SETTIMA-OTTAVA LEZIONE: sorgenti del campo magnetico, legge di Ampere, legge di Biot-Sawart

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1 . Chiodoni esecizi di Fisica II SETTIM-OTTV LEZIONE: sogenti del campo magnetico, legge di mpee, legge di Biot-Sawat Esecizio 1 Due spie cicolai di aggio 3cm, aventi lo stesso asse, sono poste in piani paalleli oizzontali distanti a3mm. La spia supeioe è appesa al giogo di una bilancia. Se nelle spie cicola nello stesso veso la stessa coente i1, pe istabilie l equilibio occoe aggiungee sull alto piatto una massa m. Deteminae il valoe di m. patie dalla seconda legge elementae di Laplace: df ids B, e icodando che il modulo del campo magnetico geneato da una spia pecosa da i coente è B, abbiamo che la foza (attattiva) che agisce sulle spie vale: π i i i1 π B i1 π πa a F m Notiamo che questo appoccio può essee utilizzato in quanto il appoto ta le distanze a ta le due spie e la lunghezza ( π ) delle due spie è molto piccolo e quindi esse possono essee tattate come fili indefiniti paalleli. L equilibio nella bilancia viene stabilito se F m F p. Quindi: i mg a i m ga kg Esecizio Cosi a distanza coso di lauea in INGEGNEI LOGISTIC E DELL PODUZIONE 1

2 . Chiodoni esecizi di Fisica II Ognuno degli 8 conduttoi in figua è pecoso da una coente di, entante o uscente dal piano della pagina. Sono indicate due linee chiuse pe l integale di linea B ds. Qual è il valoe della integale pe a) la linea di sinista e pe b) la linea a desta? Pe isolvee il poblema icoiamo alla legge di mpèe: ds i B Fissato il veso del cammino di integazione, esta fissato anche il segno delle coenti, secondo la egola della mano desta. Pe cui: 6 6 a) B ds ( i1 i i4 ) ( i i i) i Tm b) B ds ( i1 + i i3 + i4 ) ( i + i i + i) Esecizio 3 Un conduttoe cilindico cavo di aggi a e b è pecoso da una coente distibuita unifomemente. Calcolae: a) il campo magnetico B() in funzione della distanza dall asse e b) veificae che pe a si ottengono i isultati elativi ad un conduttoe cilindico pieno (vedi esecizio 4). Cosi a distanza coso di lauea in INGEGNEI LOGISTIC E DELL PODUZIONE

3 . Chiodoni esecizi di Fisica II a) Pe isolvee il poblema utilizziamo la legge di ampee ds i, scegliendo via B via come cammino di integazione una ciconfeenza di aggio dento e fuoi dal cilindo. < a B( ) pechè non ci sono coenti concatenate con il cammino di integazione. a b B ds Bds cos θ πb, in quanto B // ds. La coente i è unifomemente distibuita nell aea del cilindo cavo; la coente tansitante ento la linea π è popozionale all aea acchiusa dalla linea stessa: i int π ( π ( b a ) i, quindi: a ) B ds i int ( Bπ i ( b a a ) i B( ) ) π ( b a (si assegna segno positivo alla coente consideando un cammino di integazione con veso antioaio) > b ( ) a ) Il cilindo si compota come se fosse un filo indefinito pecoso da coente: i B ds i B( π ) B( ) π b) Se a, B( ) i j πb Esecizio 4 Un filo ettilineo indefinito di aggio è pecoso da una coente di intensità i. Calcolae il campo magnetico podotto dal filo in funzione della distanza dall asse del filo. Cosi a distanza coso di lauea in INGEGNEI LOGISTIC E DELL PODUZIONE 3

4 . Chiodoni esecizi di Fisica II Poiché pe la pima legge elementae di Laplace ids db uˆ t uˆ, è poiché pe un filo indefinito vale: 4 π ût diezione del tatto infinitesimo ds û diezione di si ha che il campo magnetico di un filo indefinito ha lo stesso valoe in tutti i punti di una ciconfeenza coassiale al filo di aggio ed è ad essa tangente. pplichiamo la legge di mpee: i : B ds B( π ) i B π Si itova cioè la legge di Biot e Savat. In questo caso, dobbiamo consideae la coente concatenata alla linea di integazione, cioè la coente intena alla ciconfeenza di aggio. Nell ipotesi che la Cosi a distanza coso di lauea in INGEGNEI LOGISTIC E DELL PODUZIONE 4

5 . Chiodoni esecizi di Fisica II i densità di coente sia unifome su tutta la sezione e che j, applicando la legge π di mpee: B ds B( π π i j π ) iconc i B i π L andamento del campo magnetico in funzione di saà: Esecizio 5 icavae dalla legge di mpee il campo magnetico podotto da un solenoide ettilineo indefinito con n spie pe unità di lunghezza pecose dalla coente i. Poiché il sistema è indefinito, facciamo l ipotesi che la densità delle spie sia costante; il campo magnetico saà paallelo all asse del solenoide e avà ovunque lo stesso valoe. Data la simmetia del sistema, si può anche ipotizzae che il campo abbia lo stesso valoe in tutti i punti inteni al solenoide e che le linee del campo siano paallele all asse. Le linee, chiudendosi all infinito, implicano che all esteno del solenoide il campo B sia nullo. Consideiamo oa il pecoso chiuso CDF; la coente concatenata è pai a nih, in quanto nh è il numeo di spie contenuto nella pozione alta h di solenoide e i la coente che pecoe ciascuna spia. pplichiamo la legge di mpee: Cosi a distanza coso di lauea in INGEGNEI LOGISTIC E DELL PODUZIONE 5

