CONDUTTORI A STATO SOLIDO

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1 CONDUTTORI A STATO SOLIDO Abbiamo visto nelle lezioni pecedenti che i mateiali si possono dividee in isolanti e conduttoi. In uesto ciclo di lezioni avemo poca possibilità di tattae i mateiali liuidi e gassosi, e uindi ci concenteemo pevalentemente su isolanti e conduttoi solidi. Pima di tutto tatteemo il caso di euilibio elettico nei conduttoi. La divisione ta conduttoi e isolanti non è così netta come abbiamo supposto finoa. La discussione del gado di conducibilità di un mateiale peò è imandata, come è facile intuie a uando tatteemo le coenti elettiche. Pe oa ci basta sapee che nei mateiali conduttoi solidi, a causa del paticolae legame chimico (legame metallico) che li tiene insieme, un gande numeo di elettoni ha un'alta mobilità all'inteno del mateiale. Cosa significa gande numeo? In un buon conduttoe solido (cioè in un metallo) come il ame un elettone pe ogni atomo ( cm -3 ) è libeo di muovesi all'inteno del metallo e uindi non ha più nessuna paticolae elazione con un singolo atomo del solido. Fa pate dei potatoi di caica chiamati elettoni di conduzione. Gli elettoni di conduzione possono muovesi libeamente all'inteno del solido, ma non possono abbandonalo, così come in un gas contenuto in un ecipiente le molecole del gas, indistinguibili, possono spostasi dovunue nel ecipiente ma non possono attavesae le paeti. Gas di paticelle in un ecipiente chiuso In ealtà gli ualche elettone può lasciae il mateiale se acuista abbastanza enegia da vincee la baiea di potenziale che lo tattiene ento le supefici. Ciò può succedee pe effetto temoionico, peché alcuni elettoni acuistano abbastanza enegia cinetica da vincee il campo elettico alla supeficie e uscie dal mateiale (una buona sogente di elettoni pe un cannone elettonico è un filamento metallico incandescente). Può succedee pe effetto fotoelettico pe cui elettoni sono emessi da un mateiale uando su di esso incide adiazione elettomagnetica visibile, UV, X. Ci sono alti fenomeni più complessi che potano alla fuoi uscita di elettoni dal metallo come l'effetto di campo, l'emissione secondaia etc., e tutti uesti sono impiegati pe applicazioni tecnologiche impotanti L'essenziale pe oa è capie che, alla supeficie del mateiale, la configuazione delle caiche è divesa ispetto all'inteno e che gli elettoni libei non possono facilmente attavesae le supefici peché il campo alla supeficie espinge gli elettoni veso l'inteno. C'è una enegia potenziale di estazione che è necessaio fonie pe libeae ogni singolo elettone di conduzione dal solido a cui appatiene. Questa enegia, detta wok function in inglese, è dell'odine di ualche ev: 1 ev= J è l'enegia necessaia pe potae una caica elementae ( e= C ) attaveso una diffeenza di potenziale di 1 Volt. L'elettonvolt è una unità di misua dell'enegia molto impotante peché appesenta l'odine di gandezza dell'enegia di legame chimico. Consideiamo uindi il conduttoe come una sota di ecipiente contenente un gas di elettoni libei. Dimostiamo oa che, all'euilibio, nel volume del conduttoe la caica negativa libea è in ogni punto compensata dalla caica degli ioni positivi del solido, in modo che in ogni egione intena il conduttoe sia eletticamente neuto. Consideiamo una egione abitatia all'inteno del conduttoe. In ogni punto di essa il campo elettico deve essee nullo all'euilibio. In caso contaio, le caiche negative libee subiebbeo una foza F = -ee e si muoveebbeo lungo le linee di campo poducendo una coente elettica. Dunue se il campo è nullo in ogni punto, alloa, consideando una supeficie sfeica infinitesima

