FONDAMENTI DI AUTOMATICA I LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA INFORMATICA (DM 509/99) LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA DELL AUTOMAZIONE (DM 509/99)

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1 LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA INFORMATICA (DM 509/99) LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA DELL AUTOMAZIONE (DM 509/99) PROVA SCRITTA DEL 05/07/2011 Con ifeimento alla Figua 1, si detemini la f.d.t. / mediante semplificazione dello schema a blocchi utilizzando tasfomazioni di equivalenza. Sia assegnato il sistema in Figua 2, con e Si tacci il luogo delle adici del sistema al vaiae del paameto k nell intevallo, individuando ove pesenti, i punti appatenenti all asse eale, il centoide e le inclinazioni degli asintoti, i punti di inconto con l asse immaginaio, i punti doppi sull asse eale, gli angoli di patenza dai poli e di aivo negli zei; Si discuta la stabilità del sistema al vaiae del paameto k nell intevallo, specificando pe quali valoi di k il sistema è asintoticamente stabile, semplicemente stabile, instabile (indicando in tal caso il numeo di poli instabili); Se ha senso, si detemini il valoe citico del guadagno e la pulsazione di oscillazione coispondente; si commenti il isultato ottenuto. Si considei un sistema con la seguente equazione caatteistica: Si studi la stabilità del sistema con il citeio di Routh. Gc s Gp s RISULTATI E INFORMAZIONI:

2 LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA INFORMATICA (DM 509/99) LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA DELL AUTOMAZIONE (DM 509/99) PROVA SCRITTA DEL 19/07/2011 Con ifeimento alla Figua 1, si detemini la f.d.t. / esclusivamente attaveso tasfomazioni di equivalenza successive del diagamma a blocchi. Con ifeimento alla Figua 2, sia e. Si tacci il luogo delle adici (LR) nel modo più accuato possibile. In paticolae, si deteminino: il numeo di ami ed i loo punti di patenza e di aivo, gli angoli con i quali il luogo esce dai poli di. Inolte, se esistono, si deteminino i punti del LR appatenenti all asse eale, gli asintoti, le loo inclinazioni ed il loo punto di inconto con l asse eale, i punti in cui il LR emege dall asse eale o vi confluisce, i punti di inconto con l asse immaginaio. Con ifeimento alla Figua 2, sia e. Si deteminino i valoi di k pe i quali la f.d.t. in anello chiuso pesenta valoi della costante di smozamento pai a e, ispettivamente. Pe gli stessi valoi individuati al punto pecedente, si deteminino la sovaelongazione pecentuale ed il tempo di salita della isposta al gadino in anello chiuso. A D B C Gc s Gp s RISULTATI E INFORMAZIONI:

3 LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA INFORMATICA (DM 509/99) LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA DELL AUTOMAZIONE (DM 509/99) PROVA SCRITTA DEL 15/09/2011 Si considei lo schema a blocchi della figua 1. Si detemini la FDT G = /, applicando le egole di tasfomazione degli schemi a blocchi. Si considei la figua 2, nella quale K > 0 e Si tacci il luogo delle adici (LR) ed in paticolae si indichino il numeo di ami ed i loo punti di patenza e di aivo; i punti del LR appatenenti all asse eale. Inolte si deteminino i punti di inconto del LR con l asse immaginaio (se esistenti) ed i coispondenti valoi del guadagno; Si taggano le oppotune conclusioni sul compotamento del sistema dal punto di vista della stabilità; Si detemini la posizione nel pianos delle adici complesse dell equazione caatteistica con costante di smozamento (N.B. Non si consideeanno valide isposte nelle quali non siano indicati il pocedimento seguito ed i calcoli). Si considei un sistema in etoazione con la seguente equazione caatteistica. Si studi la stabilità del sistema con il metodo di Routh. Si detemini la posizione delle adici nel piano complesso (N.B. Si consideeanno non valide le isposte che non giustificano il pocedimento e non ipotano i calcoli). e K u G RISULTATI E INFORMAZIONI:

