AUTOVALORI ED AUTOVETTORI DI UNA MATRICE

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1 AUTOVALORI ED AUTOVETTORI DI UNA MATRICE TEOREMA: Un elemento di K è un autovaloe pe una matice A, di odine n, se e solo se, indicata con I la matice identità di odine n, isulta: det( A I) Il deteminante det(a I) si chiama deteminante caatteistico della matice A; l equazione det(a I) si chiama equazione caatteistica della matice A. In foma sviluppata, il deteminante caatteistico det(a - I) si scive: a11 a1... a1n a a... a det( A I) = 1 n an1 an... ann Se si considea come uno scalae vaiabile in K, questo deteminante è un polinomio ϕ(), di gado n, che si chiama polinomio caatteistico della matice A. il gado del polinomio caatteistico di una matice quadata è uguale all odine n di questa matice; il coefficiente del temine di gado massimo è ±1 a seconda che n sia pai o dispai; la somma degli elementi diagonali di una matice A, si chiama taccia di A, e si indica con la scittua t(a), cioè si pone: n t( A) = aii = a11 + a ann i = 1 Risulta alloa che: il coefficiente del temine in (n-1) è uguale alla taccia della matice A, moltiplicata pe ±1 a seconda che n sia dispai o pai; il temine noto del polinomio caatteistico di una matice A è uguale al deteminante di tale matice, cioè ϕ() = det(a). Se la matice A ha gli autovaloi 1,,..., n tutti distinti, alloa i coispondenti autovettoi x 1, x,..., x n sono lineamente indipendenti. O è un autovaloe di A, se e solo se O è una adice del polinomio caatteistico di A, cioè se: det( A OI ) La deteminazione degli autovaloi di una matice A equivale, quindi, alla iceca delle adici del polinomio caatteistico ϕ() di gado n. Tovato un autovaloe O, alloa gli autovettoi coispondenti sono le soluzioni del sistema omogeneo: ( A OI ) X ESERCIZIO 1.:Deteminae gli autovaloi e gli autovettoi della matice A = 1 3 Dobbiamo deteminae uno scalae x ed un vettoe x = 1, tali che: x x x A x = x 1 1 = x 1 3 x

2 L equazione maticiale sopa scitta è equivalente al seguente sistema lineae omogeneo: x1 + x = x1 3x1 + x = x cioè: ( 1 ) x1 + x 3x1 + ( ) x Un sistema omogeneo ha una soluzione non nulla (soluzione non banale) solo se il deteminante della matice incompleta vale zeo, cioè se isulta: det ( 1 ) = ( 1 ) ( ) ( ) ovveo: 3 4 ( 4)( + 1) Petanto, è un autovaloe solo se: = 4 o = -1. Pe = 4, il sistema (1) diventa: 3x1 + x = = + = x = cioè: x 3 1 x 1 x x x x Il vettoe x = (, 3) è un autovettoe elativo all autovaloe = 4; ogni alto autovettoe elativo a = 4, è un multiplo di x = (, 3). Pe = 1, il sistema (1) diventa: x1 + x x1 1 cioè: x 3x1 3x 1 = x x = = = x Si ottiene, petanto, che il vettoe x = (x 1, x ) = (, 1) è un autovettoe elativo all autovaloe = 1; ogni alto autovettoe elativo a = 1, è un multiplo di x = (1, 1). ESERCIZIO.:Deteminae gli autovaloi e gli autovettoi della seguente matice: 4 6 A = Il polinomio caatteistico è dato dalla elazione seguente: 4 6 p( ) = det( A I) = det Sviluppando il deteminante secondo gli elementi dell ultima colonna, si peviene alla scittua: p( ) = (5 + ) [ (5 + ) ( 4 ) + 18] = ( + 5) ( + ) = = ( + 5) ( + ) ( ) ( 1) Petanto, gli autovaloi sono ottenuti come soluzione dell equazione seguente: p ( ) ( + 5) ( + ) ( 1) ovveo: = 5 = = 1 Indichiamo, oa, un autovettoe x come vettoe colonna nella foma seguente: v x Se è l autovaloe ad esso coispondente, dovà essee: ( A I ) x = a = b ; ossia:

