Attività didattica Determinazione della massa di Giove tramite le osservazioni dei satelliti galileiani

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1 Piazza. Ungaetti, Caseta tel. 08/ info@planetaiodicaseta.it Attività didattica Deteminazione della massa di iove tamite le ossevazioni dei satelliti galileiani Obiettivi educativi Si tatta di un attività modulae, intedisciplinae (fisica, astonomia, stoia e filosofia della scienza, uso delle nuove tecnologie...), paticolamente adeguata pe ottenee il pieno coinvolgimento degli studenti, adatta a costuie una foma mentis scientifica, ivolta ad allievi che abbiano studiato i pimi udimenti di dinamica. Stuttua e contenuti: a) intoduzione stoica-filosofica alla nascita della modena astonomia (modello geocentico e modello eliocentico, le ossevazioni di Tycho Bahe, le leggi di Kepleo, le ossevazioni di alileo, il pocesso a alileo etc.); b) lezione al planetaio sulla scopeta dei satelliti galileiani e le leggi di Kepleo; c) iceca in ete delle popietà fisiche di iove e delle sue lune; d) deivazione della teza legge di Kepleo e sua applicazione alle lune di iove; e) pianificazione delle ossevazioni di iove (iceca del peiodo in cui iove è visibile duante tutta la notte). A tale scopo è utile consultae le effemeidi, ovveo le tabelle con i peiodi di visibilità dei fenomeni astonomici, disponibili su molti siti intenet di ossevatoi astonomici, come ad esempio quello dell Ossevatoio Astonomico di Capodimonte (o, peché no, quello di eenwich!); f) uso del planetaio digitale Celestia pe intodue l agomento ed effettuae le ossevazioni necessaie al pogetto (Celestia è scaicabile gatuitamente dalla ete; gli scipt specifici contenenti i comandi utili pe la ealizzazione dell ossevazione vituale di iove possono essee ichiesti al Planetaio di Caseta, info@planetaiodicaseta.it); g) elaboazione delle immagini acquisite (misua delle elongazioni dei satelliti galileiani, cioè delle distanze di iove da ciascun suo satellite, convesione delle elongazioni in secondi d aco tamite la deteminazione della scala immagine); h) costuzione del gafico delle elongazioni in funzione del tempo di ossevazione pe la deteminazione dei peiodi obitali e delle elongazioni massime dei singoli satelliti; nota la distanza di iove dalla Tea al momento delle ossevazioni, i aggi delle obite sono icavabili dalle elongazioni massime; i) calcolo della stima della massa di iove utilizzando la teza legge di Kepleo, i aggi delle obite e i peiodi dei satelliti. j) Duata: E stimata in 18 oe. Avendo a disposizione meno tempo, in 1 oe si ealizzano i moduli b), d), g), h) ed i) (in tal caso le immagini delle ossevazioni vanno ichieste al Planetaio di Caseta, info@planetaiodicaseta.it). In una foma minima, della duata di 8 oe cica, è possibile ealizzae i soli moduli b), d), h) ed i) utilizzando la tabella di misue di elongazioni di Callisto del maggio 006, fonite a ichiesta dal Planetaio. Mateiali necessai: - compute e poiettoe (o Lavagna Inteattiva Multimediale); - stampante; - matita a punta sottile, ighello, cata millimetata, calcolatice pe ciascun studente; - accesso alla ete telematica Intenet pe ciascun studente o guppo di studenti Stima della massa di iove, 6 ed 8 settembe 011 Pagina 1 di 5