4 LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA INFORMATICA (DM 509/99) LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA DELL AUTOMAZIONE (DM 509/99) PROVA SCRITTA DEL 29/09/2011 Si considei lo schema a blocchi della figua 1. Si detemini la FDT G = /, applicando le egole di tasfomazione degli schemi a blocchi. Si considei la figua 2, con,, e Si tacci il luogo delle adici (LR) ed in paticolae si indichino il numeo di ami ed i loo punti di patenza e di aivo; i punti del LR appatenenti all asse eale. Inolte si deteminino i punti di inconto del LR con l asse immaginaio (se esistenti) ed i coispondenti valoi del guadagno. Si deteminino, se esistono, punti nei quali il LR confluisce o emege dall asse eale. Si calcolino gli angoli con i quali il LR esce dai poli; Si discuta il compotamento del sistema dal punto di vista della stabilità; Si detemini la posizione nel pianos delle adici complesse dell equazione caatteistica pe e. Si considei la figua 2, con e. Si scelgano i valoi di K ed h in modo che un ingesso () a gadino unitaio detemini una isposta con sovaelongazione pecentuale massima del 50%. Si calcoli il tempo di picco coispondente ai valoi di K ed h scelti. QUESITO D Con ifeimento alla figua 2, sia,, e. Si deteminino, con il citeio di Routh, le condizioni da impoe su T 1 e T 2 affinché il sistema in etoazione della figua 2 sia stabile. E F A B C e K u G(s) D H H(s) RISULTATI E INFORMAZIONI:

5 PROVA SCRITTA DEL 29/11/2011 A) Con ifeimento alla figua 1, di detemini la fdt / mediante tasfomazioni di equivalenza sui blocchi dello schema. Figua 1 B) Si considei la figua 2, nella quale, con K> 0, e. Si tacci i luoghi delle adici (LR). In paticolae: Si deteminino il numeo di ami, i punti di patenza e di aivo del LR; i punti dell asse eale appatenenti al luogo, il numeo degli asintoti (se esistenti), lo loo inclinazione ed il loo centoide; il valoe citico del guadagno e le intesezioni con l asse immaginaio (se esistono); i punti nei quali il LR confluisce o emege dall asse eale (se pesenti); gli angoli con i quali il LR esce dai poli immaginai. u(t) Gc s Gp s (t) Figua 2 C) Sia: l equazione caatteistica di un sistema chiuso in etoazione. Si studi la stabilità del sistema con il citeio di Routh. D) Sia. Si considei l ingesso. Si detemini il valoe dell uscita pe t=0, Si lineaizzi l equazione intono al punto{ }. Infine, si calcoli il valoe di pe con l espessione dell equazione lineaizzata. RISULTATI E INFORMAZIONI:

6 PROVA SCRITTA DEL 13/02/2012 A) Con ifeimento alla figua 1, si detemini la fdt /, tasfomando il diagamma con opeazioni gafiche di equivalenza. Figua 1 B) Sia. Si classifichi il sistema (statico/dinamico, lineae/non lineae). Se il sistema non è lineae, si considei l ingesso, si detemini il valoe dell uscita pe t=0 e si sciva l equazione lineaizzata intono al punto { }. C) Con ifeimento Figua 2, sia K>0 e. Si tacci il luogo delle adici (LR). C1) In paticolae: Si deteminino il numeo di ami, i punti di patenza e di aivo del LR; i punti dell asse eale appatenenti al LR (se pesenti), il numeo degli asintoti (se esistenti), lo loo inclinazione ed il loo centoide; il valoe citico del guadagno e le intesezioni del LR con l asse immaginaio (se esistono); i punti nei quali il LR confluisce o emege dall asse eale (se pesenti). C2) Si detemini il valoe i K pe il quale le due adici complesse dominanti del LR hanno un fattoe di smozamento pai a δ=0.5. Pe lo stesso valoe di K, si detemini la posizione nel piano complesso di tutte e quatto le adici del LR. Figua 2 D) Si studi la stabilità della seguente equazione caatteistica con il metodo di Routh: Se possibile, si detemini la posizione delle adici nel piano complesso. RISULTATI E INFORMAZIONI:

