Approssimazioni alle differenze finite

Transcript

1 Capitolo 2 Appossimazioni alle diffeenze finite 2. Diffeenze finite del pimo e del secondo odine Si considei lo sviluppo in seie di Taylo della funzione u(x sufficientemente egolae nell intono h del punto x; da cui u(x + h = u(x + hu (x + h2 2 u (x + h3 3! u (x + h4 4! uiv (x +... (2. u (x = h [u(x + h u(x] h 2 u (x... Il quoziente nel iquado è detto diffeenza finita in avanti e diffeisce dalla deivata pima pe temini dell odine di h, indicati con O(h. 2 L eoe di appossimazione è dato da h 2 u (x h2 3! u (x h3 4! uiv (x +... La diffeenza finita in avanti è del pimo odine. Consideiamo lo sviluppo in seie di Taylo di u(x ispetto al punto x h: u(x h = u(x hu (x + h2 2 u (x h3 3! u (x + h4 4! uiv (x... (2.2 Una funzione si dice sufficientemente egolae se è deivabile fino ad un odine voluto p. 2 Se f(h e g(h sono due funzioni in h, si dice che se esiste una costante C tale che f(h = O(g(h pe h 0 f(h g(h < C pe h sufficientemente piccolo ovveo che f(h decade a zeo almeno come g(h. Se si scive f(h = o(g(h pe h 0 significa che ovveo che f(h decade a zeo più apidamente di g(h. f(h g(h 0 pe h 0 5

2 6 CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE da cui u (x = h [u(x u(x h] + h 2 u (x... Il quoziente nel iquado è detto diffeenza finita all indieto. L eoe di appossimazione è O(h. La diffeenza finita all indieto è del pimo odine. Sottaendo la (2.2 dalla (2. ed esplicitando u (x si ha u (x = 2h [u(x + h u(x h] 3! h2 u (x... Il quoziente nel iquado è detto diffeenza finita centale. L eoe di appossimazione è O(h 2. La diffeenza centale pe la deivata pima è del secondo odine. Si nota che la diffeenza finita in avanti e quella all indieto sono appossimazioni dalla deivata pima di una funzione e diffeiscono pe temini in O(h, mente la diffeenza centale diffeisce pe temini di O(h 2. La diffeenza centale è dunque più accuata ispetto a quella in avanti o all indieto pe appossimae la deivata pima di una funzione. Sommando la (2.2 con la (2. ed esplicitando u (x si ha: u (x = u(x+h 2u(x+u(x h h 2 2 4! h2 u iv (x... Il quoziente nel iquado è detto diffeenza finita centale e appossima la deivata seconda della funzione u(x e, diffeisce da essa pe temini in O(h 2. La diffeenza finita centale pe la deivata seconda è del secondo odine. Si nota che le diffeenze finite di odine supeioe possono essee ottenute da quelle di odine infeioe con un opeazione di diffeenziazione. Ad esempio indicando con D u(x la diffeenza in avanti pe la deivata pima D u(x = u(x + h u(x h e analogamente con D u(x quella all indieto pe la deivata pima, si ottiene la diffeenza centale pe la deivata seconda, indicata con D 2 u(x come D 2u(x = D (D u(x = h D u(x + h h D u(x = ( ( u(x + h u(x u(x u(x h u(x + h 2u(x + u(x h = h h h h 2 È facile povae che D (D u(x = D ( D u(x. Si vede oa un pocedimento pe calcolae una appossimazione alle diffeenze finite di una deivata basandosi sul valoe della funzione in un dato insieme di punti. Questo pocedimento si chiama metodo dei coefficienti indeteminati. Si vuole calcolae, ad esempio, un appossimazione di u (x noti i valoi u(x, u(x h e u(x 2h. L appossimazione di u (x, pe semplicità chiamata D u(x, saà un espessione della foma D u(x = au(x + bu(x h + cu(x 2h e tale che D u(x = u (x + Eoe di appossimazione Si vogliono calcolae i coefficienti a, b, c in modo da avee la massima accuatezza possibile, ovveo in modo che l eoe di appossimazione sia più piccolo possibile.

