Organizzazione del modulo

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1 You do not eally undestand something unless you can explain it to you gandmothe (A.Einstein) IL CALCOLO FINANZIARIARIO 20 settembe 2004 Oganizzazione del modulo 1. Elementi intoduttivi 2. Inteesse semplice 3. Inteesse composto: anticipazione e posticipazione 4. Annualità: limitate e illimitate (cenni) 1. Elementi intoduttivi Il calcolo finanziaio pemette di effettuae confonti di VALORI che cadono in momenti divesi Pe impostae il calcolo isulta sempe utile una appesentazione gafico-tempoale dei Valoi (V) V 0 V 1 V 2 V n-2 V n-1 V n n-2 n-1 n Anni o peiodi 1

2 Il ipoto dei valoi monetai nel tempo fa ifeimento al fatto che il denao - capitale indiffeenziato - dà luogo ad inteessi (I) Inteessi pagati da chi iceve denao in pestito Inteessi icavati da chi pesta denao L inteesse appesenta il pezzo d uso (costo) del denao Il saggio inteesse ( o agione o tasso) misua il pezzo del denao ed è genealmente espesso in temini pecentuali. Il saggio di inteesse applicato ad un capitale ne espime il costo annuo dello stesso Cescita di Euo in 11 anni con =5% e =15% % 15% anni Valoi coenti e valoi eali Peché, in un deteminato lasso di tempo, un bene cambia di pezzo? Ad esempio: un tattoe podotto negli USA venduto sul mecato italiano 2003 = Euo 2004 = Euo 1. Inflazione: ta il 2003 e il 2004 l Euo ha peso il 2% di potee d acquisto 2. Regime di cambio: il tattoe viene acquistato sul mecato intenazionale e pagato in US$; nell anno il tasso di cambio è passato da 1US$=0,9 Euo a 1 US$=1,1 Euo 3. Regimi taiffai e fiscali: nell anno sono cambiate le tasse all impotazione, l IVA, le tasse di egisto, 2

3 Le opeazioni di matematica finanziaia esulano da ogni consideazione iguado l inflazione (come pealto nell analisi degli investimenti). Le valutazioni infatti vengono di solito effettuate a potee d acquisto costante della moneta (in temini eali) e non tenendo conto del pocesso inflattivo (valoi coenti, quelli che si ossevano sul mecato) = Euo 2004 = Euo Valoi coenti Pe deflazionae i valoi coenti: vd. tavole ISTAT sul potee d acquisto della moneta. Nell esempio, pe tasfeie in valoi eali (ifeiti al 2004) Euo si utilizza il coefficiente 1,02: * 1,02 = l incemento eale di pezzo è stato di Euo (+8%) In effetti, ipotizzando nessuna vaiazione nel egime fiscale e doganale, il pezzo all oigine è diminuito: se il tattoe è stato acquistato sul mecato USA in $, data la vaiazione del egime di cambio (da 1US$=0,9 Euo nel 2003 a 1US$=1,1 Euo nel 2004), c è stat una diminuzione del pezzo: negli USA costava $ nel 2003, nel 2004 costa $ (senza tenee in conto la pedita di potee d acquisto del dollao) 2003 = Euo/0,9 = $ 2004 = Euo/1,1 = $ diminuzione del pezzo all oigine di $ (pai a -11,7%) 2. Inteesse Semplice Inteesse ifeito ad un anno: I = C 0 Inteesse pe peiodi divesi dell anno: I = C 0 m m = fazioni, o multipli, dell anno: 3/12 o 15/12 oppue 200/365 o 450/365 Fomule invese: I C 0 = = m I C 0 m 3

4 Montante C n = C 0 + C 0 = C 0 (1 + ) Pe fazioni o multipli dell anno: C n = C 0 + C 0 m= C 0 (1 + m) Fomula invesa: C n C 0 = (1 + m) 3. Inteesse composto Inteesse composto discontinuo annuo n-2 n-1 n I = C n -C 0 Come si ottiene C n? Esempio = 20% 0,20 Anno Montante = Capitale + Inteesse = = x 0, = x 0, ,8 = x 0,2 0 C o = C o 1 C 1 = C o + (C o x ) = C o x (1 + ) 2 C 2 = C 1 + (C 1 x ) = C 1 x (1 + ) = C 0 x (1 + ) x (1 + ) 3 C 3 = C 2 + (C 2 x ) = C 0 x(1 + )x(1 + )x(1 + ) 4

5 C 1 = C 0 + C 0 = C 0 (1+ ) C 2 = C 1 + C 1 = C 1 (1+ ) = C 0 (1+ ) 2 C 3 = C 2 + C 2 = C 2 (1+ ) = C 0 (1+ ) 3 q = 1 + C n-1 = C n-2 + C n-2 = C n-2 (1+) = C 0 (1+) n-1 C n = C n-1 + C n-1 = C n-1 (1+) 2 = C 0 (1+) n C n = C 0 (1+) n = C 0 q n Pocedua di posticipazione: C n = C o q n Pe esempio, un costo di 3M al 2 anno di un investimento, posticipato al 10 anno al 3% è pai a: 3M x (1+0,03) 8 = 3M x 1,03 8 = 3M x 1,267 = 3,8M L opeazione invesa è quella di sconto (o anticipazione o attualizzazione): n-2 n-1 n C o = C n 1 q n 5

