SIMULAZIONE DELLA PROVA D ESAME DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I.

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1 SIMULAZINE DELLA PRVA D ESAME DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. Risolvi uno dei due poblemi e 5 dei quesiti del questionaio. PRBLEMA In un piano è data la ciconfeenza di cento e aggio A ; conduci pe A la etta a tangente a e una semietta di oigine che intesechi la tangente nel punto B e la ciconfeenza in C. La etta passante pe C e paallela ad a inconta in D il segmento A e in M la paallela ad A passante pe B.. Dimosta che valgono le popozioni: D DC C DM, A D BC DA.. Dimosta che il luogo geometico descitto da M al vaiae di B è simmetico ispetto alla etta A. 3. Scelto il ifeimento catesiano otogonale con oigine nel cento della ciconfeenza e l asse passante pe A oientato come la semietta A, veifica che l equazione della cuva descitta da M al vaiae di B è: f (). 4. Taccia il gafico di. 5. Posto considea il solido avente - pe base la egione di piano delimitata dal semiasse positivo delle, dall asse e da ; - come sezioni otogonali al piano (; ) i tiangoli equilatei di lato l f (). Veifica che il volume di è: 3. PRBLEMA Considea le funzioni f () ( )e e g () ( )e, R.. Veifica che f ha un solo asintoto e detemina il suo punto d intesezione con la funzione.. Disegna il gafico sommaio di f; dimosta che ha un unica intesezione con l asse delle ascisse e detemina, con te iteazioni di un metodo iteativo a piacee, un valoe appossimato. 3. Calcola le aee: - S della egione piana situata nel semipiano e delimitata da f e dal suo asintoto; - S della egione piana situata nel semipiano e delimitata da g e dall asse. 4. Detemina la taslazione del piano nella quale la funzione g ha pe immagine la funzione g () e e. 5. Calcola il volume del solido geneato dalla figua piana finita delimitata da g e dalla etta in una otazione completa attono all asse delle ascisse. QUESTINARI Lo scopone scientifico si gioca in quatto con un mazzo da 4 cate distibuendone a ciascuno. Qual è il numeo delle possibili distibuzioni se i giocatoi si dispongono in un odine pefissato? Se si tiene conto anche di tutti i modi in cui si possono dispoe i giocatoi qual è il numeo delle distibuzioni? Zanichelli Editoe, 6

2 Nel decadimento adioattivo la pobabilità che un adionuclide decada nel geneico intevallo di tempo [, t [ è espessa dalla elazione p (; t) t e z dz. Nel decadimento beta del 3 P (fosfoo 3) si osseva che, dopo 4,3 gioni, sono ancoa in vita il 5% dei nuclei. ln Dimosta che e calcola la pobabilità che un nucleo abbia una duata di vita supeioe a gioni. 4, 3 Pe quali valoi del paameto eale k l equazione ln e k ammette soluzioni eali? a) Pe nessun valoe di k. b) Soltanto pe k e. c) Soltanto pe k e. d) Pe k. e) Soltanto pe k e e. Soltanto una delle altenative poposte è giusta. Rispondi dando adeguata motivazione. Discuti il seguente sistema paametico. z, R. () z z Sia data la funzione f A R (con A sottoinsieme popio di R) deivabile A. Discuti la veità della seguente poposizione dando esauiente motivazione e ifeendo almeno un esempio: «condizione necessaia e sufficiente affinché f sia cescente (decescente) su A è che isulti f () ( f () ) A». Dimosta che l equazione ln cos ha un unica soluzione eale. Detemina un intevallo di ampiezza minoe di che contenga la soluzione. Quale fa i seguenti eventi ha pobabilità maggioe? a) In te lanci di uno stesso dado il 5 esca soltanto una volta. b) In un lancio di due dadi la somma delle facce sia 8. I dadi non sono tuccati e sono identici. Considea le funzioni: f () ln( ) ln( ), g () ln. Discuti la veità della seguente affemazione: «poiché f () g (), pe uno dei coollai del teoema di Lagange le due funzioni diffeiscono pe una costante». Nel caso che sia vea calcola il valoe della costante. Zanichelli Editoe, 6

3 9 È data la seguente successione definita pe icoenza: a, a n a n 3n, n N. a) Dimosta che è cescente. b) Dimosta che n N a n n. Data la funzione f (), R, detemina una simmetia assiale e una taslazione del piano che diano come immagine di f la funzione g (). 3 Zanichelli Editoe, 6