7 PROVA SCRITTA DEL 27/02/2012 A1) Con ifeimento al diagamma a blocchi della figua 1, si detemini la la funzione di tasfeimento (fdt) G(s)=(s)/(s) applicando le egole di tasfomazione degli schemi a blocchi. Figua 1 A2) Posto a=0.4k, b=0.6k, si considei l ingesso e si deteminino i valoi di K e p in modo che la sovaelongazione massima della isposta valga ed il tempo di picco sia secondi. Si detemini quindi il tempo di salita. B1) Con ifeimento alla figua 2, sia: Si tacci il luogo delle adici (LR) pe K>0. In paticolae: si deteminino il numeo di ami, i punti di patenza e di aivo del LR; i punti dell asse eale appatenenti al LR (se esistenti); il numeo degli asintoti (se esistenti), lo loo inclinazione ed il loo centoide; i punti nei quali il LR confluisce o emege dall asse eale (se pesenti); gli angoli con i quali il LR esce dai poli di G(s). B2) Si detemini l intevallo di valoi di K pe i quali il tempo di assestamento è infeioe a 3 secondi. B3) Si pecisi, motivando la isposta, se il punto appatiene al LR. Figua 2 C) Si applichi il citeio di Routh allo studio delle seguenti equazioni caatteistiche: C1) C2) In questo caso si detemini anche la posizione delle adici nel piano complesso. RISULTATI E INFORMAZIONI:

8 PROVA SCRITTA DEL 07/05/2012 A) Con ifeimento al diagamma a blocchi della figua 1, si detemini la funzione di tasfeimento (fdt) G(s)=(s)/(s) mediante tasfomazioni di equivalenza sui blocchi. B1) Con ifeimento alla figua 2, sia: Si tacci il luogo delle adici (LR) pe K>0. In paticolae: si deteminino il numeo di ami, i punti di patenza e di aivo del LR; i punti dell asse eale appatenenti al LR (se esistenti); il numeo degli asintoti (se esistenti), la loo inclinazione ed il loo centoide; i punti nei quali il LR confluisce o emege dall asse eale (se pesenti); gli angoli con i quali il LR esce dai poli di G(s); i punti di intesezione con l asse immaginaio ed il valoe coispondente del guadagno. B2) Si discuta la stabilità della fdt in anello chiuso. B3) Si pecisi, motivando la isposta, se il punto appatiene al LR. C) Un sistema in anello chiuso ha la seguente equazione caatteistica: Se ne studi la stabilità con il metodo di Routh. e K G RISULTATI E INFORMAZIONI:

9 PROVA SCRITTA DEL 05/07/2012 Con ifeimento al diagamma a blocchi della figua 1, si detemini la funzione di tasfeimento mediante tasfomazioni di equivalenza sui blocchi. Si considei il sistema idaulico in figua 2, costituito da un sebatoio di sezione costante A dotato di una valvola in uscita ad apetua costante; ta la potata di liquido che attavesa la valvola ed il livello nel sebatoio sussiste la elazione, dove h appesenta l altezza del liquido nel sebatoio. Con ifeimento al sistema lineaizzato intono al punto di equilibio, si deteminino le f.d.t. da a, e da a ; Si disegni lo schema a blocchi del sistema. Si considei la figua 3, nella quale, con k > 0,,. Si tacci il luogo delle adici del sistema pe k > 0, deteminando i punti del luogo sull asse eale, il numeo, l inclinazione e il centoide degli asintoti, i punti doppi sull asse eale e le intesezioni con l asse immaginaio (ove pesenti), nonché gli angoli di patenza e di aivo dei ami del luogo; Si discuta la stabilità del sistema in anello chiuso al vaiae del paameto k > 0, specificando pe quali valoi il sistema è ispettivamente asintoticamente stabile, semplicemente stabile, instabile (in caso di instabilità si pecisi il numeo di poli instabili) e stabile BIBO; Scelto k = 10 e detta e(t) la vaiabile eoe a valle del nodo sommatoe, si detemini, se esiste, l eoe di posizione del sistema complessivo. H 1 u G 1 G 2 G 3 h H 2 A q out u(t) e(t) d(t) w(t) Gc s Gp s (t) Figua 3 RISULTATI E INFORMAZIONI:

