Q AB = Q AC + Q CB. liquido vapore. δq AB = δq AC + δq CB. δq = c x dt + r dx. Le 5 espressioni del δq nel campo dei vapori saturi

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1 Le 5 espessioni del Q nel campo dei vapoi satui A C K B Consideiamo la tasfomazione AB che si svolge tutta all inteno della campana dei vapoi satui di una sostanza qualsiasi. Supponiamo quindi di andae dal punto A al punto B usando due tasfomazioni ausiliaie a nosta scelta, pe esempio quelle indicate con AC e CB. E evidente che, poiché il caloe non è una funzione di stato, l equazione: uido vapoe Q AB Q AC Q CB non è valida e l eoe che si commette è facilmente quantificabile nell aea acchiusa dal ciclo ACBA. Se peò supponiamo che la tasfomazione AB sia infinitesima, alloa l aea ACBA è data dal podotto di due infinitesimi e può essee consideata nulla ed ancoa nullo l eoe commesso. Petanto, ifeendoci ad una tasfomazione AB infinitesima, possiamo scivee: Q AB Q AC Q CB essendo anche le due geneiche tasfomazioni AC e CB infinitesime. Potendo scegliee libeamente le due tasfomazioni ausiliaie, poniamo che la tasfomazione AC si svolga a titolo costante, mente la tasfomazione CB si svolga a empeatua (e quindi a Pessione) costante. Petanto: Q AC c d essendo c il caloe specifico lungo la tasfomazione a titolo costante, Q CB ()d essendo () il caloe di vapoizzazione lungo la geneica isotema e d la vaiazione infinitesima del titolo lungo il tatto CB. Si peviene così alla Pima espessione del Q nel campo dei vapoi satui: Q c d d In questa espessione il caloe specifico c è uno degli infiniti caloi specifici a titolo costante che possono avesi all inteno della campana ed è difficilmente deteminabile peché dipende dai valoi del titolo e della tempeatua ai quali si svolge la tasfomazione. Come si è già fatto notae in pecedenza, punti A, B e C, inteni alla campana dei vapoi satui, non esistono come punti appesentativi dello stato di una sostanza omogenea, ma solo come punti appesentativi dello stato di kg di una sostanza esistente sotto la foma di una miscela composta da kg di vapoe in equilibio con ( ) kg di uido. Petanto, quando diciamo che il punto appesentativo delle condizioni di kg della sostanza si sposta da A a B, in ealtà dobbiamo consideae che ( ) kg di uido satuo si spostino dalle

2 condizioni del punto A a quelle del punto B, e kg di vapoe satuo vadano dalle condizioni del punto A a quelle del punto B. In queste due tasfomazioni i pesi del uido e del vapoe non cambiano ( costante), ma cambia solo la tempeatua delle due fasi in equilibio, saà poi il caloe scambiato lungo la tasfomazione isotema CB che faà vaiae il appoto ta i pesi delle due fasi. A K B C B B A A d uido vapoe Questa ossevazione ci consente di consideae sepaatamente le due fasi: il uido (satuo) che passa da a d seguendo la tasfomazione A B avente un caloe specifico c il cui valoe dipende dalla tempeatua, ed il vapoe (satuo) che passa da a d seguendo la tasfomazione A B avente un caloe specifico c il cui valoe dipende anch esso dalla tempeatua. I valoi di c () e di c () possono essee deteminati (anche speimentalmente) una volta pe tutte ed espessi attaveso elazioni analitiche o tabelle espessamente pepaate pe il paticolae fluido che stiamo pendendo in consideazione. Petanto: c d c( ) d c d ; c d [c (c c)] d Si peviene così alla Seconda espessione del Q nel campo dei vapoi satui: Q [c (c c )] d d In questa espessione sono pesenti due caloi specifici caatteistici di una data sostanza: il caloe specifico c del uido satuo (pe ) e quello c del vapoe satuo (pe ), nonché il caloe di vapoizzazione. I valoi di queste te gandezze sono noti in funzione della sola tempeatua. Come abbiamo ossevato in pecedenza, i caloi specifici fondamentali della fase uida sono assai possimi ta loo e vaiano poco con la tempeatua, petanto, almeno lontano dal punto citico, il valoe di c può spesso itenesi costante. Pe ciò che iguada c è possibile icavae una elazione geneale ossevando che è: c ds (c c ) d Q d ed essendo ds una funzione di stato, possiamo utilizzane il diffeenziale esatto nella foma: c (c c)

3 e poiché c, c ed sono funzioni della sola tempeatua, si ha anche: d d c (c c) d d (c c) (c c ) d d d d Equazione di Clausius Essendo genealmente noti il valoe (pessoché costante) di c e la funzione (), è possibile calcolae il valoe di c in funzione della tempeatua. Intoducendo l equazione di Clausius nella fomula dell Entopia ottenuta dalla seconda espessione, si ha: c ds d d d d d d ds c d d d ds c d d e si peviene alla eza espessione del Q nel campo dei vapoi satui: dq c d d Ricodando la elazione di Clapeyon : d s σ ovveo: (s σ) d con : v σ (s σ) si ha : (v σ) d l equazione di Clausius si modifica come segue: ( c c) d d (s σ) d d d (v σ) d 3

