Nicola De Rosa maturità 2015

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1 Nicola De Rosa matuità 5 Esame di stato di istuzione secondaia supeioe Indiizzi: LI SCIENTIFICO LI - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE Tema di matematica (Testo valevole anche pe la coispondente speimentazione quadiennale) Il candidato isolva uno dei due poblemi e isponda a 5 quesiti del questionaio PROBLEMA Sei stato incaicato di pogettae una pista da ballo all esteno di un locale in tuzione in una zona balneae. Il pogetto pevede, olte alla pista, delle zone vedi e una tettoia che consenta l uso della pista anche in caso di pioggia. La pista da ballo viene appesentata, in un sistema di ifeimento catesiano Oy in cui l unità di misua coisponde a meto, all inteno del ettangolo avente come vetici i punti di coodinate (-, ), (, ), (-, 5) e (, 5); nella scelta della sagoma della pista va ispettato il vincolo banistico che stabilisce che essa non può occupae più del % della supeficie di tale ettangolo. Un tuo collaboatoe pedispone due soluzioni: la pima è appesentata dalla pate di piano compesa ta l asse e la cuva di equazione, y 5 5, [, ], la seconda dalla pate di piano compesa ta l asse, la cuva di equazione y e le ette =, =.. Studia le due soluzioni, e taccia il gafico di entambe nel ifeimento catesiano Oy. Individua in paticolae le caatteistiche delle due funzioni che sono più ilevanti nella fase di tuzione della pista: eventuali punti di massimo e di minimo, di flesso, angolosi. Il popietaio del locale sceglie la seconda soluzione, che itiene più elegante, ma ti chiede di ealizzae due aiuole nelle pozioni di teeno compese ta le due cuve che gli hai poposto.. Detemina l aea della soluzione scelta e veifica che essa ispetti i vincoli ubanistici, in modo da pote poi pocedee all acquisto del mateiale necessaio pe la tuzione della pista. Poiché lo scavo effettuato ai lati della pista ha eso il teeno sceso, hai fatto eseguie delle misue e hai veificato che sia pe [, ] che pe [, ] la pofondità dello scavo stesso vaia con la legge lineae appesentata dalla funzione ( ) = + ; è dunque necessaio acquistae del teeno pe iempie lo scavo e ealizzae le aiuole ichieste.. Calcola quanti meti cubi di teeno vegetale sono necessai pe iempie l aiuola delimitata dalle suddette cuve nell'intevallo [, ]. Pe ealizzae la tettoia, è necessaio usae un piano leggemente inclinato, pe favoie il deflusso della pioggia. Nel sistema di ifeimento catesiano Oyz, tale piano deve passae pe i punti (-,, 5), (,, 5) e (, 5, ), in modo che la quota vai gadualmente dai 5 meti in coispondenza dell inizio della pista, ai meti in coispondenza della fine della pista stessa.. Detemina l equazione del piano pescelto.

2 Nicola De Rosa matuità 5 SVOLGIMENTO a cua di Nicola De Rosa. La cuva di equazione, y 5 5, [, ], è un aco di paabola con vetice che funge da massimo in (,5), ha concavità veso il basso, inteseca l asse delle ascisse in (-,) e (,) e non pesenta né flessi né punti angolosi. La funzione y, con, non è alto che un aco della vesiea di Agnesi dilatata lungo l asse delle odinate di 5. Infatti la vesiea di Agnesi ha espessione y 8a a, petanto y 5 le odinate di. 5 8 si icava da essa con a e dilatazione lungo

3 Nicola De Rosa matuità 5 La funzione y è sempe positiva, pai, non inteseca l asse delle ascisse, inteseca l asse delle odinate in (,5), ha la etta y= come asintoto oizzontale desto e sinisto. La deivata pima è y petanto la funzione è stettamente cescente pe < e stettamente decescente pe > e (,5) è punto di massimo assoluto. La deivata seconda è pai a y petanto la funzione pesenta concavità veso l alto in,, e veso il basso in, di conseguenza 75 75,,, sono due flessi a tangente obliqua. 5 5 La funzione y inconta le ette nei punti A,, B,. Di conseguenza la funzione y delimitata dalle ette ha la seguente espessione analitica: y - - Calcoliamo i limiti a desta e sinista di della deivata pima, si ha: lim lim y', y' lim lim y' lim 5 di conseguenza sono ascisse di due punti angolosi., lim 5 y'

4 Nicola De Rosa matuità 5. L aco di paabola è inteamente inteno al ettangolo avente come vetici i punti di coodinate (-, ), (, ), (-, 5) e (, 5). Tale ettangolo ha aea 5 8 m petanto a noma del teoema di Achimede l aea sottesa dall aco di paabola y 5 5, [, ] è m e il appoto ta l aea del ettangolo e quella dell aco di paabola è,7% ovveo supeioe al % imposto dai vincoli ubanistici.