3 2.2. DIFFERENZE FINITE PER DERIVATE PARZIALI E MOLECOLE COMPUTAZIONALI 7 Utilizzando gli sviluppi in seie di Taylo pe u(x h e u(x 2h si ha D u(x = au(x + b (u(x hu (x + h2 2 u (x... + c (u(x 2hu (x + 4h2 2 u (x... = (a + b + cu(x (b + 2chu (x + 2 (b + 4ch2 u (x 3! (b + 8ch3 u (x +... Si ichiede che siano nulli i coefficienti fino al più alto odine possibile, ma poichè si hanno solo te incognite, non si può pensae di soddisfae più di te condizioni. Si deve alloa isolvee il sistema lineae a + b + c = 0 b + 2c = /h b + 4c = 0 che fonisce a = 3 2h b = 2 h c = 2h Alloa D u(x si scive D u(x = (3u(x 4u(x h + u(x 2h 2h e D u(x = u (x 3 h2 u (x +... ovveo appossima la deivata pima u (x a meno di temini O(h Diffeenze finite pe deivate paziali e molecole computazionali Si ichiama lo sviluppo in seie di Taylo pe una funzione in due vaiabili u(x, y con incemento h ispetto alla vaiabile x e k ispetto alla vaiabile y. Pe semplicità di scittua, la funzione u(x, y valutata nel punto (x, y si indicheà anche come u, e analogamente pe le sue deivate paziali. u(x + h, y + k = u + (hu x + ku y + ( h 2 u xx + 2hku xy + k 2 u yy ( h 3 u xxx + 3h 2 ku xxy + 3hk 2 u xyy + k 3 u yyy + 3! + ( h 4 u xxxx + 4h 3 ku xxxy + 6h 2 k 2 u xxyy + 3 u xyyy + k 4 u yyyy ! Pocedendo come pe le deivate odinaie, utilizzando lo sviluppo in seie di Taylo pe funzioni in due vaiabili, si possono calcolae alloa le diffeenze finite (nel iquado pe u x,

4 8 CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE u y, u xx, u yy, u xxxx e u yyyy. u x (x, y = h (u(x + h, y u(x, y + O(h u x (x, y = h (u(x, y u(x h, y + O(h u x (x, y = 2h (u(x + h, y u(x h, y + O(h2 u y (x, y = k (u(x, y + k u(x, y + O(k u y (x, y = k (u(x, y u(x, y k + O(k u y (x, y = 2k (u(x, y + k u(x, y k + O(k2 u xx (x, y = h 2 (u(x + h, y 2u(x, y + u(x h, y + O(h 2 u yy (x, y = k 2 (u(x, y + k 2u(x, y + u(x, y k + O(k 2 u xxxx (x, y = h 4 (u(x 2h, y 4u(x h, y + 6u(x, y 4u(x + h, y + u(x + 2h, y + O(h 2 u yyyy (x, y = k 4 (u(x, y 2k 4u(x, y k + 6u(x, y 4u(x, y + k + u(x, y + 2k + O(k 2 Applicando il metodo dei coefficienti indeteminati (si veda la sezione Complementi al capitolo si può calcolae un appossimazione alle diffeenze D u(x, y pe la deivata mista u xy utilizzando i valoi di u nei punti NE = (x+h, y +k, NO = (x h, y +k, SO = (x h, y k e SE = (x + h, y k: Se h = k, si ha D u(x, y = (u(ne u(no + u(so u(se u xy (x, y = D u(x, y + O(h 2 Ad alcune delle diffeenze finite sopa coispondono le molecole computazionali in figua. 2.3 Diffeenze finite pe l opeatoe di Laplace e pe l opeatoe biamonico Si considei l opeatoe di Laplace 3 u = u xx + u yy 3 Si osseva che se la geometia del dominio in cui è definito l opeatote di Laplace, non è descitta in coodinate catesiane x e y ma in coodinate polai e ϕ, alloa è conveniente consideae la funzione u come una funzione delle coodinate polai, con x = cos ϕ y = sin ϕ