4 SLUZINE DELLA SIMULAZINE D ESAME CRS SPERIMENTALE P.N.I. PRBLEMA. sseviamo la figua. C M B D C' A M' B' a Figua. Il tiangolo DC è simile a AB pe costuzione; C A, DM AB pe costuzione; petanto: D DC A AB D DC C DM. Il tiangolo DC è simile a BCM pe costuzione; C A, DA MB pe costuzione; petanto: C D BC BM A D BC DA.. Nella simmetia assiale di asse A le ette AB e DM sono globalmente invaianti, quindi la semietta uscente da e simmetica alla semietta B inconta la etta AB in B simmetico di B e la etta DM in C simmetico di C. La paallela ad A condotta pe B è petanto simmetica di BM, quindi inteseca la etta DM nel punto M simmetico di M. 3. Posto il ifeimento catesiano otogonale con oigine nel cento della ciconfeenza e l asse passante pe A oientato come la semietta A, indichiamo con (; ) le coodinate di M. A D C B M Figua. Sciviamo la popozione D DC C DM utilizzando le coodinate: DC DC. 4 Zanichelli Editoe, 6

5 Applichiamo il teoema di Pitagoa al tiangolo ettangolo DC : DC D C DC. Sostituiamo a DC la pecedente espessione e iduciamo: 4. Accettiamo soltanto il segno positivo peché, pe costuzione, la cuva giace nel I e nel II quadante (gli angoli AÔB sono acuti), quindi: f (). 4. Campo di esistenza: R; segno: f () R; f () ; f () è: pai. La funzione è continua R. Asintoti: lim, l asse delle ascisse è asintoto oizzontale. Deivata pima: f (). Petanto: ( ) 3 f (), f () cescente; f (), f () decescente; f (), punto di massimo elativo e assoluto. ( ) Deivata seconda: f (). Petanto: ( ) 5 f (), concavità veso il basso; f (), concavità veso il basso; f (), punti di flesso. F F Figua Posto la funzione assume l espessione: f (). 4 5 Zanichelli Editoe, 6

6 Pe appesentae il solido utilizziamo un ifeimento tidimensionale. z d 3 4 d = dv Γ Figua 4. Consideiamo una geneica sezione del solido di ascissa e sciviamo l espessione del coispondente elemento infinitesimo di volume: dv 3 d 3 3 d d Pe deteminae il volume di calcoliamo l integale impopio: 43 d 43 lim 4 m m d 43 lim 4 m 4 m d 3 lim m actg m 3 lim m actg m 3 3. PRBLEMA. f è continua su R quindi non ha asintoti veticali. lim ( ( ) e ) e e lim f ( ) e e. Petanto f non ha asintoto oizzontale né obliquo pe. lim e ; lim f ( ) e, lim Quindi la etta = è asintoto obliquo pe. Toviamo l intesezione fa la f e l asintoto: [ f () ] lim e. ( ) e ( ) e, ( ) e A(; ). 6 Zanichelli Editoe, 6

7 . Dal compotamento pe tendente a e dal teoema di esistenza degli zei, deduciamo che f ha almeno un punto di intesezione con l asse delle ascisse; pe dimostane l unicità studiamo la deivata pima: f () ( ) e. f () ( ) e e e. e e Pe isolvee questa disequazione cechiamo di capie l andamento della funzione u() e. u () e quindi: u () pe u () u () pe u () u () pe (; ) decescente; cescente min. el. e ass. Petanto f () u()e R e f () u()e soltanto se ; quindi la f è monotòna cescente R e inteseca una sola volta l asse delle ascisse. Completiamo lo studio di f con la deivata seconda. f () 4e pe la concavità è ivolta veso il basso; pe la concavità è ivolta veso l alto; nel punto (; ) flesso oizzontale. =f() = 3 3 A Figua 5. Pe deteminae lo zeo di f utilizziamo il metodo di bisezione. Nella tabella sono ipotati i isultati di te iteazioni a patie dall intevallo ;. n a b f(a) f (b) (a b)/ f [(a b)/] eoe,5,8594,75,374,5,75,374,875,5567,5,875,75,5567,374,85,3974,65 3,875,85,5567,3974,84375,93,35 Petanto,84375 è un valoe appossimato dello zeo di f con un appossimazione di, L aea S, evidenziata nel gafico, si calcola con il seguente integale impopio: S ( f () ) d ( ( )e ) d ( )e d g () d S. 7 Zanichelli Editoe, 6

8 sseviamo dunque che le aee S e S sono uguali. =g() S =f() = S 3 3 S Figua 6. ( ) e d lim k k ( )e d lim k e k k e d lim k k e k e k lim k k e k 4 [e k e ] e Consideata la geneica taslazione del piano ( ; ) ( ; ) ( a ; b), si tatta di deteminae a e b. A questo scopo applichiamo la tasfomazione all espessione g (): a a b b,. ( ) e b ( ( a)) e ( a) ( a) e ( a) b La teza espessione deve coincidee, R, con g. Risciviamo nella seguente foma g : g ( ) e e ( ). e Le due espessioni di coincidono soltanto se: ( a) e ( a) b e ( ) R, quindi soltanto se a a a, b. b 5. Utilizzando i limiti all infinito e le deivate pima e seconda disegniamo il gafico sommaio di g mettendo in evidenza le intesezioni con la etta. lim e(), lim e () ; g () ( ) e (), g () 4( ) e () ; e () (; ), A(; ). 8 Zanichelli Editoe, 6