5 Nicola De Rosa matuità 5 L aea sottesa dalla seconda soluzione è pai a d actan d. Di conseguenza il appoto ta l aea della seconda soluzione e quella del ettangolo è 5% seconda soluzione ispetta i vincoli ubanistici. petanto questa. Il volume di ciascuna aiuola è il volume di un solido avente pe base una delle due egioni di piano, limitate dalla paabola e dalla cubica ed altezza ( ) = +. Nell intevallo [, ] tale volume è pai a ln 5 5 ln ln 7, m 5 5ln d d 5 actan. Il piano ha equazione a by cz d, imponendo il passaggio pe i punti si ha: a 5c d a 5c d 5b c d Sottaendo le pime due si icava subito a=; sommando le pime due si ottiene d=-5c che sostituita nella teza compota c=5b. Le soluzioni del sistema sono quindi Consideando b= la soluzione del sistema è a b c 5b d 5b 5

6 Nicola De Rosa matuità 5 a b c 5 d 5 ed il piano ha equazione y 5z 5.

7 Nicola De Rosa matuità 5 PROBLEMA La otazione intono all asse dei gafici della famiglia di funzioni: f con,,, genea dei solidi di otazione di foma aeodinamica.. In un ifeimento catesiano Oy, taccia i gafici delle funzioni ( ), pe =, =, = e detemina il valoe di pe il quale il volume del solido di otazione assume il valoe 9. calcola il diameto massimo dei solidi di otazione in funzione di, e detemina il valoe dell'angolo fomato dalla tangente al gafico di con l'asse pe = ;. assumendo che la distibuzione della massa sia omogenea, il baicento del copo di otazione si tova sull asse, pe agioni di simmetia. Detemina l ascissa paameto, sapendo che vale: s b a f V d del baicento in funzione del dove gli estemi di integazione a e b vanno scelti oppotunamente, e V indica il volume del solido di otazione;. all inteno del solido di otazione geneato da, pe =, si voebbe collocae un cilindo di aggio,5 e di altezza. Veifica se ciò è possibile, motivando la tua isposta. 7

8 Nicola De Rosa matuità 5 SVOLGIMENTO. Il dominio della funzione,,, e quello delle odinate in pesenta asintoti veticali, oizzontali ed obliqui. La deivata pima è in, elativo ed assoluto. ' f La deivata seconda è f è, inteseca l asse delle ascisse in,, è non negativa nel dominio, non 8 e stettamente decescente in '' f veso il basso in tutto il dominio Di seguito il gafico. petanto f, è stettamente cescente petanto petanto. f, 8 è di massimo volge concavità Il volume del solido è pai a V f d d 9 Imponendo V si icava Il diameto massimo dei solidi di otazione è pai al doppio del valoa massimo di f ovveo Dma. 9 f fomato con l asse delle ascisse è actan '.. Il baicento è pai a ' La tangente a in = ha equazione y f petanto l angolo 8

9 Nicola De Rosa matuità 5 b f d a s V 9. Consideiamo la figua seguente. d d Iniziamo a calcolae le soluzioni dell equazione f 9 9. Gaficamente si evince che le soluzioni sono e sono date dalle ascisse dei punti E e F, calcoliamole analiticamente. Consideiamo la funzione h 9 ; essendo h, h, h8, h9 noma del toema degli zei si deduce che le due soluzioni di h sono,, 8,9, a ; anche gaficamente si intuisce che le due soluzioni sono tali pe cui,, 8,9. Applicando il teoema di Newton-Raphson si icavano i seguenti valoi pe,, 8,9 hn tamite la fomula iiva n n : h' n n n n+ e= n+ - n,,,,,7,,,,,, n n n+ e= n+ - n 9, 8,55 8,55 8,5, 8,5 8,5,5 8,5 8,5, 8,5 8,5, Di conseguenza., 8. 5 Essendo.8 si deduce che non è possibile iscivee un cilindo di aggio,5 ed altezza. 9

10 Nicola De Rosa matuità 5 QUESTIONARIO. Data la funzione integale ln tdt, deteminae pe quali valoi di il suo gafico inconta la etta di equazione = +.. Data la famiglia di funzioni y tovae la funzione tangente nel punto di ascissa ad una etta paallela alla bisettice del pimo quadante. Deteminae l'equazione di detta tangente.. Vengono lanciati due dadi. Dei due punteggi, viene consideato il maggioe; se sono uguali, viene consideato il punteggio comune dei due dadi. Detto X il punteggio egistato, ipotae in una tabella la distibuzione di pobabilità di X e mostae che ( = ) = 5. Calcolae inolte la media e la vaianza di X.. In un sistema di ifeimento catesiano nello spazio Oyz sono dati i punti A (,, ) e C (,, ). I te punti O, A e C giacciono su un piano E. Deteminae l equazione che descive il piano E. 5. Deteminae il volume del solido geneato dalla otazione attono alla etta di equazione = della pate di piano delimitata dalla paabola di equazione = 8 e dalla etta stessa.. Peso un punto C su una semiciconfeenza di diameto =, sia M il punto medio dell aco BC. Deteminae il valoe massimo che può assumee l aea del quadilateo ABMC. 7. Una fabbica poduce mediamente il % di podotti difettosi. Deteminae la pobabilità che in un campione di podotti ve ne siano difettosi, usando: la distibuzione binomiale; la distibuzione di Poisson. 8. Povae che la funzione = ha infiniti zei, mente la funzione = non ne ha alcuno. 9. Calcolae la deivata della funzione ( ) =, adopeando la definizione di deivata.. Sia la deivata seconda di una funzione eale ( ) data da ( ) =. Deteminae l espessione di ( ), sapendo che il gafico della funzione passa pe il punto P (, 7) e che l angolo fomato dalla tangente al gafico di ( ) con l asse nel punto di ascissa = vale 5.