5 2.3. DIFFERENZE FINITE PER L OPERATORE DI LAPLACE E PER L OPERATORE BIARMONICO9 Dalle diffeenze finite pe le deivate paziali seconde si ottiene la fomula alle diffeenze a 5 punti pe l opeatoe di Laplace (nel iquado u(x, u = h 2 (u(x + h, y 2u(x, y + u(x h, y + k 2 (u(x, y + k 2u(x, y + u(x, y k +O(h 2 +k 2 L eoe che si commette appossimando il Laplaciano di u con la fomula a 5 punti è O(h 2 + k 2. 4 Si icoda che la deivata di una funzione u lungo una diezione ha espessione o equivalentemente u = u x cos α + u y sin α = x 2 + y 2 dove 0 e ϕ ( π, π. La matice Jacobiana di questa tasfomazione è data da ( x y ϕ ϕ x y e si ottengono ( y ϕ = actan x ( cos ϕ sin ϕ = sin ϕ u x = u x + u ϕ ϕ x = (cos ϕu sin ϕ u ϕ u xx = (cos 2 ϕu + sin2 ϕ sin ϕ cos ϕ 2 u ϕϕ 2 u ϕ + sin2 ϕ sin ϕ cos ϕ u u ϕ u yy = (sin 2 ϕu + cos2 ϕ sin ϕ cos ϕ 2 u ϕϕ + 2 u ϕ + cos2 ϕ sin ϕ cos ϕ u 2 2 u ϕ Dunque l opeatoe di Laplace in coodinate polai si scive cos ϕ u = u xx + u yy = u + 2 u ϕϕ + u 4 Pe l appossimazione mediante diffeenze finite dell opeatoe di Laplace su egioni cicolai si veda, e.g., 2.4 in Twizell E.H.: Computational Methods fo Patial Diffeential Equations, Ellis Howood Ltd, Chicheste, 984.

6 0 CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE dove α è l angolo che la etta foma con il veso positivo dell asse x consideato in senso antioaio. La deivata seconda di u ispetto ad ha alloa espessione: u = u xx cos 2 α + 2u xy sin α cos α + u yy sin 2 α (2.3 Sia π/4 l angolo che un asse ξ foma con il veso positivo dell asse x e sia P un punto della etta ξ di coodinate (x, y e siano NE e SO i punti della etta ξ a distanza ispettivamente l e l da P. Gli sviluppi di Taylo di una funzione u in NE e in SO ispetto al punto P hanno espessione: u(ne = u(p + lu ξ (P + l2 2 u ξξ(p + l3 3! u ξξξ(p + l4 4! u ξξξξ(p +... u(so = u(p lu ξ (P + l2 2 u ξξ(p l3 3! u ξξξ(p + l4 4! u ξξξξ(p... dunque u(ne 2u(P + u(so = l 2 u ξξ (P + 2 l4 4! u ξξξξ(p +...