6 Pocedua di sconto Ad esempio, supponendo di dove scontae una voce di 1,5 M pevista all'anno 7 con un saggio di sconto del 5%, il valoe attuale isulteà pai a: 1,5 M x 1/(1+0,05) 7 = 1,5 M x 1/(1,05) 7 = 1,5 M x 0,71 = 1,065 M. Effettuando un agionamento inveso, cioè applicando una pocedua di posticipazione, si potebbe affemae che, investendo 1,065 M ad un saggio di inteesse del 5%, il valoe complessivo del capitale e degli inteessi matuati dopo 7 anni isulteebbe pai a 1,5 M. n anni 2% 5% 7% 10% 1 0,98 0,95 0,93 0,91 2 0,96 0,91 0,87 0,83 3 0,94 0,86 0,82 0,75 4 0,92 0,82 0,76 0,68 5 0,91 0,78 0,71 0,62 6 0,89 0,75 0,67 0,56 7 0,87 0,71 0,62 0,51 8 0,85 0,68 0,58 0,47 9 0,84 0,64 0,54 0, ,82 0,61 0,51 0, ,80 0,58 0,48 0, ,79 0,56 0,44 0, ,77 0,53 0,41 0, ,76 0,51 0,39 0, ,74 0,48 0,36 0, ,73 0,46 0,34 0, ,71 0,44 0,32 0, ,70 0,42 0,30 0, ,69 0,40 0,28 0, ,67 0,38 0,26 0,15 I coefficienti di sconto 1/q n (tanto più efficaci nel loo potee iduttivo, quanto più alti sono e n) The positive inteest ate is the enemy of long-lived investment pojects (Samuelson, 1976) 1/q n 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, n Quale delle 4 cuve è quella che appesenta il 10, 7, 5 e 2%? 6

7 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0, % 5% 7% 8% 10% Le pocedue pesentate finoa iguadavano valoi che cadono una tantum. Spesso si ha invece a che fae con valoi costanti che cadono secondo fequenze pecise: annualità Esempi di valoi icoenti e costanti: podotto annuo affitto salai e stipendi di lavoatoi fissi quote pagamenti mutui 4. Annualità In pesenza annualità (e anche di peiodicità) si potebbe continuae ad effettuae ipoti ifeiti ai singoli valoi: pocedua coetta ma lunga, da cui l elaboazione di fomule semplificate 1 caso: accumulazione finale di n annualità a a a a a a n-2 n-1 n A n = a + a q + a q a q n-2 + a q n-1 7

8 A n = a Da cui si può ottenee: 2 caso: accumulazione iniziale di n annualità (a) A 0 = a q n oppue, sostituendo A n con a: 1 A 0 = A n q n q n 1 1 q n 1 = a = a q n q n A 0 A n a a a a a a a a a a a = A n da a q n a = A 0 a q n 8

9 Esempio: eintega del valoe di una macchina Valoe a nuovo: Euo Valoe di ecupeo: Euo duata: 6 anni = 5% Quota di eintega? a = A n a = ( ) x 0,05 / (1,05 6 1) = = x 0, = 4116,49 Esempio: piano ammotamento di un debito debito: Euo duata: 10 anni = 5% Quota di ammotamento? q n a = A 0 a = x 0,05 x 1,05 10 / (1, ) = = x 0, = ,5 Valoi posticipati o anticipati a 1 a 2 a n-2 a n-1 a n n-2 n-1 n a 1 a 2 a 3 a n-1 a n n-2 n-1 n 9

10 A n = a q A 0 = a q q n a q A 0= = 0,05? inseisci il saggio di inteesse peiodi (t) = 5 (file Excel che può essee scaicato dal sito) Qual e il valoe finale = 0,05? inseisci il saggio di inteesse di una annualità peiodi (t) = 5 inseisci il numeo di peiodicità? annualità peiodicità accumul. accumul. accumul. accumul. posticipa- ammotamento accumul. finale accumul. iniziale anni sconto finale iniziale eintega iniziale iniziale zione peiod.illimit. peiod.limit. annu.limit. annu.limit. annu.illimit. peiod.illimit. n q n 1/q n ()/ ()/q n /() q n /() 1/ q nt -1/(q t -1) q nt -1/[(q t -1)q nt ] 1/() ,05 0, , , , ,1025 0, ,05 1, , , , , , , , ,1525 2, , , , , , , ,8227 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4071 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,539 12, , , ,3141 3, , , , , , , , , , , elativa a 6 anni? inseisci il numeo di peiodicità? annualità peiodicità accumul. accumul. accumul. accumul. posticipa- ammotamento peiod.illimit. peiod.limit. accumul. finale accumul. iniziale anni sconto finale iniziale eintega iniziale iniziale zione annu.limit. annu.limit. annu.illimit. peiod.illimit. n q n 1/q n ()/ ()/q n /() q n /() 1/ q nt -1/(q t -1) q nt -1/[(q t -1)q nt ] 1/() ,05 Qual e 0,95238 il valoe del 1 0, Qual e 1,05 il valoe iniziale , ,1025 montante 0,90703 di un capitale 2,05 1, , , di una annualità 20 2, , , , investito 0,86384 pe 8 anni? 3,1525 2, , , elativa a 5 anni? 20 3, , , , ,8227 4, , , , , , , , , , , , , , Qual e 2, il la quota annuale 3, , , , , , , ,023757di un 2, capitale da 2, ,4071 0, , , , , , ammotizzae 2, in 8 anni? 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Qual e 16 2, il valoe 0, , , , , , , , attuale 2, di un 0, , , , , , , , capitale 18 2, elativo Qual e il valoe attuale di un capitale 0, , , , , , , , all anno 2, ? deivante da un eddito illimitato con 0,39573 Qual e 30,539 il la quota 12, annuale 0, , cadenza peiodica ,3141 ogni 10 anni? 3, , , , ,06595 di un capitale 12,46221 da 0, , , , , eintegae in 10 anni? 10