9 Il volume ichiesto V si ottiene sottaendo al solido geneato dalla otazione dell aco di cuva M A il cono di vetice e apotema A. M A = =g () B Figua 7. V MA [g ()] d 4 e 4 e 4() d e 4 4() 3 3 ( e 4 ) e V cono 3 BA B 3. 3 V V MA V cono e e () 4 e 4() d 4 e 4() d e 4 () QUESTINARI Fissato un odine di disposizione dei giocatoi il numeo delle distibuzioni al pimo giocatoe è dato dalle combinazioni semplici delle 4 cate pese a a, ossia 4 ; quello del secondo dalle combinazioni delle imanenti 3 cate pese a a, quindi ; pe il tezo e il quato le coispondenti distibuzioni sono e. In totale: I quatto giocatoi si possono dispoe in 4! modi divesi quindi, nel secondo caso, i modi possibili di distibuzione delle 4 cate sono: 4 3 4!. 9 Zanichelli Editoe, 6

10 3 Se in 4,3 gioni il numeo di nuclei imasti in vita è dimezzato significa che la pobabilità pe un nucleo di essee ancoa in vita dopo tale intevallo è ; petanto: 4,3 e z dz. Calcoliamo l integale: 4,3 e z dz 4,3 e z e 4,3 e 4,3, e 4,3, e ln 4,3 c.v.d. 4, 3 La pobabilità pe un nucleo di avee una duata di vita supeioe a gioni si ottiene sottaendo da la pobabilità dell evento complementae, che è il decadimento ento gioni: p (; ) e z dz ( e ) e ln 4,3,379. Possiamo anche calcolae diettamente la pobabilità ichiesta mediante il seguente integale impopio: p (; ) e z dz lim [ e t e ] e ln 4,3. t Il isultato ottenuto è uguale a quello pecedente. La funzione valoe assoluto pe definizione è non negativa quindi l equazione è equivalente al sistema: ln, dove abbiamo esplicitato anche il campo di esistenza del logaitmo. e k Risolvendo otteniamo: e k e e. e e k La isposta coetta è e). 4 Il sistema ha 3 equazioni e 3 incognite quindi pe la egola di Came è deteminato soltanto se il deteminante dei coefficienti è diveso da : 3 3, Se otteniamo il seguente sistema paticolae: z z. z Zanichelli Editoe, 6

11 Riconosciamo immediatamente che il sistema ottenuto è impossibile peché la pima e la teza equazione sono incompatibili (la medesima espessione è uguagliata a due numei divesi). Del esto confontando la matice incompleta con quella completa vediamo che hanno caatteistica divesa: M, c i i ; M, c s s 3; poiché c i c s, pe il teoema di Rouché-Capelli il sistema è impossibile. Se otteniamo un alto sistema paticolae: z z z z. z Il sistema ha equazioni e 3 incognite; la matice incompleta e quella completa hanno caatteistica (la matice completa ha una colonna in più con tutti gli elementi nulli). Pe il teoema di Rouché-Capelli il sistema è indeteminato con soluzioni che possiamo espimee attibuendo a un qualsiasi valoe eale: k 3k, k R. z 4k 5 Una funzione f A R si dice cescente su A se f ( ) f ( ), A con. La funzione f, deivabile in A, può essee cescente su A e avee deivata nulla in qualche punto. Pe esempio la funzione f () 3, [; ], è cescente sull intevallo [; ] ma f (). Petanto la condizione f () A non è necessaia. Se la deivata di f è positiva A può tuttavia accadee che f ( ) f ( ) pe qualche, A,. Pe esempio la funzione f (), (R {}), è deivabile in tutto il dominio peò f () f () pu essendo. Questa funzione è cescente nei due sottoinsiemi disgiunti R ed R ma non su (R {}). Petanto la condizione f () A non è sufficiente. La poposizione è dunque falsa. = 3 = a. b. Figua 8. 6 Poniamo f () ln cos. La funzione così definita ha pe dominio R ed è continua e deivabile R. Poiché lim f () e lim f (), Zanichelli Editoe, 6

