TRASMISSIONE DEL CALORE

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1 RASMISSIONE DE CAORE In emodinamica il caloe è stato definito come uella foma di enegia scambiata con l ambiente nel passaggio da uno stato di euilibio ad un alto. o scambio di caloe, attaveso il confine del sistema, è conseguenza di una diffeenza di tempeatua ed avviene nel ispetto del pincipio di consevazione dell enegia. In paticolae: Il Pimo Pincipio della emodinamica stabilisce ce il caloe scambiato è uguale alla vaiazione dell enegia del sistema. Il Secondo Pincipio stabilisce ce il caloe si popaga nella diezione delle tempeatue decescenti. a temodinamica non fonisce esplicite infomazioni sulle modalità del pocesso di scambio duante la fase tansitoia e sul valoe dell enegia temica scambiata nell unità di tempo, ovveo sul flusso temico. o studio dei fenomeni temici ce accompagnano la popagazione del caloe ed il calcolo del caloe scambiato nell unità di tempo, costituiscono l obiettivo fondamentale della asmissione del Caloe.

2 FUSSO ERMICO Il flusso temico è definito come l enegia temica scambiata Q nell intevallo di tempo Δτ. e dimensioni nel SI sono uelle di un enegia diviso un tempo, ovveo J s - W Q (J s Δτ - W) passando al limite Q lim Δτ 0 Δτ dq dτ da cui Q d τ (J) ona utile consideae il flusso temico scambiato ifeito ad una supeficie unitaia. In uesto caso si pala di flusso temico specifico.il flusso temico specifico viene indicato con *. unità di misua nel sistema SI sono W m -. Q A * (W m - ) 3 m A 6 m 4 W * 4 W m - m

3 Modalità di tasmissione del caloe Conduzione emica A È il meccanismo di scambio temico ce si attua in un mezzo solido, liuido o aeifome, dalle egioni a tempeatua maggioe veso uelle a tempeatua minoe. Nei gas e nei liuidi è dovuta alle collisioni ta le molecole duante il loo moto; nei solidi è dovuta alla vibazione delle molecole all inteno del eticolo ed al taspoto di enegia da pate degli elettoni libei. a uantità di caloe scambiata dipende dalla geometia e dalle caatteistice del copo così come dalla diffeenza di tempeatua. Pe esempio in condizioni stazionaie (tempeatua ce non vaia nel tempo) il flusso scambiato attaveso una gande paete piana di spessoe ed aea A, soggetta alla diffeenza di tempeatua Δ - con >, addoppia al addoppiae della diffeenza di tempeatua e al addoppiae dell aea della sezione nomale alla diezione del flusso, mente si dimezza al addoppiae dello spessoe. flusso temico ( aea della supeficie) ( diffeenzadi tempeatua) spessoe A A

4 Conduzione emica Δ Modalità di tasmissione del caloe a popozionalità può essee tolta consideando la natua del mateiale, ovveo intoducendo la conducibilità temica definita come la capacità del mateiale a condue caloe. Δ A Δ A Rame d d Δ lima Δ 0 Δ d * d Silicio 40 W m - K - 48 W m - K - 30 C 30 C 0 C 0 C d * 400 W m - * 480 W m - m m

5 Postulato di FOURIER A d d espessione è nota come postulato di Fouie. espessione è valida allo stato stazionaio pe un mezzo omogeneo ed isotopo e nel caso in cui lo scambio temico sia monodimensionale (nel caso dell espessione nella diezione ). A Aea della sezione pependicolae alla diezione dello scambio temico Conducibilità temica. È definita come il flusso temico ce si tasmette attaveso uno spessoe unitaio del mateiale pe unità di supeficie e pe una diffeenza di tempeatua unitaia. e unità di misua nel SI sono W m - K - o W m - C - d/d Gadiente di tempeatua. Rappesenta la vaiazione di tempeatua nella diezione di popagazione del caloe. Dato ce il caloe fluisce da zone a tempeatua maggioe veso zone a tempeatua minoe, il gadiente è negativo pe valoi cescenti di. È necessaio intodue il segno - pe avee il flusso temico positivo nella diezione consideata P tan α d/d

