IL VOLUME DEI SOLIDI Conoscenze

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1 IL VOLUME DEI SOLIDI Conoscenze 1. Completa. a. Il peso di un copo dipende dal volume e dalla sostanza di cui è costituito b. Ogni sostanza ha il suo peso specifico, che è il peso dell unità di volume di quella sostanza c. Il peso specifico di una sostanza espime il appoto costante ta il suo peso e il suo volume d. Il peso specifico è una gandezza deivata, la cui unità di misua è data dal appoto ta l unità di misua del peso e l unità di misua del volume. 2. Con quale di queste fomule si espime il peso specifico di una sostanza? P V p s = P V p s = p s = V P 3. Collega ciascuna unità di misua di volume con l unità di misua di peso coispondente. kg t g cm 3 dm 3 m 3 4. Scivi le fomule invese elative al peso specifico. P =... p s V V =... P/ p s 5. Sotto ciascuna affemazione, elativa al volume dei solidi, scivi il nome del solido o dei solidi a cui si ifeisce. Si moltiplicano le sue dimensioni Si moltiplica l aea della base pe la misua dell altezza e si divide il podotto ottenuto pe 3... paallelepipedo... ettangolo piamide... cono... Si moltiplica il cubo del suo aggio pe 4/3 Si eleva al cubo la misua del suo spigolo Si moltiplica l aea della base pe la misua dell altezza... sfea cubo pisma... cilindo...

2 6. Segna i completamenti esatti. a. Il volume di un paallelepipedo ettangolo si calcola utilizzando le seguenti fomule: V Ab h V Ab h : 2 V C h V a b c b. Il volume di un pisma si calcola utilizzando la seguente fomula: Ab h V Pb h V Ab h V 3 c. Il volume di un cubo si calcola utilizzando la seguente fomula: 3 2 l 3 V l V V l 2 d. Il volume di una piamide si calcola utilizzando la seguente fomula: A h V Ab h V b Ab h V 2 3 c. Il volume di un cilindo si calcola utilizzando le seguenti fomule: 2 2 h V Ab h V h V V 2 h 2 3 d. Il volume di un cono si calcola utilizzando la seguente fomula: 2 h 2 V V h V 2 h 2 3 e. Il volume di una sfea si calcola utilizzando la seguente fomula: V = V = V = Scivi le fomule invese del volume di: V a. un pisma: h =... A b A b =... h V b. un cubo: l =... 3 V 3 V c. una piamide: h =... A b A b =... 3 V h d. un cilindo: =... V h V h =... 2 e. un cono: =... 3V h 3V h = V f. una sfea: =

3 Abilità 1. Rispondi. Se il peso specifico del feo è 7,5 quanto pesano ispettivamente: 1 cm 3 di feo? 7,5g 1 dm 3 di feo? 7,5kg 10 m 3 di feo? 75 t 2. Calcola: a. il peso di un oggetto di pocellana (p s = 2,5), sapendo che il suo volume è di 80 dm 3. [200 kg] b. il volume di un cubetto di ame (p s = 8,4), sapendo che pesa 2520 g. [300 cm 3 ] 3. Un pisma etto ha pe base un tiangolo ettangolo in cui la somma dei cateti misua 68 cm e il cateto maggioe è i 12/5 del minoe. Calcola l aea della supeficie totale e il volume del pisma, sapendo che la sua altezza misua 25 cm. [3960cm 2 ; 12000cm 3 ] 4. Un solido di veto (ps = 2,5) è fomato da quatto cubi equivalenti, posti uno di fianco all alto. Sapendo che la supeficie totale di ogni cubo è di 294 cm 2, detemina il volume e il peso del solido. [1372 cm 3 ; 3430 g] 5. Calcola l aea della supeficie totale e il volume di una piamide quadangolae egolae, sapendo che lo spigolo di base misua 20 cm e che l altezza è i 6/5 dello spigolo di base. [1440cm 2 ; 3200 cm 3 ] 6. Calcola il volume di un solido composto, alto 40 cm, fomato da un cilindo e un cono aventi le basi coincidenti, sapendo che la ciconfeenza di base del cilindo misua 48 cm e che la diffeenza ta le altezze del cilindo e del cono è di 4 cm. [ cm 3 ]

