IL POTENZIALE. = d quindi: LAB

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1 1 IL POTENZIALE Sappiamo che il campo gavitazionale è un campo consevativo cioè nello spostamento di un copo ta due punti del campo gavitazionale teeste, le foze del campo compiono un lavoo che dipende dalla posizione dei due punti ma non dal paticolae cammino seguito. In modo analogo, nello spostamento di una caica elettica da un punto A ad un punto in un campo elettico, la foza del campo che agisce sulla caica compie un lavoo che isulta indipendente dalla taiettoia e dipendente soltanto dalla posizione dei punti A e. Quindi anche il campo elettico è consevativo. Infatti: 1. Lavoo nel campo elettico unifome Consideiamo un campo elettico unifome geneato da due distibuzioni di caiche opposte distibuite su due piaste metalliche paallele ed una caica esploatice che si sposta dalla piasta positiva alla piasta negativa. Se la caica viene abbandonata da fema nel punto A, essa sotto l'azione della foza elettica costante F = E si sposta lungo la linea di foza A. Se d è la distanza ta le piaste, il lavoo è: L = E d Calcoliamo oa il lavoo nel caso in cui la caica si sposta da A a seguendo il pecoso A. Duante lo spostamento A' la foza elettica foma un angolo ϑ con la diezione dello spostamento, pe cui il lavoo è: LA ' = E A ' cosϑ ma A ' cosϑ = d uindi: LA ' = E d Nello spostamento successivo, poiché la foza elettica isulta pependicolae allo spostamento, il lavoo L è nullo. ' Di conseguenza il lavoo complessivo duante il cammino A è: L ' = E d Possiamo peciò concludee che: L ' = L cioè il lavoo della foza elettica del campo agente sulla caica è indipendente dal paticolae cammino seguito dalla caica duante lo spostamento dalla

2 2 piasta positiva alla piasta negativa IL CAMPO ELETTRICO E CONSERVATIVO 2. Lavoo del campo di una caica puntifome Consideiamo un campo elettico geneato da una caica puntifome Q. Sia una caica esploatice che si sposta da un punto A a distanza A da Q ad un punto a distanza da Q. Poiché la foza elettica del campo agente su non è costante, pe il calcolo del lavoo si dovà suddividee la taettoia pecosa da in n piccoli tatti in modo tale da pote consideae F costante in ognuno di essi. Si ottiene così, ualunue sia il paticolae cammino seguito dalla caica pe spostasi da A a : Q 1 1 L = 0 A in cui le caiche sono da assumesi con il segno. L indipendenza del lavoo dalla taiettoia seguita da una caica che si muove nel campo elettico unifome, come uello esistente ta le piaste di un condensatoe, e nel campo adiale geneato da una caica puntifome, sussiste ualunue sia il paticolae campo. Possiamo peciò concludee che il campo elettico podotto da caiche feme è consevativo. ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA Dalla meccanica sappiamo che L = - U = V A -V. Consideiamo un campo elettico geneato da una caica puntifome Q e una caica esploatice posta in un punto a distanza da Q. L enegia potenziale di saà: 1 Q U = + c dove c è una costante. Se l enegia potenziale U tende a c e uindi c appesenta l enegia potenziale elettica U della caica all infinito. Ma se la foza coulombiana si annulla e uindi, non essendo le caiche soggette ad alcuna foza, l enegia potenziale elettostatica U è nulla. Di conseguenza è c=0 1 U = Q