7 2.4. COMPLEMENTI AL CAPITOLO In modo analogo consideiamo la etta η pependicolae a ξ in P, ovveo fomante con l asse x un angolo di 3/4π e siano NO e SE i punti dell asse η distanti ispettivamente l e l da P ; dagli sviluppi di Taylo di u in NO e SE si ottiene: u(no 2u(P + u(se = l 2 u ηη (P + 2 l4 4! u ηηηη(p +... Poichè da (2.3 pe α = π/4 e α = 3/4π si ha u ξξ (P = 2 u xx(p + u xy (P + 2 u yy(p u ηη (P = 2 u xx(p u xy (P + 2 u yy(p ovveo u xx (P + u yy (P = u ξξ (P + u ηη (P Pe l = h 2, ne discende la fomula alle diffeenze a 5 punti con otazione di 45 o pe l opeatoe di Laplace (nel iquado u(p = 2h 2 (u(ne + u(no 4u(P + u(so + u(se + O(h 2 Posto pe semplicità di notazione N = (x, y+h, S = (x, y h, E = (x+h, y e O = (x h, y, da u(p = 2 3 (u xx(p + u yy (P + 3 (u ξξ(p + u ηη (P si ottiene la fomula alle diffeenze a 9 punti (nel iquado u(p = 6h 2 (u(ne + u(no + u(so + u(se + 4 (u(e + u(n + u(o + u(s 20u(P +O(h 2 Consideiamo oa l opeatoe biamonico 2 u = u xxxx + 2u xxyy + u yyyy Applicando il metodo dei coefficienti indeteminati e utilizzando lo sviluppo in seie di Taylo pe funzioni a due vaibili con h = k, si può calcolae un appossimazione della deivata quata mista u xxyy (x, y nel punto P = (x, y con un eoe di appossimazione O(h 2 : D 22 u(p = h 4 (u(ne + u(no + u(so + u(se 2(u(N + u(o + u(s + u(e + 4u(P +O(h2 Posto NN = (x, y + 2h, SS = (x, y 2h, OO = (x 2h, y e EE = (x + 2h, y, dalle diffeenze finite pe le deivate paziali quate si ottiene una fomula alle diffeenze a 3 punti (ta paentesi quadate pe l opeatoe biamonico [ ( 2 u(p = h 4 u(nn + u(ss + u(oo + u(ee + 2 (u(ne + u(no + u(so + u(se ] 8 (u(e + u(n + u(o + u(s + 20u(P + O(h Complementi al capitolo 2.4. Diffeenze finite con passo non costante Se consideiamo i due sviluppi (2.2 e (2. con passi h diffeenti u(x + h d = u(x + h d u (x + h2 d 2 u (x + h3 d 3! u (x + h4 d 4! uiv (x +... (2.4

8 2 CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE u(x h s = u(x h s u (x + h2 s 2 u (x h3 s 3! u (x + h4 s 4! uiv (x... (2.5 si possono ottenee le diffeenze centali (nei iquadi ( u u(x+h (x = h s+h d h d u(x u(x u(x h s h d + h s d h s + R e ( u 2 (x = u(x+hd u(x h s +h d h d u(x u(x hs h s + R 2 dove R = h sh d 6 u (ξ R 2 = h d h s u (x h2 s h s h d + h 2 d u iv (η 3 2 con ξ e η punti dell intevallo [x h s, x + h d ]. Dimostazione. Dalla fomula (2.4 si ha: e dalla (2.5 si ha: u (x = u(x + h d u(x h d u (x = u(x u(x h s h s h d 2 u (x h2 d 6 u (ξ d ξ d [x, x + h d ] + h s 2 u (x h2 s 6 u (ξ s ξ s [x h s, x] moltiplicando la pima espessione pe h s, la seconda pe h d e sommando le due espessioni ottenute si ha ( u u(x u(x h s u(x + h d u(x (x = h d + h s h ( sh d hs u (ξ s + h d u (ξ d h s + h d h s h d 6 h s + h d Poichè u (x è una funzione continua in [x h s, x + h d ], essa assume un valoe minimo m ed un valoe massimo M, ed essendo h s > 0 e h d > 0 (h s + h d m h su (ξ s + h d u (ξ d (h s + h d M Dunque esiste un punto ξ [x h s, x + h d ] tale che (h s + h d u (ξ = h s u (ξ s + h d u (ξ d Poichè u (x è continua in [x h s, x+h d ], in tale intevallo assume tutti e solo i numei dell intevallo [(h s + h d m, (h s + h d M]; si ottiene così il valoe pe R. Pe la dimostazione della diffeenza centale pe la deivata seconda, si moltiplica la (2.4 pe h s, la (2.5 pe h d, si sommano le due espessioni ottenute e si esplicita u (x. Pe il calcolo di R 2 si pocede come pe il calcolo di R Calcolo delle diffeenze finite pe le deivate teza e quata di u(x Utilizziamo il metodo dei coefficienti indeteminati pe calcolae appossimazioni alle diffeenze pe le deivata teza e quata di una funzione u(x. Si vuole calcolae un appossimazione alle diffeenze D 3 u(x di u (x mediante i valoi di u nei punti x 2h, x h, x + h e x + 2h. Ovveo D 3 u(x = au(x 2h + bu(x h + cu(x + h + du(x + 2h e tale che D 3 u(x = u (x + Eoe di appossimazione