4 7. Calcola il volume di una sfea, sapendo che la sua supeficie sfeica è di 324 cm 2. [972 cm 3 ] PER IL RECUPERO 1. Calcola il peso di un oggetto di avoio (p s = 1,86), sapendo che il suo volume è di 45 cm 3. (Attenzione alla coispondenza ta le unità di misua del volume e del peso!) [83,7 g] 2. Disegna il cilindo che si ottiene dalla otazione completa del ettangolo assegnato attono all asse di otazione individuato dalla etta. In base al valoe dell unità di misua indicata, calcolane il volume. (Attenzione: ogni quadatino vale 2 cm!!) u = 2 cm =...3 cm h =...10 cm V = cm 3 u 3. Un pisma etto, alto 40 cm, ha pe base un quadato avente il peimeto lungo 112 cm. Calcola l aea della supeficie totale e il volume del pisma. [6048 cm 2 ; cm 3 ] (Conoscendo il peimeto del poligono di base, che è un quadato, puoi calcolae facilmente lo spigolo di base. Poi hai tutte le infomazioni necessaie pe applicae le fomule elative al calcolo della supeficie totale e del volume di un pisma...) 4. Completa la seguente tabella, ifeita al cubo. l Aea di una faccia S t V 13 cm 169 cm cm cm 3 3 cm 9 cm 2 54 cm 2 27 cm 3 5. Calcola la supeficie totale e il volume di un cono avente il aggio di base lungo 8 cm e l apotema di 17 cm. [200 cm 2 ; 320 cm 3 ] (Conoscendo il aggio e l apotema puoi, con il teoema di..., calcolae l altezza. Poi basteà applicae le fomule...). V O B

5 6. Completa la tabella, ifeita ad una piamide quadangolae egolae. Spigolo di base Altezza Aea di base Volume 15 cm 22 cm 225 cm cm 3 20 cm 30 cm 400 cm cm 3 7. Un cilindo ha la ciconfeenza di base lunga 14 cm ed è alto 28 cm. Calcolane il volume. (Conoscendo la misua della ciconfeenza puoi calcolae il aggio, quindi l aea di base...) [1372 cm 3 ] 8. Calcola il volume di una sfea avente il aggio di 6 cm. [288 cm 3 ] PER IL POTENZIAMENTO 1. Completa. a. La piamide è equivalente a un tezo di un pisma avente la base equivalente e l altezza conguente a quella della piamide. b. Il cono è equivalente a un tezo di un cilindo avente la base e l altezza conguenti ispettivamente alla base e all altezza del cono. c. La sfea è equivalente a un cono avente pe altezza il aggio della sfea e pe aggio di base il diameto della sfea. 2. Ruotando di 360 un tiangolo isoscele intono alla sua base si ottiene un solido fomato da due coni con la base in comune. S solido = S l cono1 + S l cono2 V solido = V cono1 + V cono2 L altezza dei coni è...la metà della base...del tiangolo L apotema dei coni è...il lato... del tiangolo Il aggio di base dei coni è...l altezza... del tiangolo 3. Ruotando di 360 un tapezio isoscele intono alla sua base maggioe si ottiene un solido fomato da un cilindo somontato da due coni con le basi in comune con quelle del cilindo. S solido = S l cilindo + 2 S l cono V solido = V cilindo + 2 V cono I aggi di base sono... l altezza... del tapezio