2 Σ attono a un ualsiasi punto (vedi figua), il flusso saà identicamente nullo. Dunue in ogni punto la caica pe unità di volume saà identicamente nulla: ρ(p)=0 E E = 0 F P P Σ Dunue se un conduttoe non è eletticamente neuto, ma è complessivamente caico, all'euilibio la caica potà essee pesente solo sulla supeficie. Avemo uindi una caica pe unità di supeficie σ( P) 0 (C/m ). Coispondentemente, pe il Teoema di Coulomb, cioè paticamente pe dietta conseguenza del Teoema di Gauss, nell'attavesae la supeficie del conduttoe il campo nomale alla supeficie ha una discontinuità pai a: E n (P)= ϵ σ n 0 dove n è la nomale estena alla supeficie del conduttoe in un dato punto campo P della supeficie stessa. Pe la Seconda Euazione di Maxwell (cicuitazione del campo nulla), la componente tangenziale del campo è sempe continua attaveso una supeficie di sepaazione ta due mezzi. Dunue la componente tangenziale del campo imane nulla attavesando la supeficie del conduttoe. Concludiamo che: (i) In un conduttoe la densità di caica pe unità di volume ρ è nulla in condizioni di euilibio. Una distibuzione di caica in un conduttoe in euilibio, può sussitee solo sulla supeficie, oiginando una densità di caica pe unità di supeficie σ( P) 0. (ii) Il campo in un conduttoe in euilibio è sempe nullo. Sulla supeficie del conduttoe assume il valoe E(P )= ϵ σ n 0 dove P è un punto abitaio della supeficie, n il vesoe nomale alla supeficie nel punto P e σ il valoe della caica supeficiale eventualmente pesente nel punto. Un'alto fatto, conseguenza dell'assenza del campo all'inteno del conduttoe è che: (iii) Il conduttoe all'euilibio è euipotenziale, cioè il potenziale assume un valoe costante in tutti i punti inteni del conduttoe. Il punto (iii) si dimosta consideando ualunue coppia di punti A e B inteni al conduttoe: A B Congiungendo i punti A e B con una ualunue cuva γ si ha che: V (B) V ( A)= A B E dl=0 Dunue la diffeenza di potenziale ta ualunue coppia di punti inteni al conuttoe è nulla all'euilibio. Cosa succede passando dall'inteno all'esteno del conduttoe? Ci saà una diffeenza di potenziale dovuta al fatto che le caiche libee, come si è detto, non possono uscie dal conduttoe se non gli si fonisce l'enegia di estazione. Tuttavia, uesto temine è una costante dipendente dal tipo di

3 mateiale conduttoe. Inolte la baiea di potenziale inteessa pochi stati atomici, mente noi siamo inteessati al compotamento macoscopico dei mateiali. Dunue impoemo sempe che il potenziale sia continuo consideando l'enegia potenziale di estazione pai a zeo: (iv) Nell'attavesae la supeficie di un conduttoe in euilibio il potenziale elettico è continuo. Dunue il valoe del potenziale sulla supeficie del conduttoe è uguale al valoe che esso assume nei punti inteni. Consideiamo oa un conduttoe di foma anche non sfeica, ma con una cavità intena. Sappiamo che il campo deve essee nullo all'inteno del conduttoe, dunue una eventuale caica all'inteno della cavità deve essee complessivamente nulla. Infatti cicondando la cavità con una supeficie chiusa Σ (in osso in figua), si ottiene: Φ Σ (E)=0 Q int =0 Ci chiediamo se comunue possa esseci un campo elettico all'inteno della cavità dovuto al fatto che caiche positive e negative possono essee sepaate spazialmente sulla supeficie. + _ + _ + Σ + _ E + _ + Ma uesto non è possibile peché eseguendo una cicuitazione su una cuva γ che è una linea di campo all'inteno della cavità e si chiude nel conduttoe (dove il campo è nullo), si ottiene: γ E dl> 0 contaiamente a uanto stabilisce la Seconda Euazione di Maxwell (pe l'elettostatica) E + _ γ Consideiamo oa un semplice esempio. Sia data una sfea conduttice di aggio = a cicondata da un guscio sfeico di aggio inteno = b e aggio esteno = c. Supponiamo che la sfea intena sia caica con una caia. Vogliamo calcolae il campo e il potenziale in tutti i punti dello spazio. La caica si dispone unifomemente pe simmetia con una densità di caica pe unità di supeficie: σ(a)= 4πϵ 0 a a b c