3 4 6 ( 4 ) a + 6b = b a ( + ) = ( ) a 6b ( 5 + ) c Pe = 5, il sistema () assume la foma: 9a + 6b 3a a b c = abitaio 3a 6b Si può dunque poe abitaiamente c = 1 e poe l autovettoe x 1 nella foma: x 1 = 1 Pe =, il sistema () assume la foma: 6a + 6b + b 3a 3b a + b = a = c = b c = b 3a 6b 3c c + b Si può dunque poe abitaiamente b = 1 e poe l autovettoe x nella foma: x 1 = 1 1 Pe = 1, il sistema () assume la foma: 3a + 6b + b 3a 6b a + b = c 3a 6b 6c c Si può dunque poe abitaiamente b = 1 e poe l autovettoe x 3 nella foma: x 3 = 1 ESERCIZIO 3.: Deteminae tutti gli autovaloi della matice assegnata A ed una base pe ogni autospazio. 3 A = 1 1 Il polinomio caatteistico è individuato dalla elazione di seguito ipotata: 3 p( ) = det( A I) = det 1 ( ) [ ( )] = 1 3 = 1 = ( 1 )( 3 + ) = ( 1) ( 1) ( ) = ( )( 1) Petanto, gli autovaloi sono = 1, con odine di molteplicità ν =, e =. Pe tovae un autovettoe x elativo all autovaloe doppio 1 = 1, bisogna isolvee la seguente equazione: ( A 1 I ) ; ovveo:

4 + b 1 1 = b ossia il seguente sistema: a b le cui soluzioni c sono: a = b e c qualsiasi, e dipendono quindi da due scalai abitai b e c. Il sistema, dunque, ha due soluzioni indipendenti, e pecisamente: x 1 = ottenuto ponendo b e c = 1; 1 x = 1 ottenuto ponendo b = 1 e c ; 1 Quindi, i vettoi x 1 ed x sono degli autovettoi indipendenti che geneano l autospazio di 1 = 1, che isulta, alloa, a due dimensioni. Ciò significa che tutti gli alti autovettoi di A, associati all autovaloe 1 = 1, sono combinazioni lineai di questi vettoi base e copono il piano geneato dai vettoi x 1 ed x. Pe = si ottiene, agionando analogamente, il sistema di seguito icavato: 1 + b 1 = b ossia il seguente sistema: a b le cui soluzioni 1 c sono: a = -b e c, e dipendono, quindi, da uno scalae abitaio (a oppue b). Il sistema pesenta una soluzione indipendente e pecisamente: x 3 = 1 ottenuto ponendo b = 1. L autospazio di = è ad una dimensione, ed ha pe base, pe esempio, il vettoe x 3. Ciò significa che tutti gli alti autovettoi di A, associati allo autovaloe =, sono combinazioni lineai del vettoe base x 3. ESERCIZIO 4.:Deteminae il paameto h in modo che la matice assegnata A ammetta un autovaloe = 1; in coispondenza di tale valoe del paameto deteminae gli autovaloi della matice A. h 1 A = 1 h 1 1 h Deteminiamo, dappima, la matice (A I), si ottiene: h 1 ( A I ) = 1 h 1 1 h Poiché = 1 è un autovaloe della matice A, alloa il deteminante di (A I) calcolato pe = 1 deve essee uguale a zeo. Pe questo deteminiamo: h 1 1 ( A I ) ( ) = h = e imponiamo che: det[( A I) ( ) ]. = h 1 Si ottiene la elazione seguente:

5 ( h 1) ( h 1) + ( h 1)( 1 h) ( h 1) + ( h 1) ( h 1) ( h 1 1) h = Pe tale valoe del paameto h, la matice A e (A - I) assumono, ispettivamente, la foma: 1 1 A h= = A h= I = 1 ( ( ) ) Gli autovaloi di A sono definiti dalle soluzioni dell equazione che si ottiene uguagliando a zeo il polinomio caatteistico, ovveo: p( ) = det( A I) ( ) + ( ) + ( ) ovveo: ( ) ( 1) ( 3) Pe h =, la matice A pesenta, petanto, i seguenti autovaloi: = 1 = ESERCIZIO 5.:Deteminae te autovettoi, lineamente indipendenti, della seguente matice A = Si devono deteminae, dappima, gli autovaloi i della matice A, ovveo tutte le soluzioni della equazione ottenuta uguagliando a zeo il polinomio caatteistico p(). Si ottiene: det( A I) = det ( ) ( ) = Svolgendo le opeazioni ichieste, si ottiene: 3 3 det( A I) = = 3 = ( 3) Ne consegue che: det( A I) ( 3) = 3 L autovaloe 1 pesenta un odine di molteplicità pai a, mente è un autovaloe semplice. Gli autovettoi di A sono deteminati dalle soluzioni dell equazione fa matici del tipo: ( A i I) xi Pe 1, si ottiene la elazione fa matici ed il elativo sistema di seguito mostati: b + c = b a + b + c = c = ( a + b) a + b + c