6 . Chiodoni esecizi di Fisica II C D F B ds inh) B ds B ds + B ds + B ds + B ds, dove ( C D F C D C F B ds Bh B ds e F B ds, pechè B ds, pechè fuoi, B ds B Quindi, Bh inh B in Esecizio 6 Un solenoide tooidale è costituito da N spie avvolte attono ad una supeficie a foma di tooide. Calcolae a) il campo magnetico se nel sistema cicola la coente i. b) se il tooide è un mateiale con pemeabilità magnetica elativa, calcolae i campi H, B ed M nel suo inteno. i B a) Data la simmetia del poblema, le linee del campo magnetico all inteno del solenoide sono ciconfeenze con cento sull asse del tooide. pplichiamo la legge di mpèe pe tovane il modulo: B ds Ni Ni π πb B b) icodando che H B, che M pe H ), alloa: ( 1) H χ mh e che H ds i (legge di mpee Cosi a distanza coso di lauea in INGEGNEI LOGISTIC E DELL PODUZIONE 6

7 . Chiodoni esecizi di Fisica II Ni πh Ni H, π N. i B H π. Ni B M χ m H χ m H ( 1) H π Esecizio 7 Un anello tooidale di aggio cm è fatto di feo con pemeabilità magnetica 5. Una bobina con N1 spie è avvolta sulla supeficie dell anello. Calcolae la coente i che deve pecoee la bobina pe podue una magnetizzazione 5 M 1. m icodiamo la elazione che lega la magnetizzazione con l induzione magnetica: B M ( 1) H ( 1) ; applichiamo la legge di mpèe B ds Ni Bπ. Quindi Ni B ; π H Ni ; π M Ni ( 1) π La coente i saà quindii πm ( 1) N π 1 1 (5 1) Esecizio 8 Due spie di aggio ed (con >>) sono pecose ispettivamente dalle coenti i 1 e i. La pima spia giace sul piano xy, mente la seconda giace sul piano yz ad una distanza d dalla pima spia (sia d>>). Calcolae il momento meccanico che agisce sulla seconda spia e die come detta spia uota pe potasi in posizione di equilibio (si supponga fissa la pima spia). Cosi a distanza coso di lauea in INGEGNEI LOGISTIC E DELL PODUZIONE 7

8 . Chiodoni esecizi di Fisica II Il campo magnetico geneato dalla spia (1) nella zona occupata dalla spia () vale: o B ( sull asse) i 1 + d ) 3 / kˆ (dalla 1 a legge di Laplace applicata ad una spia e calcolata (Si suppone che essendo <<, il campo sia pessoché costante in tutta la zona occupata dalla spia ()). lla spia () può essee associato il momento magnetico supeficie acchiusa dalla spia e û coincide con il vesoe i ˆ : n m i Suˆ, dove S è la n m iπ iˆ Di conseguenza, sulla spia agisce un momento meccanico i1i π M m B ( + d ) 3/ Poiché il momento meccanico vale in modulo ˆj M aggiunge quando m e B hanno la stessa diezione. θ posizione di equilibio stabile θ π Posizione di equilibio instabile mbsinθ, la posizione all equilibio si Cosi a distanza coso di lauea in INGEGNEI LOGISTIC E DELL PODUZIONE 8

9 . Chiodoni esecizi di Fisica II Esecizio 9 Due spie cicolai di cento O 1 e O ispettivamente, aventi uguale aggio.3m e distanti a.5m, sono disposte paallelamente e collegate in seie. La spia infeioe è fissa, mente la spia supeioe costituisce il piatto di una bilancia a bacci uguali. ll alto baccio della bilancia è collegata l amatua mobile di un condensatoe piano a facce paallele di aea.3m e distanza d.m. Deteminae la diffeenza di potenziale da applicae al condensatoe pe mantenee l equilibio che si ha in condizione di iposo quando nelle spie passa la coente I1. La distanza fa le spie è molto minoe del loo aggio. Possiamo alloa appossimae il campo ceato da una spia nei punti in cui si tova l alta calcolandolo con la fomula di Biot e Savat, come se i fili fosseo ettilinei indefiniti e paalleli, cioè: I B π a Tale campo ha lo stesso valoe in tutti i punti di ogni spia. Poiché le spie sono pecose dalla coente nello stesso veso, si esecita una foza attattiva fa le spie (dietta veso il basso, sulla spie supeioe) pai a: F m IB π I Pe calcolae la foza attattiva fa le amatue del condensatoe possiamo ossevae che ad una vaiazione vituale dx della distanza ta le amatue coispondeebbe in lavoo F e dx. Tale lavoo saebbe il coispettivo della vaiazione di enegia elettostatica cambiata di segno, più il lavoo compiuto al geneatoe collegato al condensatoe, il quale pe mantenee invaiata la tensione avebbe dovuto tasfeie una ceta quantità infinitesima dq di caica da un amatua alla alta. La vaiazione di enegia elettostatica a tensione costante è: a Cosi a distanza coso di lauea in INGEGNEI LOGISTIC E DELL PODUZIONE 9

10 . Chiodoni esecizi di Fisica II dw 1 d CV V dc Il lavoo del geneatoe è pai a dqv. Poiché qcv dqv V dc Quindi, V V F e dx dc + V dc dc Detta x la distanza fa le amatue del condensatoe piano, si ha che: C ε x E alloa F e V dc dx ε x V (la foza è attattiva) Se xd e icodando che i bacci della bilancia sono uguali, posso uguagliae Fm ed Fe ε Fm I Fe V a x d V I V Id V a ε a ε Cosi a distanza coso di lauea in INGEGNEI LOGISTIC E DELL PODUZIONE 1