Moto su traiettorie curve: il moto circolare

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1 Moto su taiettoie cuve: il moto cicolae Così come il moto ettilineo è un moto che avviene lungo una linea etta, il moto cicolae è un moto la cui taiettoia è cicolae, cioè un moto che avviene lungo una ciconfeenza. Immaginiamo ad esempio di fa giae sopa la nosta testa una pallina legata a un filo, come mostato in figua 1, in modo da fale descivee una ciconfeenza di aggio pai alla lunghezza del filo. Il moto della pallina è un esempio di moto cicolae di una paticella, la cui taiettoia è appesentata in figua 2. Capitolo 6 La descizione del moto Posizione angolae Pe descivee un moto cicolae è conveniente intodue delle gandezze cinematiche angolai. La pima di queste gandezze è la posizione angolae. Pe definila collochiamo l oigine di un sistema di assi catesiani nel cento della ciconfeenza e scegliamo una linea di ifeimento passante pe il cento. Sebbene questa linea possa essee scelta abitaiamente è consuetudine pendee come ifeimento l asse (fig. 2). La posizione angolae di una paticella è definita come l angolo u fomato dal aggio passante pe la paticella con l asse. Posizione angolae, U u = angolo misuato ispetto all asse figua 1 Esempio di moto cicolae Paticella u Posizione angolae u Linea di ifeimento u > 0 u < 0 figua 2 Taiettoia cicolae e posizione angolae figua 3 Posizione angolae positiva e negativa Pe convenzione l angolo u è positivo se misuato in senso antioaio ispetto all asse ; è negativo se misuato in senso oaio. Questa convenzione è illustata in figua 3. Sebbene l unità di misua dell angolo più comunemente utilizzata sia il gado ( ), pe i calcoli scientifici quella più conveniente è il adiante (ad), definito come segue: Radiante (ad) Un adiante è l ampiezza di un angolo che, su una ciconfeenza con il cento nel vetice dell angolo, intecetta un aco di lunghezza uguale al aggio della ciconfeenza. Peason Italia

2 Capitolo 6 La descizione del moto Questa definizione è utile peché stabilisce una semplice elazione fa un angolo misuato in adianti e la coispondente lunghezza dell aco, come illustato in figua 4. Ad esempio, dalla definizione segue che un angolo di 1 adiante coisponde a un aco di lunghezza l uguale al aggio: l =. Analogamente, un angolo di 2 adianti coisponde a un aco di lunghezza uguale a due aggi: l = 2, e così via. Peciò la lunghezza l dell aco coispondente a un angolo u misuato in adianti è data da: l = u Questa semplice elazione non vale pe gli angoli espessi in gadi. In un gio completo la lunghezza dell aco è uguale alla lunghezza della ciconfeenza C = 2p. Confontando questa elazione con l = u, vediamo che un gio completo coisponde a un angolo di 2p adianti: 1 gio = 360 = 2p ad da cui si ottiene: La lunghezza dell aco dall oigine alla paticella ad = 2p = 57,3 I adianti, come i gadi, sono unità adimensionali. Nella elazione l = u, infatti, la lunghezza dell aco e il aggio hanno entambi come unità di misua il meto e, quindi, affinché l equazione sia dimensionalmente coetta, è necessaio che u non abbia dimensioni. Tuttavia, se un angolo u è di 3 adianti sciviamo u = 3 ad pe icodaci l unità di misua angolae che stiamo utilizzando. figua 4 Lunghezza di un aco u è l = u, con u misuato in adianti. l = u Velocità angolae Al passae del tempo la posizione angolae della paticella cambia, come illustato in figua 5. Lo spostamento angolae Δu della paticella è: Spostamento angolae u u u f Δu = u f - u i Se dividiamo lo spostamento angolae pe l intevallo di tempo Δt duante il quale avviene lo spostamento, otteniamo la velocità angolae media v m : u i Velocità angolae media, V m Δu v m = Δt Questa definizione è analoga a quella della velocità media lineae v m = Δ/Δt. sseviamo che l unità di misua della velocità lineae è m/s, mente quella della velocità angolae è ad/s. figua 5 Spostamento angolae Possiamo poi definie la velocità angolae istantanea come il limite della velocità angolae media v m quando l intevallo di tempo Δt tende a zeo. La velocità angolae istantanea è quindi: Velocità angolae istantanea, V La velocità angolae istantanea v è il valoe limite della velocità angolae media v m = Δu quando Δt tende a zeo. Δt Peason Italia