6 Le soluzioni dipendono da due scalai abitai a e b. Il sistema ha, quindi, due soluzioni indipendenti; peciò i vettoi: 1 x 1 = deteminato da a = 1 e b ; x = 1 deteminato da a e b = 1 sono degli autovettoi indipendenti che geneano l autospazio di 1, che isulta, quindi, a due dimensioni. Ciò significa che tutti gli alti autovettoi di A, associati all autovaloe 1, sono combinazioni lineai dei vettoi base x 1 ed x e copono il piano geneato dai vettoi x 1 ed x stessi. Pe = 3, si ottiene, analogamente, la elazione fa le matici ed il elativo sistema associato di seguito mostati: 1 1 a + b + c c = a b = 1 1 b a b + c 3a 3b 1 1 a + b c 3a + 3b ovveo: a = b e c = a. Tali soluzioni dipendono da un solo scalae abitaio a. Il sistema ha, dunque, una soluzione indipendente; peciò il vettoe seguente, ottenuto ponendo a = 1: 1 x 3 = 1 1 è l autovettoe che genea l autospazio di = 3 che è ad una dimensione ed ha come base appunto x 3. I te autovettoi lineamente indipendenti della matice A sono: 1 x1 = x = 1 x 3 = ESERCIZIO 6.:Si detemini la matice A associata alla applicazione lineae ƒ : R R, sapendo che la ƒ ammette gli autovaloi 1 = 1 e = a cui coispondono, ispettivamente, gli autovettoi seguenti: x1 = 1 x = 1 Se x 1 ed x sono gli autovettoi elativi, ispettivamente, agli autovaloi 1 = 1 e =, dovà, pe definizione di autovaloe e di autovettoe, isultae veificata la seguente elazione: A xi = i xi in cui A è la matice associata alla applicazione lineae ƒ : R R. Si tatta, petanto, di una matice quadata di odine. Nel caso specifico poposto dalla taccia, la elazione sopa scitta, fonisce la coppia di scittue di seguito ipotate: A x1 = 1 x1 A x = x La geneica matice quadata A di odine assume la foma: A =. Dovà, alloa, veificasi che: c d

7 A x = x c d 1 = + = c + d = A x = x c d = + = c + d = Le soluzioni del pimo sistema, data l unicità della matice associata all applicazione lineae devono essee le soluzioni anche del secondo sistema; petanto, dovà veificasi che: = 1 b = 1 b = 1 b = d = d = d b + b = ( 1 ) 4 4b + b = 4 3 b = 6 ( d ) + d = 4 4d + d = 3 d = 6 l ulteioe semplificazione algebica conduce alle elazioni seguenti: = 1 b = d b = d = b = = 3 d = b = a = 1 c = c = d = Si conclude che la matice quadata A, di odine, associata alla applicazione lineae ƒ : R R poposta dalla taccia, assume la foma seguente: A = 3 Veifichiamo, pe essee esaustivi, che la matice A così deteminata pesenta gli autovaloi 1 = 1 e =. Gli autovaloi i della matice A, alto non sono che le soluzioni della equazione che si ottiene uguagliando a zeo il polinomio caatteistico p(). Si ottiene: det( A I) = det 3 = ( 3 ) ( ) + 4 Svolgendo le opeazioni ichieste, si ottiene: det( A I) = = + = ( 1) ( + ) Ne consegue che: det( A I) ( 1) ( + ) 1 = 1 = OSSERVAZIONE Dato che la matice A pesenta due autovaloi distinti alloa isulta essee diagonalizzabile. Una matice diagonale M simile alla matice A è la matice che ha lungo la diagonale pincipale gli autovaloi di A. La matice diagonalizzante P è la matice le cui colonne sono costituite dagli autovettoi associati agli autovaloi della matice A. Le matici M e P hanno, petanto, la foma seguente: M = 1 P = Si veifichi che le matici A, M e P soddisfano la elazione seguente: M = P A P