Applicazioni del calcolo di erenziale: problemi di massimo e minimo

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1 Alicazioni del calcolo di eenziale: oblemi di massimo e minimo Maco Bamanti Decembe 1, 015 Abstact Vediamo alcuni esemi di come il calcolo di eenziale consenta di fomalizzae e isolvee oblemi geometici o di alto tio in cui si ceca di massimizzae o minimizzae una ceta gandezza, sotto ootune condizioni. 1 Poblemi di massimo e minimo di tio geometico Esecizio 1 Ta i ettangoli di eimeto assegnato, quello di aea massima è il quadato. ia il eimeto, a; b i lati. a+b = eciò ossiamo oe a = x; b = e l aea A (x) = x ( x) ; che ha massimo evidentemente e x = =; quindi è un quadato. x Esecizio Tovae il ettangolo di aea massima che sta dento un tiangolo ettangolo di cateti a; b. E un quadato? La sua aea è maggioe o minoe della metà dell aea del tiangolo ettangolo? 1

2 Consideiamo il tiangolo di vetici 1 (a; 0) ; (0; b). L iotenusa sta alloa sulla b b etta y = b ax. Il ettangolo ha due lati sugli assi, base x, altezza y = b a x; aea b A (x) = x b a x = b a x + xb; aabola che ha massimo nel vetice x = = a. Il ettangolo quindi ha base a= e altezza b=; in geneale non è un quadato. L aea massima è ab=; esattamente metà dell aea del tiangolo in cui è contenuto. In questo caso il calcolo di eenziale non è sevito eché, come nell esemio ecedente, la funzione da massimizzae è una aabola; questa fotunata coincidenza eò non uò continuae a lungo... Esecizio Tovae il ettangolo di aea massima che sta dento un cechio di aggio. E un quadato? La sua aea è maggioe o minoe della metà dell aea del cechio? b b a Consideiamo la ciconfeenza x + y = e siano a; b i semilati del ettangolo. Pe Pitagoa si ha a + b = quindi ossiamo oe a = x; b = x 1 Notiamo che, quando utilizziamo la geometia analitica come stumento e a ontae un oblema fomulato col linguaggio della geometia sintetica, siamo noi a scegliee il sistema di ifeimento nel modo iù comodo.

3 e l aea del ettangolo è A (x) = ab = x x : A 0 (x) = x + x ( x) = x x x = x x 0 e x x ; x (icodae che x > 0). q =, eciò in coison- Quindi A (x) è massima e a = ; b = denza del quadato. L aea massima è A max = =. Pe confonto, l aea del cechio è A ce =, e il aoto ta le aee è A max A ce = = 0:6::: > 1. Il quadato inscitto ha aea maggioe della metà dell aea del cechio. Esecizio Cosa cambia nell esecizio ecedente se al osto del cechio si ende il semicechio o il quato di cechio? Pe le simmetie, la gua massimizzante è la ozione di quadato contenuta isettivamente nel semicechio (quindi un ettangolo di oozioni 1) o nel quato di cechio (quindi ancoa un quadato). Anche il aoto ta aea del ettangolo e aea della gua cicoscitta non cambia. Esecizio 5 (Il oblema del fabbicante di lattine) Ta tutti i cilindi di volume assegnato, deteminae quello di sue cie totale minima. Esimee il isultato dicendo quanto vale e il cilindo massimizzante il aoto aggio / altezza. (i uò ensae a questo oblema così: ssata la caacità che deve avee una lattina, ad es. cl, deteminae le sue oozioni in modo da usae meno alluminio ossibile e fabbicala). iano ; h aggio e altezza del cilindo. i ha: Volume = h = V assegnato, quindi h = V :

4 La sue cie totale è = + h = + eciò dobbiamo massimizzae e > 0 la funzione () = + V : V ; 0 () = V ; V 0 e e il volume è massimo e = V e h = V = ::: il aoto h = V = V V = 1 ; quindi il cilindo massimizzante ha h = : (Altezza ai al diameto di base). Esecizio 6 Deteminae il cilindo di volume massimo inscitto in una sfea di aggio. Calcolae il aoto ta altezza e aggio del cilindo massimizzante. Il volume del cilindo massimo è maggioe o minoe di metà del volume della sfea? iano ; h aggio e altezza del cilindo. Una sezione veticale delle gue mosta alloa un ettangolo di lati h; inscitto in una ciconfeenza di aggio ; e e Pitagoa vale: h + = ; da cui = h e il volume del cilindo è V = h = h h: Dobbiamo massimizzae quindi V (h) = h h e 0 < h <