11 Nicola De Rosa matuità 5 SVOLGIMENTO. Risolvendo l integale si ha y tdt t ln t t ln ln. Il punto di inconto con la etta y=+ si icava isolvendo l equazione ln da cui ln. In conclusione i punti in comune sono ln e,, e,e. Si noti che la funzione ln lim ln. y è polungabile pe continuità in in quanto. La etta tangente ha coefficiente angolae y 7 m. Dovendo essee ' paallela alla bisettice del pimo e tezo quadante, tale coefficiente angolae deve essee unitaio, ovveo deve essee 7, di conseguenza la cubica ha equazione y 8 ed il punto di tangenza è (,9). In conclusione l equazione della tangente è y 9 y 87.. Lanciando due dati è possibile avee combinazioni. Di seguito la tabella con il punteggio egistato: Coppie estatte Risultato egistato (,) (,) (,) (,) (,5) 5 (,) (,) (,) (,) (,) (,5) 5 (,) (,) (,) (,) (,) (,5) 5 (,) (,) (,) (,) (,) (,5) 5 (,)

12 Nicola De Rosa matuità 5 (5,) 5 (5,) 5 (5,) 5 (5,) 5 (5,5) 5 (5,) (,) (,) (,) (,) (,5) (,) Si ha: p, p, p, p, p5, p La media di X è X 5 Il valoe quadatico medio di X è E X 9 5 La vaianza di X è X E X X L equazione geneica del piano è a by cz d. Imponendo il passaggio pe i te punti si ha: a a b d b a a b c d 5 d c a 8 d Consideando a 8 si icava il piano di equazione 8 y 5z. 5. Consideiamo la figua seguente 79

13 Nicola De Rosa matuità 5. Poiché il volume è invaiante pe taslazioni, consideiamo il nuovo sistema di ifeimento dato da X. In questo modo l aco di paabola è Y 8 X e bisogna calcolae il volume Y y geneato dalla otazione intono all asse delle odinate della seguente egione: Il volume ichiesto è pai a

14 Nicola De Rosa matuità Y Y Y dy Y Y dy Y V. Consideiamo la figua seguente: L aea del quadilateo ABMC è la somma delle aee dei tiangoli ABM e AMC. Sia, si ha: sin sin sin sin sin, sin, AMC S AMB S ABMC S AC AM AMC S MB AM AMB S AC MB AM La deivata pima della funzione aea è ' f Poiché pe si ha, il segno della deivata pima dipende da, ovveo si ha ' f

15 Nicola De Rosa matuità 5 Quindi la funzione aea è stettamente cescente pe e stettamente decescente pe petanto pesenta un massimo pe in coispondenza del quale l aea massima vale S ma ABMC sin sin 7. La pobabilità che su ve ne siano difettosi utilizzando la distibuzione binomiale è p,,97 95,,97, 5 La pobabilità che su ve ne siano difettosi utilizzando la distibuzione di Poisson di paameto è p! 9, e e, 8. Poviamo che la funzione y e tan ha infiniti zei. Possiamo povalo gaficamente ed analiticamente. Gaficamente appesentando nello stesso. ifeimento catesiano le funzioni y e e y tan possiamo notae che si intesecano infinite volte. 5

16 Nicola De Rosa matuità 5 Analiticamente basta pendee un intevallo di ampiezza, ad esempio stesso agionamento seguente pe gli alti intevalli. Poiché lim e tan, lim e tan, e ipetee lo e poiché è possibile individuae un intevallo chiuso e limitato in cui il compotamento agli estemi è di segno opposto, pe il teoema degli zei esiste una adice dell equazione y e tan pe. Poviamo che la funzione y e actan non ha zei. Possiamo povalo gaficamente ed analiticamente. Gaficamente appesentando nello stesso ifeimento catesiano le funzioni mai. y e e y actan possiamo notae che non si intesecano Analiticamente, essendo y e actan pe, eventuali zei sono da icecae pe. La deivata pima di y e actan è y' e, e poiché pe si ha e e, si deduce che y e actan è stettamente cescente pe ; poichè

17 Nicola De Rosa matuità 5 e actan y, pe la stetta cescenza, si deduce che la funzione y e actan assumeà sempe valoi maggioi di pe, petanto non si annulla nemmeno pe, ovveo non si annulleà mai. 9. Si ha: f ' e lim h lim h f h f h h h h h h e he e h h h e lim e h e lim e h h lim e e h. Integando due volte la deivata seconda si ottiene: f ' d K f K d K H Imponendo il passaggio pe P(,-7) si icava K H. Imponendo che ' f si icava K da cui H. f. In conclusione e 7