4 ed intodotta nella Seconda espessione del Q: fonisce: Q c d (c c )] d d d (v σ) d (v σ) c d d d c d d d d d d d Q ed ossevando che è: d d d d d d d( ) d d essendo f () essendo p f () soltan to soltan to d si peviene alla Quata Espessione del Q nel campo dei vapoi satui: Q c d d( ) (v σ) Ed infine, consideando che il caloe da fonie ad kg di uido satuo, in uno stato assegnato di tempeatua e pessione, pe vapoizzalo completamente, ossia pe ottenee kg di vapoe satuo alla stessa tempeatua ed alla stessa pessione, ha il duplice effetto di allontanae le molecole del uido libeandole dai loo mutui legami e di podue lavoo di espansione gazie all aumento di volume a pessione costante che ne consegue, possiamo scivee: Q e U L e ρ p(s σ) essendo : - il caloe di vapoizzazione; - ρ la vaiazione di Enegia intena conseguente al passaggio da uno stato di aggegazione all alto; - p la pessione (costante) di passaggio di stato; - s il volume specifico della fase aeifome; - σ il volume specifico della fase uida; (v σ) d( ) d[ ρ p(s σ)] d ρ p d( ρ) d [p(v σ)] Q cd d( ρ) (v σ) p d(v σ) (v σ) 4

5 pevenendo alla Quinta Espessione del Q nel campo dei vapoi satui: Q cd d( ρ ) p d(v σ) Le cinque elazioni che abbiamo tovato sopa si ifeiscono, come abbiamo chiaito all inizio del capitolo, a tasfomazioni infinitesime e petanto, così come sono, non possono essee estese ossia integate su un tatto finito di tasfomazione all inteno della campana dei vapoi satui della geneica sostanza pesa in consideazione. Vedemo oa come le ultime te espessioni possano essee modificate fonendo ispettivamente i valoi: - dell Entopia (dalla III espessione) - dell Entalpia (dalla IV espessione) - dell Enegia Intena (dalla V espessione) Queste elazioni, ifeendosi oa a funzioni di stato, possono essee integate, e quindi utilizzate pe tatti finiti di tasfomazioni sempe ovviamente all inteno della campana dei vapoi satui. Vogliamo sottolineae che le elazioni che veanno pesentate nel seguito sono del tutto geneali in quanto (ove non sia stato espessamente indicato) non contengono alcuna appossimazione basata sulle popietà peculiai di un paticolae fluido e foniscono l espessione analitica esatta utile pe il calcolo delle vaiazioni delle te funzioni di stato sopa dette all inteno della campana dei vapoi satui. 5

6 Relazioni pe il calcolo dell ENROPIA Dalla III espessione : dq c d d si ha: ds c d d Posta convenzionalmente S in un punto assegnato avente tempeatua, è possibile calcolae il valoe dell Entopia del uido satuo ponendo nell espessione di sopa la condizione : S c d se c cost S c ln I valoi dell Entopia all inteno della campana, in un punto geneico a tempeatua e titolo si toveanno mediante la elazione: S d () ln c se c cost S c Ponendo si avanno i valoi dell Entopia del vapoe satuo. Relazioni pe il calcolo dell ENALPIA Ricodando che è: Dalla IV espessione : J U pv ; dj du pdv v Q v Q c d d( ) (v σ) si ha: dj c d d ( ) v σ v () dj c d d ( ) σ Si noti che non è possibile poe convenzionalmente J in un punto assegnato avente tempeatua poiché è necessaio ispettae la definizione J U p v ed anche consideando che in si possa poe anche U, il podotto p v non può mai fisicamente isultae esattamente nullo. Il valoe dell Entalpia del uido satuo si ottiene ponendo nell espessione di sopa la condizione : J J cd σ se c cost e σ cost J J c( ) σ(p p) p() p( ) 6

7 I valoi dell Entalpia all inteno della campana, in un punto geneico a tempeatua e titolo, si toveanno mediante la elazione: J J c d () p() σ p( ) Ponendo si avanno i valoi dell Entalpia del vapoe satuo. Vale la pena icodae che pe definizione l Entalpia è un caloe scambiato a pessione costante, petanto si ha sempe: dj c d d ( ) σ ma anche: dj c p d d ( ) da cui: c d c d σ p ; c p c σ d c σ s σ ed essendo l ultimo temine sempe positivo, si ha c p > c Relazioni pe il calcolo dell ENERGIA INERNA du Q pdv Q cd d( ρ ) p d(v σ Ricodando che è: dalla V espessione : ) si ha: du c d d ( ρ) pdv pdσ pdv du c d d ( ρ) pdσ Posta convenzionalmente U in un punto assegnato avente tempeatua, è possibile calcolae il valoe dell Enegia intena del uido satuo ponendo la condizione U c d p dσ se σ cost U c I valoi dell Enegia Intena all inteno della campana, in un punto geneico a tempeatua e titolo, si toveanno mediante la elazione: U c d ρ Infatti, essendo σ σ(), il temine pdσ è nullo duante il passaggio di stato. Ponendo si avanno i valoi dell Enegia Intena del vapoe satuo. 7