4 Peché il campo nel conduttoe seteno sia nullo coccoe che una caica - venga indotta sulla supeficie =b, coispondente a una densità di caica unifome: σ(b)= 4π ϵ 0 b Pe dimostalo basta consideae il Teoema di Gauss su una sfea concentica ai conduttoi e di aggio compeso ta =b e =c. Dato che il conduttoe esteno è inizialmente neuto su =c deve imanee una densità di caica: σ(c)= 4π ϵ 0 c Adesso calcoliamo il campo. All'inteno dei conduttoi esso è nullo: E ()=0 pe: < a e b< < c Pe tale che a< < b disegnando suan sfea concentica ai conduttoi e con aggio nell'intecapedine si ottiene, sempe dal Teoema di Gauss: E ()4π = ϵ E ()= 0 4πϵ 0 a b c Cioè il campo è uello di una caica puntifome concentata nel cento. La caica del conduttoe esteno non ha alcuna influenza. In paticolae: se si cambia lo stato di caica della supeficie = c il campo inteno non ne isente (schemo elettostatico). Consideiamo oa la egione estena ai conduttoi. Cicondiamo i conduttoi stessi con una sfea concentica di aggio >c a b c Applicando nuovamente la Legge di Gauss si ottiene: E ()4 π = + + ϵ 0 = ϵ 0 E ()= 4 π ϵ 0 Di nuovo abbiamo il campo di una caica puntifome concentata nel cento.

5 Riassumendo, nel diagamma seguente: E() a b c Si veifica facilmente che le discontinuità del campo sono in accodo con il Teoema di Coulomb: E()= σ ϵ 0 n sulla supefice del conduttoe con n nomale estena alla supeficie. Calcoliamo oa il potenziale: Pe > c si ottiene integando il campo: V () V ( ')= 4 π ϵ 0 ( 1 1 ' ) Con la convenzione che il potenziale è nullo all'infinito, pe : V ()= 4 π ϵ 0 Il conduttoe è sempe euipotenziale e uindi, imponendo come si è detto la continuità del potenziale. Pe tale che b c, V ()=V (c)= 4πϵ 0 c Pe tale che a< < b, si ha di nuovo V () V ( ')= 4 π ϵ 0 ( 1 1 ' ), e ponendo ' = b si ha: V () V (b)=v () V (c)=v () 4π ϵ 0 c = 4πϵ 0 ( 1 1 b) Infine: All'inteno del pimo conduttoe, pe continuità: a V ()=V (a)= 4π ϵ 0 ( 1 a 1 b + 1 c) Costuiamo il diagamma pe il potenziale e confontiamolo con uello pe il campo:

6 E() a b c V() Notae come il potenziale decesce piùlentamente del campo, essendo invesamente popozionale alla distanza dalle sogenti, anziché alla distanza al uadato. È facile veificae che: E ()= dv d che è il caso paticolae, in simmetia sfeica, del isultato geneale dell'elettostatica: E( x, y, z)= V Consideiamo oa la diffeenza di potenziale ta a e b: V (a) V (b)= 4 π ϵ 0 ( 1 a 1 b ) = b a 4 π ϵ 0 ab + - a b Ponendo b a=δ e appossimando al pimo odine: V (a) V (b)= Δ 4 π ϵ 0 a (a+ Δ ) Δ 4 π ϵ 0 a V (a) V (b)= Δ ϵ 0 A = C