3 Capitolo 6 La descizione del moto Genealmente indicheemo la velocità angolae istantanea semplicemente come velocità angolae. sseviamo che la velocità angolae v può essee positiva o negativa a seconda del veso del moto. Se la paticella si muove in veso anti oaio, la posizione angolae u aumenta, quindi Δu è positivo e v è positiva; analogamente, a un movimento in veso oaio coisponde uno spostamento Δu negativo e quindi una velocità angolae v negativa. Convenzione sul segno della velocità angolae Pe convenzione: v > 0: moto antioaio v < 0: moto oaio Spesso viene utilizzato lo stesso simbolo v sia pe la velocità angolae sia pe il modulo della velocità angolae. È il contesto a suggeie di quale gandezza si tatta. Velocità tangenziale sseviamo che in ogni istante una paticella in moto cicolae si muove in diezione tangenziale alla taiettoia, come si vede in figua 6. Qual è la elazione ta il modulo v della velocità tangenziale e la velocità angolae v? Aco di ciconfeenza l s v u figua 6 Velocità tangenziale Supponiamo che la paticella effettui, in un intevallo di tempo Δt tendente a zeo, uno spostamento angolae infinitesimo Δu, come mostato in figua. Lo spostamento Δs, dato dalla coda che sottende l angolo Δu, è all incica uguale all aco di ciconfeenza Δl, che sappiamo essee uguale a Δu. Abbiamo quindi appossimativamente (cioè nel limite di angoli molto piccoli): Δs = Δl = Δu Il modulo della velocità tangenziale v è il valoe limite a cui tende il appoto Δs/Δt quando Δt tende a zeo, quindi, poiché Δs = Δu, v è il podotto ta e il valoe a cui tende il appoto Δu/Δt quando Δt tende a zeo, cioè v: v = lim Δs Δt 0 Δt = lim Δu = lim Δt 0 Δt Δu Δt 0 Δt = v Abbiamo così tovato la elazione ta il modulo della velocità tangenziale e la velocità angolae: Relazione ta velocità tangenziale e velocità angolae v = v Peason Italia

4 Capitolo 6 La descizione del moto Poblem solving Les jeu sont faits! Dopo ave fatto giae la uota della oulette, il coupie lancia la pallina. Se la uota ha una velocità angolae di 1,5 gii al secondo e la pallina va a posizionasi in una delle caselle numeate poste a 18 cm dal cento della uota, qual è la velocità tangenziale della pallina? Descizione del poblema La figua mosta una vista dall alto della uota della oulette con le caselle numeate che distano 18 cm dal cento. La uota ha una velocità angolae v = 1,5 gii/s cm Stategia Soluzione Soluzione Pova tu Convetiamo innanzitutto la velocità angolae in ad/s, icodando che 1 gio = 2p ad. Calcoliamo poi la velocità tangenziale della pallina con la elazione v = v. Convetiamo il modulo della velocità angolae in ad/s: gii v = a1,5 b s 2p ad a b 1 gio = 3p ad/s = 9,4 ad/s Utilizziamo la elazione v = v pe calcolae il modulo della velocità tangenziale: v = v = (0,18 m)(9,4 ad/s) = 1,7 m/s Se le caselle fosseo a maggio distanza dal cento della uota, la velocità tangenziale della pallina saebbe maggioe. A quale distanza dal cento dovebbe tovasi la pallina pe avee una velocità tangenziale di 2,0 m/s? [21 cm] Peason Italia

5 Capitolo 6 La descizione del moto Moto cicolae unifome Un moto cicolae in cui la velocità angolae della paticella è costante è detto moto cicolae unifome. Moto cicolae unifome Un moto cicolae unifome è un moto cicolae con velocità angolae costante. Se v è costante, la velocità angolae istantanea è uguale alla velocità angolae media. Il moto cicolae unifome è un esempio di moto peiodico, cioè di moto che si ipete ciclicamente nel tempo. In geneale, in un moto peiodico, un oggetto tona a occupae la medesima posizione dopo un intevallo di tempo T, detto peiodo. Peiodo, T T = tempo necessaio pe compiee un ciclo completo in un moto peiodico. Nel SI il peiodo si misua in secondi (s). Un alta gandezza tipica dei moti peiodici è la fequenza f, che appesenta il numeo di cicli completi pe unità di tempo. Pe definizione la fequenza f è l inveso del peiodo T: Fequenza, f f = 1 T Pe la misua della fequenza è stata intodotta una speciale unità di misua, l hetz (Hz), dal nome del fisico tedesco Heinich Hetz ( ), definita come 1 ciclo al secondo, cioè 1/s = s -1. Deteminiamo oa il peiodo T di un moto cicolae unifome, cioè il tempo impiegato da una paticella che si muove su una taiettoia cicolae pe compiee un gio completo. sseviamo che un gio coisponde a Δu = 2p e l intevallo di tempo impiegato è Δt = T. Petanto: Δu v = Δt = 2p T Risolvendo ispetto a T otteniamo: 2p T = v Quindi: Peiodo T di un moto cicolae unifome T = 2p v La fequenza f del moto cicolae unifome è: f = 1 T = 2p v Peason Italia