6 L altezza del cilindo è...la base minoe.. del tapezio L altezza di entambi i coni è... la poiezione del lato obliquo del tapezio sulla base maggioe... L apotema di entambi i coni è... il lato obliquo... del tapezio 4. Ruotando di 360 un tapezio isoscele intono alla sua base minoe si ottiene un solido fomato da un cilindo e da due coni conguenti, scavati nel cilindo, con le basi in comune con quelle del cilindo. S solido = S l cilindo + 2 S l cono V solido = V cilindo - 2 V cono I aggi di base sono... l altezza... del tapezio L altezza del cilindo è...la base maggioe... del tapezio L altezza di entambi i coni è... la poiezione... del lato obliquo... sulla base maggioe... del tapezio L apotema di entambi i coni è... il lato obliquo...del tapezio 5. L aea della supeficie totale di un cubo è 384 cm 2. Calcola: a) il volume del cubo; b) l aea della supeficie totale di un paallelepipedo ettangolo, equivalente al tiplo del cubo e avente l altezza e una dimensione di base che misuano ispettivamente 12 cm e 16 cm. [512 cm 3 ; 832 cm 2 ] 6. Un solido è costituito da un pisma esagonale egolae alto 6 cm e da una piamide esagonale avente la base coincidente con la base del pisma. Sapendo che il peimeto di base del pisma misua 30 cm e che lo spigolo lateale della piamide misua 13 cm, calcola il volume del solido. [649,5cm 3 ] 7. Un solido è costituito da un cilindo equilateo e da una semisfea avente il cechio massimo coincidente con una base del cilindo. Sapendo che l aea della supeficie semisfeica è di 288 cm 2, calcola il volume del solido. [4608 cm 3 ]

7 8. Un solido, alto 39 cm, è costituito da due coni aventi le basi in comune. Sapendo che l apotema del cono più basso misua 25 cm e che l altezza del cono più alto misua 32 cm, calcola il volume e l aea della supeficie totale del solido. [7488 cm 3 ; 1560 cm 2 ] LA SUPERFICIE DEI SOLIDI DI ROTAZIONE Conoscenze 1. Completa. a. Il cilindo è un...solido... ottenuto dalla... otazione... completa...di un ettangolo attono a un suo lato... b. La etta del lato attono a cui uota il ettangolo è detta... asse di otazione... c. L altezza di un cilindo è il... lato attono a cui uota il ettangolo... d. Il lato paallelo all altezza è la geneatice del cilindo e. Gli alti due lati del ettangolo sono i aggi dei cechi che fomano le basi del cilindo f. Un cilindo è equilateo se.. la sua altezza è conguente al diameto di base Completa. a. La supeficie lateale di un cilindo è equivalente a un ettangolo che ha come base la ciconfeenza di base e come altezza l altezza del cilindo. b. La supeficie totale di un cilindo è equivalente alla somma della supeficie lateale e della supeficie delle due basi del cilindo. 3. Segna i completamenti esatti. a. L aea della supeficie lateale di un cilindo si calcola utilizzando le seguenti fomule: 2 2 h S l h S l 2 h S l S C h 2 l b. L aea della supeficie totale di un cilindo si calcola utilizzando la seguente fomula: 2 h St Sl Ab S t St Sl 2 Ab 2 4. Scivi le fomule invese elative all aea delle supefici di un cilindo. =... S l /(2 h) h =... S l /(2 ) A b =... (S t - S l ):2 S l =... S t - 2A b 5. Completa. a. Il cono è un... solido... ottenuto dalla... otazione... completa...di un tiangolo ettangolo attono a un suo cateto... b. La etta del lato attono a cui uota il tiangolo è detta... asse di otazione... c. L altezza del cono è il... cateto attono a cui uota il tiangolo... d. L ipotenusa del tiangolo ettangolo è la geneatice e si chiama apotema del cono e. L alto cateto è il aggio del cechio che foma la base del cono

8 6. Completa. a. La supeficie lateale di un cono è equivalente a.un settoe cicolae... il cui aco è conguente alla... ciconfeenza di base.. del cono e il aggio conguente all apotema b. La supeficie totale di un cono è equivalente alla somma della supeficie lateale e della supeficie di base del cono. 7. Segna i completamenti esatti. a. L aea della supeficie lateale di un cono si calcola utilizzando le fomule: S l C a : 2 Sl Ab h S l a S l C h : 2 b. L aea della supeficie totale di un cono si calcola utilizzando le fomule: St Sl 2 Ab St Sl Ab St Ab h : 2 S t a 2 8. Scivi le fomule invese elative all aea delle supefici di un cono. =... S l / a a =... S l / A b =... S t - S l S l =... S t A c 9. Completa. a. Un cono è equilateo se.. la sua apotema è conguente al diameto di base... In esso la elazione ta apotema e aggio saà: a = 2 b. Le fomule diette pe deteminae la supeficie lateale e la supeficie totale di un cono equilateo sono: S l = S t = Completa. a. La sfea è un... solido... ottenuto dalla... otazione... completa...di un semicechio attono al suo diameto. b. Il aggio e il cento del semicechio sono il aggio e il cento della sfea. c. La supeficie sfeica è l insieme di tutti i punti dello spazio che hanno la stessa distanza da un punto inteno della sfea, detto cento. d. La supeficie sfeica è equivalente alla supeficie lateale del cilindo equilateo cicoscitto ad essa. 11. Segna il completamento esatto. a. L aea della supeficie sfeica si calcola utilizzando la seguente fomula: S = 4 3 S = 2 2 S = 4 2 c. Il aggio del cechio massimo della sfea si calcola utilizzando la seguente fomula: S 2 S 4 S