7 Definiamo con C, capacità elettica, il appoto ta la caica e la diffeenza di potenziale ta due conduttoi pe i uali c'è induzione completa, come nel caso del nosto esempio. La capacità si misua nel SI in Faad (F). La capcità è spesso espessa in temini di appoto ta la distanza dei conduttoi (in uesto caso Δ ), l'aea affacciata (in uesto caso cica A=4πa ), e la pemittività elettica del mezzo (in uesto caso ϵ 0 ). C= ϵ 0 A Δ Consideiamo un alto caso in cui uesta fomula si applica. Supponiamo di avee due laste infinite conduttici, affacciate a una distanza d. Supponiamo che la supeficie affacciata della pima lasta sia caica positivamente con caia >0. Alloa una caica - deve essee indotta sulla supeficie affacciata della seconda lasta. Infatti sappiamo che, pe simmetia il campo deve essee pependicolae alla laste stesse. Dunue, consideando il flusso del campo attaveso un cilindetto Σ con le basi pependicolai al campo e all'inteno dei due conduttoi come in figua, abbiamo, dal Teoema di Gauss, che la densità di caica σ deve essee uguale e contaia sulle facce (amatue) opposte, punto pe punto. Pe simmetia σ è una costante. I semplici isultati che si ottengono pe simmetia consideando le laste infinite, valgono in buona appossimazione se la dimensione lineae delle amatue è molto maggioe di d e se si tascuano gli effetti ai bodi del sistema. + - Σ d Il campo è un campo di doppio stato: E= ϵ σ 0. La diffeenza di potenziale ta lasta positiva e lasta negativa è: Δ V =E d= σ d. La caica è σ A dove A è l'aea delle amatue Dunue: C= ϵ 0 A d ϵ 0 (1) Oa uello che accade in ealtà è che avvicinandosi ai bodi del sistema le linee di campo si discostano sempe di più da uelle del campo ideale, unifome, geneato da due amatue infinitamente estese.

8 Consideiamo la figua seguente, modificata dall'aticolo: R. Bansevicius, J.A. Vibalis, Distibution of electic field in the ound hole of plane capacito, Jounal of Electostatics 64 (006) d La figua mosta il isultato di una simulazione al compute delle linee di campo e delle supefici euipotenziali, pependicolai alle linee di campo, in possimità del bodo di un capacitoe a facce piane e paallele. Il condensatoe è sottoposto a una diffeenza di potenziale U 0 Come si vede non è veo che il campo è unifome e pependicolae alle amatue come si è supposto. Coispondentemente la densità di caica σ non è unifome ma aumenta ai bodi del condensatoe, pe effetto punta. Ciò significa che la capacità è maggioe di uella pedetta dalla E. 1. Un'ottima appossimazione della capacità eale si ottiene aggiungendo alla lunghezza della 3 amatue 8 d Effetto Punta Consideiamo il seguente poblema. Un conduttoe costituito da due sfee di aggio R e, con R>, unite da un filo, è posto a un potenziale V 0. R