3 3 Se spostiamo la caica dal punto A distante A da Q all infinito, il lavoo compiuto dalle foze del campo saà: Q Q Q 1 1 Q 1 L A = = LA = = U A A se A Quindi, l enegia potenziale elettostatica di una caica puntifome in un punto A del campo elettostatico geneato da Q è il lavoo compiuto dalle foze del campo pe spostae da A all infinito. In temini euivalenti, l enegia potenziale elettostatica di una caica puntifome in un punto A del campo elettostatico geneato da Q è il lavoo compiuto dalle foze del campo pe spostae dall infinito nel punto A. Nota In geneale si attibuisce convenzionalmente valoe zeo all enegia potenziale all infinito oppue a tea. POTENZIALE ELETTROSTATICO L enegia potenziale elettostatica è diettamente popozionale alla caica. Pe descivee le caatteistiche enegetiche di un campo elettostatico è pefeibile utilizzae un alta gandezza, il potenziale elettostatico o tensione, che sia indipendente da. Il potenziale elettostatico è definito dalla elazione: U V = A O Nel caso di un campo geneato da una caica puntifome Q si ha: inolte 1 Q U Q Q V = = 4 πε = V = Q Q L = A 4 πε A 4 πε dividendo pe si ha: LA Q Q VA V = 4 πε 4 πε = A Quindi: L A VA = V

4 4 La uantità V -V A = V è detta diffeenza di potenziale ta i punti A e. Di conseguenza L A = V Quindi: La diffeenza di potenziale ta due punti di un campo elettostatico è opposta al lavoo che devono compiee le foze del campo pe spostae la caica unitaia dall uno all alto punto. Nel S.I. l unità di misua della diffeenza di potenziale si chiama volt ed è 1V=1J/1C. Se è messa in moto dalle foze del campo, il lavoo da esse compiuto dovà essee positivo. Quindi: LA>0 ovveo [VA-V]>0 e se >0 dovà essee [VA-V] >0 VA>V Le caiche positive, sotto l azione delle foze del campo, si muovono dai punti a potenziale maggioe a punti a potenziale minoe. Se LA>0 e <0 alloa [VA-V] <0 e uindi VA<V Le caiche negative, sotto l azione delle foze del campo, si muovono dai punti a potenziale minoe a punti a potenziale maggioe.

5 5 Supefici euipotenziali Le caatteistiche enegetiche del campo elettico possono essee descitte mediante il potenziale elettostatico e in uesto caso si può visualizzae il campo tamite le supefici euipotenziali (luogo dei punti aventi uno stesso valoe del potenziale). Se si sposta una caica da un punto ad un alto di una stessa supeficie euipotenziale, non viene compiuto alcun lavoo. Spostamento I : L = 0 peché V = 0. ( ) ( ) o Le linee di foza attavesano le supefici euipotenziali. o Pe un campo unifome sono una famiglia di piani pependicolai alle linee di foza. I Spostamento II: L = 0 peché V = 0. II Spostamento III: L = V = V V. III 2 1 Spostamento IV: L = V = V V. IV 2 1 o In un campo geneato da una caica puntifome sono supefici sfeiche con cento nella caica stessa. o Le supefici euipotenziali sono, in ciascun punto, pependicolai alla linea di foza passante pe uel punto. Dimostazione Consideiamo un campo elettostatico unifome e 2 punti A e posti su un segmento pependicolae alle linee del campo. Indichiamo con s la distanza ta A e.

6 6 Immaginiamo che la caica venga spostata da A a A s F L V = VA V = La foza F è // alle linee del campo e uindi a s A A L = 0 V = L = 0 V V A A Quindi A e hanno lo stesso potenziale e così saà pe tutti i punti del piano contenente A e. Alloa il piano è una supeficie euipotenziale alle linee del campo. c.d.d. Le supefici euipotenziali di alcuni campi Campo unifome Campo di una caica puntifome Campo di un dipolo elettico

7 7 DEDUZIONE DEL CAMPO ELETTRICO DAL POTENZIALE Sappiamo che noto E è possibile calcolae V in una ceta zona del campo. Vogliamo dimostae che noto V nei dintoni di un punto A possiamo calcolae E in A. Consideiamo una zona di spazio piccola in modo da pote consideae il campo elettico, al suo inteno, unifome. Sia A il punto e SA la supeficie euipotenziale che contiene A. Poiché il campo elettico è unifome, le supefici euipotenziali sono piani alle linee di campo e paalleli fa loo. Alloa E ha: diezione alle supefici euipotenziali. veso che punta nel senso in cui V diminuisce. intensità V E = s dove V è una diffeenza di potenziale ta due punti e s la distanza ta 2 supefici euipotenziali che passano pe uei punti.