10 PROVA SCRITTA DEL 23/07/2012 Sia assegnato il sistema in figua 1, con. Si studi la stabilità del sistema utilizzando il citeio di Routh, specificando in paticolae il numeo di poli nel semipiano desto, nel semipiano sinisto, sull asse immaginaio; Si detemini l esatta posizione (le coodinate) dei poli del sistema sul piano complesso (ipotando oppotunamente nel popio elaboato il pocedimento adottato); Si dica se la isposta all impulso del sistema sia convegente, divegente, oscillatoia pemanente (si giustifichi la isposta). Nel sistema in figua 2, sia, con k > 0,,,. Si tacci e si oienti il luogo delle adici del sistema complessivo pe k>0, deteminando i punti del luogo sull asse eale, il numeo e l inclinazione degli asintoti, il centoide, i punti doppi sull asse eale e gli eventuali punti sull asse immaginaio con i coispondenti valoi di k, nonché gli angoli di patenza e di aivo dei ami del luogo. Si discuta la stabilità del sistema in anello chiuso al vaiae del paameto k>0, specificando pe quali valoi il sistema è ispettivamente asintoticamente stabile, semplicemente stabile, instabile (in caso di instabilità si pecisi il numeo di poli instabili) e stabile BIBO. Si dica se esistono (e in caso affemativo si deteminino con l equazione di taatua) valoi eali positivi (diffeenti) del paameto k pe i quali il sistema in anello chiuso pesenta ispettivamente i seguenti poli: s 1=2; s 2=1; s 3=1j. Si considei la figua 2, nella quale,,. Dopo ave veificato l asintotica stabilità del sistema in anello chiuso, si detemini: eoe di posizione, velocità e acceleazione del sistema; l uscita a egime podotta dal solo distubo d 1(t), posto d 1(t)=2 1(t); l uscita a egime podotta dal solo distubo d 2(t), posto d 2= 1(t); l uscita a egime podotta dal solo distubo n(t), posto n(t)=1(t). U(s) Gp(s) Y(s) D1(s) D2(s) U(s) Gc(s) H(s) Gp(s) N(s) Y(s) RISULTATI E INFORMAZIONI:

11 PROVA SCRITTA DEL 03/09/2012 Con ifeimento alla figua 1, di detemini la f.d.t. / mediante tasfomazioni di equivalenza sui blocchi dello schema. Nel sistema in figua 2, sia, con k > 0,,. Si tacci e si oienti il luogo delle adici del sistema complessivo pe k>0, deteminando i punti del luogo sull asse eale, il numeo e l inclinazione degli asintoti, il centoide, i punti doppi sull asse eale e gli eventuali punti sull asse immaginaio con i coispondenti valoi di k, nonché gli angoli di patenza e di aivo dei ami del luogo. Si discuta la stabilità del sistema in anello chiuso al vaiae del paameto k>0, specificando pe quali valoi il sistema è ispettivamente asintoticamente stabile, semplicemente stabile, instabile (in caso di instabilità si pecisi il numeo di poli instabili) e stabile BIBO. Si dica se esiste e in caso affemativo si deteminino i valoi eali positivi del paameto k pe i quali il sistema in anello chiuso pesenta i seguenti poli: s = 4; s = 1±j. Se ha senso, si dica pe quali valoi di k il sistema pesenta una isposta oscillatoia pemanente, specificando la pulsazione di oscillazione. Con ifeimento alla figua 2, sia e,,. Si discuta la stabilità del sistema in anello chiuso al vaiae del paameto K in tutto l insieme dei numei eali, specificando pe quali valoi di esso il sistema è asintoticamente stabile, semplicemente stabile, instabile (in caso di instabilità si pecisi il numeo di poli instabili). E A B D F C u(t) e(t) d(t) w(t) Gc s Gp s (t) RISULTATI E INFORMAZIONI:

