Effetto Hall. flusso reale dei portatori se positivi. flusso reale dei portatori se negativi

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1 Appunti di Fisica II Effetto Hall L'effetto Hall è un fenomeno legato al passaggio di una coente I, attaveso ovviamente un conduttoe, in una zona in cui è pesente un campo magnetico dietto otogonalmente alla coente stessa: si tatta, come vedemo, di un fenomeno che pemette di deteminae due impotanti caatteistiche del conduttoe in questione: il segno dei potatoi di caica e la loo densità. Pe descivee l effetto Hall, icodiamo un impotante concetto legato all'intensità di coente I e della densità di coente J : la feccia con cui convenzionalmente indichiamo il veso di queste due gandezze è sempe il veso con cui scoeebbe la coente se i potatoi di caica fosseo positivi. Die, peciò, che una ceta coente scoe in un veso significa che tale coente scoe ealmente in quel veso se i potatoi sono positivi, mente invece scoe nel veso opposto se i potatoi sono negativi. Detto ancoa in alte paole, quando i potatoi di caica sono positivi, il vettoe v della loo velocità saà paallelo e concode al vettoe J ; quando invece i potatoi sono negativi, alloa i due vettoi sono paalleli ma opposti in veso (cioè antipaalleli): J veso convenzionale della coente flusso eale dei potatoi se positivi flusso eale dei potatoi se negativi E noto che l'uso di questa convenzione, cioè di appesentae sempe le coenti positive, non compota alcuna vaiazione sugli effetti elettici che studiamo, salvo in ai casi in cui è necessaio tenee conto del segno dei potatoi di caica e quindi del veso effettivo della coente. L'effetto Hall è uno di quei casi in cui bisogna tenee conto del veso effettivo della coente. Vediamo subito peché.

2 Appunti di Fisica 2 Supponiamo di avee un conduttoe a foma di nasto piano, lago e sottile: indichiamo con S la sua supeficie e con d il suo spessoe. Immaginiamo quindi di poe questo conduttoe, ancoa non pecoso da coente, in una egione che sia sede di un campo magnetico B : supponiamo di dispoe il conduttoe il modo che il campo isulti ad esso otogonale. Pe visualizzae la situazione, quindi, consideiamo ad esempio il conduttoe oizzontale e il campo veticale dietto veso l'alto, come illustato nella figua seguente: Adesso supponiamo che una coente I penda a pecoee il conduttoe in senso longitudinale. Se indichiamo con una feccia il veso "convenzionale" della coente, possiamo die questo: se i potatoi di caica sono positivi, alloa la coente scoe effettivamente in questo senso e quindi il vettoe v (velocità dei potatoi) è dietto in questo veso (figua di sinista); vicevesa, se i potatoi di caica sono negativi, la coente scoe nel veso opposto ed anche il vettoe velocità v è dietto nel veso opposto (figua di desta). Abbiamo detto che nella egione che stiamo consideando è pesente un campo magnetico otogonale al conduttoe (e quindi alla diezione della coente cioè alla diezione di v ): tale campo esecita una azione sulla coente; la foza di Loentz su ciascun potatoe è F = qv B Immaginiamo di pote guadae il conduttoe dall'alto, con la coente che scoe quindi veso il basso. Quando i potatoi di caica sono positivi, il vettoe velocità è dietto anch'esso veso il basso, pe cui, con la egola della mano desta, il vettoe F è dietto Autoe: Sando Petizzelli 2

3 L effetto Hall oizzontalmente veso sinista. Quando i potatoi di caica sono negativi, la velocità è dietta veso l'alto, ma anche questa volta la foza isulta dietta come pima, cioè oizzontalmente veso sinista. In definitiva, a pescindee dal segno dei potatoi di caica, ossia a pescindee dal senso effettivo della coente, l'azione del campo magnetico è sempe quella di spingee tasvesalmente (ispetto alla diezione della coente) i potatoi di caica, addensandoli su un bodo del conduttoe. Questo compota che su tale bodo si cei un eccesso di caica (dello stesso segno dei potatoi), con conseguente caenza di caica dello stesso segno sul bodo opposto. Si viene a fomae cioè una polaità, che dà oigine ad una diffeenza di potenziale ϕ ta i bodi opposti del nasto conduttoe. Basta alloa stabilie il segno di questa diffeenza di potenziale pe stabilie il segno dei potatoi di caica: infatti, se sul lato sinisto si veifica un potenziale minoe di quello sul lato desto, significa che qui c'è un eccesso di caica negativa, da cui si deduce che i potatoi di caica sono elettoni; vicevesa, se il potenziale a sinista isulta maggioe di quello a desta, alloa si deduce che i potatoi sono positivi. La pesenza di questa diffeenza di potenziale tasvesale nei conduttoi pecosi da coente e soggetti ad un campo magnetico ad essa otogonale pende appunto il nome di effetto Hall. Vediamo adesso come l'effetto Hall ci aiuti a deteminae la densità dei potatoi di caica. Il fatto che la foza di Loentz faccia accumulae i potatoi di caica su un bodo del conduttoe, con conseguente ceazione di una diffeenza di potenziale ta tale bodo e il bodo opposto, fa sì che si cei un campo elettico E tasvesale, dietto cioè otogonalmente alla diezione della coente. Quanta più coente scoe, tanti più potatoi vengono spinti dalla foza di Loentz e tanto maggioe saà il valoe di tale campo. E tanto maggioe saà anche la foza F h che tale campo esecita sugli stessi potatoi. La diezione di questa foza è la stessa del campo elettico se i potatoi sono positivi mente è ad esso opposta se sono negativi: se i potatoi sono positivi, c'è un eccesso di caica positiva sul bodo sinisto e il campo (che va dalle caiche positive veso quello negative) è dietto veso desta; la foza è alloa dietta veso desta, in senso cioè opposto alla foza magnetica. Vicevesa, se i potatoi sono negativi, il campo è dietto veso sinista e la foza elettica, dietta in senso opposto, saà dietta ancoa una volta veso desta. h 3 Autoe: Sando Petizzelli