9 2.4. COMPLEMENTI AL CAPITOLO 3 Utilizzando gli sviluppi in seie di Taylo pe u(x 2h, u(x h, u(x + h e u(x + 2h si ha D 3 (x = (a + b + c + du(x + ( 2a b + c + 2dhu (x + (4a + b + c + 4d h2 2 u (x + +( 8a b + c + 8d h3 3! u (x + (6a + b + c + 6d h4 4! uiv + ( 32a b + c + 32d h5 5! uv (x +... Ponendo che pota a a + b + c + d = 0 2a b + c + 2d = 0 4a + b + c + 4d = 0 8a b + c + 8d = 3! h 3 si ha a = 2h 3 b = h 3 c = h 3 d = 2h 3 D 3 u(x = ( u(x 2h + 2u(x h 2u(x + h + u(x + 2h 2h3 Si nota che questa scelta dei coefficienti annulla anche il temine (6a + b + c + 6d h4 4! uiv (x; ciò implica che D 3 u(x = u (x + h2 4 uv (x +... ovveo che D 3 u(x appossima la deivata teza a meno di temini O(h 2. Si nota che pe calcolae un appossimazione alle diffeenze di u (x si devono avee valoi di u(x in almeno quatto punti pe annullae il temine costante e quelli associati alle deivate pime e seconde e pe eguagliae ad 3!/h 3 quello associato alla deivata teza. Ulteioi punti possono pemettee l annullamento di temini associati alle deivate supeioi alla teza, ottenendo così un appossimazione della deivata con un odine elevato. Pocedendo nello stesso modo si può calcolae un appossimazione di u iv (x con un eoe di appossimazione O(h 2 che utilizza valoi di u nei punti x 2h, x h, x, x + h e x + 2h: Infatti, posto tale che D 4 u(x = (u(x 2h 4u(x h + 6u(x 4u(x + h + u(x + 2h h4 D 4 u(x = au(x 2h + bu(x h + cu(x + du(x + h + eu(x + 2h D 4 u(x = u (x + Eoe di appossimazione dagli sviluppi in seie di Taylo pe u(x 2h, u(x h, u(x + h e u(x + 2h si ha D 4 (x = (a + b + c + d + eu(x + ( 2a b + d + 2ehu (x + (4a + b + d + 4e h2 2 u (x + +( 8a b + d + 8e h3 3! u (x + (6a + b + d + 6e h4 4! uiv +( 32a b + d + 32e h5 5! uv (x + (64a + b + d + 64e h6 6! uvi (x +... Ponendo le cinque condizioni sui pimi cinque coefficienti a + b + c + d + e = 0 2a b + d + 2e = 0 4a + b + d + 4e = 0 si ha 8a b + d + 8e = 0 6a + b + d + 6e = 4! h 4 a = h 4 b = 4 h 4 c = 6 h 4 d = 4 h 4 e = h 4