5 V 0 (h) = h 0 e h ; h. Il volume è massimo e h = ; = h =. h = = ; Il volume massimizzante è V max = = mente e V sfea = V max = 1 = 0; 577::: > 1 V sfea. Il volume del cilindo è (oco) iù di metà del volume della sfea cicoscitta. Esecizio 7 Deteminae il cilindo di volume massimo che sta dento un cono di altezza H e aggio. Calcolae il aoto ta altezza e aggio del cilindo massimizzante. Il volume del cilindo massimo è maggioe o minoe di metà del volume del cono? iano ; h aggio e altezza del cilindo. Una sezione veticale delle gue mosta alloa un ettangolo di lati h; inscitto in un tiangolo isoscele di base e altezza H. e i vetici sono (; 0) ; (0; H) ; il lato obliquo di desta è la etta y = H H x e si ha h = H H : Il volume del cilindo è V = h = H H : Dobbiamo massimizzae quindi V () = H e 0 < < : 5

6 Il volume è massimo e Il volume massimizzante è mente e V max = H 1 V 0 () = H 0;. = ; h = H h = H. H 0 e = 1 H; = H 9 1 V cono = 1 H V max V cono = 9 < 1. = 7 H Il volume del cilindo è (oco) meno di metà del volume del cono cicoscitto. Esecizio 8 Deteminae il cono di volume massimo inscitto in una sfea di aggio. Calcolae il aoto ta altezza e aggio del cono massimizzante. Il volume del cono massimo è maggioe o minoe di un tezo del volume della sfea? iano ; h aggio e altezza del cono. Una sezione veticale delle gue mosta alloa un tiangolo isoscele inscitto in una ciconfeenza di aggio. Indicando con y la distanza ta la base del cono e il cento della sfea, l altezza del cono è h = y + e e Pitagoa vale: da cui onendo x = si ha + y = ; h = + x e il volume del cono è V = 1 h = 1 x + x : 6

7 Dobbiamo massimizzae quindi V (x) = 1 x + x x e 0 < x < V 0 (x) = 1 x + x x x = 1 x + x x x = x x x + x 0 e x x + x 0 x x : = 1 x + x! x x Occoe isolvee la disequazione iazionale. Pe x è seme vea, e x > è equivalente a x 9x + 1x 9x 8x 0 9x 8 quindi V (x) cesce no a x = 8 9, che dà il unto di massimo = x = h = + h = Il volume massimizzante è mente e V max = = 8 9! V sfea = V max = 8 V sfea 7 < 1. = = 8 7 Il volume del cono è (oco) meno di un tezo del volume della sfea cicoscitta. 7

8 Esecizio 9 Ta tutti i cilindi inscitti in una sfea di aggio, deteminae quello di sue cie lateale massima. (Il oblema fu isolto da Femat). Calcolae il aoto h= e il cilindo massimizzante. La sue cie lateale del cilindo è maggioe o minoe della metà della sue cie della sfea? iano ; h aggio e altezza del cilindo. Una sezione veticale delle gue mosta alloa un ettangolo di lati h; inscitto in una ciconfeenza di aggio ; e e Pitagoa vale: h + = ; da cui = h e la sue cie lateale del cilindo è = h = h h: Dobbiamo massimizzae quindi (h) = La sue cie è massima e h h e 0 < h < 0 1 V 0 (h) h + h q h A h = q h 0 e h h ; h. h = ; = h =. La sue cie massimizzante è mente h = ; max = = sfea = ; ossia la sue cie lateale del cilindo è esattamente metà di quella della sfea cicoscitta. 8

9 Esecizio 10 Deteminae il aalleleiedo a base quadata di volume massimo inscitto in una sfea di aggio. E un cubo? Il volume del aalleleiedo massimo è maggioe o minoe di metà del volume della sfea? (Il oblema fu isolto da Keleo). iano a; a; b i semisigoli del aalleleiedo inscitto. Pitagoa nello sazio si ha Pe il teoema di quindi onendo si ha e il volume del aalleleiedo è a + a + b = a = b = x x V = (a) b = x x, da massimizzae e 0 < x <. V 0 (x) = x ; x x 0 e quindi il volume è massimo e b = x = ; a = aalleleiedo massimo è un cubo, di volume e V max = V max V sfea = = 8, q 8 = = 0; 7::: =, eciò il Il volume del cubo è oco iù di un tezo del volume della sfea, ma meno della metà. Esecizio 11 Ta tutti i cilindi di diagonale ssata, tovae quello di volume massimo. Esimee il isultato dicendo quanto vale il aoto h= e il cilindo massimizzante. [Diagonale del cilindo è la diagonale del ettangolo che si ottiene con una sezione veticale del cilindo assante e il cento]. Pe Pitagoa si ha: h + () = d 9