6 Modalità di tasmissione del caloe Convezione emica aspoto di massa È il meccanismo di scambio temico caatteistico dei fluidi dove al taspoto del caloe pe conduzione è associato il taspoto di massa ovveo movimenti di pati di fluido ce modificano sostanzialmente lo scambio temico ispetto alla semplice conduzione temica. Pe esempio, il tasfeimento di enegia ta una supeficie solida ed il liuido o gas adiacente in movimento implica gli effetti combinati di conduzione ta la supeficie e lo stato di fluido a contatto con essa ed il taspoto di massa all inteno del fluido. a convezione può essee di due tipi: Convezione fozata conduzione Il fluido è fozato a fluie sulla supeficie da dispositivi esteni uali: ventilatoi, pompe, vento, etc. Convezione natuale o libea Il movimento del fluido è causato da foze di galleggiamento indotte da diffeenze di densità legate a vaiazioni di tempeatua

7 egge di Newton pe la convezione A( ) s ipo di convezione (W m - K - ) Convezione natuale dei gas Convezione natuale dei liuidi Convezione fozata dei gas Convezione natuale dei liuidi Ebollizione e condensazione Il flusso temico tasmesso pe convezione è diettamente popozionale alla diffeenza di tempeatua ed è espesso dalla legge di Newton dove: A : aea della supeficie inteessata allo scambio temico (m ) s : tempeatua della supeficie (K) : tempeatua del fluido a distanza sufficientemente gande dalla supeficie (K) : coefficiente di tasmissione del caloe pe convezione (Wm - K - ). È un paameto deteminato speimentalmente il cui valoe dipende da tutte le vaiabili ce influenzano la convezione uali la geometia della supeficie, la natua del moto, le popietà e la velocità del fluido.

8 Modalità di tasmissione del caloe Iaggiamento temico È l enegia emessa sotto foma di onde elettomagnetice (o fotoni) a seguito di modificazioni nelle configuazioni elettonice elettonice degli atomi o delle molecole. A a tasmissione del caloe pe iaggiamento non iciede, al contaio della conduzione e della convezione, la pesenza di un mezzo inteposto ed avviene alla velocità di popagazione della luce. Nel caso della tasmissione del caloe inteessa l iaggiamento temico, ovveo la adiazione emessa dai copi a causa della loo tempeatua. egge di Stefan-Boltzmann n * n σa σ 4 4 W W/m utti i copi ad una tempeatua supeioe a 0 K emettono una adiazione temica il cui massimo, pe la data tempeatua, si a pe un copo ideale detto copo neo. Il flusso temico emesso n Boltzmann è dato dalla legge di Stefan-

9 Modalità di tasmissione del caloe Iaggiamento temico Supefici eali * εσ 4 4 εσ A W C W/m Nel caso di una supeficie eale il flusso emesso è infeioe a uello emesso dal copo neo alla stessa tempeatua. Si tiene conto di uesto intoducendo nell espessione di Stefan- Boltzmann l emissività ε della supeficie. emissività 0 ε è una misua di uanto una supeficie diffeisce da un copo neo pe il uale ε. Nel caso di due supefici, sepaate da un gas,(es. aia) ce non patecipa allo scambio temico, di emissività ε, di aea A e tempeatua s completamente contenuta nell alta di aea molto più gande ( o nea), a tempeatua c, il flusso netto scambiato è dato da: ( 4 4 ) εσa S C A, S, ε Nel fono a micoonde il cibo cuoce assobendo l enegia elettomagnetica geneata dal tubo a micoonde (magneton). a adiazione non è una adiazione temica, ovveo non è dovuta alla tempeatua del tubo, ma alla convesione dell enegia elettica in una adiazione elettomagnetica avente una ben pecisata lungezza d onda. a lungezza d onda della adiazione è tale da essee iflessa dalle supefici metallice, tasmessa dai tegami di veto, ceamica o plastica ed assobita e convetita in enegia intena dalle molecole del cibo; in paticolae dall acua dallo zucceo e dal gasso.