10 4 CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE Si ottiene alloa D 4 u(x = (u(x 2h 4u(x h + 6u(x 4u(x + h + u(x + 2h h4 Si nota che questa scelta dei coefficienti annulla anche il temine ( 32a b + d + 32e h5 5! uv (x; ciò implica che D 4 u(x = u (x + h2 6 uvi (x +... ovveo che D 4 u(x appossima la deivata quata a meno di temini O(h Calcolo della diffeenza finita pe u xy (x, y Definiti i punti NE = (x + h, y + k, NO = (x h, y + k, SO = (x h, y k e SE = (x + h, y k, si applica il metodo dei coefficienti indeteminati pe calcolae un appossimazione alle diffeenze D u(x, y pe la deivata mista u xy, che utilizzi il valoe della funzione u nei punti NE, NO, SO e SE. Si vogliono deteminae i coefficienti a, b, c, d in D u(x, y = au(x + h, y + k + bu(x h, y + k + cu(x h, y k + du(x + h, y k in modo tale che D u(x, y = u xy (x, y + Eoe di appossimazione Sviluppando in seie di Taylo i temini u(x + h, y + k, u(x h, y + k, u(x h, y k, u(x + h, y k si ottiene D u(x, y = au + a (hu x + ku y + a ( h 2 u xx + 2hku xy + k 2 u yy a ( h 3 u xxx + 3h 2 ku xxy + 3hk 2 u xyy + k 3 u yyy ! +bu + b ( hu x + ku y + b ( h 2 u xx 2hku xy + k 2 u yy b ( h 3 u xxx + 3h 2 ku xxy 3hk 2 u xyy + k 3 u yyy ! cu + c ( hu x ku y + c ( h 2 u xx + 2hku xy + k 2 u yy c ( h 3 u xxx 3h 2 ku xxy 3hk 2 u xyy k 3 u yyy ! du + d (hu x ku y + d ( h 2 u xx 2hku xy + k 2 u yy d ( h 3 u xxx 3h 2 ku xxy + 3hk 2 u xyy k 3 u yyy ! Ponendo quatto condizioni pe i quatto coefficienti: a + b + c + d = 0 (pe i temini di u, u xx e u yy a b c + d = 0 (pe il temine di u x a + b c d = 0 (pe il temine di u y a b + c d = hk (pe il temine di u xy Si ottiene alloa si ha D u(x, y = (u(ne u(no + u(so u(se a = b = c = d =

11 2.4. COMPLEMENTI AL CAPITOLO 5 Si osseva che questa scelta dei coefficienti a, b, c e d pemette di annullae anche i temini delle deivate teze. Infatti si ha È facile veificae che se h = k, si ha a b c + d = 0 (pe il temine di u xxx 3a + 3b 3c 3d = 0 (pe il temine di u xxy 3a 3b 3c + 3d = 0 (pe il temine di u xyy a + b c d = 0 (pe il temine di u yyy D u(x, y = u xy (x, y + O(h 2 Mediante il pocedimento di diffeenziazione si può ottenee l espessione di D u(x, y, applicando la diffeenza centale del pimo odine ispetto alla vaiabile x e poi ispetto alla vaiabile y o vicevesa. Si indichi con D 0 u(p la diffeenza centale del pimo odine ispetto ad x nel punto P e con D 0 u(p quella ispetto alla vaiabile y; alloa e dunque D 0 u(p = u(e u(o 2h D u(p = D 0 (D 0 u(p = 2h (D 0u(E D 0 u(o = ( u(ne u(se u(no u(so 2h 2k 2k = (u(ne u(se u(no + u(so In modo analogo si può ottenee l espessione di D 22 u(p consideando le diffeenze centali del secondo odine ispetto alle vaiabili x ed y, D 20 u(p e D 02 u(p ispettivamente, con e D 22 u(p = D 02 (D 20 u(p. D 20 u(p = u(o 2u(P + u(e h 2

12 6 CAPITOLO 2. APPROSSIMAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE