5 y = e = ep() Gafico della funzione esponenziale: y y = ep() ) y = e - = ep(-) Gafico della funzione esponenziale negativa: y y = ep(-)

6 y = ln Gafico della funzione logaitmo (natuale): y y = ln() Se s = πr (ciconfeenza completa), alloa α = π adianti. Ma in questo caso è anche α = angolo gio = 360 ; quindi: Misua di angoli in adianti Misua di angoli in adianti Dato un aco s sulla ciconfeenza di aggio R, il appoto s/r (che imane costante vaiando R) è pe definizione l angolo al cento α sotteso ad s, misuato in adianti α = s R = s R α R s R s 360 o π adianti 180 o π adianti 90 o... π/ adianti 1 6

7 Relazioni di similitudine fa tiangoli A α C γ β B Due tiangoli qualsiasi ABC e A B C sono simili se hanno tutti gli angoli uguali: α = α, β = β, γ = γ C γ α β A B (poiché la somma degli angoli inteni è sempe 180, è sufficiente che due angoli siano uguali) Se due tiangoli sono simili, alloa i loo lati sono in elazione di popozionalità dietta AB (i appoti fa i lati coispondenti sono uguali): A B = BC B C = CA C A 13 Angolo solido Angolo solido Si definisce angolo solido Ω lo spazio compeso nella pate di cono in figua Ω = a 1 R 1 = a R L unità di misua dell angolo solido è lo steadiante (s) Se a = 4πR alloa Ω = 4π s. (sfea completa), 14 7

8 Funzioni tigonometiche Coseno: Seno: a c = cosα b c = senα 1 cosα 1 1 senα 1 Tangente: b a = sen α cosα = tgα Teo ema di Pi tago a : c = a + b 1 = a c + b c cos α + sen α =

9 sen ( θ ± nπ) = senθ (n = 0,1,,...) Il seno di un angolo è una funzione peiodica con peiodo π. cos( θ ± nπ) = cos θ (n = 0,1,,...) Il coseno di un angolo è una funzione peiodica con peiodo π. tg ( θ ± nπ) = tgθ (n = 0,1,,...) La funzione tangente ha due asintoti paalleli all asse y. E peiodica con peiodo π. 17 Angolo solido Angolo solido Si definisce angolo solido Ω lo spazio compeso nella pate di cono in figua Ω = a 1 R 1 = a R L unità di misua dell angolo solido è lo steadiante (s) Se a = 4πR (sfea completa), alloa Ω = 4π s. 18 9

10 COORDINATE CARTESIANE In 1 dimensione: Consideando una etta oientata X (asse), una volta scelto su di essa un punto O come oigine del sistema di ifeimento e un segmento u come unità di misua, esiste una coispondenza biunivoca fa i punti P sull asse e i numei eali. In alti temini la coodinata di P sull asse è il numeo eale coispondente alla lunghezza del segmento OP (ispetto a quella del segmento u). u O P() X In dimensioni: e analogamente: fissata una coppia di ette X e Y (assi), oientate e otogonali fa loo, che si intesecano in O, esiste una coispondenza biunivoca fa i punti P nel piano e le coppie odinate di numei eali (,y). La coodinate (,y) di P sono date dalla lunghezza dei segmenti OM e ON, dove M ed N sono le poiezioni di P sui due assi. Y N y O ρ θ P(,y) M X Coodinate polai: P(ρ,θ) ρ cosθ = ρ sinθ = y 0 10

11 e analogamente: In 3 dimensioni: fissata una tena di ette X, Y e Z (assi), oientate e otogonali fa loo, che si intesecano in O, esiste una coispondenza biunivoca fa i punti P nello spazio e le tene odinate di numei eali (,y,z). La coodinate (,y,z) di P sono date dalla lunghezza dei segmenti OM, ON e OQ, dove M, N e Q sono le poiezioni di P sui te assi. Z X M Q z θ O ϕ ρ y P(,y,z) N Y P Coodinate polai: P(ρ,ϕ,θ) ρ sinθ cosϕ = ρ sinθ sinϕ = y ρ cosϕ = z 1 SEGMENTO ORIENTATO Individua un punto (oigine), una diezione, un veso, un modulo (la misua). B A oigine estemo SEGMENTI ORIENTATI CONCORDI DISCORDI EQUIPOLLENTI 11

12 VETTORI L insieme di tutti i segmenti oientati equipollenti ad un segmento oientato dato si dice vettoe: Il vettoe individua la diezione, il veso, il modulo, ma non l oigine. v Se è assegnata anche l oigine O si ottiene un vettoe applicato. v O 3 OPERAZIONI SUI VETTORI SOMMA O RISULTANTE c = a + b c b ϑ b θ c pe la popietà commutativa: a a a + b = b + a Il modulo del vettoe somma vale (Teoema di Canot): c = a + b abcos( π ϑ) 4 1

13 SOMMA DI VETTORI 5 Somma di più vettoi a d s s = a + b + c + d b c N.B.: Se la poligonale è chiusa la somma è nulla! 6 13

14 d = v d Diffeenza di due vettoi v 1 è il vettoe che sommato a v 1 ipoduce : v v = v 1 + d v 1 d v 7 v = m Podotto di un vettoe pe un numeo: u ha la stessa diezione di u, stesso veso se m è positivo, veso opposto se m è negativo, modulo uguale al podotto del valoe assoluto di m pe il modulo di u. In paticolae se i è un vesoe, cioé un vettoe con modulo unitaio e con la stessa diezione e veso del vettoe v, e v è il modulo del vettoe, si può scivee: v = vi 8 14

15 Scomposizione di un vettoe in un piano catesiano y v = v i + v y j v = P i + y P j y y P v y v P( P,y P ) ϕ dove: O v P v = v cos ϕ v y = v sen ϕ v = v + vy 9 SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE 30 15

16 DATI DUE VETTORI: a = a i + a y j b = b i + b y j Si ha: a + b = ( a + b ) i +( a y + b y ) j pe sommae due (o più) vettoi si esegue la somma algebica fa le componenti coispondenti Analogamente, pe la diffeenza: a b = ( a b ) i + ( a y b y ) j 31 SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE IN UNO SPAZIO CARTESIANO XYZ z k i v ϕ v z θ v v v y v = v i v y = v y j v z = v z k P( P,y P,z P ) j y v z = v cosϑ v = v sen ϑ v = v cosϕ = v sen ϑcosϕ v y = v sen ϑ sen ϕ v = v ' + v z = v + v y + v = v i + v y j + v z k (v, v y, v z ) ( P, y P, z P ) v = P i + y P j + z P k v z 3 16

17 VETTORE POSIZIONE E necessaio conoscee la posizione del copo nello spazio e quindi occoe fissae un sistema di ifeimento. Z i z k θ j ϕ P (,y,z) y Y = i + yj + zk = + y + z X 33 VETTORE SPOSTAMENTO La paticella si sposta da P 1 a P Z ( )i ( z)k P 1 ( 1 y 1 z 1 ) 1 z 1 z 1 P ( y z ) y 1 ( y)j y Y = i + y j + z k = i + y j + z k = 1 = i + yj + zk X = ( ) + ( y y ) + ( z ) 1 1 z

18 PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI v 1 v = v 1 v cosϕ Se ϕ = 0 Se ϕ = π Se ϕ = π/ v 1 v = v 1 v v 1 v = v 1 v v 1 v = 0 v ϕ v 1 Il podotto scalae gode della popietà commutativa: v 1 v = v v 1 35 PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI 36 18

19 Utilizzando le componenti lungo gli assi catesiani, e ossevando che i i = 1 ; i j = 0 Si ha: a b = ( a i + a y j ) ( b i + b y j ) = a b + a y b y E inolte: a a = a + ay = a a = a + ay 37 v = v 1 v - modulo: v = v 1 v sen ϕ - diezione pependicolae al piano individuato dai due vettoi PRODOTTO VETTORIALE - veso stabilito con la egola della mano desta (pollice lungo il pimo vettoe, indice lungo il secondo: il medio indica il veso del vettoe podotto) Se ϕ = 0, oppue ϕ = π v 1 v = 0 v = v 1 v Se ϕ = π/ v = v = v 1 v = v 1 v sen π = v 1 v Non gode della popietà commutativa!! Infatti: v 1 v = v v 1 ϕ v v 1 v v v

20 PRODOTTO VETTORIALE 39 PRODOTTO VETTORIALE 40 0