12 PROVA SCRITTA DEL 26/09/2012 Si considei il sistema descitto dall equazione. Giustificando adeguatamente le isposte, si pecisi se il sistema è statico o dinamico, lineae o non lineae (non saanno valutate isposte non motivate in modo esauiente); Si considei l ingesso. Dopo ave deteminato l uscita all istante, si sciva l equazione del sistema lineaizzato intono al punto { }. Nel sistema in figua 1, sia,,. Si tacci e si oienti il luogo delle adici del sistema complessivo pe K > 0, deteminando i punti del luogo sull asse eale, il numeo e l inclinazione degli asintoti, il centoide, i punti doppi sull asse eale e gli eventuali punti sull asse immaginaio con i coispondenti valoi di K, nonché gli angoli di patenza e di aivo dei ami del luogo; Si discuta la stabilità del sistema in anello chiuso al vaiae del paameto K, specificando pe quali valoi il sistema è ispettivamente asintoticamente stabile, semplicemente stabile, instabile; Se ha senso, si dica pe quali valoi di K il sistema pesenta una isposta oscillatoia pemanente, specificando la pulsazione di oscillazione. Sia assegnato il sistema in figua 2, con. Si studi la stabilità del sistema; Si specifichi il numeo di poli nel semipiano desto, nel semipiano sinisto, sull asse immaginaio; Se ha senso, si detemini la isposta del sistema a egime quando in ingesso è applicato il segnale, con impulso di Diac e gadino unitaio. Gc(s) H(s) G(s) U(s) Gp(s) Y(s) RISULTATI E INFORMAZIONI:

13 PROVA SCRITTA DEL 27/11/2012 Si considei il sistema descitto dalla seguente equazione, con u e ingesso e uscita ispettivamente: Giustificando adeguatamente le isposte (non saanno valutate isposte non motivate in modo esauiente), si pecisi se il sistema è statico o dinamico, lineae o non lineae; Si considei l ingesso, si lineaizzi l equazione intono al punto, deteminando l equazione che lega gli incementi e ispetto ad ed. Dopo ave deteminato la f.d.t., posto e, si detemini l uscita quando in ingesso al sistema è applicata una ampa unitaia; si detemini quindi. Se ha senso, si calcoli il valoe di [ ] a egime. Nel sistema in figua, sia (, ),. Si tacci e si oienti il luogo delle adici del sistema complessivo pe K > 0, deteminando i punti del luogo sull asse eale, il Gc(s) G(s) numeo e l inclinazione degli asintoti, il centoide, i punti doppi sull asse eale e gli eventuali punti sull asse immaginaio con i coispondenti valoi di K, nonché gli angoli di patenza e di H(s) aivo dei ami del luogo; Si discuta la stabilità del sistema in anello chiuso al vaiae del paameto K, specificando pe quali valoi il sistema è ispettivamente asintoticamente stabile, semplicemente stabile, instabile; Deteminae il valoe di K pe cui la isposta al gadino del sistema in anello chiuso abbia un tempo di assestamento al 5% pai a, veificando che il sistema in anello chiuso sia appossimabile ad un sistema del 2 odine. I gafici in figua mostano le isposte nel tempo di 4 diffeenti sistemi dinamici ai seguenti segnali: A. B. (impulso di Diac) C. (gadino unitaio) D. Giustificando la isposta (non saanno valutate isposte non adeguatamente motivate), si associ a ciascuno dei gafici la coispondente f.d.t ta quelle ipotate di seguito: A C B D RISULTATI E INFORMAZIONI: