Legge di Ohm. La corrente elettrica dal punto di vista microscopico: modello di Drude

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1 Legge di Ohm. Obiettivi didattici: Veifica della elazione ta coente e d.d.p. pe un conduttoe metallico. Veifica della elazione ta la esistenza di un conduttoe e le sue dimensioni (lunghezza, sezione) Misua della esistività di mateiali divesi. Cenni teoici. La coente elettica dal punto di vista micoscopico: modello di Dude In un conduttoe metallico i potatoi di caica elettica sono gli elettoni libei cioè quelli non legati ai singoli atomi. Se immaginiamo di sezionae il conduttoe e di analizzae il moto degli elettoni attaveso la sezione così ottenuta, noteemmo che il numeo di caiche che attavesano la supeficie in una diezione è uguale al numeo di caiche che la attavesano in diezione opposta e quindi, pu essendoci un moto disodinato delle caiche elettiche, la coente totale attaveso la sezione è nulla. Collegando il conduttoe ai poli di una batteia, veà a ceasi al suo inteno un campo elettico E, di conseguenza agià una foza F = ee ( e è la caica di un elettone) sugli elettoni i quali inizieanno a muovesi nella diezione opposta al campo. A causa dei continui uti con i difetti e le vibazioni (fononi) del eticolo cistallino, i potatoi di caica aggiungeanno dopo beve tempo una velocità media costante 1, detta velocità di deiva e si stabilià una coente elettica I. Se duante un ceto intevallo di tempo t passa una quantità di caica q attaveso una qualunque sezione del conduttoe, possiamo definie l intensità di coente I: I = q t che si misua in Ampèe= Coulomb/secondi [A]= [C/s]. In geneale se la quantità di caica che attavesa una sezione vaia nel tempo si dovà passae al limite pe intevalli di tempo piccoli, cioè: I = lim t 0 q t = dq dt. Una volta fissata la diffeenza di potenziale ai capi del conduttoe, la coente è la stessa pe ciascuna delle sue sezioni in analogia a quanto avviene pe il flusso di un liquido all inteno di un condotto alle imboccatue del quale sia mantenuta costante la diffeenza di pessione. In analogia con il moto dei fluidi, possiamo definie una densità di coente J pe unità di supeficie in maniea tale che: I = J ns dove S è l aea della sezione del conduttoe che pendiamo in esame e n è la nomale a tale sezione. Dal modello micoscopico di elettoni libei possiamo anche stimae J notando che essa saà data dal podotto della caica di un elettone, pe la velocità media di deiva pe la densità dei potatoi nel conduttoe, cioè: 1 Essendo soggetti ad una foza, gli elettoni hanno un acceleazione istantanea non nulla ma a causa degli uti tendono ad assumee una acceleazione media nulla e una velocità di deiva costante: il caso è un po diveso dall intuizione della meccanica classica peché stiamo consideando delle gandezze mediate su un tempo abbastanza lungo da compendee divesi uti. 1

2 J = nev mateiali divesi hanno una densità di potatoi divesa, mente a causa dei difetti pesenti nei mateiali e della tempeatua che attiva le vibazioni (fononi) del cistallo avemo velocità di deiva divese a tempeatue divese e in campioni di divesa qualità. Ci aspettiamo comunque che la velocità di deiva sia popozionale al campo elettico applicato così possiamo scivee: v = µ E quindi: J = neµ E dove abbiamo intodotto la mobilità µ come caatteistica specifica dei potatoi in un ceto mateiale. La legge di Ohm. Ci chiediamo oa come vaia la coente in un conduttoe in funzione della diffeenza di potenziale V (ddp) applicata, una volta che abbiamo fissato la foma e le dimensioni del conduttoe stesso e fissate le condizioni estene (tempeatua, ecc.). Se si misua mediante un voltmeto la ddp applicata e mediante un ampeometo la coente che cicola nel conduttoe e si ipotano le coppie così ottenute su un gafico si ottiene l andamento di I in funzione di V che in geneale saà del tipo: I = f( V ) questa viene detta cuva caatteistica del conduttoe ed ha in geneale andamenti divesi. Nel caso in cui la elazione isulti lineae, si dice che il conduttoe è ohmico ovveo obbedisce alla legge di Ohm che possiamo scivee: V = RI R è una costante, cioè non dipende da I e da V, che pende il nome di esistenza e si misua in Ohm (Ω). Pe veificae se un conduttoe è ohmico si devono quindi applicae valoi di coente I divesi e misuae la caduta di tensione V ottenute, ipotae le coppie su un gafico ( V, I) e veificae la dipendenza lineae: la pendenza della etta appesenta la esistenza del conduttoe. Ci possiamo anche endee conto con semplici espeienze che la esistenza così definita dipende dalle dimensioni del conduttoe. Ad esempio, se consideiamo un filo, si può veificae che la esistenza è diettamente popozionale alla sua lunghezza l mente è invesamente popozionale alla sua sezione A, cioè: R = ρ l A ρ è la esistività che è una popietà intinseca del conduttoe consideato e quindi non dipende dalle dimensioni ma solo dal tipo di mateiale, ad es. ame, ottone, costantana ecc. In genee ρ si espime in Ω m oppue in Ω cm e si tova tabulata pe mateiali divesi in funzione della tempeatua. La esistività assume valoi in un intevallo molto ampio che va da 10-6 Ω cm del ame a Ω cm del quazo fuso. Usando dei fili come campioni, possiamo misuae la caduta di tensione pe fili di divesa lunghezza l mantenendo la coente costante. Possiamo anche misuae la caduta di potensiale su fili di sezione S divesa mantenendo questa volta la lunghezza e la coente costanti. In questo modo possiamo veificae la elazione: 2