9 Supponiamo che il filo sia tanto sottile da potae una uantità di caica tascuabile e da petubae in maniea tascuabile il sistema. Le sfee sono così distanti che non petubano le loo ispettive distibuzioni di caica, in modo che: V 0 = 4 π = Q 4 π R =Q R Le densità di caica ispettive sono: σ= 4π e σ '= Q dunue: 4 π R σ σ ' = R Q = R Cioè la densità di caica è invesamente popozionale al aggio di cuvatua della supeficie di un conduttoe. Enegia di un condensatoe Vogliamo caicae un condensatoe con una caica Q sulle amatue. Pe costuie il sistema immaginiamo di potae una caica d alla volta sulla amatua positiva. Coispondentemente veà indotta +Q una caica -d sull'amatua negativa. In patica è -Q come se pendessimo un uanto di caica d dalla amatua negativa e lo potassimo a uella positiva, lasciando, pe consevazione della caica, ogni volta, un uanto addizionale -d. In una fase intemedia del pocesso sulla amatua positiva ci saà una caica + e su uella negativa una caica -. Dunue pe potae una ulteioe caica d dalla amatua negativa a uella positiva occoe compiee un lavoo Δ V d= C d, dove Δ V è la diffeenza di potenziale ai capi del condensatoe e C la sua capacità: du = C d Alla fine del pocesso il lavoo necessaio pe potae tutta la caica Q sull'amatua positiva, lasciando -Q su uella negativa, saà: U = du = 0Q C d= 1 Q C = 1 C Δ V che saà anche làenegia immagazzinata nel condensatoe. Consideiamo oa due condensatoi, inizialmente sepaati, di capacità C 1 e C e diffeenza di potenzile V 1 e V, ispettivamente. Supponiamo di unili in paallelo con due fili conduttoi come in figua. All'euilibio i fili conduttoi saanno euipotenziali. Quindi la distibuzione di caica Q 1 e Q nei due conduttoi cambieà in modo che alla fine ai capi di tutti e due ci sia la stessa diffeenza di potenziale V. La caica sulla amatue supeioi (e su uelle infeioi) dovà comunue estae invaiata: Q 1 +Q =Q ' 1 +Q ' C 1 V 1 +C V =C 1 V +C V =(C 1 +C )V V = C 1V 1 +C V C 1 +C ()

10 Abbiamo uindi calcolato la diffeenza di potenziale finale. Q 1 Q Q' 1 V Q' C 1 C C 1 C V 1 V -Q 1 -Q -Q' 1 -Q' Se vogliamo calcolae la vaiazione di enegia elettostatica del sistema occoe eseguie la diffeenza: Δ U =U f U i = 1 (C +C )V 1 ( 1 C V C V Dopo semplici calcoli, tenendo conto dell'e. si ottiene il isultato: ) C 1 C (C 1 +C ) ( V 1 V ) (3) Δ U =U f U i = 1 Cioè nel pocesso si ha inevitabilmente una pedita di enegia da pate del sistema. La edistibuzione compota il moto delle caiche, cioè il passaggio di coente elettica. La coente elettica è sempe accompagnata da una pedita di enegia dovuta o a iaggiamento di un'onda elettomagnetica o a enegia dissipata pe effetto Joule. Da notae che non abbiamo mai ichiesto che Q 1 o Q fosseo positive. Dunue le fomule () e (3) valgono anche nel caso in cui si colleghi il polo positivo di un condensatoe a uello negativo dell'alto. Densità di enegia del campo elettico +Q -Q Consideiamo ancoa il condensatoe ideale a facce piane e paallele infinite. Espimiamo l'enegia in temini di campo: U = 1 C V = Q C =(σ A) d ϵ 0 A =ϵ 0 ( σ ϵ 0 ) A d = ϵ 0 E Ad. L'enegia è data da un temine che moltiplica il volume del condensatoe Ad: tutto accade come se all'inteno del condensatoe ci fosse una densità di enegia pe unità di volume u= ϵ 0 E. Questo isultato è geneale: l'enegia elettostatica del campo elettostatico è data dalla densità di enegia u integata su tutto il volume dove il campo elettostatico è pesente. U = u dxdydz= ϵ 0 E dx dy dz Veifichiamo uesta fomula in un alto caso semplice. Consideiamo una sfea metallica di aggio R caica con una caica Q.