10 Modalità di tasmissione del caloe Solido opaco e modalità di tasmissione del caloe sono te, ma possono non essee contempoaneamente pesenti. Pe esempio: Solidi opaci Conduzione Si a tasmissione del caloe solo pe conduzione Solidi semitaspaenti Gas Si a tasmissione del caloe pe conduzione ed iaggiamento Iaggiamento Conduzione o Convezione Fluido in uiete Si a tasmissione del caloe pe conduzione ed eventualmente pe iaggiamento Fluido in movimento Si a tasmissione del caloe pe convezione ed iaggiamento Vuoto Vuoto Si a tasmissione del caloe solo pe iaggiamento Iaggiamento

11 Conduzione emica o studio dello scambio temico pe conduzione all inteno di un mezzo, compota la conoscenza della distibuzione di tempeatua, ovveo la conoscenza della funzione (,y,z,τ). Questa funzione può essee ottenuta dalla isoluzione dell euazione geneale della conduzione, ce espime il bilancio di enegia in un mezzo sede di popagazione di caloe. Il bilancio enegetico viene impostato su un geneico elemento infinitesimo individuato all inteno del mezzo. Si considei un geneico volume infinitesimo dv di spigoli d, dy, dz e si assuma ce:. il mezzo sia costituito da un solido opaco a baicento femo con popietà fisice definite ed indipendenti dal tempo τ;. le vaiazioni di volume, conseguenti alle vaiazioni di tempeatua, sono tascuabili in confonto al volume stesso. Quindi, il lavoo scambiato con l esteno sia tascuabile, δ 0; 3. all inteno del volume dv il caloe geneato nell unità di tempo e di volume, sia espesso dalla funzione g(,y,z,τ) le cui unità di misua nel sistema S.I. sono Wm -3. euazione geneale della conduzione si icava applicando al volume consideato il pimo pincipio della temodinamica ce, nelle ipotesi fatte, diventa: Ovveo: dq du Il caloe netto scambiato caloe geneato vaiazione di enegia (caloe entante - caloe uscente) all inteno del volume intena

12 Euazione geneale della conduzione y Q z dz dy dove Q ydy Q y Q d d * flusso specifico g caloe geneato nell unità di tempo e di volume V volume ρ densità τ tempo Q Q Q Q Q y z du Q g * dy dz dτ * * * d d dy dz dτ d dy dz dτ * * Q d d dy dz d τ dv d τ Q y dy Q z U τ dz y d τ g dv dτ * y z d dy dz dτ * z * y y d dy dz dτ ρ c d τdv τ dv dτ z * z dv dτ

13 Euazione geneale della conduzione dv c d dv g d dv z d dv y d dv z y τ ρ τ τ τ τ * * * τ ρ c g z y z y * * * sostituendo Dal momento ce consideiamo lo stesso volume, possiamo scivee: Sostituendo ai flussi specifici l espessione di Fouie si a: τ ρ c g z z y y pe mezzi isotopi ed omogenei, l euazione pecedente diventa: τ ρ c g z y

14 Euazione geneale della conduzione dividendo tutto pe ρc τ ρ ρ c g z y c posto c a ρ τ ρ c g z y a τ ρ c g a

15 Euazione geneale della conduzione: Casi paticolai Caso monodimensionale g a ρ c τ Caso monodimensionale senza geneazione intena di caloe (g0) Euazione di FOURIER a τ Caso monodimensionale allo stato stazionaio Euazione di POISSON a g ρ c 0 Caso monodimensionale allo stato stazionaio e senza geneazione di caloe Euazione di APACE 0

16 Soluzione dell euazione di APACE 0 C 0 C 0 C 6 C 6 C 6 C -.6 C -.6 C -.6 C d d 0 d d ( ) d ( ) d d 0 d c 0 C 6 C -.6 C -.6 C -.6 C ( ) c d ( ) c c d -.6 C 0 C 6 C -.6 C