2 Piazza. Ungaetti, Caseta tel. 08/ info@planetaiodicaseta.it La fisica ichiesta: Pima legge di Kepleo: i pianeti descivono delle ellissi piane di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Seconda legge di Kepleo: il aggio vettoe di un pianeta (cioè la congiungente pianeta-sole ), descive aee uguali in tempi uguali. Teza legge di Kepleo: il cubo del semiasse maggioe dell obita di un pianeta è popozionale al quadato del suo peiodo di ivoluzione. Le leggi di Kepleo hanno una valenza geneale, cioè valgono cioè ogni volta che due masse, legate gavitazionalmente, obitano intono al cento di massa comune. Pe il calcolo della massa di iove si utilizzeà la teza legge: se m è la massa di uno dei due copi che obita, con peiodo T e semiasse maggioe, intono al cento di massa del sistema insieme al copo di massa M, essa stabilisce che M ( m + M ) T che, nel caso di M>> m, diventa T 4 π È possibile icavae facilmente questa ultima elazione supponendo che le obite siano cicolai (la fisica è la stessa del caso geneale ma si semplifica enomemente la pate matematica); in tal caso la seconda legge di Kepleo ci assicua che il moto avviene a velocità angolae costante. Sotto queste ipotesi, siano: -, il aggio dell obita del copo - m, la sua massa - M la massa dell alto copo (l ipotesi che M sia molto maggioe di m implica che il cento di massa del sistema coincida con M) - F, la foza gavitazionale - a c, l acceleazione centipeta; alloa, si ha che mm π F e ac ω T T dove ω è la velocità angolae e T è il peiodo. Poiché dal pimo pincipio della dinamica sappiamo che F m a, alloa mm m T MT M R T con 6, m kg -1 s -, costante di avitazione Univesale. Quindi a patie dal aggio dell obita, R, e dal peiodo, T, di un suo satellite si può stimae la massa di iove usando la pecedente elazione; R e T devono essee espessi, ispettivamente, in meti e in secondi. Stima della massa di iove, 6 ed 8 settembe 011 Pagina di 5

3 Piazza. Ungaetti, Caseta tel. 08/ info@planetaiodicaseta.it I dati Nel maggio 006, sono state effettuate le seguenti misue di elongazione di Callisto da iove. (OVEST positive, EST negative, in secondi d aco; l oa di ossevazione è espessa in fazioni di oa e ifeita ad UT; pe esempio: 0,48 vuol die h 8 m 48 s!) Data Oa (in oe) Data ed oa (in gioni e sue fazioni, a patie dalle oe 0,00 del 1/5) Elongazione (in ) 1/5 0,50 0, ,6 /5 04,00 1, , /5 0,00 574,0 /5 0,48 58, /5 1,48 58, 4/5 0,48 574,0 4/5,00 500,5 5/5 1,48 58, 6/5 0,00 1,4 6/5 1,48 156,1 7/5 0,48 105,6 7/5,00-91,8 8/5 1,48-84,7 9/5 0,48-5, 9/5,00-468,4 10/5 1,48-564,8 11/5 1,48-597,0 1/5 0,48-587,8 1/5,00-5,5 1/5 1,48-41, 14/5,00-197,5 15/5 1,48 96,4 16/5 1,48 9,9 17/5 0,50 477,6 18/5 1,48 574,0 19/5 1,48 58, 0/5 0,48 574,0 0/5,00 500,5 Obiettivo speimentale: Sapendo che la distanza media Tea-iove, nel peiodo delle ossevazioni, ea di 4.4 ±0.01 UA, (1 UA 1, m), stimae la massa di iove. Attività I: convesione della data ed oa in gioni e fazione di giono a patie dalle oe 0,00 del giono della pima ossevazione. Dovendo deteminae il peiodo di otazione di Callisto intono a iove, occoe tasfomae i tempi di ossevazione (intepolae, effettuae diffeenze, deteminae intevalli tempoali etc.). Il fomato che Stima della massa di iove, 6 ed 8 settembe 011 Pagina di 5