10 dove d è la diagonale ssata. Peciò oniamo Il volume del cilindo è e dobbiamo massimizzae = x h = d x V = h = x d x V (x) = x d x e 0 < x < d. V 0 (x) = x d x + x ( 8x) d x x = d x d 6x 0 e d 6x x d 6 : Il volume è massimo e = x = d 6 ; h = h 6 = = : d d = x x x d x d 6 = d ; i uò a questo unto aie una aentesi sul concetto di diagonale di un cilindo: Esecizio 1 Dimostae che la diagonale di un cilindo (così come è stata de nita nell esecizio ecedente) è il segmento iù lungo in esso contenuto. Pe inseie un segmento di massima lunghezza in un cilindo usando bene lo sazio a disosizione, è chiao che i due estemi del segmento dovanno essee sulla sue cie del cilindo stesso, e dovanno essee sulle due basi ooste. cegliamo un ifeimento in cui uno dei due unti è P 1 ( ; 0; 0) ; e sia l alto P (x; y; H), con x +y =. La lunghezza del segmento al quadato è (teoema di Pitagoa nello sazio): (P 1 P ) = (x + ) + y + H = (x + ) + x + H = x + + H ; con x [ ; ] ; ed è ovviamente massima e x = : Quindi P (; 0; H), e il segmento P 1 P è oio quello che abbiamo chiamato diagonale del cilindo. Qui non è nemmeno sevito il calcolo di eenziale, visto che si massimizzava una funzione lineae su un intevallo chiuso e limitato. 10

11 Esecizio 1 Ta tutti i cilindi di diagonale ssata, tovae quello di sue cie totale massima. Esimee il isultato dicendo quanto vale il aoto h= e il cilindo massimizzante. Pe Pitagoa si ha: h + () = d dove d è la diagonale ssata. Peciò oniamo = x h = d x La sue cie totale del cilindo è = + h = x + x d x e dobbiamo massimizzae (x) = x + x d x e 0 < x < d. 0 (x) = x + d x + x ( 8x) d x = x + d 8x 0 e d x e x d 8 x d x 8x d d è seme vea, se 8 < x d = x + d x x d x si ha x d x 6x + d 16x d 80x 0x d + d = x = 1 s x = 10d 0d 80 d x d 0 = 5 5 d 0 cescente no a x = d ; quindi la sue cie è massima e s d 10 h = d d 10 = s h = = s : 5 d 10 11

12 Esecizio 1 Ta tutti i coni di sue cie totale ssata, deteminae quello di volume massimo. Esimee il isultato mediante il aoto h= ta altezza e aggio del cono. La sue cie totale è: = + 1 a dove a è l aotema, a = + h, quindi = + + h ed è ssato. Possiamo icavae h = e quindi calcolae il volume s V = 1 h = 1 : Occoe quindi massimizzae V () = 1 s = 1 = 1 e <. V 0 () = 1 + q = 1 q q 1 = q = q 1 q 0 e 1