17 Conducibilità emica a conducibilità temica indica la capacità di un mateiale a condue il caloe. Pe esempio a tempeatua ambiente il ame a 40 W/(m K), mente l acua a 0.63 W/(m K). Il ame conduce il caloe uasi 000 volte più dell acua, pe uesto motivo si dice ce è un buon conduttoe temico, mente l acua è un cattivo conduttoe temico pu essendo un mezzo eccellente pe accumulae caloe. Infatti il caloe specifico dell acua è c p 4.86 kj/(kg K), mente pe il ame è c p kj/(kg K) Mateiale W/(m K) Diamante 300 Agento 49 Rame 40 Oo 37 Alluminio 37 Feo 80. Mecuio (l) 8.54 Veto 0.78 Mattone 0.7 Acua (l) 0.63 egno 0.7 Gomma 0.3 Fiba di veto Aia 0.06 Polistiene espanso 0.036

18 Scambio temico pe conduzione Il caso della lasta piana Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

19 Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini Euazione geneale della conduzione Caso monodimensionale τ ρ c g a Caso monodimensionale senza geneazione intena di caloe (g0): Euazione di FOURIER τ a Caso monodimensionale allo stato stazionaio: Euazione di POISSON 0 c g a ρ Caso monodimensionale allo stato stazionaio e senza geneazione di caloe: Euazione di APACE 0 τ ρ c g z y a

20 Soluzione con condizioni del I tipo: Impoe condizioni del pimo tipo vuol die impoe: 0 0 (0) () con > d d 0 d d C ( ) C C Inseisco le condizioni al contono Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

21 Soluzione con condizioni del I tipo: ( 0) C C C 0 ( ) C C C C ( ) ( ) Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

22 Soluzione con condizioni del I tipo: ( ) 0 Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

23 Resistenza temica Postulato di Fouie: * d d * ( ) K m R k W RESISENZA ERMICA SPECIFICA PER CONDUZIONE * Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

24 Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini Soluzione con condizioni del I tipo: adimensionalizzazione ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) * ) ( * empeatua adimensionale ungezza adimensionale * *

25 Soluzione con condizioni del I tipo: adimensionalizzazione * * * * 0 * * * 0 0 * Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

26 Soluzione con condizioni del I e III tipo: k * c * 0, Condizione al contono del I tipo: 0 (0) Condizione al contono del III tipo: * * k c ( ) C C ( 0) C C C d d 0 [ ( ) ] Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

27 Soluzione con condizioni del I e III tipo: ( ) C C C d d C C [ ( ) ] ( C ) ( ) ( ) C ( ) ( ) C ( ) ( ) ( ) C Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

28 Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini Soluzione con condizioni del I e III tipo: Adimensionalizziamo: ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) (

29 Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini Soluzione con condizioni del I e III tipo: ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) se * ) ( * * *?

30 Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini Soluzione con condizioni del I e III tipo: K m W [ ] m K m W m W K m K m W Numeo adimensionale

31 Numeo di Biot Bi egge di Newton ( ) * ( ) * Resistenza temica unitaia pe convezione R R k c Resistenza temica unitaia pe conduzione Resistenza temica unitaia pe convezione Bi R R k c Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

32 Numeo di Biot Bi R R k c * Bi * * Bi * * 0 ( 0) * ( ) ( ) * * Bi A uesto punto posso affemae ce la mia distibuzione di tempeatua dipende unicamente dal Numeo di Biot. Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

33 Numeo di Biot Ho due casi limite: Bi 0 Bi Bi 0 R 0 ( R >> R ). Se in un copo la esistenza temica pe conduzione è bassa vuol die ce è possibile ipotizzalo come se fosse tutto alla stessa tempeatua k c k. Al suo inteno non esistono gadienti temici: in una fase di tansitoio temico si poteebbe apidamente alla stessa tempeatua * * Bi ( ) * k 0 * c * * MAERIAE PERFEAMENE CONDUORE () Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