12 esiste almeno un intevallo [a; b] R pe cui f (a) e f (b) ; petanto pe il teoema di esistenza degli zei esiste almeno un ]a ; b [ tale che f ( ). Deteminiamo la deivata pima: f () sen. Poiché ( sen ) R, alloa f () R e la funzione è monotona cescente. Dunque la funzione si annulla una volta soltanto e l equazione data ha un unica soluzione. L intevallo 4 ; soddisfa le condizioni ichieste; infatti: L ampiezza è 4 4, f 4, f. 7 a) I casi favoevoli coispondono alle seguenti uscite: esce 5 nel lancio, esce un numeo diveso da 5 negli alti due; esce 5 nel lancio, esce un numeo diveso da 5 negli alti due; esce 5 nel 3 lancio, esce un numeo diveso da 5 negli alti due. Le te uscite sono equipobabili e la pobabilità di ciascuna di esse coisponde al podotto logico degli eventi che la compongono: p (5; 5; 5) p ( 5; 5; 5) p ( 5; 5; 5) p (5) p ( 5) p ( 5) Poiché ogni uscita esclude le alte, la pobabilità di avene una qualsiasi si calcola con la somma delle pobabilità dei te eventi incompatibili: 5 p tot 3p (5; 5; 5) Si può anche pocedee calcolando i casi possibili e quelli favoevoli. I casi possibili sono tutte le tene ottenibili dai te lanci, ovveo le disposizioni con ipetizione di 6 elementi pesi a 3 a 3: D 6, I casi favoevoli sono tutte le tene del tipo (5; 5; 5), ( 5; 5; 5), ( 5; 5; 5) ovveo il tiplo delle disposizioni con ipetizione di 5 elementi (i numei,, 3, 4, 6) pesi a a : 3D 5, 3 5. La pobabilità dell evento è dunque: p a 3 D 5, D 6, b) La somma 8 si può ottenee nei seguenti 5 modi: 6, 3 5, 4 4, 5 3, 6. I possibili esiti del lancio di due dadi sono le disposizioni con ipetizione di 6 elementi pesi a a : D 6, 6. La pobabilità dell evento è dunque: p b D 6, Poiché 5 5 l evento con pobabilità maggioe è il pimo Zanichelli Editoe, 6

13 8 Toviamo il dominio di f :. Dunque le funzioni hanno entambe come dominio R e, in esso, sono la stessa funzione: ln( ) ln( ) ln[( ) ( )] ln( )] ln. La costante è ovviamente zeo. sseviamo che il coollaio del teoema di Lagange non è applicabile a tutto il dominio in quanto è un intevallo apeto ma si può applicae ad ogni intevallo [a; b] R. 9 Deteminiamo i pimi elementi della successione: n a n a) a n a n 3n n N, dunque la successione è cescente. b) Dimostiamo pe induzione. P () «a» è vea peché. Pe n, supposta vea P (n) «a n n», abbiamo: a n a n 3n n 3n n n n (n ) n (n ) ; dunque P (n ) isulta vea e la tesi è dimostata. Eseguiamo uno studio sommaio delle due funzioni. L asse è asintoto oizzontale pe entambe le funzioni. Inolte: f (), g (). ( ) ( ) a tacciamo il gafico appossimato. f M M' g Figua 9. Con l aiuto del gafico iconosciamo che la simmetia assiale che tasfoma la funzione f nella g è quella ispetto all asse : ( ; ) ( ; ) ( ; ) () (). 3 Zanichelli Editoe, 6

14 Sempe con l ossevazione del gafico vediamo che la taslazione cecata può essee individuata mediante il vettoe MM, dove M è il punto di massimo della f, M quello di g. f () ; g (). Il vettoe di taslazione e le coispondenti equazioni sono: MM (; ),. Si può pocedee anche patendo diettamente dalla taslazione: a a,. b b Sostituiamo nell espessione della f e confontiamo l espessione ottenuta con quella della g: f b, g. ( a) ( a) Le due espessioni coincidono se: ( a) ( a) ( (a ) a a b b a a a a b. b 4 Zanichelli Editoe, 6

15 Pe esecitati ancoa sugli agomenti tattati nel Svolgi il Poblema Poblema -a)-b) pag. W 7 Esecizio 83 pag. W 5 Quesito 9 pag. W 75 Poblema 74 pag. L 37 Poblema Poblema 9 pag. W 38 Poblema pag. W 6 Poblema pag. W 7 Poblema -c) pag. W 76 Quesito pag. J Quesito Quesito 6 pag. W 75 Quesito Quesito 9 pag. W 75 Poblema -c)-d)-e) pag. W 7 Quesito 3 Esecizio 466 pag. N 7 Esecizio 47 pag. N 7 Quesito 4 Esecizio 7 pag. W 84 Quesito 5 Quesito pag. V 88 Quesito 6 Quesito 6 pag. V 36 Poblema -c) pag. W 76 Quesito 7 Quesito 9 pag. W 77 Quesito 8 Quesito 4 pag. V 8 Quesito 9 Esecizio 5 pag. S 58 Esecizio 5 pag. S 59 Quesito Quesito 3 pag. W 7 5 Zanichelli Editoe, 6