4 Piazza. Ungaetti, Caseta tel. 08/ info@planetaiodicaseta.it nomalmente utilizziamo pe i tempi nelle attività quotidiane (giono, mese, anno, oa, minuti e secondi) è estemamente complicato pe i calcoli astonomici. Pe questo, in astonomia si usa coentemente il giono giuliano (Julian Day, JD), che è il numeo di gioni e fazione di giono passati dal mezzogiono del lunedì 1 gennaio 471 a.c.. Il sistema dei gioni giuliani è stato pogettato pe fonie agli astonomi un sistema univoco di date utile pe lavoae con calendai e conologie stoiche diffeenti, giacché esso non pesenta la difficoltà di anni bisestili, cambi di calendaio, eccetea. Ha il gande vantaggio che con esso si possono calcolae facilmente elazioni ta date lontane (pe esempio nello studio di antichi scitti, fenomeni a gande peiodicità etc.). Nel nosto caso è sufficiente fissae come oigine della scala dei tempi (giono 0) le oe 0,00 del pimo giono di ossevazione; i gioni saanno la diffeenza ta i vai gioni di ossevazione ed il pimo giono di ossevazione, la fazione di giono si ottiene dividendo il tempo dell ossevazione, espesso in oe, pe 4. Si calcola: JD i (g i -g 0 )+ h i /4. Attività II: tacciae il gafico, su un foglio di cata millimetata, delle elongazioni di Callisto in funzione del tempo di ossevazione pe deteminae peiodo ed elongazione massima La elazione ta elongazione e tempo di ossevazione è una sinusoide: infatti, è la poiezione di un moto cicolae su un diameto. Di tale sinusoide occoe deteminae il peiodo, T, e l ampiezza, α, che è collegata al aggio dell obita. Il modo più semplice pe falo è costuie un gafico, come in figua. La appesentazione gafica su cata millimetata è un gande ausilio in molti poblemi patici ma ha le sue egole: a) utilizzae l asse delle ascisse pe la vaiabile indipendente (nel nosto caso, il tempo); b) ipotae le coppie di coodinante (i punti) con un simbolo diveso dal puntino (pe questioni di più facile leggibilità del gafico); c) scegliee in modo oppotuno le scale pe gli assi. È la egola più impotante e difficile peché ichiede espeienza. Se necessaio, la scala pe le ascisse può essee divesa dalla scala pe le Stima della massa di iove, 6 ed 8 settembe 011 Pagina 4 di 5

5 Piazza. Ungaetti, Caseta tel. 08/ info@planetaiodicaseta.it odinate se le gandezze che appesentiamo sui due assi non sono omogenee. Infatti, la scala, su ognuno degli assi, è un compomesso ta la necessità di iempie il foglio con il disegno del gafico il più estesamente possibile (al fine di evitae di tacciae il gafico in una pozione minima o idotta del foglio millimetato) e la facilità di lettua dei valoi dei punti senza necessità di usae la calcolatice. Suggeimento: Pe avee una pima idea della scala, individuae dalla tabella i valoi massimo e minimo da appesentae, calcolae il appoto ta la diffeenza massimo-minimo e la lunghezza dell asse (pe esempio in mm). Il minimo valoe agionevole più gande della pima appossimazione di scala individuata potebbe essee la scala giusta. T gioni.... secondi α... acsec. Attività III: dalla elongazione massima (e distanza Tea-iove al momento delle ossevazioni) icavae il aggio dell obita di Callisto (in m). L elongazione massima è l angolo sotteso dal aggio dell obita di Callisto come visto dalla Tea (vedee figua). Visto che l angolo α è piccolissimo, possiamo appossimae la coda R con l aco di cechio di aggio D (distanza Tea-iove), pe cui: R α D, con α espesso in adianti. Il fattoe di convesione da acsec a adianti è 1/0665. R... m. Attività IV: stima della massa di iove. M 4 π R T, 10 kg Confonta il valoe ottenuto con quello che si tova sui testi (M letteatua 1, Kg): eoe assoluto kg eoe elativo ; eoe pecentuale..%. Queste diffeenze a cosa possono essee dovute?..... Stima della massa di iove, 6 ed 8 settembe 011 Pagina 5 di 5