11 R Q L'enegia elettostatica coisponde al lavoo da eseguie conto il campo pe costuie il sistema. Data una caica iniziale sulla sfea, pe aggiungee una caica d il lavoo saebbe: 4πϵ 0 R d Integando da caica 0 a caica finale Q si ottiene: 0 Q 4π ϵ 0 R d= Q 8 π ϵ 0 R Integiamo oa la densità di enegia del campo in tutto lo spazio in cui il campo stesso è diveso da zeo, cioè pe >R : R ϵ 0 Q dx dy dz 16π ϵ 4 0 Notiamo che la funzione da integae assume un unico valoe pe ogni distanza. Dunue pendiamo come elemento infinitesimo di volume ogni guscio sfeico di aggio e spessoe d R ϵ 0 Q 16π ϵ 0 dx dy dz= ϵ 0 4 R Q 16π ϵ 0 4π 1 d= 4 R Q 4π ϵ 0 d= 1 Q 4π ϵ 0 ( 1 ) = Q R 8 π ϵ 0 R Dunue i due metodi pe calcolae l'enegia elettostatica danno lo stesso isultato.

12 ESERCIZI Q' 1 -Q' 1 Q' -Q' Q' -Q' 3 3 C 1 C C 3 V 0 Conduttoi isolati eletticamente Te condensatoi C 1 =1 nf, C = nf e C 3 =3 nf, inizialmente isolati e caichi con caiche divese Q 1 =10 nc, Q =1 nc e Q 3 = 15 nc, ispettivamente, vengono messi in seie con un geneatoe ideale V 0 =30 V. Si chiede di calcolae le caiche finali Q' 1, Q', e Q' 3, dopo che è stato effettuato il collegamento (nota: il isultato non dipende dall'odine con cui sono connessi i condensatoi.) I condensatoi sono inizialmente caichi e cambiano il loo stato di caica uando sono collegati al geneatoe V 0 Tuttavia, le amatue collegate dei condensatoi C 1,C e C, C 3 costituiscono due conduttoi isolati sui uali la caica totale (in senso algebico) deve imanee costante. Ciò compota due elazioni: Q ' 1 Q ' = Q 1 Q = A= nc Q ' Q ' 3 = Q Q 3 =B=3 nc Inolte la somma delle cadute di potenziale attaveso i condensatoi deve euilibae la d.d.p. del geneatoe ideale: Q 1 ' C 1 Q ' C Q 3 ' C 3 =V 0 Abbiamo te euazioni nelle te incognite Q 1 ',Q ',Q 3 ' V 0 A A B C Risulta: Q 1 '= C =14.9 nc Q '=16.9 nc Q 3 '=19.9 nc C 1 C C 3

13 Una paticella di polvee, avente una caica elettica - < 0, si tova in euilibio ta le amatue di un condensatoe a facce piane e paallele, ai cui capi la d.d.p. è V =1530 V. La distanza ta le amatue è d = 5 mm. Calcolae il appoto /m ta la caica e la massa della paticella. Se si pota la d.d.p. a : V '=1550V si calcoli la acceleazione a impessa alla paticella. Infine, se la caica della paticella coisponde a uella di 00 elettoni ual'è la sua massa m? (la caica di un singolo elettone è e= C ) g + - E _ V In tutto il poblema si può tascuae l'effetto dell'aia, ad esempio si può pensae di eseguie uesto espeimento in vuoto. Domanda facoltativa: cosa cambia se si tiene conto dell'aia ta le amatue? Tascuando l'effetto ai bodi il campo è costante e pai a: E= V = V/m d La condizione di euilibio è che la foza totale agente sul punto mateiale sia nulla: E mg=0 m = g E = C/kg Supponiamo adesso che il campo aumenti fino a: E '= V ' /d= V/m, alloa la paticella si muoveà veso l'alto con acceleazione data dal Secondo Pincipio dellla Dinamica: ma= E ' mg a= m E ' g= g E E ' g=g 1 V ' = 0.13 m/s V Il segno dell'acceleazione è negativo peché essa è ivolta in senso contaio a uello di g. Se la caica della paticella è in valoe assoluto =00 e, alloa, dato che m= E g : m= 00e E = g 00e V g d =10 1 kg=10 9 g Consideiamo la situazione in cui la paticella si muove in aia. Le influenze pincipali di cui tene conto sono: (i) La viscosità dell'aia; l'effetto dell'attito dell'aia fa sì che la paticella assuma