34 Numeo di Biot Ho due casi limite: Bi 0 Bi Bi c ( R R ) R 0 >> k c. Se in un copo la esistenza temica pe conduzione è elevata vuol die ce al suo inteno esistono foti gadienti temici. Esiste un elevata disomogeneità al suo inteno ( ) * k * c 0 * MAERIAE PERFEAMENE ISOANE * * Bi * 0 () Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

35 Numeo di Biot * Bi 0 > Bi > 0 Bi 0 * Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

36 Esempio Mateiale: Polistiene espanso W W 0,035 0,35 m 0 m K m K Bi 0 0,35 0,035 0 Mateiale: Paete eale W W 0,087 0,35 m 0 m K m K Bi 0 0,35 0, Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

37 Stato composto con condizioni I tipo 3 Con: 0 > > > 3 3 > > 3 Allo stato stazionaio avò: A A 3 3 A 3 3 Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

38 Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini Stato composto con condizioni I tipo A 0 A 0 A A A A Sommando o: ( ) ( ) ( ) A A A

39 Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini Stato composto con condizioni I tipo Sapendo ce: 3 ( ) A A A ( ) ( ) R R R ( ) ( ) R R R

40 Stato composto con condizioni I tipo 3 3 R R R ( 0 n ) ( 0 n ) n i R i * n i R * i Coso di Fisica ecnica Pof. Massimo Paoncini

41 Scambio temico pe conduzione a geometia cilindica

42 Euazione geneale della conduzione Caso monodimensionale τ ρ c g a Caso monodimensionale senza geneazione intena di caloe (g0): Euazione di FOURIER τ a Caso monodimensionale allo stato stazionaio: Euazione di POISSON 0 c g a ρ Caso monodimensionale allo stato stazionaio e senza geneazione di caloe: Euazione di APACE 0 τ ρ c g z y a

43 Soluzione con condizioni del I tipo: Ipotesi di patenza:. Assenza di geneazione intena di caloe;. Mateiale omogeneo ed isotopo; 3. Caso monodimensionale in diezione adiale; 4. Stato stazionaio. Euazione della conduzione in geometia cilindica: d d d d 0

44 Soluzione con condizioni del I tipo: Imposto le condizioni al contono:. ( ) ;. ( ) ; con > d d d d 0 d d d d d d 0 Oa poniamo: d du U U 0 d d du U d

45 Soluzione con condizioni del I tipo: du U d lnu ln C * ln U ( ) * C C* e U C U d d U d d C d d C ( ) C ln C a ) ( ) ( ) C ln C b ) ( ) ( ) C ln C

46 Soluzione con condizioni del I tipo Sottaiamo la seconda dalla pima: ln C ln C ln C Sostituiamo la C nella pima euazione: ln ln ln C C C ln ln C ln ln ln ln ) (

47 Soluzione con condizioni del I tipo ln ln ln ln ) ( ln ln ) ( ln ln ) (

48 Euazione di distibuzione della tempeatua ( ) ln ln 0

49 Il flusso temico Patiamo da Fouie: d d A C A ln ln ) ( C U d d ln C A π ln π ln π

50 Il flusso temico ln π ln π ln R k π R k Definendo oa R k come la esistenza temica conduttiva all inteno di uno stato cilindico :

51 Soluzione con condizioni del I e III tipo, R k R c R R k c Resistenza temica pe convezione ln π π

52 Soluzione con condizioni del I e III tipo π π ln R π π ln Poviamo a vedee come vaia la esistenza in funzione del aggio.

53 Soluzione con condizioni del I e III tipo R π π ln d dr 0 d dr π π 0 d dr π

54 Soluzione con condizioni del I e III tipo 0 d dr π 0 0 Denominatoe sempe positivo 0

55 Il aggio citico c RAGGIO CRIICO -

56 Il aggio citico R R tot R k R k ln π R c R c π

57 Il aggio citico c c c Bi Bi Bi Bi > < > c c < c

58 Il aggio citico Bi > > c R R c Bi c R c Bi < < c c