6 Capitolo 6 La descizione del moto L acceleazione centipeta In un moto cicolae unifome sono costanti la velocità angolae e il modulo della velocità tangenziale. La diezione del vettoe velocità tangenziale invece vaia. Ciò significa che c è un acceleazione. Questa acceleazione, che tende a incuvae la taiettoia della paticella dandole la foma cicolae, è dietta lungo il aggio, veso il cento della ciconfeenza, pende il nome di acceleazione centipeta (dal latino dietta veso il cento ) e viene indicata con _ a cp. Il modulo dell acceleazione centipeta è dato da: v 2 a cp = Poiché la velocità tangenziale v è legata alla velocità angolae v dalla elazione v = v, l acceleazione centipeta può anche essee espessa come: v 2 a cp = = (v) 2 = v 2 v a cp P a cp L acceleazione centipeta è dietta lungo il aggio, veso il cento della ciconfeenza. figua 7 Acceleazione centipeta v Dunque: Acceleazione centipeta nel moto cicolae a cp = v2 = v2 Notiamo che l acceleazione centipeta è invesamente popozionale al aggio a velocità tangenziale fissata, mente è diettamente popozionale al aggio a velocità angolae fissata. Tonando all esempio della pallina fatta uotae sopa la testa, se si mantiene costante il numeo di gii al secondo (cioè la velocità angolae della pallina) e si allunga la coda, l acceleazione centipeta della pallina aumenteà in modo popozionale. Peason Italia

7 Capitolo 6 La descizione del moto Risolvi i poblemi 1. Conveti in adianti i seguenti angoli espessi in gadi: 30, 45, 90, Conveti in gadi i seguenti angoli espessi in adianti: p/6; 0,70p; 1,5p; 5p. 3. Big Ben Detemina il modulo della velocità angolae della lancetta dei minuti e della lancetta delle oe del famoso oologio di Londa la cui campana pincipale è conosciuta come Big Ben. [v min = 1, ad/s; v h = 1, ad/s] 4. Quanto uota la uota? Un puntino di venice disegnato sulla gomma della uota di una bicicletta si muove su una taiettoia cicolae di aggio 0,33 m. Quando il puntino ha pecoso una distanza lineae di 1,95 m, di quale angolo ha uotato la uota? Fonisci la isposta in adianti. [5,9 ad] 5. PREVEDI/SPIEGA Due bambini, Andea e Lucia, salgono sulla stessa giosta. Andea è a una distanza R dall asse di otazione della giosta, Lucia a una distanza 2R dall asse. a) Il peiodo di otazione di Andea è maggioe, minoe o uguale a quello di Lucia? b) Quale fa le seguenti è la spiegazione miglioe pe la isposta? 1) Il peiodo di otazione di Andea è maggioe peché lui si muove più lentamente di Lucia. 2) Il peiodo di otazione di Lucia è maggioe peché lei si muove su una ciconfeenza di lunghezza maggioe. 3) Tutti i punti della giosta impiegano lo stesso tempo pe compiee una otazione completa attono all asse. [a) uguale; b) la 3; la 1 e la 2 sono false] 6. La lancetta delle oe di un ceto oologio è lunga 8,2 cm. Calcola il modulo della velocità tangenziale della punta della lancetta. [12 mm/s] 7. La velocità del fisbee Il bodo esteno di un fisbee in otazione, di diameto 29 cm, ha una velocità tangenziale di 3,7 m/s. Qual è la velocità angolae del fisbee? [26 ad/s] 8. La velocità del CD Un CD, che ha diameto 12,0 cm, uota con un peiodo di 2, s. a) Qual è la velocità angolae del disco? b) Qual è la velocità tangenziale di un punto sul bodo del disco? c) Un punto vicino al cento del disco ha una velocità angolae maggioe, minoe o uguale alla velocità angolae deteminata nel punto a)? [a) 31,4 ad/s; b) 1,9 m/s; c) uguale] 9. poblema svolto Un oologio da polso ha la lancetta dei secondi e la lancetta dei minuti lunghe entambe = 1,5 cm. Quali sono le acceleazioni centipete delle punte delle due lancette? SLUZINE La velocità angolae della lancetta dei secondi è: 2p v = T = 2p = 0,11 s-1 60 s L acceleazione centipeta della punta della lancetta dei secondi è: a cp = v 2 = (0,11 s -1 ) 2 (1, m) = 1, m/s 2 La velocità angolae della lancetta dei minuti è: 2p v = T = 2p 3600 s = 1, s -1 L acceleazione centipeta della punta della lancetta dei minuti è: a cp = v 2 = (1, s -1 ) 2 (1, m) = = 4, m/s L acceleazione del CD Un CD, che ha un diameto di 12,0 cm, accelea unifomemente da zeo a 4,00 gii/s in 3,00 s. Detemina l acceleazione tangenziale di un punto sul magine esteno del disco, nell istante in cui la sua fequenza è: a) 2,00 gii/s; b) 3,00 gii/s. [a) 0,503 m/s 2 ; b) 0,503 m/s 2 ] 11. Un CD di diameto 12,0 cm uota a 5,05 ad/s. a) Calcola il modulo della sua velocità lineae. b) Calcola l acceleazione centipeta di un punto nel suo magine esteno. c) Considea un punto del CD che si tova a metà fa il cento e il magine esteno; senza ipetee i calcoli svolti in a) e in b), detemina la velocità lineae e l acceleazione centipeta di questo punto. [a) 0,303 m/s; b) 1,53 m/s 2 ; c) 0,152 m/s, 0,765 m/s 2 ] Peason Italia