14 dopo un ceto tempo una velocità "teminale" popozionale alla foza agente su di essa (Legge di Stokes) (ii) La spinta di Achimede del fluido. In patica la massa m della paticella viene modificata, la "massa appaente" m ' è data dalla diffeenza ta la massa della paticella e uella di un ugual volume di aia. Pe una paticella di aggio R : m '= 4 3 R3 a, dove è la densità della paticella e a densità dell'aia (iii) Il fatto che la paticella si possa neutalizzae o ionizzae in senso inveso a causa della icombinazione di caica, dovuta all pesenza di aia ionizzata. In uesto caso la paticella cambieebbe epentinamente (o invetiebbe) la popia velocità e l'effetto saebbe facilmente visibile. (iv) Un effetto tascuabile è uello della agitazione temica dell'aia, che non incide appezzabilmente se la paticella è abbastanza gande. Si suppone ovviamente che non ci siano gadienti di tempeatua o effetti di tubolenza dell'aia L'esecizio icoda l'espeienza di Millikan (1911) in cui paticelle di olio di ualche micometo di aggio venivano spuzzate ta le amatue di un condensatoe ( cm di lato, 16 mm di diameto) ai cui capi ea applicata una d.d.p. di cica 6000 V. Le paticelle venivano ionizzate con una sogente di adiazione e ossevate con un micoscopio V v 1 v 16 mm - Supponiamo che in assenza di campo elettico una paticella cada con velocità teminale v 1. Supponiamo anche che, pima che la paticella aggiunga l'amatua infeioe, venga attivata la d.d.p.: sia v la velocità con cui la paticella isale veso l'amatua positiva. Dunue, poiché il appoto ta le velocità è uguale al appoto ta le foze agenti: v 1 = mg v E mg = m g E v v 1 v 1 è la m si detemina dalla misua di v 1 e dalla conoscenza della viscosità dell'aia. La caica potata dalla paticella viene dunue icavata dalla misua del appoto ta le velocità, come nella elazione sopa scitta. Il isultato finale è che isulta sempe, ento gli eoi speimentali, un multiplo di una uantità minima di caica e. Questa espeienza confemò l'ipotesi di uantizzazione della caica e pemise di deteminae, con una pecisione mai aggiunta pima, la caica di un elettone (eoe infeioe al pecento.)

15 Due condensatoi, C 1 =3 F e C = F, inizialmente scaichi, vengono caicati a V =10 V, come in figua in basso a sinista. Successivamente i due condensatoi vengono collegati al condensatoe C 3 =1 F, come si vede in figua in basso a desta. C 3 è inizialmente caico con una caica Q 3 =80 C. Calcolae la vaiazione di enegia potenziale nel passaggio dalla pima alla seconda configuazione. C 1 C V C 1 C C3 Q 3 -Q 3 Nel pimo caso I condensatoi sono in seie: la capacità euivalente è: C= C 1 C C 1 C =1. F la d.d.p iniziale ai loo capi è V. Dunue l'enegia elettostatica iniziale è: U i = 1 C V =8.64 mj Nel secondo caso la capacità euivalente C viene messa in paallelo alla capacità C 3 che ai suoi capi ha inizialmente una d.d.p. V 3 = Q 3 =80 V C 3 Si ha una edistibuzione della caica in C e C 3 finché i condensatoi non aggiungono una d.d.p di euilibio V f ai loo capi La caica totale non può vaiae: Q 3 C V =C 3 V 3 C V = C 3 C V f V f = C V C V 3 3 =10 V C C 3 Dunue la enegia elettostatica finale è: U f = 1 C C 3 C 3V 3 C V = C C 3 1 C 3 V 3 C V =11.4 m J C C 3 Infine la vaiazione di enegia elettostatica: U = 1 C 3 V 3 C V 1 C C 3 C V =.76 mj