4 Appunti di Fisica 2 In definitiva, anche qui, a pescindee dal segno dei potatoi di caica, la foza elettica F h si oppone sempe alla foza magnetica. Aiveà un momento in cui le due foze si equilibano pefettamente, in cui cioè la foza di Loentz isulta nulla: F = qv B + qe = h 0 Ricavando il valoe del campo all'equilibio abbiamo evidentemente che = v B La velocità che dobbiamo consideae deve essee quella media dei potatoi di caica, pe cui la elazione diventa = < v > B Se oa indichiamo con N il numeo totale di potatoi di caica pe unità di volume, J sappiamo che la densità di coente vale J = Nq < v >, da cui icaviamo che < v >= : Nq sostituendo nell espessione del campo elettico, otteniamo = 1 Nq ( J B) Pe definizione, la densità di coente che scoe lungo il conduttoe è data, in modulo, dal appoto ta la coente I e l aea S del conduttoe attavesata dalla coente stessa: avendo detto che il conduttoe è spesso d e supponendo che sia lago l, deduciamo che tale aea è S=dl, pe cui il modulo di tale campo, abbiamo J = I / dl. Sostituendo nell'espessione del campo elettico e calcolando J B I B = sinθ = sinθ Nq Nqdl Autoe: Sando Petizzelli 4

5 L effetto Hall dove ovviamente abbiamo indicato con θ l'angolo fomato dai vettoi J e B ; d alta pate, quest angolo è di 90 in quanto il campo è pe ipotesi otogonale alla diezione della coente: deduciamo alloa che il modulo del campo elettico tasvesale è I B = Nqdl Dal valoe del campo all'equilibio possiamo isalie al valoe della diffeenza di potenziale V h all'equilibio: V h I B = E hl = Nqd Si deduce che, a paità di foma del conduttoe e a paità di campo magnetico, la diffeenza di potenziale che si manifesta ai bodi del conduttoe (una volta aggiunto l'equilibio) cesce al cescee di I ed al diminuie del fattoe Nq, che è appunto la densità spaziale di caica e che si può icavae facilmente da quella elazione. Il suo valoe lo si ottiene dunque facendo passae pe il conduttoe una coente I nota, andando poi a misuae la d.d.p. all'equilibio e sostituendo i valoi tovati in quella elazione. Tutto il discoso fatto fino ad oa fa uso di una impotante appossimazione: non è stato infatti consideato l'effetto dei ipetuti uti ta i potatoi di caica. Tuttavia, a livello speimentale si è veificato che quando il peiodo di otazione T = 2πm/qB (dovuto al campo magnetico che, come noto, tende ad incuvae le taiettoie) è molto maggioe dell'intevallo di tempo dt ta due uti consecutivi, l'equazione dell'equilibio diventa 2 F = q 3 ( v B) + qe 0 m h = 5 Autoe: Sando Petizzelli

6 Appunti di Fisica 2 Qui si tiene conto del fatto che, essendo T molto maggioe di dt, i potatoi pecoono solo una minima pate delle obite cicolai su cui sono stati spediti dal campo magnetico, in quanto uti successivi povvedono a idisegnae continuamente le loo taiettoie. Seguendo alloa un pocedimento di calcolo analogo a quello di pima, si ottiene, a patie da quella elazione, il valoe 2 V h = 3 I Nqd B dal quale si può isalie facilmente al valoe di Nq. Autoe: SANDRO PETRIZZELLI sandy@iol.it sito pesonale: succusale: Autoe: Sando Petizzelli 6