9 Abilità 1. Disegna il cilindo che si ottiene dalla otazione completa dei ettangoli assegnati attono all asse di otazione individuato dalla etta. In base al valoe dell unità di misua indicata, calcolane poi l aea della supeficie lateale e totale. u = 4 cm u = 2 cm u = 5 cm =... 8 cm h =...12 cm S l = cm 2 =...3 cm h =...10 cm S t = cm 2 S l = cm 2 S t = cm 2 2. Completa la seguente tabella ifeita al cilindo. h C A b S l S t 6 cm 9 cm 12 cm 36 cm cm cm 2 12 cm 15 cm 24 cm 144 cm cm cm 2 3. L aea di base di un cilindo equilateo misua 361 cm 2. Calcola l altezza del cilindo e l aea della sua supeficie totale. [38 cm; 2166 cm 2 ] 4. Disegna il cono che si ottiene dalla otazione completa dei tiangoli ettangoli assegnati attono all asse di otazione individuato dalla etta : u = 5 cm u = 5 cm

10 5. Calcola l aea della supeficie lateale e totale del seguente cono, in base ai dati assegnati. V OB = 6 cm S l =? cm 2 VO = 17,5 cm S t =? cm 2 O B 6. Completa la seguente tabella ifeita al cono. a C A b S l S t 5 cm 13 cm 10 cm 2 5 cm 2 65 cm 2 90 cm 2 15 cm 25 cm 30 cm 225 cm cm cm 2 7. Calcola l aea della supeficie del solido ottenuto facendo uotae attono al suo diameto un semicechio limitato da una semiciconfeenza lunga 24 cm. [2304 cm 2 ] 8. Calcola l aea della supeficie di una sfea avente l aea del suo cechio massimo di 20,25 cm 2. [81 cm 2 ] PER IL RECUPERO 1. Scivi i temini del cilindo indicati da ciascuna feccia. asse di otazione altezza supeficie lateale ettangolo che...genea il cilindo geneatice base aggio

11 u = 5 cm 2. Completa le seguenti fomule, diette e invese, elative al calcolo della supeficie lateale e totale del cilindo. S l = 2...h S t = S l +2...A b. h = S l :... 2 = S l :... 2 h (punti.../4) 3. Scegli il completamento esatto. a. Se il aggio di base di un cilindo equilateo è lungo 20 cm, la sua altezza è di: 20 cm 40 cm 10 cm b. Se il aggio di base di un cilindo, alto 8 cm, è di 5 cm, la sua supeficie lateale è di: 40 cm 2 80 cm 80 cm 2 u = 1 cm c. Se il aggio di base di un cilindo, alto 10 cm, è di 4 cm, la sua supeficie totale è di: 120 cm cm cm 2 u = 5 cm 4. Disegna i cilindi che si ottengono facendo uotae di 360 i ettangoli assegnati attono all asse di otazione individuato dalla etta e, pe ciascuno di essi, indica il aggio di base e l altezza. u = 1 5. La ciconfeenza di base di un cilindo misua 32 cm. Calcola l aea della supeficie lateale e totale del cilindo, sapendo che la sua altezza è i 5/2 del aggio di base. [1280 cm 2 ; 1792 cm 2 ] ( Conoscendo la misua della ciconfeenza puoi calcolae il aggio, quindi l altezza e poi le due supefici...) 6. Scivi i temini del cono indicati da ciascuna feccia. asse di otazione altezza supeficie lateale apotema tiangolo ettangolo che...genea il cono base aggio