3 R = V I = ρ l S Sempe consideando un conduttoe a foma di filo possiamo scivee pe una sua sezione: V = El = RI = ρl A I E = ρ I A = ρj ma icodando la elazione micoscopica che abbiamo tovato pecedentemente abbiamo che: J = neµe 1 ρ = σ = neµ L inveso della esistività è la conducibilità σ che si misua in (Ω cm) -1. Abbiamo così tovato elazione impotante che lega una gandezza macoscopica con caatteistiche micoscopiche: la conducibilità di un mateiale è popozionale alla densità dei potatoi n e alla loo mobilità µ. 3

4 Espeienze. Mateiale occoente. un geneatoe di tensione (un ampeometo) un voltmeto cavetti di collegamento pinzette a coccodillo alcuni fili metallici, di mateiale e sezioni divesi base isolante con mosetti pe collegae i fili metallici meto calibo Pocedimento esecutivo Veifica della legge di Ohm. Montae il cicuito secondo lo schema in figua, contollando i collegamenti pima di connettesi alla ete. Collegae il polo positivo del geneatoe con l ampeometo, uscie da quest ultimo e collegasi al polo A della esistenza, collegae il polo B della esistenza con il polo negativo del geneatoe. Collegae il voltmeto in paallelo alla esistenza (filo metallico); il polo positivo al punto A e quello negativo al punto B. Pima di accendee il geneatoe di coente poe i sui potenziometi a 0. Impostae il valoe di limitazione della tensione ad un valoe sufficientemente elevato giando in senso oaio il potenziometo della tensione. Incementae il valoe della coente solo pogessivamente. V A A B Fae poi vaiae la coente a passi successivi costanti (ad es. 0.05A) leggendone il valoe sull ampeometo. Leggee quindi i coispondenti valoi di tensione sul voltmeto, icodando che nel nosto caso è consigliabile limitae il valoe massimo di coente a 1.5 A pe evitae il suiscaldamento del filo. Ripotae i valoi letti in tabella e su gafico. Veificae inizialmente il valoe di offset nel voltmeto applicando una coente nulla. Poe paticolae attenzione alla lettua degli stumenti, specie nel caso che questi abbiano valoi di fondoscala divesi. In tal caso bisogna ogni volta calcolae il valoe di ogni singola divisione. Tale opeazione è possibile dividendo il valoe di fondoscala (F) dello stumento pe il numeo totale delle divisioni (N). Peciò la lettua di uno stumento la cui lancetta segna n 4

5 divisioni saà (F/N) n. Si accomanda di utilizzae sempe la scala che pemette la maggioe escusione dell ago indicatoe in modo da idue l eoe pecentuale. Ricavae il valoe della esistenza del filo dal appoto V/I e calcolando la pendenza della etta I-V mediante il metodo dei minimi quadati. Studio della dipendenza della esistenza dalle sue dimensioni e dal tipo di mateiale. La pova è suddivisa in te fasi. 1. Nella pima si fa vaiae la lunghezza del filo conduttoe, che funge da esistenza, mente imangono costanti la sezione e il mateiale di cui è fatto il filo e si studia come vaia la esistenza. Pe ottenee lunghezze divese occoe sevisi delle pinzette a coccodillo. 2. Nella seconda, fissata la lunghezza del filo e scelto un mateiale, si studia la vaiazione della esistenza al vaiae della sezione del filo conduttoe. Sono disponibili fili dello stesso mateiale e di sezione divesa; inolte si possono collegae in paallelo due fili della stessa sezione, in questo caso la sezione isulteà addoppiata. 3. Nella teza si utilizza fili di mateiali divesi ma con dimensioni identiche. Quali conclusioni si possono tae sulla vaiazione della esistenza al vaiae della sua lunghezza? Come si modifica la esistenza se cambia la sezione del conduttoe? E possibile affemae che la esistenza di un conduttoe dipende sia dalla caatteistiche geometiche che dal tipo di mateiale usato? Costuie due gafici ipotando in odinata la esistenza e in ascissa una volta la lunghezza del filo e una volta la sezione. Quale foma assumono i due gafici? Applicando il metodo dei minimi quadati alle coppie di punti speimentali ottenute si icava la legge fisica che lega la coente alla d.d.p., in paticolae la esistenza del filo consideato isulta, in genee il coefficiente di coelazione lineae è molto buono. Conclusioni La pima pova ha consentito di veificae la legge di Ohm, cioè la popozionalità dietta ta coente e caduta di potenziale ai capi di un conduttoe, la seconda pova ha pemesso lo studio della dipendenza della esistenza di un conduttoe dalle caatteistiche geometiche dello stesso e dal tipo di mateiale. 5