13 eciò il volume è massimo e = v u h = t h = : = Alti tii di oblemi di massimo e minimo I oblemi di massimo e minimo facilmente fomalizzabili e isolubili col calcolo di eenziale scolastico non si limitano ai tii di oblemi geometici che abbiamo illustato nella sezione ecedente. i ossono consideae oblemi sici, economici, o di alto tio. Nella tadizione didattica dei libi di Calculus ameicani questi oblemi occuano amio sazio. Ad esemio, i seguenti testi (tadotti in italiano) contengono decine di oblemi di questo tio, alcuni decisamente inteessanti: obet A. Adams. Calcolo di eenziale 1. Funzione di una vaiabile eale. econda edizione. Casa Editice Ambosiana (v. agine ). James tewat. Calcolo. Funzioni di una vaiabile. Ed. Aogeo. (v. agine 1-17). E istuttivo endesi conto di come il calcolo di eenziale emetta di isolvee oblemi di massimo o minimo anche nel disceto, non solo nel continuo: Esemio 15 Ci chiediamo e quale n la successione a n = n e n assume il suo valoe massimo. La domanda è giusti cata dal fatto che questa successione è ositiva e tende a zeo e la geachia degli in niti, ma a 0 = 0, eciò deve avee un elemento massimo. Natualmente si uò facilmente indovinae chi sia questo temine tabulando i imi valoi n a n 0 0:68 :165 :0 :689 :11 :1 1:7 0:810 ma noi voemmo ote dimostae il isultato congettuato. Consideiamo: f (x) = x e x e x [0; +1); e cechiamone (in quell intevallo) il unto di massimo assoluto. f 0 (x) = e x x x = x e x ( x) 0 e x, quindi f ha il suo massimo e x =, ossia f (x) f () e ogni x 0, e quindi a maggio agione e ogni x = n 0. Peciò a n = f (n) ha il suo massimo e n = : 1

14 Esemio 16 Dimostae che e ogni k = 1; ; ; :::; la successione a n = n k e n ha massimo e n = k. (i ossevi che la successione diende dall indice n, mente k è un aameto ssato). Il ocedimento è identico a quello visto. i noti che se si fosse a ontato diettamente il oblema e la successione a n = n 10 e n (ad esemio), non saebbe stato facile caie e tabulazione che il valoe massimo ea assunto e n = 10. Il calcolo di eenziale ci fa scoie il isultato, non ce lo fa solo dimostae. Esemio 17 Deteminae e quale n la successione a n = n n assume il suo valoe massimo. (La agione e ci asettiamo che ci sia un valoe massimo è la stessa del imo esemio). Il ocedimento è simile ma c è un fatto tecnico che ende il oblema signi cativamente diveso. e oniamo e calcoliamo f (x) = x x e x [0; +1) f 0 (x) = x x x log = x x ( x log ) 0 e x log ' 5:77 vediamo che la funzione di vaiabile eale assume il suo massimo in un unto non inteo. Poiché f cesce ima di 5:77, la successione a n è cescente e n = 1; ; :::; 5; analogamente, è decescente e n = 6; 7; 8; ::: La conclusione è che il valoe massimo di a n è assunto e n = 5 o e n = 6: solo il calcolo numeico dei due valoi ci uò die quale dei due sia il massimo: eciò il valoe massimo è a 6. a 5 = 19:51; a 6 = 0:5 Un alto tio ancoa di imiego dei oblemi di massimo e minimo, di tio teoico, è illustato dal seguente Esemio 18 Dimostae che esiste una costante c > 0 e cui si ha: (a + b) c a + b e ogni a; b > 0 e deteminae la minima costante c e cui questo è veo. i tatta qui di dimostae una disuguaglianza valida e ogni a; b > 0. isciviamo la tesi accogliendo b ad ambo i membi e semli cando (b > 0): a b + 1 c a b + 1 e ogni a; b > 0 che saà dimostata se oveemo che (x + 1) c x + 1 e ogni x > 0: 1

15 Ci siamo così icondotti ad un oblema in una sola vaiabile. De nendo f (x) = (x + 1) (x + 1) si vede che il oblema è equivalente a tovae il minimo numeo c e cui si ha f (x) c e ogni x > 0; ossia deteminae il massimo della funzione f (x) e x > 0. Così tasfomato, il oblema è oa standad: f 0 (x) = (x + 1) x + 1 x (x + 1) (x + 1) (x + 1) = (x + 1) x + 1 x (x + 1) = (x + 1) (x + 1) 1 x 0 e x 1. Quindi il massimo di f, ossia la costante c, è: c = f (1) = = 8: Esemio 19 Deteminae la minima costante c e cui si abbia (a + b) 5 c a 5 + b 5 e ogni a; b > 0 (oue si uò fae diettamente con esonente k inteo ositivo qualsiasi). Esemio 0 Esiste un c > 0 e cui si abbia E e cui si abbia (a + b) 5 c a + b e ogni a; b > 0? (a + b) c a 5 + b 5 e ogni a; b > 0? Giusti cae le isoste fonendo dimostazione o contesemio. [In entambi i casi c non esiste. Nella ima: oe a = b e fa tendee a a +1; e la seconda: oe a = b e fa tendee a a zeo]. 15