Integrazione indefinita di funzioni irrazionali

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1 Esecizi di iepilogo e complemento Integazione indefinita di funzioni iazionali 0.5 setgay0 0.5 setgay Denotiamo con R(,,..., n ) una funzione azionale delle vaiabili indicate. Passiamo in assegna alcuni tipi di integali la cui funzione integanda può essee azinalizzata mediante paticolai sostituzioni. a) Integali del tipo R(,,..., n )d dove,,..., n sono dei numei azionali che suppoemo idotti ai minimi temini. Detto µ il minimo comune multiplo dei denominatoi delle fazioni,,..., n, mediante la sostituzione = t µ l integale consideato si tasfoma in un integale di una funzione azionale di t. b) Integali del tipo [ R, ( ) a + b, c + d ( ) a + b,..., c + d ( ) n ] a + b d c + d dove a, b, c, d sono quatto costanti tali che ad bc = 0e,,..., n hanno il significato loo attibuito in a). Mediante la sostituzione a + b c + d = tµ, dove µ ha lo stesso significato che in a), l integale dato si tasfoma in un integale di una funzione azionale di t. Come caso paticolae si hanno gli integali del tipo R[, (a + b), (a + b),...,(a + b) n ] d Osseviamo che gli integali di tipo a) sono un caso paticolae di questo. c) Integali del tipo R(, a + b ) d dove a, b, c sono costanti. Notiamo che: se è a = 0 l integale ienta in quelli di tipo b); se è a>0eb 4ac =0, si ha un integale di funzione azionale; escludiamo il caso a<0,b 4ac 0 in quanto la funzione R è complessa. Denotiamo con α e β gli zei, che suppoemo pe il momento eali, del tinomio a + b. Si può scivee, supposto =α, a + b = a( α) ( β) a( β) a( α)( β) = = α α α, pe cui l integale diviene ( ) a( β) R, α d α e quindi ienta negli integali di tipo b). Mediante la sostituzione a( β) α = t, equivalente alla a + b =( α)t, () l integale consideato si tasfoma petanto in un integale di funzione azionale di t. Se è a>0 e gli zei α e β sono complessi (di conseguenza è c>0) in luogo della sostituzione (), pe evitae l uso dell immaginaio, si può effettuae una delle sostituzioni

2 a + b = a + t, () a + b = t + c () ciascuna delle quali pemette di tasfomae l integale dato in uno di funzione azionale. Ricapitolando: se è a>0,c 0, αe β eali si può applicae indiffeentemente una delle due sostituzioni (), (), (); se è a<0,c 0 (e quindi α e β eali) si può applicae la () o la (); se è a>0 e gli zei α, β complessi (e quindi c>0) si può fae uso della sostituzione () o della (); se è a<0,c<0eα e β eali si effettua la sostituzione (). Petanto, sempe che la funzione R() sia eale, mediante un oopotuna scelta della sostituzione si può effettuae il calcolo dell integale imanendo nel campo eale. Un integale più geneale di quello che abbiamo consideato è il seguente: R[, P ()] d dove P ()è un polinomio di gado. Si può dimostae che questo integale non è espimibile in temini finiti mediante le funzioni elementai. d) Integali del tipo R (, a + b, c + d )d. Mediante la sostituzione a + b = t (oppue c + d = t) l integale consideato si iduce ad un integale del tipo c). e) Integali del tipo q (a + b ) s d (q,, s, a, b costanti eali). L espessione q (a + b ) s d è detta diffeenziale binomio e questi integali sono detti integali di diffeenziale binomio. Notiamo che se uno dei numei, s, a, b è nullo il calcolo dell integale è immediato. Supposto che i numei q,, s siano azionali, e che, s 0, isulta che l integale dato si può espimee in temini finiti mediante le funzioni elementai se e solo se è inteo almeno uno dei te numei q + s,, s+ q +. Se s è inteo, l integale consideato ienta negli integali del tipo a). ( Se èinteo(q +)/, si effettua la sostituzione a + b = t n, s = m n,n>0) ; Se, infine, è inteo s +(q +)/, si esegue la sostituzione b + a = t n (, s = m n,n>0). Le sostituzioni indicate tasfomano diettamente l integale di diffeenziale binomio in un integale di funzione azionale. Si possono eseguie, olte a quelle indicate, alte sostituzioni: se (q +)/ è inteo, si può poe a + b = t, oppue b = at; se è inteo s +(q +)/ si può eseguie la sostituzione b + a = t oppue b = at. Mediante esse l integale viene tasfomato in un integale ancoa di funzione iazionale ma di natua più semplice. Agli integali consideati si iconducono anche gli integali della foma (a α + b β ) γ d (α, β, γ, a, b costanti eali,α β). Pe questo motivo si dice anche che, nelle condizioni di cui sopa, il diffeenziale binomio q (a+b ) s d è azionalizzabile. Se α = β il calcolo dell integale è immediato.

3 Infatti, si può scivee (a α + b β ) γ = αγ (a + b β α ) γ. ossevazione Se i numei q,, s, anziché azionali, sono eali qualunque, alloa, affinché l integale consideato si possa calcolae in temini finiti, è necessaio e sufficiente che uno almeno dei te numei q + ( s,, s + q + ) sia inteo e positivo. Se s è inteo e positivo l integale è espimibile in temini finiti in quanto la funzione integanda è una somma di funzioni del tipo µ ν, con µ e ν costanti. Se è inteo e positivo (q +)/, alloa si può ( eseguie la sostituzione a+b = t, mente se è inteo e positivo b + a = t. s+ q+ ) si può eseguie la sostituzione

4 . Calcolae gli integali: a) + d; log( 6 +)+c b) 5/4 d; log ( 4 ) 4 c) 4 d; ±( ± +log ± ) +c se 0,, oppue se 0,. ( d) / d; ) ( ) + actg e) a a + d (a costante non nulla); a a actg a + ± a se a 0 f ) 5 d; 5 ( )6/5 g) 4 + d; 4 (4 +)/ 8 (4 +)/ h) ( ) d; ( ) [ + ( ) +4log ] i) d; +0 ( + 0) ( + 0) + ( + 0) j ) + d; log + + k) + a d (a costante non nulla); log( + + a )+c l) a d (a costante non nulla); log(± ± a )+c se a oppue se a 4

5 m) + p + q d; n) + a d (a costante non nulla); [ + a + a log( + + a ) ] o) a d (a costante non nulla); [ a a log + a ] p) + p + q d; q) + p + q d (p +4q>0); ) + + d (a costante non nulla); actg + s) + d; ( +)( +5+ ) ++ 4 actg + t) ( + +) d; log u) d; actg 4 + v) ++ d; ( + ) 4 +4( + ) 4( + )+ 4( + ) log( + )+c w) ( + ) d; + +log ( + ) ) + 4 d; ( + 4 ) 7 ( + 4 ) 4 7 y) 5 d; 9 ( +) +c 5

6 z) 4 + d; log ++ + (4 +) α) d; ( 4 +) log ( 4 + ) ( 4 +) actg 4 ++ β) ( + ) d; + γ) 5 ( + 6 ) d; δ) ( ) d; [ 8( ) + + ( ) ( ) + + ( ) ] ε) ( ) (+ )/ d; ( + ) ( ) (+ )/ 6