12 7. Completa le seguenti fomule, diette e invese, elative al calcolo della supeficie lateale e totale del cono. S l =...a S t = S l +...A b. a = S l :... = S l :... a 8. Scegli il completamento esatto a. Se il aggio di base di un cono equilateo è lungo 12 cm, la sua apotema è di: 24 cm 12 cm 6 cm b. Se il aggio di base di un cono, la cui apotema è lunga 10 cm, è di 6 cm, la sua supeficie lateale è di: 16 cm 2 30 cm 60 cm 2 c. Se il aggio di base di un cono, la cui apotema è lunga 13cm, è di u = 51 cm, la sua supeficie totale è di: 65 cm 2 90 cm cm 2 9. Disegna i coni che si ottengono facendo uotae di 360 i tiangoli ettangoli assegnati attono all asse di otazione individuato dalla etta. u = 1 cm u = 5 cm u = 5 cm 10. Calcola l aea della supeficie lateale e totale di un cono, sapendo che l altezza e il aggio di base misuano ispettivamente 24 cm e 18 cm. [540 cm 2 ; 864 cm 2 ] (Disegna la figua e poi ifletti: conoscendo la misua dell altezza e del aggio puoi, con il teoema di... calcolae l apotema...) 11. Calcola l aea della supeficie di una sfea, sapendo che il suo aggio misua 20 cm. (Ricoda che la fomula pe il calcolo della supeficie totale di una sfea è: S t =... 2 ) [1600 cm 2 ] PER IL POTENZIAMENTO 1. Rifletti, ispondi e giustifica. a. Un ettangolo avente il peimeto di 24 cm genea, con una otazione di 360, un cilindo equilateo. Quali saanno le misue del aggio di base e dell altezza del cilindo? =... 4 cm e h =... 8 cm ; peché... in un cilindo equilateo l altezza è conguente al diameto di base b. E veo che lo sviluppo della supeficie lateale di un cono è un tiangolo isoscele?.. No, peché è un settoe cicolae c. E veo che la sezione assiale di un cono equilateo è un tiangolo equilateo?.. Sì, pechè in un cono equilateo l apotema è conguente al diameto di base

13 2. Veo o falso? a. Raddoppiando il aggio di un cono, addoppia anche la sua supeficie lateale...v b. La supeficie di una sfea è equivalente alla supeficie lateale di un cilindo equilateo inscitto nella sfea... F c. Lo sviluppo piano della supeficie di una sfea è un cechio...f d. La sezione assiale di un cilindo equilateo è un quadato...v 3. Completa. Una sfea e un piano nello spazio possono essee: esteni se non hanno... alcun punto... in comune e la distanza del piano dal cento della sfea è maggioe del aggio: OH...> tangenti se hanno... un punto... in comune e la distanza del piano dal cento della sfea è uguale al aggio: OH...= secanti se hanno in comune tutti i punti di un cechio... la distanza del piano dal cento della sfea è minoe del aggio: OH...< 4. Segna il completamento esatto. a. Un qualsiasi piano secante individua nella sfea : una ciconfeenza un piano diametale un cechio b. Un qualsiasi piano secante individua sulla supeficie sfeica: un piano diametale un cechio una ciconfeenza c. Un piano secante che passa pe il cento della sfea è detto: cechio piano diametale ciconfeenza 5. Completa. u = 1 cm a. In ogni sfea, il piano diametale individua il cechio massimo e la ciconfeenza massima, che hanno lo stesso cento e lo stesso aggio della sfea consideata. b. Il piano diametale divide la sfea in... due semisfee (punti.../2) 6. Disegna i solidi composti che ottieni facendo uotae un tapezio ettangolo intono alla base minoe e intono alla base maggioe: 7. Un solido è costituito da un cilindo equilateo avente il aggio di 20 cm e da due coni conguenti le cui basi sono coincidenti con quelle del cilindo. Sapendo che l altezza complessiva del solido è di 82 cm, calcolane l aea della supeficie totale. [2760 cm 2 ]

