Meccanica Gravitazione

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1 Meccanica Gavitazione 3

2 oza Mediatoe Gavitazione Intensità elativa Andaento asintotico Raggio d'azione Inteazione fote gluone Inteazione elettoagnetica Inteazione debole fotone / bosoni Z, W+ e W (1/) exp(-/ 0 ) Gavità gavitone? / oze centali - La foza in qualsiasi punto P è nella diezione OP - Il odulo della foza in P è funzione solo di OP dl dt ± ( ) u ± ( ) u (attattiva, epulsiva) eoea del oento angolae pe una foza centale Piano della taiettoia: L v L (, v) Diezione e veso costanti 0 O cento della foza Pe un punto ateiale soggetto una foza centale il vettoe oento angolae si conseva Posizione e velocità (quindi taiettoia) si antengono sullo stesso piano u O L O P () v

3 Velocità aeale costante: Obita chiusa: W B A A L Lavoo di una foza centale oze centali L v ( v + vθ ) v θ dθ da L v θ ω dt dt da L Cost. La velocità aeale dt iane costante ± ( ) u ( ) u ds B ( ) d A f ( B ) f ( A ) Le foze centali sono consevative A L «velocità aeale» Obita cicolae: A A u O P O da π v d θ ds L O B v θ v v 1 dθ dθ π v B π ω u ds ds cosθ d

4 Le te leggi di Kepleo Giovanni Kepleo ( ) Eccenticità: b ε 1 1 a Aea: A πab t πa ε 0 1 ε Gavitazione Da Kepleo a Newton t III - Il quadato del peiodo di ivoluzione è popozionale al cubo del seiasse aggioe cechio Descizione epiica del oto dei pianeti Basate sulle ossevazioni di ycho Bahe ( ) I - Le obite dei pianeti sono ellittiche, il ole occupa uno dei fuochi b P k a 3 La stessa costante pe le obite di tutti i pianeti intono al ole a Obita ellittica Obita cicolae con lo stesso aggio edio (La più ivoluzionaia!) II - La velocità aeale del aggio che unisce il sole al pianeta è costante: A t Const La velocità del pianeta non è costante

5 oza centipeta ω Da Kepleo a Newton Moto della ea intono al ole oza ( di gavità ) Assue obita cicolae. II Legge di Kepleo: da dt 1 dθ dt Cost. III Kepleo: k 3 k dθ dt Moto cicolae unifoe oza che il ole esecita sulla ea: Pincipio di azione-eazione:,, k k G k k Definiao: Cost. La foza è invesaente popozionale al quadato della distanza π 4, k Dev esseci una analoga foza che la ea esecita sul ole: 1 k G Isaac Newton ( ) π 4, k 1 1 k k, G,

6 Gavitazione univesale Veifica: oza peso Copo di assa nei pessi della supeficie teeste: G e eguaglia la foza peso: G g Copo a sietia sfeica (ea) Coe se tutta la assa fosse concentata nel cento Newton: Metodo pe stiae il podotto oza della ea sulla Luna,, G Vale solo pe ole-ea, o pe ole-pianeti? Legge univesale? L, L G Lω Ld L d L g G G è la stessa pe qualunque 1 e G u 1 ea noto, a G e eano ignoti! G G Legge di gavitazione univesale π L d noti 3 L 3 π dl L Calcolo: confea! (Inizialente discepanze significative ) g Isaac Newton ( )

7 Heny Cavendish G Misua dietta di G (Cavendish, 1798) A B Moento della foza: ( ) k 0 θ l Qual è il valoe di M l G? k0θ G l Veifica isua di : iuovendo le asse la tosione del filo deve istabilie la condizione iniziale θ Bilancia di tosione k θ 0 0 Angolo all equillibio 0 θ k 0 l / 0 G kg s Cavendish, 1798

8 Misua dietta di G

9 Massa del ole istea ea-ole G d π d 3 G d ω d (III Kelpeo) 4 π ( ) kg s ( s) Iagine del ole ai aggi X kg Massa della ea istea ea-luna π 3 4 d L G L kg

10 Kepleo I Le obite dei pianeti sono ellittiche, il ole occupa uno dei fuochi III k a 3 Gavitazione univesale Newton G u 1 Legge di gavitazione univesale Newton a ω 1,,1 G Cavendish N kg kg s E una foza centale ± ( ) u 1. Il oento angolae si conseva. La taiettoia si antiene sullo stesso piano 3. La velocità aeale è costante 4. oza consevativa

11 Massa gavitazionale G Dalla eguaglianza Gavitazione univesale Massa ineziale e assa gavitazionale G u Massa coe agente della inteazione gavitazionale 1 ( g ) ( g ) ( i) G g eoia Geneale della Relatività: ( g) ( i) basata su Pincipio di equivalenza a g G ( g ) ( g ) ( i) ( g ) ( i) Massa ineziale G I Massa coe esistenza alla acceleazione podotta da qualunque tipo di foza Dato speientale, pecisione 10-1 tanza chiusa sulla ea (gavità, acceleazione g) tanza chiusa in assenza di gavità, acceleata con a g

12 Capo gavitazionale G 1 1 1, G u 1, u 1, «Capo» geneato dalla assa (puntifoe) 1 Capo totale geneato in P da n asse: d n u d η( P) n i 1 η «Massa capione» i G i 1 upeficie chiusa che acchiude la assa n i u i i eoea di Gauss d d n η θ lusso attaveso la supeficie : Φ η d ηu d cos G d θ G Poiezione di d pependicolae a alla diezione adiale η η( ) G u 1 ηu Vettoe «Capo gavitazionale» 1 η 1 3 η η3 Vesoe noale all eleento infinitesio di supeficie dφ η d G ηd cosθ d cosθ dn G dω G Angolo solido dω P eoea di Gauss