14 8. In un tiangolo ettangolo la somma dei cateti misua 46 cm e la loo diffeenza 14 cm. Calcola l aea della supeficie del solido che si ottiene facendo uotae di 360 il tiangolo intono all ipotenusa. ( Appossima i calcoli ai centesimi) [649,52 cm 2 ] 9. Sezionando una sfea con un piano distante 9 cm dal suo cento, si ottiene un cechio avente l aea di 144 cm 2. Detemina la misua dell aea della supeficie della sfea. [900 cm 2 ] Alti esecizi SUPERFICIE E VOLUME DEI SOLIDI DI ROTAZIONE Esecizio 1 Completa la seguente tabella ifeita al cilindo Esecizio 2 Esecizio 3

15 Esecizio 4 Esecizio 5 Esecizio 6 Esecizio 7 Esecizio 8 Completa la seguente tabella ifeita al cilindo.

16 Esecizio 9 Completa la seguente tabella ifeita alla sfea. Esecizio 10 Esecizio 11 Calcola l aea della supeficie lateale, della supeficie totale e il volume del cono che si ottiene facendo uotae di 360 il tiangolo assegnato attono al cateto maggioe. Esecizio 12 Esecizio 13

17 Calcola l aea della supeficie lateale, della supeficie totale e il volume del cono che si ottiene facendo uotae di 360 il tiangolo assegnato attono al cateto maggioe. Esecizio 14 Esecizio 15 Esecizio 1 SOLIDI SOVRAPPOSTI E CAVI

18 Esecizio 2 Considea il solido geneato dalla otazione completa del poligono dato attono alla etta a. Fai coispondee ad ogni quadetto 1 cm e calcola l aea della supeficie totale e il volume del solido ottenuto (appossima all unità ). Esecizio 3 Esecizio 4

19 Esecizio 5 Esecizio 6 Esecizio 7

20 Esecizio 8 Esecizio 9 Considea il solido geneato dalla otazione completa del poligono dato attono alla etta a. Fai coispondee ad ogni quadetto 1 cm e calcola l aea della supeficie totale e il volume del solido ottenuto (appossima all unità ). Esecizio 10

21 Esecizio 11 Esecizio 12 Considea il solido geneato dalla otazione completa del poligono dato attono alla etta a. Fai coispondee ad ogni quadetto 1 cm e calcola l aea della supeficie totale e il volume del solido ottenuto (appossima all unità ). Esecizio 13

22 Esecizio 14 Esecizio 15 Esecizio 16 Esecizio 17

23 Esecizio 18 Considea il solido geneato dalla otazione completa del poligono dato attono alla etta a. Fai coispondee ad ogni quadetto 1 cm e calcola l aea della supeficie totale e il volume del solido ottenuto (appossima all unità ). Esecizio 19 Esecizio 20 Esecizio 21

24 Esecizio 22 Esecizio 23 Esecizio 24 Esecizio 25 Esecizio 26

25 Esecizio 27 Esecizio 28 Esecizio 29 Considea il solido geneato dalla otazione completa del poligono dato attono alla etta a. Fai coispondee ad ogni quadetto 1 cm<sup>2</sup> e calcola lâ aea della supeficie totale e il

26 volume del solido ottenuto (appossima allâ unitã ). Esecizio 30 Esecizio 31 Considea il solido geneato dalla otazione completa del poligono dato attono alla etta a. Fai coispondee ad ogni quadetto 1 cm e calcola l aea della supeficie totale e il volume del solido ottenuto (appossima all unità ). Esecizio 32

27 Esecizio 33 ALTRI SOLIDI DI ROTAZIONE Esecizio 1 Esecizio 2 Calcola l aea della supeficie e il volume del solido che si ottiene facendo uotae di 360Â attono alla etta la figua assegnata.

28 3. Ruotae attono ad - Tovae supeficie totale e volume Esecizio 4 Esecizio 5 Calcola l aea della supeficie e il volume del solido che si ottiene facendo uotae di 360 attono alla etta la figua assegnata. Esecizio 6 Risolvi il seguente poblema sui solidi di otazione in geneale. Esecizio 7 Calcola l aea della supeficie e il volume del solido che si ottiene facendo uotae di 360 attono alla etta la figua assegnata.

29 Esecizio 8 Risolvi il seguente poblema sui solidi di otazione in geneale. Esecizio 9 Esecizio 10 Esecizio 11

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